Wład 7 Strutura pasowa cał stałch W odróżu od atoów oluł strutura pooów rgtcch ltroów w całach stałch a postać pas Ist w cl stał pas rgtcch daj ożlwość wtłuacć podał cał stałch a tal, półprwod olator Rs71 Schat powstawaa rgtcch pas w cl stał Mcha powstawaa pas rgtcch oża rouć a podstaw prostch rouowań Pr oawau wąaa owalcjgo w olul H 2 łożoj 82
dwóch atoów wodoru, wdlś, ż rgtc sta podstawow H 2 słada sę dwóch pooów rgtcch, tór powstają dwóch pooów 1 s pojdcch atoów wodoru w wu oddałwaa ltroów 1 s jądra atoów wodoru ora ęd sobą Moża udowodć, ż w prpadu uładu łożogo N atoów wodoru rgtc sta podstawow będ sładał sę N blso sb położoch dsrtch 23 pooów Poważ w cl stał N 10, bór N blso sb położoch dsrtch pooów twor praw cągł bór, tór awa pasogól, blża do sb N jdaowch atoów a odlgłość, pr tórj fucj falow ch ltroów acają achodć a sb, prowad do powstawaa pasa łożogo N blso sb położoch dsrtch pooów (rs71 Dla uwględa oddałwań ltroów ęd sobą joa sc rstalcj stosują srg różch prblżń W prblżu slgo (albo casgo wąaa ałada sę, ż rga wąaa ltroów w ato jst ac węsa od rg wąaa ędatoowgo Wsut tgo ltro są sl loalowa w sc w duż stopu achowują własośc, tór ał w atoach swobodch Prblż slgo wąaa dobr opsuj achowa w całach stałch ltroów powło wwętrch atoów ltro powło wętrch są słabo wąa jądra atoów dla tch ltroów walcjch dobr prblż jst prblż słabgo wąaa W prblżu słabgo wąaa ltro jst tratowa ja praw swobod ltro porusając sę w słab orsow pol ltrc sc rstalcj Zlustruj tra ja w odlu slgo wąaa powstają pasa rgtc Modl slgo wąaa powstawaa pas rgtcch W prpadu slgo wąaa, gd rga tca ltroów jst ac jsa ż rga potcjala oddałwaa ltroów pol jądr, ltro w duż stopu achowują własośc, tór ał w atoach swobodch W t prpadu jst ocwst spróbować posuać własch fucj ltroów ψ (r w postac lowj obacj atoowch fucj ltroów (tod LCAO R ψ ( r ϕ ( r R (71 83
Tu ϕ r R jst fucja własa Haltoau H 0 atou swobodgo, ajdującgo sę w ( węźl sc, orślo wtor R H ϕ ( r R ϕ ( r R (72 0 Prpuść tra, ż Haltoa ltrou w rstal oż apsać w postac (prblż jdoltroow H H + V ( r R (73 0 Tu wra V r R opsuj abur, tór powstaj wsut oddałwaa ltrou ( poostał atoa sc rstalcj rgę ltrou w rstal ajd jao śrdą wartość Haltoau (73 ψ H ψ ( (74 ψ ψ Oblc ajprw aow w (74 ψ ψ, ( R R ϕ ϕ N (75 Tu ałożlś, ż ϕ ϕ δ W podob sposób dla lca w (74 a N ψ H ψ +, ϕ V ϕ ( R R + ϕ ( R R H ϕ ϕ V ϕ (76 Wsut str traslacjj lt acrow A ϕ V ϕ alż od Jżl w ostat cło w (76 roważ tlo ajblżs sąsd prpuść, ż dla ajblżsch sąsadów B ϕ V ϕ (, to wór (76 oż apsać w postac 84
ψ H ψ, N[ A ( R R B ϕ H ϕ ( R R ] (77 Sua po awra tlo t wartośc, dla tórch R opsuj ajblżsch sąsadów węła orślogo wtor R W wor (77 wlośc A B są dodat, poważ fucja potcjala V dla sł prcągaa jst fucją ują Po podstawu (75 (77 do woru (74 otruj ( A Jżl roważ prostą sć rgularą dla tórj B ( R R R R ( ± a,0,0;(0, ± a,0;(0,0, a, ± (78 Rs 72 Powstawa pas w odlu slgo wąaa 85
to woru (78 otruj ( A 2B (cos a + cos a cos a x + (79 W wor (78 wlośc A B alżą wprost proporcjoal od prrwaa poęd fucja falow sąsadującch atoów A at, sroość pasa rgtcgo roś wrost prrwaa poęd odpowd fucja falow sąsadującch atoów Z woru (79 wd, ż w trac twora rstału, d ato blżają sę do sb, poo atoow o A w stosuu do rgtc staj sę pas rgtc Środ pasa jst obżo, a sroość pasa rgtcgo wos Prwod, olator, półprwod 12 B (rs72 Oddałwaa ęd N atoa jdgo rodaju w rstal powodują, ż poo swobodgo atou roscp sę a N staów (rs71 Sta t tworą wacągł paso, tór, god asadą Paulgo, ogą ostać obsado pr 2 N ltroów W alżośc od tgo ja są obsado poo różch pas, wsst cała stał oża podlć a prwod, olator półprwod Roważ dwa pasa cała stałgo (rs73 Paso dol jst budowa ltroów ajdującch sę a wętrch walcjch powłoach atoów To paso awa sę pas walcj Paso lżąc powżj pasa walcjgo awa pas prwodctwa Rs 73 Prwod, olator, półprwod 86
Oac górą wartość rg pasa walcjgo pr rg pasa prwodctwa oac pr V, a dolą wartość C Jżl paso prwodctwa jst cęścowo obsado pr ltro, to cało stał jst prwod Zwętr pol ltrc wwołuję prjśca ltroów a swobod poo rgtc w paś prwodctwa w cl będ płął prąd Jżl paso walcj jst całowc apło, a w paś prwodctwa bra swobodch ltroów, to a do ca olator B wbuda wętrgo (ogrwa prób, aproowa, wprowad dos td olator będ prwodł prądu ltrcgo Spośród prwodów olatorów scgól jsc ajują półprwod Uow prjęto uważać a półprwod substację w tórch sroość pasa wbroogo jst jsa ż tórch sroość pasa wbroogo jst węsa od 3 V C V < 3V Za olator uważa sę substację w Daa ltroów w rstal Masa ftwa ltrou Ja w podstaw f atoowj sta ltrou opsuj fucja falowa Ruch ltrou w rstal jao cąst orśla prędość grupowa υ fal ltroowj, tóra jst orśloa wor ω( ω( ω( υ x + + x 1 ( ( ( [ x + + ] (710 x Tu ( - alżość rg ltrou od wtora falowgo d Brogl a: Dla ltrou swobodgo 2 ( p / 2 / 2 (tu sorstalś woru p, gd 2π / λ, a at woru (710 otruj dobr a cha wór p υ ( xx + + (711 W rstal alżość ( a bardj soplowaą postać Borąc pod uwagę (710 aps r 1 ( υ ( x,, (712 t 87
Z woru (712 otruj 1 ( t r (713 Prpuść tra, ż a ltro dała sła wętra F (to oż bć a prład pol ltrc, tóra powoduj prsuęc ltrou o dr Zaa rg ltrou jst rówa prac woaj pr słę, tj d F dr (714 Roważając rgę jao fucję r aps wór (714 w postac d dx + d + d Fx dx + Fd + Fd (715 x Sąd ajduj, ż F (716 r Porówując (713 (716 wd, ż t 1 F (717 Korstając worów (712 ora (717 dla pochodj po cas od sładowjυ prędośc grupowj ltrou (cl dla prspsa a a υ otruj 1 2 j ( 1 υ Fj ( x,, t, (718 j j j j gd j 2 2 (719 ( j awa sę tsor as ftwj Tsor as ftwj jst strc tsor ( j j druggo rędu, a at aws oż bć sprowado do ta wach os 88
główch tsora Zwróć uwagę, ż tsor as ftwj jst orślo w prstr wtorów, cl w prstr sc odwrotj W uład os główch poostają row tlo lt j δ, a at w uład os główch tsora as j ftwj woru (718 otruj F a (720 Rs74 Zalżość as ftwj ltrou od Wór (720 jst podob do rówaa Nwtoa Różca polga a t, ż tra dla ażdj sładowj wtora sł F stj swoja asa ftwa W ż asa 89
( wła aws us bć wloścą dodatą Natoast asa ftwa oż bć ja dodata, ta uja (rs74 Gd < 0 (góra cęść pasa rgtcgo ltro porusa sę ta jab ał ładu dodat Wprowad pojęca as ftwj uożlwa orsta włch worów, cha orślającch ruch ltrou swobodgo, aając w tch worach włą asę a asę ftwą Roas clotroow Za wartość as ftwj ltrou w rstal oża rć, worstując w t clu jawso roasu clotroowgo W polu agtc o ducj B ładu ltrc porusają sę po l śrubowj, tórj oś jst rówolgła do wtora B Rol sł dośrodowj odgrwa tutaj sła Lorta F qbυ qbω r (gd r - proń woju l śrubowj, υ - wartość sładowj prędośc ładuu q, prostopadłj do wtora B Prrówując słę Lorta do sł dośrodowj ( cęstotlwość clotroową wór ω 2 r otruj a ν c ω 2π qb 2π (721 Jżl tra a rstał w ruu prostopadł do B srować ołowo spolarowaą falę ltroagtcą, to dla cęstośc ν ν c astępuję roasow pochłaa rg fal roas clotroow Różca w achowau ujch dodatch ładuów polga a t, ż będą o wrować w prcwch ruach Zając ν C B łatwo oblcć ( q / Zadaa do Władu 7 1 a Udowodć, ż rstał łożo atoów ltu jst prwod b 2 Kofguracja ltroowa aou brlu jst 1s s Ja wtłuacć, ż rstał łożo atoów brlu jst tal 2 Waać, ż w prblżu casgo wąaa w rstal o sc rgularj prstr ctrowaj ( A + 8B [cos( a / 2 cos( a / 2 cos( a / 2] x 3 Korstając wów adaa (72 poaać, ż w poblżu środa sc Brlloua ( A 8B + Ba 90
4 Korstając wów adaa (72 poaać, ż w poblżu aroża sc Brlloua ( A 8B Ba 5 Waać, ż w prblżu casgo wąaa w rstal o sc rgularj powrchowo ctrowaj ( A 4B[cos( xa / 2 cos( a / 2 + + cos( a / 2 cos( a / 2 + cos( a / 2 cos( a / 2] x 6 Korstając wów adaa (75 poaać, ż w poblżu środa sc Brlloua ( A 12B + Ba 7 Korstając wów adaa (75 poaać, ż w poblżu aroża sc Brlloua ( A 12B Ba 8 Waać, ż dla "jdowarowgo" rstału w prblżu casgo wąaa ( A 2B cos( a 9 rga ltrou "jdowarowgo" rstału w prblżu casgo wąaa jst orśloa wor (patr ada 78 ( A 2B cos( a Zalźć asę ftwą ltrou prędość ltrou w paś Prdstawć w grafc 10 W prblżu casgo wąaa w rstal o sc rgularj prstr ctrowaj rga ltrou w poblżu środa sc Brlloua wos (patr ada 73 ( A 8B B a + Zalźć asę ftwą ltrou prędość ltrou w paś Prdstawć w grafc 11 Wprowadć wór (721 rówań cha lascj 12 Powrchę rgtcą ltrou orśla wór 2 + 2 x + 2 2 91
Waać, ż w prpadu, gd stał pol agtc o ducj B jst srowa wdłuż ruu [ 100] cęstość roasu clotroowgo wos B ω C 92