WPŁYW METODY REDUKCJI SZUMU LOSOWEGO NA DOKŁADNOŚĆ PROGNOZ EKONOMICZNYCH SZEREGÓW CZASOWYCH

Sua Ekoomcze. Zezyy Naukowe Uweryeu Ekoomczego w Kaowcach ISSN 2083-86 Nr 227 205 Moka Mśkewcz-Nawrocka Uwerye Ekoomczy w Kaowcach Wyzał Zarzązaa Kaera Maemayk moka.mkewcz@ue.kaowce.pl WPŁYW METODY REDUKCJI SZUMU LOSOWEGO NA DOKŁADNOŚĆ PROGNOZ EKONOMICZNYCH SZEREGÓW CZASOWYCH Srezczee: O momeu pojawea ę w leraurze pojęca eermyczego chaou moża zaoberwować ogromy wzro zaereowaa welu baaczy eorą elowych ukłaów yamczych. Owo zaereowae zaowocowało pojaweem ę owych meo preykcj zeregów czaowych, j. meoy ajwękzego wykłaka Lapuowa oraz meoy ajblżzych ąaów. Rzeczywe zereg czaowe ą zwykle zaburzoe przez zum loowy, kóry może komplkować problem ch progozowaa. Obecość zumu w aych może zacząco wpływać a jakość orzymaych progoz, laego główym celem arykułu bęze ocea okłaośc progozowaa zeregów czaowych poaych proceow reukcj zumu loowego oraz ocea efekywoośc wybraej meoy reukcj. Słowa kluczowe: reukcja zumu loowego, wpółczyk NRL, ajwękzy wykłak Lapuowa, progozowae za pomocą ajwękzego wykłaka Lapuowa, meoa ajblżzych ąaów. Wprowazee Rzeczywe zereg czaowe ( ) kłaają ę z częśc eermyczej zeregu ( y ) oraz częśc ochayczej zeregu ( ε ), kóra wyraża pozom zumu loowego. Reukcja zumu loowego pozwala pozać właośc zeregu. W leraurze moża zaleźć ( ) y a poawe aalzy zeregu oberwacj ( ) klka meo łużących o reukcj pozomu zumu loowego w ukłaach yamczych, a poawowym auem oowaa ych meo wyaje ę poprawa możlwośc progozowaa zeregów czaowych [Mśkewcz-Nawrocka, 203a,

42 Moka Mśkewcz-Nawrocka 203b]. Jeą z ch je meoa ajblżzych ąaów, kóra wywoz ę z eor elowych ukłaów yamczych zoała worzoa o progozowaa przyzłych warośc zeregów czaowych, jeak może być róweż oowaa o reukcj zumu loowego w zeregach czaowych. Efekywość przeprowazoej flracj zeregów czaowych moża oceć w wojak poób, wykorzyując wpółczyk reukcj zumu loowego NRL [Orzezko, 2005] oraz jego zmoyfkowaą werję MNRL [Orzezko, 2008]. Wkaźk e pozwalają pośró przeflrowaych zeregów czaowych wybrać e o ajmejzym pozome zumu loowego. Celem arykułu było zbaae wpływu wyboru meoy reukcj zumu loowego (opoweego wkaźka NRL) meoą ajblżzych ąaów a okłaość progoz orzymaych w wyku zaoowaa meoy ajwękzego wykłaka Lapuowa oraz meoy ajblżzych ąaów. Baaa emprycze przeprowazoo a poawe rzeczywych aych aury ekoomczej zeregów faowych uworzoych z logarymów zeych óp zwrou ce zamkęca wybraych eków geł śwaowych. Dae obejmują okre o 03.0.2000 o 30.04.204. Do przeprowazea ezbęych oblczeń wykorzyao program apay przez auora w języku Delh, arkuz kalkulacyjy Excel oraz program TISEAN.. Rzeczywe zereg czaowe Rzeczywe zereg czaowe moża zefować jako ukłay yamcze X, f opae za pomocą aępujących rówań rekurecyjych [Nowńk, 2007]: ( ) ( + η ) ( ) + x+ = f x, () + = h x + ξ, = 0,,2,... (2) gze: m X R, X przerzeń aów, f : X X fukcja opująca rzeczywą yamkę ukłau, h : X R fukcja pomarowa geerująca zereg czaowy oberwacj ukłau yamczego, x, x+ X a ezaego, perwoego ukłau welowymarowego opoweo w chwlach, +, Darmowy program auorwa H. Kaza T. Schrebera.

Wpływ meoy reukcj zumu loowego a okłaość progoz... 43 oberwacja zeregu czaowego w chwl +, + η zum yamczy wewąrz ukłau, ξ zum pomarowy. W króce, rzeczywy zereg czaowy moża zaem wyrazć jako: = + ε, (3) y gze: oberwacja zeregu czaowego w momece, y część eermycza zeregu czaowego, ε część ochaycza zeregu czaowego (zum loowy kłaający ę z zumu oberwacyjego, yemowego lub ch kombacj). Główą przyczyą wyępowaa zumu oberwacyjego w zeregach czaowych ą błęy pomaru oraz błęy zaokrągleń, aoma zumu yemowego czyk egzogecze wpływające a yamkę ukłau, kórych eyfkacja je emożlwa [Sawck, 993]. 2. Reukcja zumu loowego w rzeczywych zeregach czaowych Jeą ze oowaych meo reukcj zumu loowego je meoa ajblżzych ąaów, kórej poawą je rekorukcja przerze aów [Take, 98]. Rekorukcja pozwala a poawe jeowymarowego zeregu czaowego oberwacj oworzyć przerzeń aów ukłau yamczego. Jeą z ajpopularejzych 2 meo rekorukcj je meoa opóźeń, kóra zoała wprowazoa ezależe przez N.H. Packara [Packar., 980] oraz F. Takea [98]. Elemeam zrekoruowaej przerze aów ą wekory opóźeń, zw. -hore poac [p. Zawazk, 996]: (,..., ), (4) =, τ ( ) τ gze: oberwacja zeregu czaowego w momece, wymar zaurzea, τ opóźee czaowe, ( τ ) + N. 2 Wśró ych meo rekorukcj moża wyróżć aalzę czykową, wprowazoą przez D.S. Broomheaa P. Kga [Broomhea, Kg, 986], oraz meoę pochoych [Packar., 980].

44 Moka Mśkewcz-Nawrocka Wymar zaurzea oraz opóźee czaowe τ mogą być zacowae a klka poobów, poeważ w leraurze e eje jea jeozacza meoa wyzaczea opymalego zeawu ych paramerów, kóra byłaby opowea la wzykch celów [Nowńk, 2007; Orzezko, 2005]. Do zacowaa welkośc opóźea czaowego ajczęścej ouje ę algorymy opare a fukcj auokorelacj [p. Nowńk, 2007,. 88]: ACF N τ N τ ( τ ) = x x τ x x + τ = 0 + =, (5) gze: x, x X +τ ay ukłau opoweo w chwlach, + τ. Jako opymalą warość opóźea wybera ę ę warość τ, la kórej fukcja ACF ( τ ) po raz perwzy przyjmuje warość zero [Ramey., 990,. 999]. Warość wymaru zaurzea powzeche zacuje ę meoą pozorych fałzywych ajblżzych ąaów FNN, wprowazoą przez M.B. Keela, R. Browa, H.D.I. Abarbaela [992; Cao, 200]. Wekory ą fałzywym ajblżzym ąaam, gy przeają ze obą ąaować po zwękzeu wymaru przerze. Jako opymalą warość wymaru zaurzea przyjmuje ę warość, la kórej przy zwękzeu wymaru e pojawą ę ża ow fałzyw ąez [Abarbael, 996; Small, 2005]. Reukcja zumu loowego meoą ajblżzych ąaów, polegająca a wyzaczau warośc y, < < N zeregu czaowego (, 2,..., N ), przebega weług aępującego algorymu [Kaz, Schreber, 2004]:. Dla ozacowaego wymaru zaurzea oraz opóźea czaowego τ = worzymy wekor opóźeń poac: = (,,..., ), (6) ak aby flrowaa oberwacja była jeą ze śrokowych wpółrzęych wekora. 2. Wyzaczamy k ajblżzych ąaów (w ee oległośc eukleowej) wekora, poac: ( ) l(), l( 2),..., l( k ). (7) 3. Na poawe wyzaczoych ąaów, oblczamy warość y jako śreą arymeyczą perwzych wpółrzęych ajblżzych ąaów:

Wpływ meoy reukcj zumu loowego a okłaość progoz... 45 y = k l k = (). (8) Do ocey kueczośc oowaej meoy flracj (reukcj zumu) moża zaoować wpółczyk pozomu reukcj zumu loowego NRL, kóry baa zależość pomęzy łą zumu oawaego o ukłau a rukurą geomeryczą jego arakora. Wpółczyk NRL ay je wzorem [Orzezko, 2005]: NRL ( ) T = = T = D, (9) gze: D ozaczają oległośc -ego wekora opóźeń (-hor) opoweo o jego ajblżzego ajalzego ąaa. Ią marą łużącą o ocey efekywośc reukcj zumu loowego je zmoyfkowaa werja powyżzego wkaźka MNRL zapropoowaa przez W. Orzezko [2008]. Wkaźk MNRL ay je wzorem: MNRL 0 0 am am =, (0) am m m ( ) + 0 0 gze: =, m = oległość -ego wekora opóźeń (-hor) o jego ajblżzego ąaa, am makymala oległość pomęzy wekoram opóźeń prze reukcją zumu, am 0 makymala oległość pomęzy wekoram opóźeń po reukcj zumu. Soowae powyżzych kryerów pozwala a wybór opymalych zeregów czaowych, j. zeregów o ajżzym pozome zumu loowego. W celu ualea akego opymalego zeregu przeprowaza ę reukcję zumu loowego orygalego zeregu la różych wymarów zaurzea oraz różej lośc ajblżzych ąaów wekora. m

46 Moka Mśkewcz-Nawrocka 3. Progozowae zeregów czaowych 3.. Meoa ajwękzego wykłaka Lapuowa LEM Wykłak Lapuowa ą marą wrażlwośc ukłau yamczego a zmaę waruków począkowych. Zgoe z efcją Devaeya [987] Wgga [990] ukła yamczy (X, f ) je wrażlwy a zmaę waruków począkowych, jeżel eje lczba ε > 0, pełająca waruek, że la każego x X oraz la każego ooczea U puku x eją y U oraz, ake że: f ( x) f ( y) > ε, () gze: f je -kroym złożeem owzorowaa f. Wykłak Lapuowa efuje ę jako grace [Zawazk, 996]: λ ( x0 ) = lm l μ (, x0 ), =,..., m, la m, (2) gze: μ (, x 0 ) ą waroścam właym macerzy Jacobego owzorowaa f, f -kroe złożee fukcj f, f fukcja geerująca ukła yamczy. -wymarowy ukła yamczy poaa wykłaków Lapuowa, jeak z prakyczego puku wzea ajważejzy je ajwękzy z wykłaków. Pozwala o a eyfkację chaou w ukłaach yamczych oraz a progozowae przyzłych aów ukłaów yamczych [Mśkewcz-Nawrocka, 202]. W prakyce, la rzeczywych zeregów czaowych, gy e je zaa poać fukcj geerującej f, ajwękzy wykłak Lapuowa zacuje ę a poawe zależośc [Kaz, Schreber, 2004]: jako wpółczyk kerukowy rówaa regrej: max Δ = Δ e, (3) 0 λ lδ, (4) = lδ0 + λmax gze: Δ 0 począkowa oległość pomęzy woma począkowo blkm (w ee meryk eukleowej) pukam zrekoruowaej przerze aów, Δ oległość pomęzy ym pukam po eracjach, λ ajwękzy wykłak Lapuowa. max

Wpływ meoy reukcj zumu loowego a okłaość progoz... 47 Lokale wykłak Lapuowa merzą lokale empo rozbeżośc (lub zbeżośc) ąech rajekor, czyl lokalą chaoyczość ukłau yamczego. Najwękzy lokaly wykłak Lapuowa pozwala określć jak barzo zmea ę (zwękza ę lub zmejza ę) oległość pomęzy beżącym aem x N ukłau a jego ajblżzym ąaem x pocza ewolucj ukłau, a akże ozacować oległość pomęzy wekoram x N + x +. Na poawe ej oległośc wyzacza ę warość progozy x ˆ N + [Guéga, Leroux, 2009; Zhag., 2004]. W przypaku rzeczywych zeregów czaowych, gy ypoujemy jeye jeowymarowym zeregem czaowym złożoym z N oberwacj (, 2,..., N ), wyzaczee progozy za pomocą ajwękzego wykłaka Lapuowa wymaga wcześejzego przeprowazea rekorukcj przerze aów. Spośró wzykch wekorów zrekoruowaej przerze aów wyberamy wekor ajblżzy (w ee oległośc eukleowej) wekorow N ozaczamy przez m. Jeśl Δ m ozacza oległość pomęzy wekoram N m, a Δ oległość pomęzy wekoram N + m+, oraz przyjmując założee, że Δ Δm ulega małym zmaom pocza ewolucj ukłau, o oległość męzy wekoram wyraża ę wzorem [Guéga, Leroux, 2009]: N + m+ gze: λ max je wykłakem Lapuowa. Poeważ: λmax Δ Δ e, (5) m ( ) N,,..., +, (6) + = N + N τ + N ( ) τ progozowaą warość N+ moża wyzaczyć z rówaa (5) jako rozwązae rówaa poac: 2 2 ( z + ) + ( N ) +... + N ( ) τ + ( ) 2 λ 2 max ( ) ( Δ e ) = 0 τ + m. (7) Progoza ˆ N+ może węc przyjmować we warośc [Mśkewcz-Nawrocka, + 202]: ˆN + oraz ˆN +, bęące opoweo przezacowaą eozacowaą waroścą rzeczywego N+. Koleje progozy ˆ N + T, la horyzou progozy T = 2, 3, moża wyzaczyć bezpośreo z zależośc:

48 Moka Mśkewcz-Nawrocka Δ T Δ m e λ T max, (8) gze Δ ozacza oległość pomęzy wekoram m po T krokach eracj, T + czyl pomęzy N + T m T, lub meoą eracyją, oując opaą powyżej proceurę la wekora [Zhag., 2004; Guéga, Leroux, 2009]. N + N 3.2. Meoa ajblżzych ąaów NNM Poawą eoreyczą meoy ajblżzych ąaów je fak, że ay ukłaów eermyczych ewoluują w czae w pooby poób. W przypaku rzeczywych zeregów czaowych, gy e zamy fukcj f opującej yamkę ukłau ypoujemy ylko jeowymarowym zeregem oberwacj (,..., N ), ależy w perwzej kolejośc przeprowazć rekorukcję przerze aów. Jeśl ( ) f ( ) 0 je ajblżzym ąaem puku N, o róweż f T N, a ą wyka, że T 0 N + T 0 + T. Warość 0 + T moża zaem przyjąć jako progozę oberwacj N + T aalzowaego zeregu czaowego [p. Nowńk, 2007]. W meoze ajblżzych ąaów progozę la N + elemeu ˆ N+ zacuje ę jako śreą ważoą oberwacj +, gze wekory ą k ajblżzym ąaam wekora N w zrekoruowaej -wymarowej przerze aów [Kaz, Schreber, 2004]: k N + = = gze: w waga -ego ajblżzego ąaa, ˆ w, (9) + + perwza wpółrzęa wekora + w zrekoruowaej przerze aów. Wag ą oberae w e poób, aby blż ąez mel wękzy wpływ a orzymaą progozę. Wagę -ego ąaa moża węc wyzaczyć weług wzoru [Orzezko, 2005; Chu, Km, Km, 2002]: w = k TOT, (20)

Wpływ meoy reukcj zumu loowego a okłaość progoz... 49 gze: = ozacza oległość męzy wekoram N k = TOT =, =,2,..., k. N, 4. Wpływ reukcj zumu loowego a wyk progoz baae emprycze Przemoem baaa były logarymy zeych óp zwrou eków geł śwaowych: AEX ek geły w Amerame, ATH ek a Gełze Paperów Waroścowych w Aeach, BEL 20 ek a gełze Euroex w Brukel, CAC40 ek a Gełze Paperów Waroścowych w Paryżu (CAC), DAX emeck ek gełowy, FTSE250 ek a Gełze Paperów Waroścowych w Loye (FTM), IBEX ek a Gełze Paperów Waroścowych w Maryce, PX ek a Gełze Paperów Waroścowych w Praze, SAX ek a Gełze Paperów Waroścowych w Brayławe oraz WIG20 ek a Gełze Paperów Waroścowych w Warzawe, poac: x, (2) = l l gze: oberwacja zeregu, oowae w okree 3.0.2000 30.04.204 3. W perwzym eape baaa, la wybraych zeregów czaowych ozacowao paramery rekorukcj przerze aów. Soując fukcję auokorelacj ACF, ozacowao cza opóźeń τ, aoma za pomocą meoy ajblżzego pozorego ąaa FNN, oblczoo wymar zaurzea (ab. 2). Naępe aalzowae zereg czaowe poao proceow reukcj zumu loowego meoą ajblżzych ąaów la opóźea czaowego τ =. W celu ualea opymalych paramerów, j. paramerów, la kórych pozom zumu loowego je ajżzy, po uwagę wzęo aępujące warośc wymaru zaurzea = 2,3,4,5,6,8,0,5, aoma jako ajblżzych ąaów wekora x ualoo wekory z jego ooczea o promeu ρ = 0,00; 0,0; 0, 4. Do ocey pozomu zumu w przeflrowaych zeregach zaoowao wpółczyk NRL oraz MNRL. W ab. przeawoo ajżze warośc mar NRL MNRL oblczoe la aalzowaych zeregów czaowych wraz z opowaającym m waroścam wymaru zaurzea promea ooczea wekora x. 3 4 Dae pochozą z archwum plków roy ereowej ooq.com. Reukcję zumu przeprowazoo przy wykorzyau armowego programu TISEAN auorwa H. Kaza T. Schrebera.

50 Moka Mśkewcz-Nawrocka Tab.. Warośc wpółczyków NRL MNRL la aalzowaych zeregów czaowych Szereg Paramery reukcj Paramery reukcj NRL ρ ρ MNRL AEX 2 0, 0,00047 3 0,,79322 ATH 3 0, 0,002 2 0,,6399 BEL 20 2 0, 0,00038 2 0,,83709 CAC 40 2 0, 0,00056 2 0,,79705 DAX 2 0, 0,00068 2 0,,8455 FTM 3 0, 0,00053 2 0,,93283 IBEX 3 0, 0,00086 3 0,,69669 PX 3 0, 0,00077 2 0,,50632 SAX 4 0, 0,0008 3 0,,59959 WIG20 3 0, 0,00042 3 0,,846 Źróło: [Mśkewcz-Nawrocka, Zeug-Żebro, 204]. Aalzując ae zaware w ab., moża zauważyć, że ajżzym pozomem zumu loowego charakeryzują ę zereg, la kórych w procee reukcj zumu po uwagę wzęo ajblżzych ąaów z ooczea wekora x o promeu rówym 0, oraz wymarze zaurzea 2 lub 3, a w przypaku zeregu SAX wymarze 4. W alzej aalze przeflrowae zereg czaowe ozaczoo ymbolam NazwaSzeregu_re oraz NazwaSzeregu_re2 la zeregów uzykaych opoweo za pomocą wpółczyka NRL oraz MNRL. Symbol NazwaSzeregu_re ozacza aoma przeflrowae zereg, la kórych oując mary NRL MNRL uzykao okłae e ame zereg. Dla przeflrowaych zeregów róweż przeprowazoo rekorukcję przerze aów. Tab. 2 zawera paramery rekorukcj τ la aalzowaych zeregów czaowych prze po procee reukcj zumu. Tab. 2. Paramery rekorukcj przerze aów la baaych zeregów czaowych Szereg Cza opóźeń τ Wymar zaurzea Szereg Cza opóźeń τ Wymar zaurzea AEX 2 6 FTM 9 7 AEX_re 0 2 FTM_re 2 2 AEX_re2 0 2 FTM_re2 2 ATH 20 8 IBEX 9 7 ATH_re 2 2 IBEX_re 4 2 ATH_re2 2 6 PX 7 BEL20 24 6 PX_re 4 2 BEL20_re 4 3 PX_re2 4 7 CAC40 20 8 SAX 3 2 CAC40_re 8 SAX_re 4 2 DAX 3 7 SAX_re2 4 2 DAX_re 8 7 WIG20 3 7 WIG20_re 2 2

Wpływ meoy reukcj zumu loowego a okłaość progoz... 5 Z ozacowaych paramerów τ (ab. 2) wyka, że w wękzośc baaych zeregów proce reukcj zumu pozwala zmejzyć wymar zaurzea zrekoruowaej przerze aów la obu wpółczyków NRL. Wyjąek aową zereg CAC40, DAX PX, la kórych wymar zaurzea przeflrowaych zeregów pozoał a ym amym pozome. W celu wyzaczea progoz za pomocą ajwękzego wykłaka Lapuowa, ozacowao warośc ajwękzego wykłaka Lapuowa la baaych zeregów czaowych. Ozacowae warośc wraz z rówaem regrej przeawoo w ab. 3. Zakem ozaczoo yuacje, w kórych warość wpółczyka eermacj ( R 2 < 0, 3) e pozwolła rakować w warygoy poób ozacowaego wpółczyka kerukowego rówaa regrej jako warośc ajwękzego wykłaka Lapuowa. Tab. 3. Wykłak Lapuowa la baaych zeregów czaowych Szereg Rówae regrej Najwękzy wykłak Lapuowa 2 3 AEX y = 0,002x 4,2778 R 2 = 0,7598 0,002 AEX_re y = 0,0079x 9,0468 R 2 = 0,642 AEX_re2 y = 0,0043x 9,063 R 2 = 0,338 0,0043 ATH y = 0,0029x 4,0993 R 2 = 0,6387 0,0029 ATH_re y = 0,0298x 8,4577 R 2 = 0,437 0,0298 ATH_re2 y = 0,0435x 8,547 R 2 = 0,338 0,0435 BEL20 y = 0,002x 4,4082 R 2 = 0,5347 0,002 BEL20_re y = 0,0389x 0,03 R 2 = 0,5304 0,0389 CAC40 y = 0,00x 4,2342 R 2 = 0,0936 CAC40_re y = 0,020x 9,2654 R 2 = 0,8053 0,020 DAX y = 0,0024x 4,855 R 2 = 0,435 0,0024 DAX_re y = 0,0097x 9,248 R 2 = 0,4685 0,0097 FTM y = 0,003x 4,5538 R 2 = 0,3947 0,003 FTM_re y = 0,0034x 2,983 R 2 = 0,60 0,0034 FTM_re2 y = 0,0026x 3,43 R 2 = 0,497 0,0026 IBEX y = 0,005x 4,24 R 2 = 0,244 0,005

52 Moka Mśkewcz-Nawrocka c. ab. 3 IBEX_re PX PX_re PX_re2 SAX SAX_re SAX_re2 WIG20 WIG20_re 2 3 y = 0,0259x 9,0399 R 2 = 0,6455 0,0259 y = 0,002x 4,2872 R 2 = 0,568 0,002 y = 0,020x 8,559 R 2 = 0,553 0,020 y = 0,0094x 8,556 R 2 = 0,033 0,0094 y = 0,0036x 4,5889 R 2 = 0,4802 0,0036 y = 0,0437x 9,3449 R 2 = 0,4745 0,4745 y = 0,0649x 9,507 R 2 = 0,4653 0,0649 y = 0,00x 4,345 R 2 = 0,3052 0,00 y = 0,0674x 9,965 R 2 = 0,428 0,0674 Z ozacowaych aych przeawoych w ab. 3 wyraźe wać, że warośc ajwękzego wykłaka Lapuowa la przeflrowaych zergów ą zacze wękze ż la zeregów prze reukcją. Doae warośc ajwękzego wykłaka Lapuowa wkazują a ee chaou w baaych zeregach czaowych, a proce flrowaa zeregu powouje zwękzee pozomu chaou. Wyjąek aową zereg DAX, FTM IBEX, la kórych proce reukcj zumu powoował zmaę zaku ajwękzego wykłaka Lapuowa, a zaem charakeru baaego zjawka. Dla zeregu DAX proce flrowaa zeregu okazał ę korzyejzy, poeważ aapła zmaa zaku z a +, kóra ujawła choayczy charaker baaego zjawka, co pozwala a wyzaczee progoz meoą oparą a ajwękzym wykłaku Lapuowa. W przypaku zeregów AEX_re CAC40 ozacoway wpółczyk kerukowy rówaa regrej e może być rakoway jako warość ajwękzego wykłaka Lapuowa ze wzglęu a ką warość wpółczyka eermacj. W kolejym eape baań wyzaczoo progozy meoą oparą a warośc ajwękzego wykłaka Lapuowa LEM oraz meoą ajblżzych ąaów NNM. W celu wyzaczea progoz meoą NNM wzęo po uwagę ( ) k = 2 + ajblżzych ąaów puku x. Ocey okłaośc wyzaczoych progoz okoao aępującym merkam: śrem błęem progozy ME, q śrem aboluym błęem progozy MAE, σ perwakem błęu śreokwaraowego RMSE, σ wzglęym błęem progozy oraz I wpółczykem Thela.

Wpływ meoy reukcj zumu loowego a okłaość progoz... 53 W ab. 4-5 przeawoo błęy preykcj w całym przezale weryfkacj la horyzou progozy rówego 0, uzykae meoą LEM la przezacowaych (LEM+) eozacowaych (LEM ) progoz. Zakem ozaczoo yuacje, w kórych wyzaczee progozy meoą LEM było emożlwe ze wzglęu a ujemą lub ewarygoą warość ajwękzego wykłaka Lapuowa. Tab. 4. Błęy progoz w całym przezale weryfkacj uzykaych meoą LEM+ la baaych zeregów czaowych Szereg q σ σ' I AEX 0,0709 0,0998 0,02265,50335,63428 AEX_re AEX_re2 0,00245 0,00058 0,0067,87774,02587 ATH 0,0000 0,0000 0,0003 0,4823 0,47969 ATH_re 0,047 0,0038 0,00966 6,3582,00679 ATH_re2 0,00097 0,00022 0,00025 0,7835 0,35050 BEL 0,0285 0,02858 0,0352 2,40726 5,97075 BEL_re 0,0002 0,0002 0,0003 0,20488 29,4826 CAC CAC_re 0,00057 0,0003 0,0004 0,757 2,08460 DAX DAX_re 0,00047 0,0000 0,0002 0,9270 2,32322 FTM 0,098 0,02207 0,02658 2,4025 3,88767 FTM_re FTM_re2 IBEX 0,02807 0,02807 0,0359 2,053 0,43686 IBEX_re PX 0,03629 0,03629 0,03805 2,56992 35,06027 PX_re 0,00023 0,0003 0,00028 0,074 0,49588 PX_re2 0,00042 0,00008 0,0000 0,04490 0,23653 SAX 0,03999 0,0427 0,04785 3,93994 7,50442 SAX_re 0,00485 0,004 0,00326 2,44370 0,9425 SAX_re2 0,00475 0,00 0,00326 2,4562 0,9408 WIG20 0,02996 0,03533 0,03700 2,3092 9,4853 WIG20_re 0,00295 0,0006 0,0065 3,0345,07620

54 Moka Mśkewcz-Nawrocka Tab. 5. Błęy progoz w całym przezale weryfkacj uzykaych meoą LEM la baaych zeregów czaowych Szereg q σ σ' I AEX 0,02237 0,02237 0,0253,66822 4,32594 AEX_re AEX_re2 0,00056 0,00058 0,0067,87733,0254 ATH 0,0003 0,0004 0,0008 0,2043 0,925 ATH_re 0,003 0,0039 0,0098 6,4328,0380 ATH_re2 0,0009 0,0009 0,00024 0,655 0,30055 BEL20 0,02658 0,02658 0,02864 2,8738 3,8636 BEL20_re 0,0005 0,0005 0,0009 0,29880 62,0007 CAC40 CAC40_re 0,0002 0,0003 0,0004 0,7207,9996 DAX DAX_re 0,0006 0,0006 0,0008 0,29784 5,55002 FTM 0,0942 0,02033 0,0242 2,8850,52373 FTM_re FTM_re2 IBEX 0,02583 0,02583 0,02802,82082 8,20872 IBEX_re PX 0,02864 0,02864 0,03227 2,793 25,2238 PX_re 0,0000 0,0003 0,00029 0,269 0,54584 PX_re2 0,00009 0,00009 0,0000 0,04373 0,22434 SAX 0,0447 0,0447 0,04507 3,758 6,65970 SAX_re 0,000 0,003 0,00326 2,44429 0,9470 SAX_re2 0,0005 0,000 0,00326 2,45770 0,94202 WIG20 0,030 0,030 0,03254 2,03073 5,0660 WIG20_re 0,00049 0,00055 0,0055 2,85466 0,95433 Aalzując błęy progoz orzymae meoą LEM+ oraz LEM (ab. 4-5), ależy zauważyć, że la wękzośc braych po uwagę zeregów (AEX, BEL20, PX, SAX, WIG20) błęy progoz uzykae meoą LEM+ oraz LEM la zeregów przeflrowaych ą zecyowae mejze o błęów uzykaych la zeregów prze reukcją. Wyjąek aow zereg ATH, kóry charakeryzuje ę mejzym błęam progoz prze flracją. Ze wzglęu a ewarygoe warośc ajwękzego wykłaka Lapuowa la zeregów AEX_re CAC40 oraz ujeme warośc ajwękzego wykłaka Lapuowa la zeregów DAX, FTM_re, FTM_re2 IBEX_re e moża porówać okłaośc progoz ych zeregów prze po reukcj.

Wpływ meoy reukcj zumu loowego a okłaość progoz... 55 Porówując wyk błęów progoz uzykae meoam LEM+ oraz LEM la zeregów przeflrowaych za pomocą wpółczyka NRL oraz MNRL (zereg ATH, PX, SAX w ab. 4-5), moża werzć, że okłaejze wyk uzykao la zeregów flrowaych z użycem mary MNRL. Błęy progozy la zeregów NazwaSzeregu_re2 ą zecyowae mejze ż la zeregów NazwaSzeregu_re, z wyjąkem zeregów SAX_re SAX_re2, la kórych warośc błęów ą barzo zblżoe. W ab. 6 przeawoo błęy preykcj w całym przezale weryfkacj la horyzou progozy rówego 0, uzykae meoą NNM. Tab. 6. Błęy progoz w całym przezale weryfkacj uzykaych meoą NNM la baaych zeregów czaowych Szereg q σ σ' I AEX 0,00300 0,00644 0,0079 0,4775,7378 AEX_re 0,0002 0,00005 0,00006 0,06435 0,4745 AEX_re2 0,00265 0,00058 0,0069,89630,04624 ATH 0,0024 0,00293 0,00364 4,09826 366,66330 ATH_re 0,0522 0,0035 0,00968 6,32765,0057 ATH_re2 0,0003 0,0002 0,0003 0,09442 0,09824 BEL20 0,00068 0,00673 0,0088 0,6728,24758 BEL20_re 0,00008 0,00009 0,0006 0,24508 4,70855 CAC40 0,00077 0,00699 0,00806 0,52906 0,86057 CAC40_re 0,00006 0,00005 0,00005 0,06220 0,269 DAX 0,00089 0,0090 0,0266 0,8052,0909 DAX_re 0,0005 0,00005 0,00005 0,08889 0,49428 FTM 0,00203 0,00705 0,00796 0,7904,24397 FTM_re 0,0025 0,00055 0,0066 8,22344,07690 FTM_re2 0,00003 0,0000 0,0000 0,06547 0,00223 IBEX 0,00434 0,0099 0,049 0,74686,3809 IBEX_re 0,0092 0,00662 0,00897 0,58306,06094 PX 0,00202 0,0044 0,0057 0,38546 0,78873 PX_re 0,00038 0,0002 0,00026 0,0086 0,43725 PX_re2 0,00000 0,00002 0,00003 0,0392 0,02272 SAX 0,00323 0,0234 0,0784,46875,04288 SAX_re 0,00692 0,00329 0,00546 4,08723 2,63309 SAX_re2 0,00879 0,00297 0,00533 4,0509 2,545 WIG20 0,00043 0,00863 0,0085 0,67736,67624 WIG20_re 0,0004 0,00078 0,0066 3,06279,09856

56 Moka Mśkewcz-Nawrocka Na poawe ozacowaych błęów progoz meoą NNM przeawoych w ab. 5 moża zauważyć, że we wzykch rozważaych przypakach błęy progoz uzykae la zeregów po reukcj zumu ą zecyowae mejze ż la zeregów prze reukcją. Oceając efekywość progozowaa ze wzglęu a wpływ mar NRL MNRL, ależy werzć, że la prawe wzykch baaych zeregów reukcja z wykorzyaem wpółczyka MNRL ała lepze rezulay, j. okłaejze progozy charakeryzujące ę mejzym błęam. Wyjąek aow zereg AEX, la kórego ajokłaejze progozy uzykao po flracj za pomocą mary NRL. Oczywśce w przypaku zeregów BEL20, CAC40, DAX, IBEX WIG20 ależy wokować, że zarówo wpółczyk NRL, jak wpółczyk MNRL ały ak amo obre (e ame) wyk progoz, poeważ w obu przypakach w procee flracj wyłooo e ame zereg czaowe. Poumowae W opracowau zbaao wpływ meo reukcj zumu loowego ze wzglęu a wybray wpółczyk NRL lub MNRL a okłaość progoz wybraych faowych zeregów czaowych. Na poawe przeprowazoych baań moża werzć, że la prawe wzykch baaych zeregów błęy progoz ex po uzykae la zeregów, w kórych zaoowao reukcję zumu ą zecyowae żze o progoz orzymaych la zeregów eprzeflrowaych. Porówując okłaość progozowaa ze wzglęu a wpływ mar NRL MNRL, ależy werzć, że la prawe wzykch baaych zeregów proce reukcj zumu z wykorzyaem wpółczyka MNRL przyół okłaejze progozy, charakeryzujące ę mejzym błęam. Doakowo ależy zazaczyć, że w ekórych przypakach reukcja zumu loowego a poawe wpółczyka NRL pozwolła uzykać okłae e ame wyk co proce reukcj z wykorzyaem jego zmoyfkowaej werj MNRL. Waro zauważyć, że warośc progoz wyzaczoych wpomaym meoam w użej merze zależą o przyjęej meryk, wag ajblżzego ąaa, warośc paramerów zrekoruowaej przerze aów oraz lczby ajblżzych ąaów. Wyaje ę zaem, że w celu poprawy jakośc ych progoz moża przeprowazć oakowe baaa, zmeając wpomae paramery.

Wpływ meoy reukcj zumu loowego a okłaość progoz... 57 Leraura Abarbael H.D. (996), Aaly of Oberve Chaoc Daa, Sprger Verlag, Berl, Heelberg, New York. Broomhea D.S., Kg P. (986), Exracg Qualave Dyamc from Expermeal Daa, Phyca D, Vol. 20,. 27-236. Cao L. (200), Meho of Fale Neare Neghbor [w:] A.S. Soof, L. Cao, re., Moelg a Forecag Facal Daa, Kluwer, Boo. Chu S.H., Km K.J., Km S.H. (2002), Chaoc Aaly of Precably veru Kowlege Dcovery Techque: Cae Suy of he Polh Sock Marke, Exper Syem, Vol. 9, No. 5,. 264-272. Devaey R.L. (987), A Irouco o Chaoc Dyamcal Syem, Ao-Weley Publhg Compay, Rewoo Cy. Guéga D., Leroux J. (2009), Forecag Chaoc Syem: The Role of Local Lyapuov Expoe, Chao, Solo & Fracal, Vol. 4,. 240-2404. Kaz H., Schreber T. (2004), Nolear Tme Sere Aaly, Cambrge Uvery Pre, Cambrge. Keel M.B., Brow R., Abarbael H.D.I. (992), Deermg Embeg Dmeo for Phae Space Recoruco Ug a Geomercal Coruco, Phycal Revew A 992, Vol. 45(6),. 3404-34. Mśkewcz-Nawrocka M. (202), Zaoowae wykłaków Lapuowa o aalzy ekoomczych zeregów czaowych, Wyawcwo UE, Kaowce. Mśkewcz-Nawrocka M. (203a), The Applcao of Raom Noe Reuco by Neare Neghbor Meho of Forecag of Ecoomc Tme Sere, Fola Oecoomca Seea, 3(2) 203/2, Wyawcwo Naukowe Uweryeu Szczecńkego,. 96-08. Mśkewcz-Nawrocka M. (203b), Wpływ reukcj zumu loowego meoa ajblżzych ąaów a wyk progoz orzymaych za pomocą ajwękzego wykłaka Lapuowa, Sua Ekoomcze, r 59, Wyawcwo UE, Kaowce,. 82-98. Mśkewcz-Nawrocka M., Zeug-Żebro K. (204), The Effec of he NRL Icaor o he Accuracy of Facal Sere Foreca, Coferece Proceeg. 32 Ieraoal Coferece Mahemacal Meho Ecoomc MME 204, Olomouc. Nowńk M. (2007), Nelowa yamka zeregów czaowych, Wyawcwo AE, Wrocław. Orzezko W. (2005), Ieyfkacja progozowae chaou eermyczego w ekoomczych zeregach czaowych, PTE, Warzawa. Orzezko W. (2008), The New Meho of Meaurg he Effec of Noe Reuco Chaoc Daa, Chao, Solo a Fracal, 38,. 355-368. Packar N.H., Cruchfel J.P., Farmer J.D., Shaw R.S. (980), Geomery from a Tme Sere, Phycal Revew Leer, Vol. 45,. 72-76.

58 Moka Mśkewcz-Nawrocka Ramey J.B., Sayer C.L., Rohma P. (990), The Sacal Propere of Dmeo Calculao Ug Small Daa Se: Some Ecoomc Applcao, Ieraoal Ecoomc Revew, 3, No. 4. Small M. (2005), Apple Nolear Tme Sere Aaly. Applcao Phyc, Phyology a Face, Worl Scefc Sere o Nolear Scece, Sere A, Vol. 52, Worl Scefc Publhg Co. Pe. L., Sgapore. Sawck J. (993), Meoy flracj w moelowau proceów ekoomczych, Wyawcwo Uweryeu Mkołaja Koperka, Toruń. Take F. (98), Deecg Srage Aracor Turbulece [w:] D.A. Ra, L.S. Youg, Lecure Noe Mahemac, Sprger, Berl,. 366-38. Wgg S. (990), Irouco o Apple Nolear Dyamcal Syem a Chao, Sprger-Verlag, New York, Berl, Heelberg. Zawazk H. (996), Chaoycze yemy yamcze, Wyawcwo AE, Kaowce. Zhag J., Lam K.C., Ya W.J., Gao H., L Y. (2004), Tme Sere Preco Ug Lyapuov Expoe Embeg Phae Space, Compuer a Elecrcal Egeerg, 30,. -5. THE EFFECT OF RANDOM NOISE REDUCTION METHOD ON THE ACCURACY OF FORECASTING ECONOMIC TIME SERIES Summary: Sce he eermc chao appeare he leraure, we have oberve a huge creae of ere olear yamc yem heory amog reearcher. Th ere ha le o he creao of ew meho of me ere preco, e.g. he meho of he large Lyapuov expoe a he eare eghbor. Real me ere are uually urbe by raom oe, whch ca complcae he problem of me ere forecag. A he preece of oe he aa ca gfcaly affec he qualy of foreca, he am of he arcle o evaluae he accuracy of precg he me ere flere ug he eare eghbor meho a he effecvee of he choe meho of reuco. Keywor: raom oe reuco, NRL caor large Lyapuov expoe, Lyapuov expoe meho of preco, eare eghbor meho, ae pace recoruco.