Dynamika układów hydraulicznych. dr hab. inż. Krzysztof Patan



Podobne dokumenty
PODSTAWOWE CZŁONY DYNAMICZNE

Dynamika układów mechanicznych. dr hab. inż. Krzysztof Patan

MECHANIKA PŁYNÓW Płyn

Zastosowania Równania Bernoullego - zadania

Techniki symulacji w budowie maszyn

STATYKA I DYNAMIKA PŁYNÓW (CIECZE I GAZY)

Zadanie 1. Zadanie 2.

Nieustalony wypływ cieczy ze zbiornika przewodami o różnej średnicy i długości

Grupa 1 1.1). Obliczyć średnicę zastępczą przewodu o przekroju prostokątnym o długości boków A i B=2A wypełnionego wodą w 75%. Przewód ułożony jest w

Laboratorium. Hydrostatyczne Układy Napędowe

J. Szantyr Wykład nr 26 Przepływy w przewodach zamkniętych II

Ćwiczenie Nr 2. Temat: Zaprojektowanie i praktyczna realizacja prostych hydraulicznych układów sterujących i napędów

Urządzenia nastawcze

Sposoby modelowania układów dynamicznych. Pytania

WYKŁAD 10 METODY POMIARU PRĘDKOŚCI, STRUMIENIA OBJĘTOŚCI I STRUMIENIA MASY W PŁYNACH

Transmitancje układów ciągłych

MECHANIKA PŁYNÓW LABORATORIUM

dn dt C= d ( pv ) = d dt dt (nrt )= kt Przepływ gazu Pompowanie przez przewód o przewodności G zbiornik przewód pompa C A , p 1 , S , p 2 , S E C B

Podstawy Automatyki. Wykład 2 - podstawy matematyczne. dr inż. Jakub Możaryn. Warszawa, Instytut Automatyki i Robotyki

[ ] ρ m. Wykłady z Hydrauliki - dr inż. Paweł Zawadzki, KIWIS WYKŁAD WPROWADZENIE 1.1. Definicje wstępne

POLITECHNIKA WROCŁAWSKA, INSTYTUT INŻYNIERII BIOMEDYCZNEJ I POMIAROWEJ LABORATORIUM POMIARÓW WIELKOŚCI NIEELEKTRYCZNYCH I-21

Gęstość i ciśnienie. Gęstość płynu jest równa. Gęstość jest wielkością skalarną; jej jednostką w układzie SI jest [kg/m 3 ]

Opory przepływu powietrza w instalacji wentylacyjnej

Aerodynamika i mechanika lotu

Ćw. M 12 Pomiar współczynnika lepkości cieczy metodą Stokesa i za pomocą wiskozymetru Ostwalda.

09 - Dobór siłownika i zaworu. - Opór przepływu w przewodzie - Dobór rozmiaru zaworu - Dobór rozmiaru siłownika

Wprowadzenie. Napędy hydrauliczne są to urządzenia służące do przekazywania energii mechanicznej z miejsca jej wytwarzania do urządzenia napędzanego.

Rys.1. Zwężki znormalizowane: a) kryza, b) dysza, c) dysza Venturiego [2].

Ćwiczenie N 13 ROZKŁAD CIŚNIENIA WZDŁUś ZWĘśKI VENTURIEGO

Zajęcia laboratoryjne

Hydrostatyczne Układy Napędowe Laboratorium

dr inż. Piotr Pawełko / Przed przystąpieniem do realizacji ćwiczenia patrz punkt 6!!!

Parametry układu pompowego oraz jego bilans energetyczny

Automatyka i robotyka ETP2005L. Laboratorium semestr zimowy

Podstawy Procesów i Konstrukcji Inżynierskich. Dynamika

MECHANIKA II. Dynamika ruchu obrotowego bryły sztywnej

przy warunkach początkowych: 0 = 0, 0 = 0

OBLICZENIA SILNIKA TURBINOWEGO ODRZUTOWEGO (rzeczywistego) PRACA W WARUNKACH STATYCZNYCH. Opracował. Dr inż. Robert Jakubowski

Laboratorium komputerowe z wybranych zagadnień mechaniki płynów

POMIAR STRUMIENIA PŁYNU ZA POMOCĄ ZWĘŻEK.

Procedura modelowania matematycznego

RÓWNANIE MOMENTÓW PĘDU STRUMIENIA

Politechnika Gdańska Wydział Elektrotechniki i Automatyki Katedra Inżynierii Systemów Sterowania

Prędkości cieczy w rurce są odwrotnie proporcjonalne do powierzchni przekrojów rurki.

Podstawy Automatyki. Wykład 2 - modelowanie matematyczne układów dynamicznych. dr inż. Jakub Możaryn. Warszawa, Instytut Automatyki i Robotyki

Statyka płynów - zadania

J. Szantyr Wykład nr 27 Przepływy w kanałach otwartych I

Podstawowe człony dynamiczne. dr hab. inż. Krzysztof Patan

Równania różniczkowe opisujące ruch fotela z pilotem:

Zajęcia laboratoryjne

Podstawy Automatyki. Wykład 2 - modelowanie matematyczne układów dynamicznych. dr inż. Jakub Możaryn. Warszawa, Instytut Automatyki i Robotyki

BADANIE WYPŁYWU CIECZY ZE ZBIORNIKA

WYDZIAŁ PPT / KATEDRA INŻYNIERII BIOMEDYCZNE D-1 LABORATORIUM Z MIERNICTWA I AUTOMATYKI Ćwiczenie nr 11. Pomiar przepływu (zwężka)

Zasada działania maszyny przepływowej.

Ćwiczenie 2: Wyznaczanie gęstości i lepkości płynów nieniutonowskich

ĆWICZENIE I POMIAR STRUMIENIA OBJĘTOŚCI POWIETRZA. OPORY PRZEPŁYWU PRZEWODÓW WENTYLACYJNYCH

Wprowadzenie. - Napęd pneumatyczny. - Sterowanie pneumatyczne

Opis systemów dynamicznych w przestrzeni stanu. Wojciech Kurek , Gdańsk

Podstawy Automatyki. Wykład 2 - matematyczne modelowanie układów dynamicznych. dr inż. Jakub Możaryn. Warszawa, Instytut Automatyki i Robotyki

PIERWSZEGO. METODA CZYNNIKA CAŁKUJĄCEGO. METODA ROZDZIELONYCH ZMIENNYCH.

WIROWANIE. 1. Wprowadzenie

Oddziaływania. Wszystkie oddziaływania są wzajemne jeżeli jedno ciało działa na drugie, to drugie ciało oddziałuje na pierwsze.

Podstawy fizyki sezon 1 IX. Mechanika płynów

Podstawy Automatyki. Wykład 3 - charakterystyki częstotliwościowe, podstawowe człony dynamiczne. dr inż. Jakub Możaryn. Instytut Automatyki i Robotyki

J. Szantyr - Wykład 3 Równowaga płynu

Pomiar natężenia przepływu płynów ściśliwych metodą zwężki pomiarowej

18. Siły bezwładności Siła bezwładności w ruchu postępowych Siła odśrodkowa bezwładności Siła Coriolisa

Napęd pojęcia podstawowe

Politechnika Wrocławska, Wydział Informatyki i Zarządzania. Modelowanie

Sterowanie Napędów Maszyn i Robotów

Przekształcanie schematów blokowych. Podczas ćwiczenia poruszane będą następujące zagadnienia:

Sterowanie Napędów Maszyn i Robotów

Podstawy Automatyki. Wykład 3 - charakterystyki częstotliwościowe, podstawowe człony dynamiczne. dr inż. Jakub Możaryn. Instytut Automatyki i Robotyki

MECHANIKA PŁYNÓW - LABORATORIUM

INSTYTUT INŻYNIERII ŚRODOWISKA ZAKŁAD GEOINŻYNIERII I REKULTYWACJI ĆWICZENIE NR 7 BADANIE POMPY II

LABORATORIUM TERMODYNAMIKI I TECHNIKI CIEPLNEJ. Badanie charakterystyki wentylatorów połączenie równoległe i szeregowe. dr inż.

Technika regulacji automatycznej

Temat /6/: DYNAMIKA UKŁADÓW HYDRAULICZNYCH. WIADOMOŚCI PODSTAWOWE.

WPŁYW POWŁOKI POWIERZCHNI WEWNĘTRZNEJ RUR PRZEWODOWYCH NA EKSPLOATACJĘ RUROCIĄGU. Przygotował: Dr inż. Marian Mikoś

Termodynamika. Część 12. Procesy transportu. Janusz Brzychczyk, Instytut Fizyki UJ

Ćwiczenia laboratoryjne z przedmiotu : Napędy Elektryczne, Hydrauliczne i Pneumatyczne

Podstawy fizyki wykład 5

Spotkania z fizyka 2. Rozkład materiału nauczania (propozycja)

, (2.1) A powierzchnia przekroju zbiornika, Równanie bilansu masy cieczy w zbiorniku ma postać. , gdzie: q i dopływ,

Straty energii podczas przepływu wody przez rurociąg

Podstawy Automatyki. wykład 1 ( ) mgr inż. Łukasz Dworzak. Politechnika Wrocławska. Instytut Technologii Maszyn i Automatyzacji (I-24)

WYKŁAD 8B PRZEPŁYWY CIECZY LEPKIEJ W RUROCIĄGACH

STRATY ENERGII. (1) 1. Wprowadzenie.

Politechnika Warszawska Wydział Samochodów i Maszyn Roboczych Instytut Podstaw Budowy Maszyn Zakład Mechaniki

MECHANIKA 2. Drgania punktu materialnego. Wykład Nr 8. Prowadzący: dr Krzysztof Polko

Statyka Cieczy i Gazów. Temat : Podstawy teorii kinetyczno-molekularnej budowy ciał

J. Szantyr Wykład 2 - Podstawy teorii wirnikowych maszyn przepływowych

Ćwiczenie 2: Wyznaczanie gęstości i lepkości płynów. Rodzaje przepływów.

Ćwiczenie laboratoryjne nr 4 (w24) BADANIE PROFILU CIŚNIENIA I NATĘŻENIA PRZEPŁYWU GAZÓW W RUROCIĄGU

POLITECHNIKA ŁÓDZKA INSTRUKCJA Z LABORATORIUM W ZAKŁADZIE BIOFIZYKI. Ćwiczenie 5 POMIAR WZGLĘDNEJ LEPKOŚCI CIECZY PRZY UŻYCIU

Politechnika Gdańska Wydział Elektrotechniki i Automatyki Katedra Inżynierii Systemów Sterowania. Podstawy Automatyki

Zajęcia laboratoryjne

WYZNACZANIE WSPÓŁCZYNNIKA LEPKOŚCI CIECZY

LABORATORIUM MECHANIKI PŁYNÓW

Fizyka dla Informatyków Wykład 8 Mechanika cieczy i gazów

Transkrypt:

Dynamika układów hydraulicznych dr hab. inż. Krzysztof Patan

Wprowadzenie Modele układów hydraulicznych opisują mechanikę ruchu cieczy w obwodach zawierających zbiorniki i elementy przepływowe w postaci rur,zaworów, zwężek Ciecze poruszają się pod wpływem sił, np. siły grawitacji lub różnicy ciśnień item Natężenie przepływu f(t) szybkość przepływu cieczy przez dany przekrój obiektu jednostka objętości na jednostkę czasu [m 3 /s] f(t) = dv jednostka masy na jednostkę czasu [kg/s] (w przypadku zmiany gęstości przepływającego płynu) f(t) = dm Ciśnienie płynu p(t)[pa] ilorazem siły F (t) i powierzchni A, na którą działa p(t) = F (t) A

Źródła ciśnienia i przepływu Idealne źródło ciśnienia wytwarza stałą różnicę ciśnień niezależnie od natężenia przepływu w układzie p(t) = p s (t) f(t) Idealne źródło przepływu wymusza stałe natężenie przepływu bez względu na różnicę ciśnień w układzie f(t) = f s (t) p(t) Przykłady źródeł ciśnienia i przepływu: pompa, wieża ciśnień Idealne źródła hydrauliczne można zrealizować stosując ukłądy regulacji, które utrzymują stałą różnicę ciśnień czy natężenia przepływu

W rzeczywistych warunkach charakterystyka typowej pompy jest nieliniowa Charakterystyka pompy (a) i jej aproksymacja (b ) p p ω 2 ω 1 ω 3 p 0 p(t) (a) f (b) f 0 f Charakterystykę pompy można przybliżyć zależnością p(t) = p 0 1 f(t) f 0

Opór hydrauliczny Opór przepływu jest spowodowany lepkością cieczy, która sprawia, że podczas ruchu cząsteczek cieczy wystepuje zjawisko podobne w skutkach do tarcia R f R opór hydrauliczny f(t) natężenie przepływu p 1 p 2 p 1 (t) ciśnienie na wlocie elementu p 2 (t) ciśnienie na wylocie elementu p p = p 1 p 2 Opór hydrauliczny powoduje staty ciśnienia i wyraża się wzorem R = f(t) p = f(t) p 1 (t) p 2 (t) Opór hydrauliczny jest stały tylko przy przepływie laminarnym (wartwowym) kiedy strugi cieczy płyną niezależnie od siebie Przy przepływie turbulentny (burzliwym) strugi cieczy mieszają sie tworząc wiry i opór jest większy niż w przypadku przepływu laminarnego

Opór przewodu l p 1 p 2 v r p p = p 1 p 2 l, r długość i promień przekroju przewodu v(t) prędkość przepływu f(t) natężenie przepływu p 1 (t) ciśnienie na wlocie elementu p 2 (t) ciśnienie na wylocie elementu przewody łączące elementy układów hydraulicznych wprowadzają znaczny opór powodujący stratę ciśnienia przy przepływie cieczy o gęstości ρ przez odcinek przewodu o długości l i promieniu przekroju r strata ciśnienia l ρ p(t) = b t r 2 v2 (t) gdzie b t współczynnik tarcia zależny od charakteru przepływu

właściwości współczynnika tarcia powodują inne ralacje pomiędzy natężeniem przepływu, a różnicą ciśnień dla przepływu laminarnego i turbulentnego dla przepływu laminarnego dla przepływu turbulentnego p(t) = Rf(t) p(t) = Rf 2 (t) w rzeczywistych układach przepływ jest z reguły turbulentny

Pojemność ściśliwości Ciecze rzeczywiste wykazują pewną sprężystość objętościową którą opisuje prawo Hooka Prawo Hooka Ciecz, która pod ciśnieniem p zajmowala posiadała objętość V, pod ciśnieniem p + dp będzie miała objętość V dv dp = K dv V gdzie K moduł sprężystości objętościowej [Pa]. Sprężystość może wykazywać także aparatura (zbiorniki, przeowdy); pod wpływem wewnętrznego ciśnienia aparatura ulega rozszerzeniu dp = K a dv gdzie K a sprężystość aparatury [Pa/m 3 ]

Bezwładność cieczy l p 1 p 2 v A p p = p 1 p 2 l długość przewodu A pole powierzchni przekroju przewodu v(t) prędkość przepływu f(t) natężenie przepływu p 1 (t) ciśnienie na wlocie elementu p 2 (t) ciśnienie na wylocie elementu bezwładność cieczy wynika z jej masy i ujawnia się kiedy siła wymusza przyspieszenie ruchu cieczy siła bezwładności F (t) = ma(t) = ρla dv(t) = ρl df(t) siła wynika z różnicy ciśnień F (t) = p(t)a ostatecznie gdzie M = ρl A p(t) = M df(t) współczynnik bezwładności

Transformacja ciśnienia i siły Prasa hydrauliczna A 1 p F 1 F 2 A 2 A 1, A 2 powierzchnie tłoków F 1 (t) siła zewnętrzna F 2 (t) siła tłoka o pow. A 2 p(t) ciśnienie w prasie Prasa hydrauliczna umożliwia przeniesienie i zmianę siły za pomocą układu hydraulicznego Siła F 1 (t) powoduje, że tłok o pow. A 1 przesuwa się do środka prasy o odcinek x 1 Tłok o pow. A 2 przesuwa się na zewnątrz o odcinek x 2 (t)

Zakładając nieściśliwość cieczy po obu stronach prasy przesuwa się taka sama objętość cieczy A 1 x 1 (t) = A 2 x 2 (t) Pomijając lepkość cieczy praca wykonana przez siłę F 1 (t) jest taka sama jak praca wykonana przez siłę F 2 (t) Stąd F 1 (t)x 1 (t) = F 2 (t)x 2 (t) F 2 (t) A 2 = F 1(t) A 1 = p(t) Ciśnienie działające na oba tłoki jest takie samo

Przekładnia tłokowa v p f 2 1 p1 A1 A 2 f 2 A 1, A 2 powierzchnie tłoków f 1 (t) przepływ wejściowy f 2 (t) przepływ wyjściowy p 1 (t), p 2 (t) ciśnienie w komorach v(t) prędkość ruchu tłoków Przekładnia tłokowa umożliwia zmianę i przeniesienie ciśnienia pomiędzy układami hydraulicznymi polączonymi mechanicznie Przepływ f 1 (t) powoduje ruch tłoka z prędkością v(t) f 1 (t) = A 1 v(t) Tłoki połączone są mechanicznie drugi tłok porusza się z taką samą prędkością f 2 (t) = A 2 v(t)

Wykorzystując obie zależnośći opisujące przepływy uzyskujemy f 1 (t) A 1 = f 2(t) A 2 W idealnej przekładni praca wykonana po obu stronach jest taka sama (nie ma strat) p 1 (t)f 1 (t) = p 2 (t)f 2 (t) Stąd p 1 (t) p 2 (t) = A 2 A 1

Dynamika cieczy doskonałej Równanie ciągłości Równanie ciągłości opisuje ruch cieczy w obwodzie o zmiennym przekroju W każdej chwili objętości V 1 (t) i V 2 (t) przepływające przez różne przekroje obwodu muszą być jednakowe V 1 (t) = V 2 (t) dv 1(t) = dv 2(t) Uwzględniając przekroje obwodu A 1 v 1 (t) = A 2 v 2 (t) gdzie v 1, v 2 prędkość cieczy w odpowiednich przekrojach Z równania ciągłości wynika, że w przewężeniach ciecz płynie szybkiej

Stan równowagi dynamicznej Stan równowagi dynamicznej opisuje ruch cieczy w przewodzie o zmiennym przekroju, położonym na różnych wysokościach Równanie Bernoullego p + ρv2 2 + ρgh = const gdzie p ciśnienia statyczne, ρv2 2 ciśnienie dynamiczne, ρgh cisnienie podnoszenia (g przyspieszenie ziemskie) Równanie Bernoullego opisuje związek pomiędzy ciśnieniem, prędkością i wysokością przepływającej cieczy

Zbiorniki Zbiorniki o różnych kształtach i sztywnej konstrukcji są typowym elementem układów hydraulicznych Bilans zbiornika f u V f y f u Różnica natężenia przepływu V f y f u(t) przepływ wejściowy f y(t) przepływ wyjściowy V (t) objętość cieczy f(t) = f u (t) f y (t) = dv Jeśli zbiornik jest prostopadłościanem f(t) = f u (t) f y (t) = dv = Adh(t) gdzie A pole powierzchni dna zbiornika, h(t) wysokość napełnienia

Zbiornik ze swobodnym wypływem dv h V h V A y f y Wypływ swobodny ciecz wypływa ze zbiornika pod wpływem własnego ciężaru Objętość cieczy wypływającej ze zbiornika przez otwór o powierzchni A y dv (t) = A y dl dl = dv (t) A y Ciecz wypływająca zyskuje energię kinetyczną kosztem energii potencjalnej cieczy w zbiorniku (równanie Bernoullego) ρgh(t) = ρv2 (t) 2 v(t) = 2gh(t) dl f y

v(t) = dl dv (t) = = 2gh(t) A y dv (t) = A y 2gh(t) = fy (t) natężenie przepływu nie zależy od kształtu zbiornika, ale od powierzchni otworu wyjściowego i poziomu cieczy w przypadku zbiornika zamknętego należy jeszcze wziąć pod uwagę ciśnienie cieczy w zbiorniku p(t) + ρgh(t) = ρv2 (t) 2p(t) v(t) = + 2gh(t) 2 ρ stąd 2p(t) f y (t) = A y + 2gh(t) ρ

Zbiornik zasilany cieczą o swobodnym wypływie Bilans zbiornika gdzie S(h) = dv dh f u (t) f y (t) = dv = dv dh dh = S(h)dh pole powierzchni zbiornika na poziomie h(t) Z równania Bernoullego otrzymujemy bilans energii cieczy wypływającej f y (t) = A y 2gh(t) Czyli bilans zbiornika przybiera postać f u (t) A y 2gh(t) = S(h) dh f u (t) = A y 2gh(t) + S(h) dh Zależność poziomu cieczy of natężenia wpływającej cieczy opisuje nieliniowe równanie różniczkowe drugiego rzędu

Dokonując linearyzacji w punkcie pracy (f u0, h 0 ) f u = A y g 2h 0 h + S(h 0 ) h (1) g g f u (t) f u0 = A y h(t) A y h 0 + S(h 0 ) dh(t) 2h 0 2h 0 W dziedzinie operatorowej Stąd transmitancja f u (s) = A y g 2h 0 h(s) + S(h 0 )sh(s) G(s) = 1 S(h 0 )s + A y g 2h 0 Układ zlinearyzowany jest układem inercyjnym pierwszego rzędu

Zbiornik z ograniczonym wypływem Załóżmy, że wypływ odbywa się przez odcinek przewodu o oporze R Bilans zbiornika f u (t) f y (t) = S(h) dh Zakładając, że wypływ ze zbiornika jest laminarny różnica ciśnień na końcach przewodu odprowadzającego ciecz ze zbiornika p(t) = Rf y (t) gdzie p(t) różnica ciśnień na krańcach przewodu Na wejściu przewodu panuje ciśnienie ρgh(t) zaś na wyjściu ciśnienie atmosferyczne (0) stąd p(t) = ρgh(t) 0 = Rf y (t) f y (t) = ρgh(t) R Ostatecznie f u (t) = ρgh(t) R + S(h)dh

Elementy nastawcze Przepływ przez zwężkę A 1 A A 2 p 1 p 2 A przekrój zwężenia A 1 przekrój przed zwężeniem f(t) przekrój za zwężeniem p 1 (t) ciśnienie wejściowe p 2 (t) ciśnienie wyjściowe Z równania Bernoullego otrzymujemy p 1 (t) + ρv2 1(t) 2 = p 2 (t) + ρv2 2(t) 2 ( ) gdzie v 1 (t) i v 2 (t) prędkość cieczy prze i za zwężką Na podstawie równania ciągłości A 1 v 1 (t) = A 2 v 2 (t) v 1 (t) = A 2 A 1 v 2 (t)

Po podstawieniu do ( ) i przekształceniu A 1 2 p(t) v 2 (t) = A 2 1 A 2 ρ 2 gdzie p(t) = p 1 (t) p 2 (t) Wykorzystuąc ponownie równanie ciągłości v(t)a = v 2 (t)a 2 v(t) = A 1A 2 2 p(t) A 2 1 A 2 ρ 2 Natężenie przepływu przez zwężkę f(t) = Av(t) = A 1A 2 2 p(t) 2 p(t) = α A 2 1 A 2 ρ ρ 2 gdzie α = A 1A 2 A 2 1 A 2 2

Zawory W praktyce nie stosuje się zwężek o zmiennym przekroju Rolę elementów nastawczych pełnią zasuwy, klapy i zawory Zależność pomiędzy przepływem f(t), a spadkiem ciśnienia p(t) jest następująca p(t) f(t) = K γ gdzie γ względna gęstość przepływającej cieczy, K współczynnik normalny przepływu Wspołczynnik normalny zaworu zależy od przesunięcia trzpienia zaworu charakterystyka wewnętrzna zaworu

Charakterystyki zaworów K/K m 1 e b a c d p 2 a liniowy b pierwiastkowy c stałoprocentowy d hiperboliczny e szybko otwierający się 1 x/x m K m wartość K przy otwartym zaworze x m maksymalne przesunięcie trzpienia przy otwartym zaworze x w = x x m

Charakterystyki K = f(xw) Zawór liniowy pierwiastkowy stałoprocentowy Charakterystyka K = K m x w K = K m x1 K = K m α xw 1 K m hiberboliczny K = α(1 x w ) + x w szybko otwierający się K = x w x w + α K m

Przykłady Serwomotor hydrauliczny x p l 1 u l 2 A pole pow. tłoka roboczego h y x przesunięcie końca dźwigni y przesunięcie tłoka roboczego u przesunięcie tłoków sterujących A l 1, l 2 długości ramion dźwigni p(t) ciśnienie oleju h wysokość okna sterującego (b h) Przesunięcie tłoczków sterujących (za pomocą dźwigni) powoduje dopływ oleju do komory roboczej Pod wpływem oleju tłok roboczy przesuwa się wspomagając ruch dźwigni

W chwili t = 0 przesuwamy koniec dźwigni; przesunięcie u(t) u(t) = l2 x(t) l1 y(t) l 1 + l 2 l 1 + l 2 Przesunięcie dźwigni powoduje otwarcie jednego z okien sterujących S(t) = bu(t), h u(t) h gdzie S(t) powierzchnia otwarcia okna sterującego Natężenie przepływu cieczy przez okno sterujące f(t) = dv (t) = A dy(t) Zgodnie z równaniem Bernoullego po otwarciu okna sterującego p(t) = ρv2 (t) 2p(t) v(t) = 2 ρ Stąd natężenie przepływu można alternatywnie wyrazić w postaci 2p(t) 2p(t) ( ) l2 f(t) = bu(t)v(t) = bu(t) = b x(t) l1 y(t) ( ) ρ ρ l 1 + l 2 l 1 + l 2 ( )

Porównując ( ) z ( ) (równanie ciągłości) otrzymujemy A dy(t) ( ) 2p l2 = b x(t) l1 y(t) ρ l 1 + l 2 l 1 + l 2 czyli A dy(t) 2p + b ρ l 1 l 1 + l 2 y(t) = b 2p ρ W dziedzinie operatorowej ( ) 2p l 1 2p y(s) sa + b = x(s)b ρ l 1 + l 2 ρ l 2 l 1 + l 2 x(t) l 2 l 1 + l 2 stąd gdzie k = l2 l 1, T = G(s) = A(l1 + l2) ρ bl 1 2p 2p l 2 b ρ l 1 + l 2 2p l 1 sa + b ρ l 1 + l 2 = k T s + 1

Serwomotor hydrauliczny z elastycznym sprzężniem zwrotnym x p l 1 u C l 2 h B A y 1 y A pole pow. tłoka roboczego x przesunięcie końca dźwigni y przesunięcie tłoka roboczego y 1 rozciągnięcie/ściśnięcie sprężyny u przesunięcie tłoków sterujących l 1, l 2 długości ramion dźwigni p(t) ciśnienie oleju h wysokość okna sterującego (b h) C współczynnik sztywności sprężyny B współczynnik tarcia lepkiego Serwomotor dodatkowo wyposażony jest w podsystem mechaniczny (sprężyna i tłumik) Podsystem mechaniczny ułatwia przesunięcie dźwigni w kierunku przeciwnym do początkowego

Równanie ruchu tłoków sterujących u(t) = Równanie podsystemu mechanicznego l2 x(t) l1 y 1(t) l 1 + l 2 l 1 + l 2 Cy 1(t) + B dy1(t) = B dy(t) Z równania ciągłości (przykład poprzedni) otrzymujemy bvu(t) = A dy(t), v = const ( ) l2 bv(t) x(t) l1 y 1(t) l 1 + l 2 l 1 + l 2 = A dy(t)

W dziedzinie operatorowej { Cy1(s) + sby 1(s) = sby(s) stąd Transmitancja bvl 2 x(s) bvl1 y 1(s) = say(s) l 1 + l 2 l 1 + l 2 bvl 2 l 1 + l 2 x(s) = bvl1 l 1 + l 2 sb y(s) + say(s) C + sb G(s) = sa + ostatecznie bvl 2 l 1 + l 2 bvl1 l 1 + l 2 sb C + sb bvl 2 gdzie k = A(l 1 + l 2) + l B 1bv C = bvl 2(C + sb) s(sab(l 1 + l 2) + AC(l 1 + l 2) + (bvl 1)B) G(s) = k 1 + st1 s(1 + st 2), T 1 = B C, T2 = AB(l 1 + l 2) AC(l 1 + l 2) + Bl 1bv

Siłownik hydrauliczny A f p z R z p x A pole pow. tłoka roboczego x(t) przesunięcie tłoka R z opór hydrauliczny zaworu p(t) różnica ciśnień p r (t) spadek ciśnienia na zaworze f(t) natężenie przepływu cieczy Ruch cieczy jest wymuszany przez zewnętrzne ciśnienie p, które musi pokonać opory przepływu (R z ) Z bilansu ciśnień otrzymujemy p = p r Spadek ciśnienia na zaworze zależy od natężenia przepływu i oporu hydraulicznego (przepływ laminarny) p r = R z f(t)

Natężenie przepływu f(t) = dv (t) = A dx(t) Ostatecznie p(t) = R z f(t) = R z A dx(t) W dziedzinie operatorowej Stąd transmitancja modelu p(s) = R z Asx(s) G(s) = Jest to człon całkujący idealny x(s) p(s) = 1 R z As

Siłownik hydrauliczny ze sprężyną C R z A f 1 p f 2 x A pole pow. tłoka roboczego x(t) przesunięcie tłoka R z opór hydrauliczny zaworu p(t) różnica ciśnień C wsp. sprężystości sprężyny f(t) natężenie przepływu cieczy Całkowity strumień cieczy o natężeniu f(t) rozdzielany jest w siłowniku na dwa strumienie o natężeniach f 1 (t) i f 2 (t) f(t) = f 1 (t) + f 2 (t) Strumień f 2 (t) pokonuje opór R z co wywomuje powstanie różnicy ciśnień p rz2 = R z f 2 (t)

Strumień f(t) pokonuje opór 2R z (dwa zawory) co wywomuje powstanie różnicy ciśnień p rz = 2R z f(t) Stąd bilans ciśnień p(t) = p rz + p rx2 Spadek ciśnienia p rz2 stanowi różnicę ciśnienia na tłoku roboczym, która przeciwstawia się sile sprężystkości sprężyny A p rz2 = Cx(t) AR z f 2 (t) = Cx(t) f 2 (t) = Zależność między natężeniem przepływu f 1 (t) i ruchem tłoka C AR z x(t) Stąd przepływ całkowity f 1 (t) = A dx(t) f(t) = f 1 (t) + f 2 (t) = A dx(t) + C AR z x(t)

Ostateczna postać bilansu ciśnień p(t) = 2R z f(t) + R z f 2 (t) = 2R z A dx(t) W dziedzinie operatorowej Transmitancja p(s) = 2R z Asx(s) + 3C A x(s) + 3C A x(t) G(s) = x(s) p(s) = 1 2R z As + 3C A = k T s + 1 gdzie k = A 3C, T = 2A2 R z 3C