8. Podsta statstk tatstka zajmuje sę metodam zberaa formacj lczboch oraz ch aalzą terpretacją. W obrębe statstk meszczą sę da, pem sese skraje, urt. Persz, za aalzą dach, traktuje kokrete formacje lczboe jako ukato zbór lczb, bez przjmoaa żadch dodatkoch założeń. Celem aalz dach jest prezetacja tego łaśe zboru lczb sposób, któr ukazuje jego łasośc. Wosk, jake efekce otrzmujem, dotczą łącze tch dach. Nurt drug, któr moża b ogóle azać modeloaem stochastczm, polega a formalzacj, za pomocą pech założeń, posadaej edz a pror o sposobe otrzmaa dach. W stoce przjmuje sę z gór pee probablstcz model, któr opsuje loso mechazm postaaa dach. Kokret zbór dach jest ted jedą z elu możlch realzacj dzałaa tego mechazmu, a osk, które formułujem, dotczą adekatośc przjętego modelu z uzskam dam. Teore aukoe formułują modele matematcze rzeczstch zjask, ch artość zaś jest tm ększa, m dokładej potrafą przedzeć k przszłch ekspermetó. W podejścu do budo modelu matematczego zjask fzczch zauażć moża de tedecje: bezpośreda aalza fzczego mechazmu zjaska oraz modeloae za pomocą tz. czarej skrzk, które kocetruje sę a aalze zązkó pomędz sgałam ejśca/jśca. Opracoao a podstae http://.tpja.ps.pl/
Probablstka Rachuek pradopodobeństa tatstka zam rozkład zmeej losoej, zaczam róże pradopodobeństa Ne zam rozkładu zmeej losoej, a badam próbkę losoaą z całej populacj tatstka opsoa ops uzskach kó bez cągaa oskó o populacj geeralej tatstka matematcza a podstae uzskaej prób cągam osk o cechach populacj geeralej Woskoae statstcze Estmacja (ocea) ezach parametró Werfkacja postaoch hpotez statstczch podejmoae deczj o pradzośc lub fałszośc hpotez statstczej Estmacja puktoa zaczam z prób tlko ektóre parametr (pukt) rozkładu, a e cał rozkład, p. dstrbuatę lub gęstość rozkładu. Ne potrafm podać dokładośc uzskaej oce. Estmacja przedzałoa podajem przedzał ufośc dla ezach artośc pech parametró, p. artośc oczekaej aracj
8.. TATYTYKA OPIOWA tatstka tatstka opsoa tatstka matematcza Losoae (pomar) Populacja geerala (rezultat potecjalch pomaró) Próbka (rezultat pomaró) tatstka opsoa zajmuje sę stępm opracoaem kó pomaró (próbk) bez posługaa sę rachukem pradopodobeństa. Ne cągam oskó dotczącch populacj geeralej. Nech,, 3,... będze próbką -elemetoą. lczość (lczebość). Parametr oblczoe z próbk będą dalej azae statstkam. 3
8... Grafcze przedstaee próbk: szereg rozdzelcz, hstogram, łamaa częstośc Rozstęp R ma - m Klas Dla próbek o dużej lczebośc (>30) elemet próbk grupuje sę klasach, tj. przedzałach o róej lub eróej długośc. Nech k ozacza lość klas. Ile klas k przjąć dla daej próbk? Moża sę keroać astępującm oretacjm regułam: k 5 lg() k+3.3 lg() k Zatem, gd 0, to k4 6, gd 40, to k6 8 Długość klas b R/k Nech lczość -tej klas, a środek -tej klas. Wted par lczb (, ) azam szeregem rozdzelczm. Grafcze przedstaee szeregu rozdzelczego aza sę hstogramem. Na os pozomej hstogramu środk klas lub grace poszczególch klas, a os pooej hstogramu lczośc klas, częstośc (frekecje) - /, lub v /b. Łącząc pukt o spółrzędch ( b,0), (, ),...,k, ( + b,0) otrzmujem tz. łamaą częstośc. v dla 8... tatstk lokacj rozkładu Średa artmetcza lczb,, 3,... określoa jest zorem Charakterstcza łasość średej artmetczej: suma szstkch odchleń jest róa zero; ( ) 0. 4
Średa geometrcza g lczb dodatch określoa jest zorem g Średa harmocza h, różch od zera lczb,, 3,...,, azam odrotość średej artmetczej odrotośc tch lczb h Medaa (artość środkoa) m e środkoa lczbę uporządkoaej emalejąco próbce (dla próbk o lczośc eparzstej) lub średą artmetczą dóch lczb środkoch (dla próbk o lczośc parzstej). Wartoścą modalą (modą, domatą) m 0 próbk o potarzającch sę artoścach azam ajczęścej potarzającą sę artość, o le steje, e będącą m a ma. Jeżel szeregu rozdzelczm ajlczejsze są obe klas skraje, to szereg rozdzelcz azam atmodalm tpu U, a środek ajmej lczej klas atmodą. Gd ajlczejsza jest jeda z klas skrajch, to szereg rozdzelcz azam atmodalm tpu J. Rozkład dumodal gd stępują de jedakoo lcze ajlczejsze klas e będące skrajm. Rozkład jedomodal, duerzchołko stępują de ajlczejsze klas, ale e są jedakoo lcze e są skrajm. Katl rzędu q (0<q<) taka artość q, przed którą (tz.dla q ) zajduje sę 00 q % elemetó próbk. Gd q 0.5, 0.5, 0.75, to take katle azam kartlam. Gd q 0.5 móm o kartlu dolm, gd q 0.75 móm o kartlu górm. Kartl q 0.5 jest medaą. 5
8..3. tatk rozproszea (rozrzutu, rozsaa) rozkładu Rozstęp R ma - m Waracja s średa artmetcza kadrató odchleń poszczególch artośc od średej artmetczej s Odchlee stadardoe ( ) s s Odchlee przecęte d od artośc średej średa artmetcza artośc bezzględch odchleń poszczególch artośc od średej artmetczej d Odchlee przecęte d od meda średa artmetcza artośc bezzględch odchleń poszczególch artośc od meda m e d m e 8..4. tatstk kształtu rozkładu Mometem zkłm m l rzędu l próbk,, 3,... azam średą artmetczą l-tch potęg artośc m l l Zauażm, że m Mometem cetralm M l rzędu l próbk,, 3,... azam średą artmetczą l-tch potęg odchleń artośc od średej artmetczej próbk 6
M l ( ) Zauażm, że M 0, M s. Współczk asmetr (skośośc) g l M 3 g 3 s gdze s jest odchleem stadardom. Dla rozkładu ormalego g 0. Gd rozkład ma dług ogo dla artośc ększch od artośc średej, to g >0, gd ogo stępuje po stroe artośc mejszej ż średa, to g <0. Współczk kocetracj (skupea), kurtoza K M 4 K 4 s gdze s jest odchleem stadardom. Kurtoza ma artość 3 dla rozkładu ormalego. Gd K>3, to rozkład jest bardzej skupo ( szpczast ) ż rozkład ormal, gd K<3, to rozkład jest bardzej spłaszczo ż rozkład ormal. Współczk spłaszczea, eksces g g K-3 Dla rozkładu ormalego g 0. Współczk zmeośc ν s ν 00% gdze s jest odchleem stadardom. Współczk eróomerośc H H d 00% gdze d jest odchleem przecętm od średej artmetczej. 7
8..5. Grafcze przedstaee próbk: pradopodobeństo skumuloae, kres ramko Zakładam, że pradopodobeństo uzska każdego elemetu próbk elemetoej jest róe /. Uporządkujm próbkę edług artośc rosącch. Pradopodobeństem skumuloam (dstrbuatą emprczą) p() dla daego azam pradopodobeństo otrzmaa artośc mejszej lub róej : p()p( ) próbce uporządkoaej. Jedm z elu sposobó grafczej prezetacj próbk jest kres ramko, potocze aza pudełkem z ąsam (ag. bo-adhsker plot), zapropooa 977 roku przez J.Tuke a. Rsujem ajper prostokąt, którego dol bok jest kartlem dolm, a gór bok kartlem górm. Pozoma la dzeląca prostokąt to medaa. Wąs postają z połączea postałego pudełka z krótkm lam pozomm, arsoam dla katla q0.95 (gór ąs) katla 0.05 (ąs dol). Na rsuku zazaczć moża także e artośc katl (p. 0.0 0.99), jak e statstk próbk, p. artość średą, ekstremale artośc próbce, tp. PRZYKŁAD: Próbka 40. elemetoa 48.4478 69.368.6994 9.389 65.357 45.783 55.499 4.859 47.8664 55.7535 87.54 49.3306 37.566 56.477 6.84 74.66 5.3336 77.830 40.7 4.5877 55.895 35.9834 67.6347 8.9544 4.7 6.744 35.7469 43.695 48.9 5.3768 63.7887 39.54 53.63 98.656 86.00 30.4353 34.3459 39.4973.369 9.670 8
40, m.369, ma 53.63, R3.476 6 4 0 8 6 4 0 0 0 40 60 80 00 0 40 60 Rs.. Hstogram próbk. Zazaczoo grace klas (a os ) lość elemetó klase (a os ) tatstk lokacj rozkładu: średa artmetcza 55.07 średa geometrcza g 50.5966 średa harmocza h 46.564 medaa m e 49.59 moda brak tatstk rozproszea: aracja s 65.69 odchlee stadardoe s4.83 odchlee przecęte od d 8.9 odchlee przecęte od m e d.5955 9
tatstk kształtu: momet cetral l3 M 3 53 momet cetral l4 M 4.67679 0 6 spółczk asmetr g.65037 kurtoza K7.0639 eksces g 4.0639 spółczk zmeośc ν44.94 % spółczk eróomerośc H33.00 % 00 80 60 p 40 0 0 0 40 60 80 00 0 40 60 Rs.. Wkres skumuloaego pradopodobeństa p ( ) [rażoego %] tego, że zajdzem próbce artość Katle: katl rzędu 0.0.369 katl rzędu 0.05.6994 katl rzędu 0.5 39.4973 katl rzędu 0.50 48.93 0
katl rzędu 0.75 65.357 katl rzędu 0.95 9.6703 katl rzędu 0.99 53.64 80 60 40 0 00 80 60 40 0 95% 5% 75% 50% 5% 0-0 A Rs. 3. Wkres ramko: artość średa (kółko z pozomą kreską), artośc ekstremale (pozome kresk), kartle (pudełko), katle 0.05 0.95 (ąs), katle 0.0 0.99 (krzżk) Lteratura: W.Krsck, Rachuek pradopodobeństa statstka matematcza zadaach, część II: tatstka matematcza, PWN, Warszaa 995 Erc Wesstes s World of Mathematcs, http://mathorld.olfram.com/
8.. Tp epeośc 8... Nepeośc pomaroe błęd pomaroe ucertat epeość, error - błąd Welkośc fzcze: p. masa, prędkość, ośetlee, ale e p. cech estetcze, zapach, kształt. Iloścoo każdą elkość fzczą rażam jej marą. Nech długość l 5 m. artość lczboa mar jedostka mar Pomar mogą bć bezpośrede: dokoujem prost za pomocą jedego przrządu pomaroego; pośrede: merzoą elkość uzskujem ze zoru matematczego, którm stępuje klka elkośc merzoch bezpośredo Wartość rzeczsta peej elkośc fzczej e będze am gd zaa. Dlatego chcem ustalć artość przedzału ( ± Δ), którm meśc sę artość rzeczsta. Nepeość pomaroa - połoa szerokośc tego przedzału (czl Δ) Wróżam da zasadcze tp epeośc pomaroch: epeośc sstematcze epeośc przpadkoe W praktce pomarach stępują zaróo epeośc sstematcze, jak przpadkoe, składające sę a epeość całkotą.
Celem ustalea, która epeość domuje, pomar ależ potórzć 3-4 raz. Jeżel k kolejch pomaró są detcze, ted marą dokładośc pomaru są epeośc sstematcze. Gd stępuje statstcz rozrzut kó, czl każd pomar daje k, lub przajmej ektóre k są róże, a różce pomędz poszczególm kam przeższają epeośc sstematcze, ted domuje epeość przpadkoa. Błąd pomaru stępuje ted, gd steje edokładość pomarze, która przesua górę lub dół k końco. Wróżam śród błędó: błęd sstematcze ch pł a k pomaru daje sę dokłade przedzeć; błęd grube (pomłk). Źródła błędó sstematczch przrząd pomaro błąd cechoau przrządu; obserator ełaśce użce przrządu; metoda pomaru adle dzałae metod, przblżo charakter stosoach zoró. Błęd grube kają ajczęścej z estaraośc ekspermetatora. Poeaż błęd pomaroe moża elmoać, dalszej częśc zajmoać sę będzem łącze epeoścam. 3
8... Nepeośc sstematcze pomaró bezpośredch Nepeość sstematcza jest róa elemetarej dzałce stosoaego przrządu, chba że z strukcj produceta ka co ego. Klasa przrządu lczba formująca o epeośc maksmalej daego urządzea, rażoa procetach zakresu przrządu. Np. amperomerz o klase 0.5, zakres A, epeość sstematcza Δ(0.5/00) 0.0 A. Dla przrządó cfroch epeość jest ajmejszą lczbą, którą może o śetlć. Nepeość maksmala rodzaj epeośc sstematczej, podaje ajększe maksmale odchlee pomaru od artośc rzeczstej r Δ ma - p Nepeość zględa B to stosuek epeośc sstematczej do ku pomaru BΔ/ Nepeość procetoa rażoa procetach epeość zględa B p B 00 % Gd koao klkakrote ezależe pomar elkośc z różm dokładoścam, otrzmując ±Δ, ±Δ,..., ±Δ, to ależ proadzć pojęce ag C ( Δ ) 4
gdze C jest doolą stałą o marze kadratu epeośc sstematczej. W praktce a C przjmuje sę taką artość, ab ag bł lczbam całkotm. Jako k końco, zamast średej artmetczej, przjmuje sę tz. średą artmetczą ażoą atomast epeość sstematcza średej ażoej jest średą ażoą epeośc poszczególch pomaró Δ Δ 8..3. Nepeośc maksmale pomaró pośredch W przpadku pomaró pośredch bezpośredo merzm klka ch artośc, otrzmując k ±Δ, ±Δ,..., ±Δ, a k końco a z oblczm ze zoru zf(,,..., ) Nepeość maksmalą Δz ma oblczam ze zoru Δz ma f (, ),..., Wzór te otrzmać moża stosując terdzee Talora do fukcj elu zmech ograczając sę do rozęca loego. Lteratura: H. trzałkosk (red.), Teora pomaró, PWN, Warszaa 98 Δ 5
8.3. Parametr rozkładu 8.3.. Zmea losoa Wlosoae peego elemetu z populacj geeralej zdarzee losoe, atomast parametr klasfkując zdarzee zmea losoa. W kotekśce pomaró: zdarzee losoe koae pomaru elkośc fzczej, zmea losoa artość lczboa mar ku pomaru. Zmee losoe ozaczm dużm lteram X,Y,..., a artośc przjmoae przez zmee losoe małm,,... lub. Zmea losoa skokoa cągła Każdemu zdarzeu moża przpsać pee pradopodobeństo P(Xa). Dstrbuata F() jest łączm pradopodobeństem uzskaa ku z przedzału od do. P(X<)P( <X<a)F() Dstrbuata jest emalejącą fukcją zmeej losoej X. Gd, to F(), gd, to F()0. Rozkład pradopodobeństa zmeej losoej skokoej: P(X)p Dla cągłej zmeej losoej stosuje sę gęstość pradopodobeństa f() zmeej losoej pochoda dstrbuat: f ( ) df( d ) Rozkład gęstośc pradopodobeństa zmeej losoej cągłej azam zależość gęstośc pradopodobeństa f() od artośc 6
zmeej losoej X. Zając gęstość pradopodobeństa moża łato oblczć dstrbuatę ze zoru F ( ) f ( ) d 8.3.. Parametr rozkładu zmech losoch Zkle e zam pełego rozkładu pradopodobeństa lub jego zajomość e jest dla as teresująca, dlatego starcza am edza o klku jego charakterstczch parametrach. artość oczekaa (adzeja matematcza) aracja odchlee stadardoe momet katle (fraktle) Wartość oczekaa. Ozaczea: E(X) oblczoa z postac aaltczej rozkładu μ - dla całej populacj - dla prób Defcja (dla skokoej zmeej losoej) E ( X ) p gdze p jest pradopodobeństem stąpea artośc lub (dla zmeej losoej cągłej) + E ( X ) f ( ) d Dla doolej fukcj YH(X) zmeej losoej X artość oczekaa raża sę zorem 7
E { H( X )} H( ) p Dla -elemetoej prób artość oczekaa sproadza sę do średej artmetczej. Wartość oczekaa μ e jest zmeą losoą, jest ą atomast średa artmetcza z prób. Waracja. Ozaczea: D (X) - oblczoa z postac aaltczej rozkładu σ aracja populacj - aracja prób Defcja: artość oczekaa kadratu różc zmeej losoej jej artośc oczekaej Dla zmeej losoej skokoej D co jest róoaże D { X E( } ( X ) E X ) ( X ) { E( X )} p Dla skończoej populacj o lczebośc moża E(X) zastąpć artoścą średą ted D ( X ) ( ) Zatem aracja jest średą kadrató odchleń od artośc średej Dla zmeej losoej cągłej + { E( X )} D ( X ) f ( ) d Odchlee stadardoe. Ozaczea: 8
σ odchlee stadardoe populacj - odchlee stadardoe prób Defcja: perastek kadrato z aracj σ σ Odchlee stadardoe ma te sam mar co X jest przjmoae jako mara przpadkoej epeośc pomaroej. Momet k-t zmeej losoej X zględem puktu d m k E{(X - d) k } gdze k- rząd mometu. Gd d0, to móm o mometach bezzględch, gd de(x), to móm o mometach cetralch. Wartość oczekaa: d0; k Waracja: de(x); k Dla rozkładó smetrczch momet cetrale rzędu eparzstego zerują sę. Katle Katl rzędu q (0 q ) stao artość q zmeej losoej X, dla której dstrbuata F() jest róa rzędo katla. Najczęścej stosoae katle: kartl dol q0.5 medaa q0.5 kartl gór q0.75 F() q q 9
8.4. Nektóre rozkład zmech losoch Zmea losoa skokoa Zmea losoa cągła Rozkład dumao Rozkład prostokąt (mkrokaocz) Rozkład Possoa Rozkład ormal (Gaussa) Rozkład χ (ch kadrat) Rozkład tudeta 8.4.. Rozkład dumao: elokrota realzacja dośadczea, ku którego otrzmać moża tlko jedo z du kluczającch sę zdarzeń zdarzee A (z pradopodobeństem p) lub e-a (z pradopodobeństem -p). Jako przkład moża podać elokrote potarza rzut moetą (zdarzee A- rzucee p. reszk, p0.5). Jeżel k kolejch dośadczeń ozaczm przez (0 lub rzucau moetą), to łącz rezultat dośadczeń charakterzuje zmea losoa X zdefoaa zorem X Rozkład dumao rozkład zależośc pradopodobeństa P(Xk) od artośc k dośadczeach k P( X k ) p ( p) k k Wartość oczekaa rozkładze dumaom dla k E( X ) kp( k X k ) p Waracja rozkładu dumaoego D [ k E( X ) ] P( X k ) p( ) ( X ) p k 0
8.4.. Rozkład Possoa: szczegól przpadek rozkładu dumaoego zachodzącm ted, gd pradopodobeństo p sukcesu jest bardzo małe, a lczba realzacj a tle duża, że locz pλ jest elkoścą stałą, dodatą ezbt dużą. k k k λ λ λ λ P( X k ) e k k! Wartość oczekaa zmeej losoej rozkładze Possoa E ( X ) λ Waracja D ( X ) λ Zastosoae rozkładu Possoa tam, gdze lczba obseroach przpadkó jest bardzo duża, a pradopodobeństo sukcesu p bardzo małe. Przkład rozpad promeotórcz: lczba jąder duża, pradopodobeństo rozpadu kokretego jądra bardzo małe; zderzea cząstek elemetarch, duża lość cząstek, mała szasa a zderzee; statstcza kotrola jakośc produktó, duża lość spradzach produktó, mała lość produktó brakoach. 8.4.3. Rozkład prostokąt: Ma zastosoae prz aalze epeośc sstematczch. Gęstość pradopodobeństa f() jest stała eątrz przedzału (a, b) róa zero poza m. f ( ) dla a < < b b a 0 dla < a > b
Wartość oczekaa rozkładu prostokątego E( b a X ) Waracja dla rozkładu prostokątego D ( b ) a ( X ) Dla pomaró obarczoch epeoścą sstematczą Δ, mam b a Δ, zatem D ( X ) Δ 3 8.4.4. Rozkład ormal: Mam do czea z rozkładem ormalm ted, gd pomar peej elkośc, mającej artość μ zakłóca jest bardzo dużą lczbą ezależch czkó, z którch każd z pradopodobeństem ½ pooduje odchlee o eelką artość ±ε. μ μ-ε μ+ε μ-ε μ μ+ε Gęstość pradopodobeństa rozkładu ormalego stadarzoaego f ( u) ep u π Rozkład te ozacza jest także jako N(0, ). Wartość oczekaa aracja rozkładu ormalego stadarzoaego E ( U ) 0, D ( U )
Dstrbuata Φ(u) rozkładu stadarzoaego Φ ( u) π u ep u du Wartośc dstrbuat dla u>0 są stabelarzoae. Wartośc dstrbuat dla u<0 zaczć moża z róaa: Φ(-u) - Φ(u). Dokoując podstaea rozkładu Gaussa. u μ otrzmam postać estadarzoaą σ Gęstość pradopodobeństa rozkładu ormalego estadarzoaego f ( ) ep πσ ( μ) Rozkład te ozacza jest także jako N(μ, σ). Wartość oczekaa σ aracja rozkładu ormalego estadarzoaego E ( X ) μ, D ( X ) σ 8.4.5. Rozkład χ : Gd X są zmem losom losoam z rozkładu ormalego N(0,), to k X ma rozkład ch-kadrat o k stopach sobod. Gd losoae odba sę z rozkładu ormalego N(μ,σ), to zmeą losoą χ defujem astępująco χ ( X ) μ k σ Gęstość pradopodobeństa rozkładu ch-kadrat 3
f ( ) k Γ 0 k k e dla > 0 dla 0 gdze Γ jest fukcją gamma Eulera, a parametr k aza sę lczbą stop sobod. Gd k<, to fukcja f jest malejącą dla >0, atomast dla k> fukcja ta ma maksmum prz k. Dla dużch k fukcja f jest zblżoa do krzej rozkładu ormalego. Wartość oczekaa zmeej losoej o rozkładze ch kadrat jest róa lczbe stop sobod k, zaś aracja jest róa k. Najększe zaczee praktcze dla rozkładu ch kadrat mają tablce artośc krtczch χ α, k zmeej losoej χ, dla którch { χ χ α } α P, k α aza sę pozomem stotośc. Welkość (-α) aza sę pozomem ufośc. 8.4.6. Rozkład tudeta: Zmeą losoą t tudeta defujem zorem Z t k U gdze Z jest zmeą losoą stadarzoaą N(0, ), a U zmeą losoą o rozkładze ch kadrat k stopach sobod. Gęstość pradopodobeństa rozkładu tudeta f ( t ) k+ k + Γ t + Γ k k kπ 4
gdze Γ jest fukcją gamma Eulera, a parametr k aza sę lczbą stop sobod. Rozkład tudeta jest detcz z rozkładem Gaussa N(0, ) dla k staje sę coraz bardzej spłaszczo dla malejącch k. Wartość oczekaa rozkładu tudeta jest róa zero, aracja jest róa k/(k-). Tablce tudeta zaerają zazczaj tak zae artośc krtcze t,α zmeej losoej tudeta, zdefoae rażeem { t t } α P{ t > t } α P <, α lub, α gdze α jest ustalom z gór pradopodobeństem, zam pozomem stotośc. PRZYKŁADY: Rozkład ormal N[μ,σ]. Wgeeroa zostae zbór lczb zgode z przedstaom pożej schematem postaa rozkładu ormalego. Przjmuję: μ00, ε, lość ezależch czkó zaburzającch (pozomó a rsuku): 60, lość potórzeń ( pomaró ): 000. Parametr zboru tch lczb: rozstęp: 48, artość średa: 00.0, aracja: 6.49, odchlee stadardoe: 7.84, skośość: -0.0375, eksces: -0.0096. Na hstogram ałożoo kres fukcj Gaussa z astępującm parametram: μ00, σ(60) /, spółczk lczbo przed gęstoścą pradopodobeństa (lość pomaró) (szerokość klas)000 50000. 5
lczość klas 600 500 400 300 00 Teora klasa lczość 70-75. 75-80 8.6 80-85 43.0 85-90 43.9 90-95 3.9 95-00 48.4 00 0 70 80 90 00 0 0 Teoretczą lczebość daej klas oblczoo korzstając z programu MATHEMATICA. Poeaż krza Gaussa jest smetrcza zględem 00, to lczebośc klas >00 jest róa lczebośc smetrcze położoej klas <00. Rozkład χ :. Z rozkładu ormalego N(0,) losuję 0 lczb: -0.5373.40 0.474-0.0535-0.0396 0.9565.35-0.543 -.84 0.795. Zajduję sumę kadrató tch lczb:.07 6
3. posób postępoaa z p. - potarzam 40 raz, otrzmując astępujące lczb (są to sum kadrató losoach 0 lczb):.07.6938 9.834 6.3849.446 7.783 4.588 6.6633.0763 3.6088 6.77 4.4977 8.889 7.067 6.4685 8.948 3.85 3.7997 0.0956.8455 9.6063 8.365 7.4864 3.4553.458 8.6349 0.389.47 7.504 5.0595 0.797 3.6683.6999 0.74.9807.0749.3654 9.77 6.54.8986 4. porządzam hstogram dla otrzmach czterdzestu lczb lczość klas 8 6 4 Teora klasa lczość 0 - : 0.5-4:.96 4-6: 5.8 6-8: 7.46 8-0: 7.53 0- : 6. - 4: 4.48 4-6:.93 6-8:.78 8-0:.03 0- : 0.56 0 0 5 0 5 0 χ 5. Na te hstogram akładam kres fukcj rozkładu gęstośc pradopodobeństa dla rozkładu ch-kadrat z k0 stopam sobod. Poeaż fukcja gamma Eulera Γ(5)(5-)!4, to ta fukcja ma postać 7
f ( ) 768 4 e Poadto a rsuku przedstaoo, korzstając z dstrbuat rozkładu, oblczoe lośc lczb każdej z klas. Rozkład tudeta. Nech lczba stop sobod k0.. Z rozkładu ormalego N(0,) losuję lczbę, którą ozaczę jako Z, z rozkład ch-kadrat o dzesęcu stopach sobod losuję lczbę, którą ozaczę jako U.. Oblczm artość parametru t z róaa t 0 3. Czośc z p.- potarzam 40 raz, otrzmując poższe 40 lczb Z U -.7664 -.78894-0.457 0.4744 0.0369-0.08404 0.0736 -.6643-0.979-0.77786-0.0006 -.0689.6653-0.73455.5458-0.7934 -.8696.099-0.9634-0.75-0.87677-0.3068 0.405 0.606 -.36794-0.68633 0.973.67 0.4999-0.0936-0.0530 0.39089-0.769 0.78756 0.63 -.008-0.858.6504 0.9888-0.55 4. porządzam hstogram dla otrzmach czterdzestu lczb 8
8 lczość klas 6 4 0 8 6 Teora klasa lczość 0 - : 3.8 - : 5.35-3:.0 4 0-3 - - 0 3 t 5. Na te hstogram akładam kres fukcj rozkładu gęstośc pradopodobeństa dla rozkładu tudeta z k0 stopam sobod. Poeaż fukcja gamma Eulera Γ(5)4, Γ(/)(945/3)π /, to ta fukcja ma postać t f ( t ) 0. 389 + 0 / Poadto a rsuku przedstaoo, korzstając z dstrbuat rozkładu, oblczoe lośc lczb każdej z klas. 9
8.5. Estmator Parametr emprcze oblczoe z prób aza sę statstkam. Estmator statstka z prób oblczoa celem uzskaa formacj o parametrach populacj geeralej. Nech Q parametr populacj geeralej Q jego estmator oblczo z prób -elemetoej. Zauażm, że Q f(,,, ) jest zmeą losoą, Q e jest. Estmator może bć: lm zgod: P{ Q Q < ε} eobcążo: E(Q )Q gd E(Q )jest róże od Q, to estmator jest obcążo, a ch różcę azam obcążeem estmatora ajbardzej efekt: jest to tak estmator eobcążo, któr ma ajmejszą arację spośród szstkch estmatoró. 30
Estmator puktoe z prób ch łasośc Parametr Estmator estmoa aza zór łasośc. zgod Wartość oczekaa Waracja Wartość średa Waracja z prób ( μ ). eobcążo 3. ajbardzej efekt (roz. ormal). zgod. eobcążo 3. ajbardzej efekt (roz. ormal). zgod ( ) Odchlee stadardoe Odchlee stadardoe z prób ˆ ( ). zgod. eobcążo. zgod ˆ ˆ. zgod Estmator ozaczoe daszkem stosujem dla małej prób (<30). 3
8.6. Hpoteza statstcza jej erfkacja Hpoteza statstcza: każd sąd o populacj geeralej da a podstae badań częścoch, dając sę zerfkoać metodam statstczm, czl a podstae kó badań prób Hpoteza parametrcza: hpoteza dotcząca parametró rozkładu statstczego. Hpotez erfkujem za pomocą testó statstczch. Test statstcz: metoda postępoaa, która każdej próbce,,..., przporządkouje z ustalom pradopodobeństem deczje odrzucea lub przjęca spradzaej hpotez. Test statstcze parametrcze test stotośc test zgodośc służą do erfkacj hpotez parametrczch odrzucć cz też e hpotezę jścoą (zeroą) test erfkujące hpotez dotczące zgodośc pomędz rozkładem artośc próbce rozkładem teoretczm. Przkładem jest test χ Pearsoa 3
8.6.. Parametrcze test stotośc Rozpatrzm pożej 3 parametrcze test stotośc dotczące: a) artośc oczekaej; b) różc artośc oczekach dóch próbkach; c) aracj odchlea stadardoego. Teza rzeczoa to, co mam udoodć metodą statstczą, p. że artość średa oblczoa dla prób jest ększa od artośc oczekaej populacj geeralej. W tm celu formułujem hpotezę, którą zamerzam erfkoać. Nazam ją hpotezą zeroą ozaczam H 0. Może oa brzmeć astępująco: artość oczekaa jest róa μ 0, co zapszem H 0 : μμ 0. Zkle testujem hpotezę zeroą obec hpotez alteratej H a, p. H a : μμ μ 0. Wk erfkacj jakejś hpotez e dają am absolutej peośc, ale osk możem sformułoać z doole dużm pradopodobeństem. Tezę rzeczoą, którą chcem udoodć metodą statstczą zkle e przjmujem jako hpotez zeroej H 0, ale jako hpotezę alteratą, którą przjmujem po eetualm odrzuceu hpotez zeroej H 0. Testoae składa sę z astępującch etapó: ) formułoae tez rzeczoej ustaleu hpotez H 0 H a ; ) Wboru łaścej fukcj testoej (statstk z prób); 3) Przjęcu stosoego pozomu stotośc α 4) Odcztau artośc krtczch tablcach dstrbuat łaścego rozkładu ustaleu obszaru krtczego; 5) Odrzuceu hpotez zeroej a korzść hpotez alteratej, gd fukcja testoa oblczoa z prób zajduje sę obszarze krtczm e odrzucee jej, gd fukcja testoa jest poza obszarem krtczm 33
8.6.. Test stotośc dla artośc oczekaej Testoać będzem 3 arat hpotez H 0 H a ) H 0 : μμ 0 ; H a : μμ μ 0 ) H 0 : μμ 0 ; H a : μμ <μ 0 3) H 0 : μμ 0 ; H a : μμ >μ 0 W przpadku, gd erfkację operam a dużej próbe (>30) zae są parametr populacj, ajgodejszą fukcją testoą jest średa μ stadarzoaa u. ο Z taką stuacją spotkam sę techczej kotrol jakośc produktó. W przpadku, gd erfkację operam a małej próbe (<30) ezae są parametr rozkładu, to statstką testoą będze μ t 0. Ma oa rozkład tudeta o (-) stopach sobod, dlatego ależ sę posługać tablcam rozkładu tudeta 0.40 0.35 0.30 0.5 ) H 0 : μμ 0 ; H a : μμ μ 0 0.0 0.5 0.0 0.05 0.00 α / -α α / -3 - - 0 3 -t,α t,α Dustro obszar krtcz (odrzuć H 0 a korzść H a ) (-, -t,α ), (t,α, + ) 34
0.40 0.35 0.30 ) H 0 : μμ 0 ; H a : μμ <μ 0 0.5 0.0 0.5 0.0 0.05 0.00 α -α -3 - - 0 3 -t,α t,α Jedostro obszar krtcz (odrzuć H 0 a korzść H a ) (-, -t,α ) 0.40 0.35 0.30 0.5 3) H 0 : μμ 0 ; H a : μμ >μ 0 0.0 0.5 0.0 -α α Jedostro obszar krtcz (odrzuć H 0 a korzść H a ) 0.05 (t,α, + ) 0.00-3 - - 0 3 -t,α t,α 8.6.3. Woskoae dotczące róośc artośc oczekach Często zachodz koeczość poróaa kó dóch prób odpoedzea a ptae, cz pochodzą oe z tej samej populacj geeralej, co formale zapsujem postac hpotez zeroej H 0 : μ μ. Dla małch prób o ezaej aracj fukcją testoą może bć zmea losoa t tudeta. Moża udoodć astępujące terdzee: 35
Jeżel mam de prób losoae z populacj o takej samej aracj σ : próbę I o lczebośc pochodzącą (z populacj o rozkładze N(μ, σ) próbę II o lczebośc pochodzącą z populacj o rozkładze N(μ, σ), to zmea losoa t ( μ ) μ + + + ma rozkład tudeta o ( + -) stopach sobod. W tm zorze ozacza arację z prób. Po ustaleu hpotez zeroej H 0 alteratej H a, dalsze etap testoaa są take same jak przpadku poprzedego puktu. ( ) 8.7. Testoae hpotez dotczącch aracj odchlea stadardoego Będzem testoać hpotezę, że aracja ma ścśle określoą artość σ 0. Test operam a fukcj testoej χ. Próba została losoaa z populacj geeralej N(μ,σ) o ezaej artośc oczekaej μ ezam odchleu stadardom σ. Werfkujem hpotezę zeroą H 0 obec jedej z trzech hpotez alteratch H a. Fukcją testoą będze χ o (-) stopach sobod. ( ) σ 0 σ 0 σ 0 ( ) 36
0 0 5 5 0 5 α/ - α α/ 0 - α 5 α 0 0 0 4 6 8 0 4 0 4 6 8 0 4 χ χ χ H 0 : σ σ 0 ; H a : σ σ 0 dustro obszar krtcz H 0 : σ σ 0 ; H a : σ >σ 0 jedostro obszar krtcz (odrzuć H 0 a korzść H a ) (odrzuć H 0 a korzść H a ) (0, χ ), ( χ, ) ( χ, ) 0 5 0 α -α 5 0 0 4 6 8 0 4 χ H 0 : σ σ 0 ; H a : σ <σ 0 jedostro obszar krtcz (odrzuć H 0 a korzść H a ) (0, χ ) 37
Test zgodośc χ Pearsoa łuż do testoaa hpotez dotczącch dstrbuat, gęstośc pradopodobeństa lub fukcj pradopodobeństa (dla cech skokoej). Testem zgodośc azam test do erfkacj hpotez dotczącej zgodośc pomędz rozkładem zboru artośc próbe postuloam rozkładem teoretczm. Na podstae p. koach hstogramó suam hpotezę zeroą, że p. dstrbuatą badaej cech jest jakaś kokreta fukcja. Hpotezą alteratą będze zaprzeczee hpotez zeroej. Hpotezę zeroą możem odrzucć a przjętm pozome stotośc α lub też sterdzć, że badaa próbka e jest sprzecza z hpotezą zeroą a tm pozome stotośc. Procedura erfkoaa hpotez zeroej jest astępująca: a) Dzelm k dośadczale a k klas (k 5) o lczebośc każdej klase co ajmej 6; b) Oblczam teoretcze pradopodobeństo p, że ależ do tej klas; c) Oblczam lczebość teoretczą p daej klase; Numer Grace Lczebośc Pradopodobeństo Lczebośc klas klas dośadczale teoretcze p hpotetcze g 0 g p p g g p p k g k- g k k p k p k p 38
d) Oblczam artość χ χ d, tz. ch-kadrat dośadczalego d ( p ) k tatstka ta ma rozkład χ o (k-) stopach sobod. e) Z tablc rozkładu ch-kadrat, dla braego pozomu stotośc f) Gd α, odcztujem artość d d α χ α. p χ < χ, to hpotez zeroej e odrzucam. Gd atomast α χ > χ, to oskujem, że pobraa próbka przecz hpoteze zeroej a pozome stotośc α. Obszarem krtczm jest zatem jedostro obszar ( χ, ). α 8.8 Regresja loa 8.8.. Parametr dumaroch zmech losoch Dumaroa zmea losoa: zdarzee elemetare moża opsać za pomocą uporządkoaej par lczb (, ), p. pomar prądu apęca a oporku. dla zmeej losoej cągłej Koaracja {[ X E( X ), Y E( Y ) ]} cov( X, Y ) σ E σ + + ) ( μ )( μ ) f ( d d 39
40 dla prób -elemetoej losoaej z populacj ( )( ) gd σ 0, to te de zmee są ezależe. Współczk korelacj loej σ σ σ ρ dla populacj geeralej r dla prób () Współczk r jest estmatorem zgodm (ale obcążom, E(r) ρ) spółczka ρ. Współczk korelacj mus bć zaart przedzale (-, +). Gd ρ0, to e zachodz korelacja, zmea X e pła a zmeą Y. Korelacja jest maksmala, gd ρ±. Wzor do oblczaa koaracj spółczka korelacj loej ( )( ) + + + ) ( ()
4 ( ) + + (3) Zatem spółczk korelacj loej z prób r Wzór poższ otrzmuje sę po podstaeach róań () (3) do () oraz pomożeu lczka maoka przez. Woskoae dotczące korelacj. Odpoadam a ptae, cz steje korelacja pomędz dema zmem. Hpoteza zeroa: H 0 : ρ0 (e ma korelacj) Hpoteza alterata H a : ρ >0 Fukcją testoą jest zmea losoa tudeta t o (-) stopach sobod r r t Z tablc rozkładu tudeta odcztujem dla cześej przjętego pozomu stotośc α - artość krtczą t -,α. Jeżel oblczoa artość t zajduje -3 - - 0 3 0.00 0.05 0.0 0.5 0.0 0.5 0.30 0.35 0.40 -t,α t,α α / α / -α
dustrom obszarze krtczm (-, - t -,α ), (t -,α, + ), to H 0 ależ odrzucć a korzść hpotez H a 8.8.. Regresja loa Róae ążące de zmee losoe, chodzące skład dumaroej zmeej losoej aza sę róaem regresj. Gd róae to jest loe, móm o regresj loej. Dla populacj Dla prób α+β a+b α, β - spółczk regresj a, b spółczk regresj loej populacj loej dla prób Współczk keruko prostej a spółczk przesuęca b są estmatoram spółczkó α β. Emprcze spółczk regresj loej a b oblcza sę metodą ajmejszch kadrató. W metodze tej mmalzoaa jest pea fukcja (a, b) - zależą od spółczkó a b - będąca sumą kadrató odchłek puktó dośadczalch od poszukaej prostej. Ogóle róae a fukcję moża zapsać postac [ ( ) ( X ) + ( ) ( Y ) ] gdze (, ) są zmerzom param puktó, (X, Y ) odpoadającm m puktam a prostej, ( ) ( ) agam, odpoedo -oą -oą puktu -tego. Wag są odrotoścam kadrató epeoścam odpoedch puktó pomaroch, zatem ( σ ( )), ( ) / ( σ ( )) ( ) /, 4
gdze σ ozacza odchlee stadardoe. W zależośc od aszej edz o epeoścach merzoch puktó pomaroch moża rozpatrzć 5 przpadkó zaczaa prostej metodą ajmejszch kadrató. (I) Gd a+b jest prostą regresj cech Y zględem X. Jest to hstorcze persz rozpatrzo arat metod dopasoaa prostej do kó ekspermetalch (Legedre, Laplace, Gauss). Moża go azać ormalą metodą ajmejszch kadrató (ag. ormal least squares). tosujem te przpadek ted, gd epeoścam σ obarczoe są jede elkośc, zatem X. Przjmujem, że szstke σ ag są róe róa ε a b. Odchłka -tego puktu (, ) od l prostej będze. Zazaczoa jest oa odckem prostej a rsuku pożej. uma kadrató, którą mmalzujem będze róa ε σ.ab zaczć spółczk a b różczkujem zględem a zględem b, a otrzmae pochode przróujem do zera: 0, 0. Mam zatem a b Y 0 5 0 5 0 układ du róań z dema eadomm: ( a b ) ( a b ) 0 0-5 0 4 6 8 0 X Rozązując te układ róań otrzmam 43
a b Poższe zor a spółczk a b moża także zapsać zęzłej postac: a r b a Otrzmaa prosta przechodz przez pukt (, ). (II) Gd a +b jest prostą regresj cech X zględem Y. tosujem te przpadek ted, gd epeoścam obarczoe są jede elkośc. Wted metoda ajmejszch kadrató daje astępujące zor a a b : 0 5 0 Y a' b' r a' 5 0-5 0 4 6 8 0 X Także ta prosta przechodz przez pukt (, ). Gd spółczk korelacj r ma artość ±, to proste (II) (I) pokrają sę. Gd 0< r <, to obe proste przecają sę pukce (, ), torząc pee kąt mędz sobą. (III) Gd a +b jest prostą regresj ortogoalej. tosujem te przpadek ted, gd epeoścam o takej samej elkośc obarczoe są zaróo jak, jak róeż ted, gd epeośc e są zae. 44
Model te aza jest także modelem stadardom z agam (ag. stadard eghtg model). Zakładam, że ag fukcj są szstke take same róe jedośc. Odchłką ε jest tm przpadku odcek prostopadł do l prostej (rsuek ε obok), zatem ε + a mmalzoaa suma kadrató ( a b) + a. Metoda ajmejszch kadrató daje astępujące zor a a b : Y 0 5 0 5 0-5 0 4 6 8 0 X a' ' b' ' a' ' + ( ) + 4 (IV) Model stadardo z ezależm agam W modelu tm epeośc stępują zaróo dla jak dla. Wszstke epeośc -oe są take same, tz. ( ), a także szstke epeośc -oe są róe, tz. ( ). Dla każdego puktu pomaroego (, ) proadzam efektą agę (taką samą), zdefoaą astępująco + a co spooduje, że fukcja sum kadrató przjme postać ( a, b) ( a b). 45
46 Przróae pochodch cząstkoch tej fukcj do zera daje am da róa, z którch moża oblczć spółczk a b; a b a + + ± ± + / Róae a spółczk a daje de artośc; jeda (łaśca) odpoada mmum fukcj, druga odpoada maksmum fukcj dla doolej l prostej przechodzącej przez pukt ), (. (V) Model z ezależm agam W modelu tm eróm epeoścam obarczoe są. Wproadźm efektą agę -tego puktu ) ( ) ( ) ( ) ( a + Wted fukcja przjme postać a b b a ) ( ), ( Przróae pochodch cząstkoch tej fukcj do zera daje am da róa, z którch spółczkó a b e moża zaczć aaltcze, a jede metodą teracj.