Fizyka Ogólna Wykład Dyfrakcja Zasada Huygensa: Kaódy punkt, do którego dotar»a fala staje si ïród»em fali kulistej W efekcie: obserwujemy fale, które s superpozycj fal kulistych (wtórnych). Kiedy wi c zas»onimy cz у frontu falowego (powstawanie cienia) to ujawnia si kulista (cylindryczna) natura fal czstkowych. Prowadzi to do dyfrakcji tj. kaódego odchylenia od prostoliniowego biegu fali, które nie jest wynikiem ani odbicia ani za»amania. Rozróónia si dwa typy dyfrakcji: dyfrakcj Fraunhofera: gdy moóna uznaƒ, óe ïród»o fali znajduje si niesko½czenie daleko (fala jest fal p»ask) dyfrakcj Fresnela - gdy tak za»aoóyƒ nie moóna i trzeba uwzgl dniaƒ w opisie krzywizn powierzchni sta»ej fazy.
Fizyka Ogólna Wykład Dyfrakcja Fraunhofera na pojedy½czej szczelinie by zobaczyƒ obraz dyfrakcyjny szczeliny (tj. uzyskaƒ interferencj na ekranie) w przypadku dyfrakcji Fraunhofera (fala p»aska!) musimy wstawiƒ za szczelin soczewk. Naprzeciw szczeliny powstaje najjaśniejszy prąŝek: prąŝek zerowy Pozosta»e próki powstaj tam gdzie drogi optyczne poszczególnych promieni b d odpowiednio przesuni te wzgl dem siebie. Minimum pierwszego rz du powstaje tam gdzie Γ= λ albo Γ3= λ sin θ = Γ3 a Warunek na minima a sin θ = ± m λ ; m=,, 3,... gdzie a szerokoñƒ szczeliny. Uwaga: formalnie to jest ten sam wzór co dla siatki dyfrakcyjnej z t róónic, óe sta»a stojca przed funkcj sinus ma inne znaczenie! W dyfrakcji Fraunhofera odlegloñƒ od ekranu nie wp»ywa na po»oóenie minimów.
Fizyka Ogólna Wykład 3 Z warunku na minimum wynikaj w»asnoñci obrazu dyfrakcyjnego dla róónych d»ugoñci fali w stosunku do szerokoñci szczeliny: Rozkład amplitudy i nat óenia Ñwiat»a na ekranie w dyfrakcji Fraunhofera na pojedy½czej szczelinie Podzielmy szczelin na jednakowe strefy. Dla ustalenia uwagi niech ich b dzie. Czstkowe amplitudy dodaj si wtedy wektorowo w prąŝku centralnym z jednakowymi fazami:
Fizyka Ogólna Wyk»ad 4 mplituda fali świetlnej na ekranie poza punktem centralnym obrazu dyfrakcyjnego zaleŝy od przesunięcia fazy δ/ pomiędzy fazą promienia docierającego w danym punkcie ekranu a δ sin Σ δ promieniem centralnym: = sin = Σ δ δ Nat óenie I
Fizyka Ogólna Wyk»ad 5 Kryterium zdolnoñci rozdzielczej Rayleigha Dwie linie na rysunku s rozróónialne (np. w mikrokopie lub przez lunet ) gdy ich maksima dyfrakcyjne s rozróónialne. Gdy szczelina jest okrg»a (tak jak np. soczewka mikroskopu) i ma Ñrednic D to warunek na minimum w obrazie dyfrakcyjnym ma formalnie tak sam postaƒ jak dla szczeliny liniowej sin θ = m λ D gdzie λ jest d»ugoñci fali. Tym razem jednak m nie jest wielkoñcia ca»kowit i dla pierwszego minimum wynosi.. Poniewaó przy rozpatrywaniu rozdzielczoñci przyrzdów optycznych kty θ s ma»e wi c minimalny rozdzielczoñƒ ktowa wynosi: λ θ min =. D
Fizyka Ogólna Wyk»ad 6 W zaleónoñci od kszta»tu szczeliny obrazy dyfrakcyjne mog byƒ róóne. Przyk»ad:
Fizyka Ogólna Wyk»ad 7 Dyfrakcja Fresnela Modyfikacja konstrukcji obrazu dyfrakcyjnego przez Kirchoffa Z zasady Huygensa wynika, óe fale kuliste rozchodzc si izotropowo a wi c równieŝ wstecznie. tego nie obserwuje si w doñwiadczeniach. Kirchoff wprowadzi» czynnik kierunkowy: ( θ )= 0 ( + cos θ )= 0 cos ( θ ) Ca»ki Fresnela i spirala Cornu Kiedy nie moŝna załoŝyć, Ŝe źródło światła znajduje się nieskończenie daleko opis obrazów dyfrakcyjnych zmienia się. W dyfrakcji Fresnela: o wprowadza poprawkę Kirchoffa o uwzgl dnia krzywizny powierzchni falowej Dla ustalenia uwagi: dana jest półnieskończona, płaska przesłona. Interesuje na obraz dyfrakcyjny otrzymany na ekranie oświetlonym falą świetlną przez źródło znajdujące się skończonej odległości od przesłony
Fizyka Ogólna Wyk»ad 8 by otrzymać obraz dyfrakcyjny dzieli się obszar szczeliny na strefy o infinityzymalnie małej szerokości dy i dodaje przyczynki dw pochodzące od tych stref na ekranie w punkcie P. KaŜdy z przyczynków ma inną fazę bo droga optyczna jaką fala związana z nim pokonuje jest inna. Gdy spe»nione s za»oóenia dyfrakcji Fraunhofera, w centrum prąŝka ciemnego (minimum dyfrakcyjne) amplituda wypadkowa wynosi 0. W dyfrakcji Fresnela tak nie jest zarówno ze względu na poprawkę Kirchoffa jak i krzywiznę front falowego. W dyfrakcji Fresnela do otrzymania obrazu dyfrakcyjnego słuŝy specjalna krzywa spirala Cornu. Nie wchodząc w szczegóły matematyczne jakie do niej prowadzą: π Γ πv wprowadza się pomocniczą zmienną v związaną z drogą optyczną Γ = λ π przesunięcie fazy fali δ wynikające z przebytej przez nią drogi optycznej Γ δ = Γ λ Wtedy natęŝenie fali na ekranie w punkcie P określonym przez zmienną v wyraŝa si poprzez ca»ki Fresnela, ktore nie zaleó od a,b i λ v v π v π I = const( a,b, ){ [ ( ) dv + [ ( v λ cos ] ) dv ] } v sin v Sta»a przed ca»k zaleóy od odleg»oñci a ïród»a od przeszkody oraz od odleg»osci przeszkody od ekrany ekranu b oraz od d»ugoñci fali λ.
Fizyka Ogólna Wyk»ad 9 Ca»ki Fresnela odk»ada si na osiach uk»adu kartezja½skiego wprowadzajc wspó»rz dne: v x= cos( π v ) dv 0 v y = sin( π v ) dv 0 gdzie v jest d»ugoñcia krzywej - spirali Cornu - mierzon od pocztku uk»adu wspó»rz dnych (0,0). πv jest krzywizn spirali Cornu w kaódym punkcie πv jest ktem nachylenia spirali
Fizyka Ogólna Wyk»ad 0 Punkt K w (x,y) = (-0.5,-0.5) reprezentuje punkt leó cy na ekranie g» boko w cieniu (punkt w - ). Punkt K w (x,y) = (0.5,0.5) reprezentuje punkt na ekranie daleko w obszarze oñwietlonym (punkt w ). Nat óenie I wyznacza si jako d»ugoñƒ wektora» cz cego punkt K z analizowanym punktem na ekranie o zadanych wspó»rz dnych (x,y). Przesuwaj c koniec wektora od K do K otrzymuje si rozk»ad nat óenia dla kraw dzi: {hyperlink: http://www.ph.unimelb.edu.au/~ssk/fresnel/edge.html}
Fizyka Ogólna Wyk»ad Efekt ten jest dobrze widoczny - moóna go sfotografowaƒ:
Fizyka Ogólna Wyk»ad Strefy Fresnela W celu obliczenia nat óenia fali Ñwietlnej pochodzcej od czo»a fali p»askiej w punkcie P odleglym od tego czo»a o d podzielimy czo»o fali na okregi o specjalnie dobranych promieniach r k takich, óe odleg»oñƒ okr gu od punktu wniesie r k + d λ =(d + k ) r k = k d λ + k λ k 4 pole powierzchni strefy d λ λ d + k π rk - π rk-= π d λ Jak widaƒ podzieliliñmy czo»o fali p»askiej na strefy takie,óe w punkcie P odleg»ym o d od czo»a fale pochodzce od ssiednich stref s przesuni te w fazie o π. mplituda wypadkowa w punkcie P jest sumą amplitud z poszczególnych stref: = - + - +... 3 4 5 = +( - + 3 )+( 3-4 + 5 )+( 5-6 + 7 )+...
Fizyka Ogólna Wyk»ad 3 Od czego zaleóy wartoñƒ k? od wielkoñci powierzchni kaódej strefy: s prawie równe ale powoli wzrastaj z k bo rk = k d λ od odleg»oñci strefy od punktu P: powoli wzrasta z k Kaóda strefa najsilniej promieniuje prostopadle do swej powierzchni (poprawka Kirchoffa). Std k maleje z k Okazuje si, óe drugi czynniki równowaóy wp»yw pierwszego. Ostatecznie > > 3 >... Jednakóe od strefy do strefy zmiany amplitud s niewielkie wi c k -+ = k+ k
Fizyka Ogólna Wyk»ad 4 Ostatecznie wynikowa amplituda w punkcie P odleglym o d od czo»a fali pochodzca od calego czo»a fali wynosi = tj. po»ow amplitudy -szej strefy Fresnela (/4 nat óenia fali pochodzcego od tej strefy) P»ytka strefowa Fresnela Istnienie stref Fresnela moŝna wykorzystaƒ praktycznie: Gdy zas»onimy wszystkie z nast pnie b dziemy po kolei jed ods»aniaƒ zaczynajc od pierwszej to nat óenie w punkcie d b dzie si zmieniaƒ: Lini przerywan zaznaczono nat óenie jakie otrzyma si gdy wszystkie strefy zostan ods»oni te. W p»ytce strefowej Fresnela zas»ania si co drug stref - dzi ki czemu do punktu d docieraj tylko fale w fazie. W efekcie p»ytka strefowa z 0 strefami daje 400 wzrost nat óenia w punkcie P.
Fizyka Ogólna Wyk»ad 5 P»ytka strefowa ma wi c w»asnoñci soczewki skupiajcej z d pe»nic rol ogniskowej soczewki. Takie soczewki s uóywane powszechnie w rzutnikach pisma - szczególnie tych przenoñnych. Jednakóe w dyfrakcji maksima wyst puj zarówno po jednej stronie szczeliny jak i po drugiej - soczewka Fresnela jest wi c jednoczeñnie skupiajca jak i rozpraszajca. Jeszcze silniejszy efekt: - zamiast zas»aniaƒ co drug stref Fresnela - w co drugiej strefie zmienimy faz fali tak aby w punkcie d fale ze wszystkich stref by»y w fazie.
Fizyka Ogólna Wyk»ad 6 Zastosowania dyfrakcji - siatki dyfrakcyjne Gdy fala p»aska pada na ekran po drodze przechodząc przez płaską przesłonę, w której s szczeliny w odleg»oñci d od siebie, to na ekranie powstanie obraz dyfrakcyjny. Maksima widoczne na ekranie b d odchylone od biegu promieni o kt θ, który spe»nia równanie d sin θ = m λ gdzie m = 0, ±, ±, ±3,... Obrazy dyfrakcyjny powstanie zawsze wtedy gdy docierajce do danego punktu czstkowe fale kuliste maj odpowiednie przesuni cie fazy (jest to w istocie obraz inteferencyjny). Dlatego istniej róóne realizacje siatek dyfrakcyjnych: siatka schodkowa
Fizyka Ogólna Wyk»ad 7 siatka odbiciowa W krysztale atomy tworz siatk dyfrakcyjn dla fal rentgenowskich (maj one d»ugoñƒ porównywaln z odleg»oñciami mi dzy atomami) Wtedy Γ = B + BC = BC = d sin θ. Z drugiej strony: maksimum nat óenia fali zaobserwuje si dla Γ = mλ Std wynika tzw. warunek Bragga d sin θ = m λ Wyraóenie to pozwala znajdowaƒ odleg»oñci mi dzyatomowe oraz struktur z dyfrakcyjnych obrazów kryszta»ów. OczywiÑcie p»aszczyzn atomowych w krysztale jest bardzo wiele: co powoduje, óe obrazy dyfrakcyjne kryszta»ów s skomplikowane.
Fizyka Ogólna Wyk»ad Dyfrakcja zajdzie niezaleónie od rodzaju fali: obraz widoczny obok zosta» uzyskany za pomoc mikroskopu elektronowego: falami ulegaj cymi dyfrakcji s tu funkcje falowe elektronów a nie fale röntgenowskie. 8