Wyk»ad wst pny. Podr czniki

Transkrypt

1 Fizyka 2 Wyk»ad 1 1 Podr czniki Wyk»ad wst pny R.Kosi½ski - Wprowadzenie do mechaniki kwantowej i fizyki statystycznej, Oficyna Wydawnicza PW S.Brandt, H.D.Dahmen, Mechanika kwantowa w obrazach, PWN1989. A.Sukiennicki, A.Zagórski, Fizyka cia»a sta»ego, WNT 1984 (Seria Podr czniki Akademickie - Elektronika, Informatyka, Telekomunikacja) R.P. Feynman, R.B. Leighton, M.Sands, Feynmana wyk»ady z fizyki, tom III, PWN - wiele wyda½ - ostatnie F.Reif, Fizyka statystyczna, PWN Ciekawa strona internetowa: {hyperlink: Zbiory zada½: J.B. Brojan, J.Mostowski, K.Wódkiewicz, Zbiór zada½ z mechaniki kwantowej, PWN 1978 L.Tykarski (red.), Zbiór zada½ z podstaw fizyki, Wydawnictwa Politechniki Warszawskiej 1977.

2 Fizyka 2 Wyk»ad 1 2 Kryzys Fizyki Klasycznej Burzliwy rozwój fizyki i techniki (uk»ady elektroniczne, lasery, komputery kwantowe i technika jdrowa, chemia) by»by niemoóliwy bez mechaniki kwantowej mechanika kwantowa s»uóy do analizy zjawisk w mikroñwiecie i powsta»a na skutek analizy danych doñwiadczalnych nie dajcych si wyjañniƒ za pomoc fizyki klasycznej mechaniki kwantowej nie da si wyprowadziƒ - jest postulowana przy jej konstruowaniu trzeba odstpiƒ od wielu pogldów i poj ƒ zakorzenionych w fizyce klasycznej Przyk»ady: ruch cia»a po torze ze ÑciÑle okreñlonym po»oóeniem i p dem d r samo poj cie pr dkoñci rozumianej jako dt Nie jest to takie dziwne: W fizyce klasycznej istniej takie poj cia jak temperatura, których zastosowanie ma sens tylko w pewnym ograniczonym zakresie (w przypadku temperatury - duóa liczba czsteczek i stan równowagi termodynamicznej uk»adu)

3 Fizyka 2 Wyk»ad 1 3 Koniecznoу wprowadzenia mechaniki kwantowej wynikiem szeregu doświadczeń przeprowadzonych na prze»omie XIX i XX wieku. promieniowanie cia»a doskonale czarnego Definicja: Cia»o jest doskonale czarne gdy jego wspó»czynnik poch»aniania wynosi 1 Interpretacja: takie cia»o nie odbija promieniowania i promieniuje dok»adnie tyle ile poch»ania. Doskonale czarne - gdy jego w»asnoñci nie zaleó od materia»u z jakiego jest wykonane Istniej jedynie modele ciała doskonale czarnego:

4 Fizyka 2 Wyk»ad 1 4 Wynik badania tych modeli w XIX w.: Gdy roñnie temperatura T - roñnie teó maksymalna cz stoñƒ fali e-m. promieniowanej przez cia»o John William Strutt, III Baron Rayleigh ( ) James Jeans ( )

5 Fizyka 2 Wyk»ad 1 5 Zarys klasycznej teorii promieniowania cia»a doskonale czarnego Rayleigha-Jeansa dana jest wn ka metalowa o Ñcianach jednorodnie ogrzanych do temperatury T. Ðcianki wn ki promieniuj fal elektromagnetyczn fale te s falami stojcymi. Moóna pokazaƒ, óe w przedziale cz stoñci v, v + dv przy zadanych rozmiarach wn ki znajduje si w niej N(v) fal, przy czym ν = c/ λ, gdzie c pr dkoñƒ fali e-m a λ to jej d»ugoñƒ pomi dzy wn k a falami wewntrz niej ustala si równowaga termodynamiczna (sta»a temperatura ca»ego uk»adu) wi c moóna potraktowaƒ uk»ad jako pude»ko z gazem doskona»ym. Pozwala to obliczyƒ nast pujce wielkoñci: Ñredni energi < ε >= kt - nie zaleóy od czestoñci (!) bo: o fala ma 1 stopie½ swobody - amplitud ; o d»ugoñƒ fali wynika z tego, óe jest ona stojca. o Energia fali jest proporcjonalna do kwadratu jej amplitudy. o Z w»asnoñci ruchu harmonicznego < ε >= 2 < ε k >. Na jeden stopie½ swobody gazu kt doskona»ego przypada energia kinetyczna ) 2

6 Fizyka 2 Wyk»ad 1 6 g stoñƒ widmow energii fali N( ν )< ε > 8π ν ρ T ( ν )= = kt V 3 c gdzie V - obj toñƒ wn ki Wynik ten nie zgadza się z doświadczeniem: gęstość widmowa rośnie z częstością ν (tzw. katastrofa w nadfiolecie) Spostrzeóenie Plancka: gdyby tak w granicy średnia energia < ε > 0 to katastrofy w ν ultrafiolecie uda»oby si uniknƒ. Ðrednia energia b dzie maleƒ w funkcji częstości jeñli energia b dzie si zmieniaƒ nie w sposób cig»y lecz kwantami (porcjami) o wielkoñci E. 2

7 Fizyka 2 Wyk»ad 1 7 Planck przyj», óe zaleónoñƒ energii od cz stoñci jest liniowa tj. E ν ze sta» proporcjonalnoñci h dopasowan na podstawie doñwiadczenia pomiaru promieniowania cia»a doskonale czarnego h = [N s] Rozumowanie Plancka było następujące: Aby zrozumieƒ dlaczego Ñrednia energia fal we wn ce maleje do 0 gdy cz stoñƒ roñnie nieograniczenie trzeba rozpatrzeƒ jak w fizyce statystycznej oblicza si takie Ñrednie. Dla gazu doskona»ego: rozk»ad g stoñci prawdopodobie½stwa Botzmanna P(E) E exp - kt P(E)= kt wyraóa prawdopodobie½stwo znalezienie w danym uk»adzie obiektu (tu: fali) o energii z przedzia»u E,E+dE.

8 Fizyka 2 Wyk»ad 1 8 Rozkład Boltzmanna P(E) otrzymuje si wtedy gdy: liczba stanów energetycznych nie zaleóy od E uk»ad zawiera bardzo wiele obiektów w stanie równowagi termodynamicznej. Ðrednia wartoñƒ wielkoñci okreñlonej przez rozk»ad prawdopodobie½stwa P(E) dana jest przez niezaleŝnie od postaci tego rozkładu < ε >= 0 0 E P(E) de P(E) de Pole powierzchni pod krzyw (rys. na lewo) to oczywiñcie szukana ca»ka tj. Ñrednia energia <ε >= kt

9 Fizyka 2 Wyk»ad 1 9 JeÑliby energia E nie by»a cig»a a zmienia»a si kwantami o wielkoñci E (rys. na prawo) to <ε >< kt Skoro energia zmienia się kwantami E, ca»ki w wyraóeniu na Ñredni statystyczn przechodz w sumy n E n E exp - n=0 kt hν < ε >= = n E hν exp - exp - 1 n=0 kt kt (wyraóenie po prawej to suma szeregu geometrycznego z ilorazem mniejszym od 1) hν dla 0 kt hν dla kt Średnia energia jaką otrzymał Planck ma nast pujce w»asnoñci: funkcj eksponenjaln moóna rozwinƒ w szereg i zachowaƒ pierwszy wyraz a wtedy < ε > < ε > 0 kt i dok»adnie odtwarza wynik doñwiadczenia z promieniowaniem cia»a doskonale czarnego w»cznie z tzw. prawem przesuni ƒ Wiena T = [m K] λ max Dowodzi to skwantowania energii fali elektromagnetycznej. hν Pokazuje teó, óe skwantowanie to nie b dzie widoczne (mierzalne) gdy b dzie dostatecznie ma»e kt

10 Fizyka 2 Wyk»ad 1 10 Dowód doświadczalny doskonałości opisu ciała doskonale czarnego:

11 Fizyka 2 Wyk»ad 1 11 Zewn trzne zjawisko fotoelektryczne DoÑwiadczenie Herza (koniec XIX w.): pomimo przy»oóenia do elektrod potencja»u hamujcego - gdy katod oñwietlono Ñwiat»em ultrafioletowym - prd elektryczny p»yn».

12 Fizyka 2 Wyk»ad 1 12 Wniosek elektrony by»y wybijane przez Ñwiat»o z energi dostateczn do pokonania potencja»u hamujcego. Ponadto: liczba elektronów by»a proporcjonalna do nat óenia promieniowania energia elektronów wybitych z katody nie zaleóy od nat óenia a zaleóy do cz stoñci promieniowania Interpretacja zgodna z fizyk klasyczn: amplituda drga½ elektronów w metalu elektrody amplitudy fali elektromagentycznej => gdy roñnie amplituda fali roñnie energia elektronów zjawisko powinno zachodziƒ dla dowolnej cz stoñci v ale dla dostatecznie duóych nat ó ½ - a tak nie jest jeñli nat ó nie jest ma»e to elektron powinien przez pewien czas absorbowaƒ absorbowaƒ energi aó jego energia kinetyczna wzroñnie na tyle aby móg» pokonaƒ prac wyjñcia z metalu.

13 Fizyka 2 Wyk»ad 1 13 Interpretacja kwantowa zjawiska fotoelektrycznego (nagroda Nobla dla Einsteina w 1905 r.): Ñwiat»o jest strumienie czstek (fotonów), które s nosnikami energii zjawiska takie jak interferencja, dyfrakcja i inne zjawiska w optyce s obserwowane gdy udzia» bierze wiele fotonów tj. wynikaj one ze Ñrednich (tj. statystycznych) w»asnoñci fotonów w procesie emisji ïród»o promieniowania przechodzi od stanu o energii n hv do stanu o energii (n-1) hv promieniujc kwant o energii E = hv Kwant jest zlokalizowan w przestrzeni porcj energii poruszajca si z pr dkoñci Ñwiat»a Einstein za»oóy», óe w procesie fotoelektrycznym 1 foton zderza si z 1 elektronem. Wtedy energia kinetyczna elektronu równa jest = h gdzie w 0 jest prac wyjñcia elektronu z metalu. - w E k ν 0 W trakcie zderzenia z elektronem foton przekazuje mu p d p f = E hν = c c Uwzgl dniajc zwyk»e zwizki dla fali harmonicznej moóna p d fotonu wyraziƒ jako: p f h h 2π = = = h k λ 2π λ

14 Fizyka 2 Wyk»ad 1 14 Teoria Einsteina w zupe»noñci wyjañnia zjawisko fotoelektryczne: Przyk»ad: widaƒ natychmiast, óe podwojenie nat óenia Ñwiat»a powoduje podwojenie nat óenia prdu a nie wzrost energii kinetycznej elektronów efekt Comptona (1923) Compton rozprasza» monochromatyczne, p»askie fale rentgenowski na cienkich foliach z»ota. Fale te rozpraszaj si na elektronach w metalu, przy czym d»ugoñƒ fali rozproszonej λ 1 róóni si od d»uoñci fali padajcej λ 0 i zaleóy od kta padania θ. Próba wyjañnienie tego zjawiska w oparciu o klasyczn elektrodynamik : Fala padajca pobudza elektron do dgra½ z cz stoñci równ cz stoñci fali (polaryzacja elektronowa). Elektrony drgajc promieniuj fal wtórn o tej samej czestoñci.

15 Fizyka 2 Wyk»ad 1 15 W obrazie korpuskularnym: Fotony zderzaj si z elektronami. Dla takiego zderzenia zasada zachowania p du oraz zasada zachowania energii: r r r h k = h k + m v 2 hν 0 + m0c = hν 1 + mc Std moóna wyznaczyƒ tzw. przesuni cie comptonowskie h λ1 - λ0 = ( 1- cos θ ) 2 m0 c W zjawisku Comptona nie bior udzia»u jdra atomowe materia»u tarczy. Dualizm falowo korpuskularny w zjawisku Comptona: Zjawisko to moóna wyjasniƒ jedynie przy pomocy czsteczkowej natury Ñwiat»a òeby jednak efekt zaobserwowaƒ trzeba zmierzyƒ d»ugoñƒ fali promieni X. Robi si to wykorzystujc dyfrakcj tych promieni na krysztale - tj. korzystajc z natury falowej Ñwiat»a.

16 Fizyka 2 Wyk»ad 1 16 Hipoteza de Broglie a Dualizm falowo-korpukularny dotyczy równieó czstek elementarnych obdarzonych mas a nie tylko fotonów: E = hν Przyk»ad: p = D»ugoу fali materii dla pi»ki futbolowej: m = 1 kg i pr dkoñƒ v = 10 m/s h [J s] λ = = = [ m ] = nm mv m 10[kg ] s a dla elektronu o energii kinetycznej 100 ev λ = ~ 0.12 nm i jest porównywalna z odległościami międzyatomowymi w ciele stałym (kryształach). Prowadzi to do dyfrakcji elektronów w kryształach i w ogóle w tzw. materii skondensowanej. h λ

17 Fizyka 2 Wyk»ad 1 17 DoÑwiadczenie Davissona i Germera DoÑwiadczenie to wykaza»o dualizm falowo korpuskularny materii: Rozpraszano elektrony na czystej powierzchni niklu. Okaza»o si, óe elektrony (cząsteczki) rozpraszaj si na krysztale niklu zgodnie z prawem Bragga (dyfrakcja na 3- wymiarowej siatce dyfrakcyjnej) tj. tak jak rozprasza si np. fala rentgenowska. Ciekawostka: J.J.Thomson wykry» elektron i pokaza», óe jest on czstk (nagroda Nobla 1906) G.P.Thomson (syn J.J.) otrzyma» razem z Davissonem nagrod nobla w 1937 roku za pokazanie, óe elektron jest fal

18 Fizyka 2 Wyk»ad 1 18 Zasada komplementarnoñci Nielsa Bohra W jednym doñwiadczeniu ujawnia si albo tylko falowa albo tylko korpuskularna natura badanych obiektów. Struktura atomu DoÑwiadczenia sprzed 1910 roku dowiod»y, óe istniej atomy - Ñwiadczy»a o tym dyfrakcja promieni Rentgena zgodna z prawem Bragga (dyfrakcja na dyskretnej strukturze przestrzennej) istniej w nich elektrony i maj»adunek ujemny atomy s oboj tne elektrycznie Std wiadomo by»o, óe musi gdzieñ w nich byƒ»adunek dodatni doñwiadczenia Rutherforda (rozpraszanie czstek α na folii z»ota) dowiod»y, óe»adunek ten jest roz»oóony w bardzo ma»ej obj toñci - o Ñrednicy m (Ñrednica atomu wynosi ok m). Ale jak wyjañniƒ dlaczego elektrony przycigane przez dodatnie jdro na nie nie spadaj?

19 Fizyka 2 Wyk»ad 1 19 Propozycja Nielsa Bohra ( ): elektron nie spada na jdro bo jego moment p du jest skwantowany. Model Bohra sprowadza» si do nast pujcych stwierdze½: 1) Elektron w atomie porusza si dooko»a jdra po orbitach ko»owych; ruch ten podlega prawom klasycznej 2) Tylko te orbity s stabilne, dla których fala de Broglie a elektronu jest fal stojc tzn. n λ = 2π rorbity Warunek ten jest równowaóny skwantowaniu d»ugoñci wektora orbitalnego momentu p du elektronu: n h p h = 2π r p r = n 2π r L = nh Bohra regu»a kwantowania

20 Fizyka 2 Wyk»ad ) Ruch po orbitach zgodnych z regu» kwantowania Bohra jest stabilny - nie ma promieniowania energii elektomagnetycznej w trakcie ruchu elektronu - jest to niezgodne z klasyczn elektrodynamik 4) Promieniowanie zwizane z przejñciem elektronu z orbity n na orbit m wynosi h ω = En - Em, gdzie ω jest cz stoñci fali elektromagnetycznej promieniowanej (n < m) lub poch»anianej przez atom (n > m). Model Bohra wyjañni» pochodzenie serii widmowych w spektroskopii optycznej. widmo atomów Ŝelaza Nie wyjañni»: struktury subtelnej linii widmowych (10-4 odst pu pomi dzy liniami g»ównymi). Krytyka starej teorii kwantów 1) Radzi»a sobie wzgl dnie dobrze tylko ze zjawiskami cyklicznymi jak np. ruch elektronu w atomie lub oscylator harmoniczny. Jest jednak wiele zjawisk fizycznych, które nie przebiegaj w sposób cykliczny w czasie. 2) dobrze opisywa»a atomy jednoelektornowe jak atomy H, Li, Na, K, Rb, Cs ale za»amywa»a si ca»kowicie juó przy atomie helu, który ma tylko 2 elektrony!

21 Fizyka 2 Wyk»ad ) okreñla»a poprawnie po»oóenia poziomów energetycznych atomów jednoelektronowych ale nie pozwala»a okreñliƒ nat óe½ linii serii widmowych tj. cz stoñci z jakimi przejñcia pomi dzy poziomami zachodz. Przewidywa»a przy tym wi cej przejñƒ (linii w serii widmowej) nió obserwowano. Aby temu zaradziƒ wymyñlano tzw. regu»y wyboru, które zabrania»y niektórych przejñƒ. 4) Jest to teoria pozbawiona wewn trznej spójnoñci mieszanina poj ƒ klasycznych i ad hoc wprowadzonych poj ƒ kwantowych.