Nie ma techniki bez matematyki Mikroskop elektronowy. Przemysław Borys Wydział Chemiczny Politechniki Śląskiej

Transkrypt

1 Nie ma techniki bez matematyki Mikroskop elektronowy Przemysław Borys Wydział Chemiczny Politechniki Śląskiej

2 Wstęp Gdzie w chemii można spotkać matematykę?

3 Matematyka w chemii przykłady: Mechanika kwantowa i chemia obliczeniowa (równania Schrodingera, Hartree-Focka, itd.)

4 Matematyka w chemii przykłady: Przewidywanie struktury przestrzennej białek o znanej sekwencji aminokwasów (Monte Carlo, błądzenie przypadkowe) ΔE p( x ) exp kb T ( )

5 Matematyka w chemii przykłady: Dokowanie białek ΔE p( x ) exp kb T ( )

6 Matematyka w chemii przykłady: Mechanika płynów w zagadnieniach inżynierii (równania Naviera-Stokesa)

7 Matematyka w chemii przykłady: Zagadnienia transportu dyfuzyjnego (równania Ficka, Smoluchowskiego, Fokkera-Plancka-Kołmogorowa, elektrodyfuzja, stochastyczne i ułamkowe równania różniczkowe) c F 2 = η c+ D c t

8 Matematyka w chemii przykłady: Przewodnictwo ciepła w procesach technologicznych

9 Matematyka w chemii przykłady: Kinetyka reakcji chemicznych (równania różniczkowe)

10 Matematyka w chemii przykłady: Funkcjonowanie aparatury używanej przez chemików: spektroskopia (transformata Fouriera) (slajd+1) F ( j ω)= f ( t )e i ωt dt

11 Co robi transformata Fouriera? (dygresja rozbija sygnał na składowe częstotliwościowe)

12 Matematyka w chemii przykłady: Funkcjonowanie aparatury używanej przez chemików: analiza rentgenostrukturalna (odwrotna transformata Fouriera, twierdzenie Borela o splocie), mikroskopy elektronowe (SEM, TEM równania Maxwella), itd. 1 i k r f ( r )= F ( k ) e dk x dk y dk z 3 ( 2 π)

13 Część zasadnicza #1 Ograniczenia możliwości mikroskopu świetlnego.

14 Oto znany wszystkim mikroskop świetlny

15 Jego schemat w optyce geometrycznej (promienie równoległe do osi optycznej wpadają w ognisko F; promienie przechodzące przez środek soczewki niezmienione)

16 Granica dyfrakcyjna powiększenia mikroskopu optycznego W przypadku gdy oglądane pod mikroskopem obiekty zaczynają mieć rozmiary zbliżone do długości fali, dyfrakcja staje się zauważalna. Stosowanie optyki geometrycznej, na której oparte są konstrukcje soczewkowe mikroskopów, staje się nieadekwatne.

17 Przykład: widok chromosomów dla długości fali rzędu 0.5μm. Rozmyte.

18 Skąd się bierze limit dyfrakcyjny? Żeby zrozumieć granicę dyfrakcyjną rozdzielczości mikroskopu świetlnego, trzeba przypomnieć Zasadę Huygensa: każdy punkt czoła fali świetlnej można traktować jako źródło wtórnej fali kulistej.

19 Dyfrakcja wody na dwóch szczelinach

20 Rozdzielczość obrazu za szczeliną Oto co dzieje się z promieniem światła na wąskim obiekcie, np. na szczelinie: Za szczeliną fale wtórne (zasada Huygensa [-2]) interferują! Jak obliczyć dla danego kąta θ superpozycję (złożenie, sumę wypadkową) tych fal?! Punktów jest nieskończenie wiele! Odpowiedź: rachunek różniczkowy i całkowy.

21 Dyfrakcja na szczelinie o skończonej szerokości...po prostych obliczeniach dostajemy wzór dyfrakcyjny Fraunhofera na natężenie światła w zależności od kąta: E0 λ π d sin θ E= sin cos [ kr ω t ] λ π d sin θ [ ] E0 natężenie światła padającego, d szerokość szczeliny, θ kąt emisji ze szczeliny, ω częstotliwość promieniowania, k wektor falowy (to teraz nieistotne). Dla małego d, argument w nawiasie sinusa jest mały, sinus przybliżamy jego argumentem (slajd+1), a wówczas czynnik πd sin θ skraca się we wzorze na E. E nie zależy od θ!!! Zamiast promienia biegnącego w kierunku θ, są promienie we wszystkich kierunkach! Dla dużych d z kolei mianownik pod szybko tłumi prążki dyfrakcyjne w innych kierunkach i można stosować optykę geometryczną (slajd+2).

22 Dlaczego sinus dla małego argumentu równa się argumentowi? Dokładna rozumowanie wymaga matematyki i rachunku granic, ale popatrzmy na obrazek: W zakresie x od 0 do 0.5 linia zielona i czerwona pokrywa się! x (argument) ma tą samą wartość co sin(x)

23 Dyfrakcja vs. szerokość szczeliny

24 Część zasadnicza #2 Elektrony zamiast fal świetlnych

25 Rada na ograniczoną rozdzielczość mikroskopu świetlnego Nie można zmniejszać długości fali, bo wejdziemy w końcu w zakres fal rentgenowskich, które są przenikliwe i nie ma dla nich soczewek. Rada: wykorzystać elektrony i dualizm korpuskularno-falowy. Niech elektron będzie falą o długości rentgenowskiej, a jego tor zamiast soczewką, zakrzywimy magnetycznie!

26 Materia ma charakter falowy! Za szczelinami elektrony nie grupują się w dwa skupiska, ale interferują jak fale! (slajd+1,+2)

27 Prążki dyfrakcyjne lasera na dwóch szczelinach

28 Interferencja fal wodnych, przypomnienie

29 Hipoteza de Broglie λ=h / p 2 mv p=mv E= 2 p= 2 me E=eU, U =200 kv λ =2 pm

30 Działo elektronowe Jak wyemitować elektrony z działa (katody)? Jak pokonać pracę wyjścia z metalu? Rozkład Maxwella dla energii kinetycznej (trochę matematyki potrzeba, żeby go wyprowadzić).

31 ...ile ruchu (energii) z temperaturą pojawia się w garnku z wodą?

32 Jak wygląda działo elektronowe?

33 Część zasadnicza #3 Soczewki magnetyczne

34 Jak skonstruować soczewkę magnetyczną? jak elektromagnes...

35 Żeby opisać działanie soczewki magnetycznej, potrzebujemy znać rozkład pola magnetycznego B, które ona wytwarza. Potrzebujemy równań Maxwella (bardzo strasznych co to jest rot lub div, lub???): B (SEM Faraday'a) rot E= t E (pr. Ampere'a) rot B =μ 0 J +μ 0 ϵ0 t ρq (pr. Gaussa) div E= ϵ 0 (pr. Gaussa dla B) div B =0

36 Pochodna Pochodna to zwykły iloraz różnic funkcji i (wybranego) argumentu, ale obliczany dla granicy nieskończenie małej zmiany. f (x, y, z ) f ( x+ Δ x, y, z ) f (x, y, z ) =lim Δ x 0 x Δx Dysponując pochodną i wartością f(x,y,z) dla pewnego x, można wyznaczyć f(x+δx,y,z), następnie f(x+2δx,y,z), itd., można wyznaczyć całą funkcję f(x,y,z). Tak samo wyliczamy B.

37 Rotacja Znaczenie rotacji daje Twierdzenie Stokesa, które zredukowane do nieskończenie małego kwadratu wyraża: rot B= [ B x (x, y) Bx ( x+δ x, y+δ y) ] Δ x+ [ B y (x+δ x, y) B y (x, y+δ y) ] Δ y rot B= B x ΔxΔ y Rotacja mierzy wirowość. Jest niezerowa gdy pole wiruje wokół osi, a zeruje się gdy wirowanie zanika. Stąd jej nazwa. ^ rot B= k Bx By ^ +k y x

38 Dywergencja Znaczenie dywergencji wyraża Twierdzenie (nie prawo!) Gaussa. Dla sześcianu o nieskończenie małych bokach dx,dy,dz napiszemy: div B Δ x Δ y Δ z= [ B x (x+δ x) B x (x)] Δ y Δ z+ [ B y ( y+δ y) B y ( y)] Δ x Δ z+ [ B z (z+δ z) B z ( z)] Δ x Δ y Bx B y Bz div B = + + x y z

39 Pole B w soczewce magnetycznej Po łatwych obliczeniach (dla braku źródeł prądu i ładunku, po zredukowaniu równań Maxwella do równania Laplace'a, po przejściu do współrzędnych cylindrycznych i scałkowaniu) dostajemy wyrażenie na pole magnetyczne B (promieniowe), wytwarzane w soczewce magnetycznej: r Bz Br = 2 z

40 Siła Lorentza i dynamika elektronu (slajd+1) F = e v B d v F =m a =m dt Kiedy elektron wpada do soczewki magnetycznej wzdłuż jej osi, siła Lorentza w reakcji na prędkość osiową vz i promieniowe pole magnetyczne Br generuje przyspieszenie po obwodzie jej przekroju (prędkość vθ). Prędkość vθ wraz z polem Bz skutkuje przyspieszeniem w kierunku promieniowym (prędkość vr)

41 Diagram sił w soczewce Siła Lorentza F = e v B Sposób wyznaczania wektora wynikowego iloczynu wektorowego:

42 Równania wyjściowe dv r mv 2θ m = ev θ B z + dt r dv θ m = ev z B r dt (Siła Lorentza i odśrodkowa) (Siła Lorentza)

43 Obliczenie prędkości z poprzednich równań daje: e v θ= r Bz 2m eb z ωθ = nie zależy od r!!! 2m 2 e 2 2 rb z dz m vr = (p. slajd+1) 4 vz

44 Prędkość vr, a ogniskowa Δr h h f h vr = = = = vz Δt Δt f Δt f 2 2 e e 2 2 hb z dz 2 B 2z dz vr m m f= = = Nie zależy od r (czy h)!! 2 2 hv z 4 vzh 4 vz

45 Mamy soczewkę! Elektrony skupiają się w punkcie odległy o f od soczewki. Skupiają się tam niezależnie od promienia r pod jakim wpadły do soczewki względem osi układu. Tak samo działa soczewka optyczna! Mamy więc soczewkę (magnetyczną), która może uformować obraz z rozproszonych na preparacie fal elektronowych.

46 Soczewki mikroskopu optycznego i elektronowego (SEM/TEM)

47 Wyraźniejszy schemat SEM

48 Przykładowe obrazy TEM i SEM

49 Koniec Dziękuję za uwagę!