3. Model Kosmosu A. Einsteina

19 3. Model Kosmosu A. Einsteina Pierwszym rozwiązaniem równań pola grawitacyjnego w 1917 r. było równanie hiperpowierzchni kuli czterowymiarowej, przy założeniu, że materia kosmiczna tzw. substrat jest równomiernie rozmieszczona w przestrzeni kosmicznej. Po zmodyfikowaniu tych równań przez A. Einsteina statyczny model Kosmosu stał się stabilny tzn. nie podlegał rozszerzaniu się lub kurczeniu pod wpływem zaburzeń. Zakrzywienie przestrzeni Kosmosu wynika z obecności w nim materii i zostało potwierdzone eksperymentalnie w 3 lata po ogłoszeniu przez Einsteina w 1916 r. tzw. ogólnej teorii względności. Eksperyment ten przeprowadzili astronomowie w czasie zaćmienia Słońca, mierząc położenie gwiazd, których promienie światła biegły bardzo blisko słonecznej tarczy. Wyniki obserwacji pokazały, że położenie gwiazd w czasie przed zaćmieniem i po zaćmieniu Słońca były różne. Różnica była zgodna z przewidywaną przez ogólną teorię względności. Według pierwszych prac Einsteina długość obwodu hiperkuli odpowiada 3 miliardom lat świetlnych. Amerykański astronom E. Hubble w latach dwudziestych XX w. odkrył eksperymentalnie zjawisko ucieczki Galaktyk od siebie, a prędkość tej ucieczki jest tym większa im Galaktyki są bardziej odległe od obserwatora. Promień R hiperkuli musi rosnąć. Nas interesuje również pytanie czy można narysować Kosmos Einsteina, czyli wszystko? Odpowiedź na to pytanie znajdziemy w osiągnięciu współczesnej geometrii wykreślnej, którym jest rzutowanie

konstrukcji ponadtrójwymiarowych metodą Monge a-polańskiego Fig. 1. Hiperpowierzchnia kuli ma stałą krzywiznę dodatnią i trójkąt w tej hiperpowierzchni posiada sumę kątów większą od 18. Jest to przestrzeń sferyczna, która nie ma kresu, ale ma skończoną liczbę jednostek objętości. Przestrzeń Euklidesowa charakteryzuje się krzywizną zerową i suma kątów w trójkącie wynosi 18. Jest to hiperpłaszczyna E 4 nieskończona. Przestrzeń hiperboliczna charakteryzuje się krzywizną ujemną i suma kątów w jej trójkącie jest mniejsza od 18. Analizując płaskie rzuty Kosmosu Einsteina jako hiperpowierzchni kuli w przestrzeni E 4 możemy odróżniać punkty przestrzeni kosmicznej od punktów leżących poza nią w przestrzeni E 4 i widzieć zakrzywienie przestrzeni Kosmosu. Hiperpowierzchnia torusa ma swoje równanie w układzie współrzędnych kartezjańskich x, y, z, u w przestrzeni E 4. Jeżeli oś U tego układu przyjmiemy za oś hipertorusa i jeżeli okrąg tworzący tę hiperpowierzchnię ma promień r<a, zaś jego środek leżący na osi X ma współrzędną a, to równanie ma postać: I x + y + z + u a x + y + z + a r = a Dla a = otrzymujemy równanie hiperkuli: II x + y + z + u - r = Jeżeli w równaniu I wyrażenie (a r ) zastąpimy iloczynem (a+r)(a-r) = r z r w Fig. 13

1 to otrzymamy x + y + z + u a x + y + z + r r z w = r w albo r w < Najmniejsze wartości; r w =-r, r z =+r dla a=

4. Hiperboloida pięciowymiarowa w przestrzeni E 5 jako wizualny model czasoprzestrzeni W fizyce czasoprzestrzeń oparta jest na geometrii Minkowskiego z inną niż geometria Euklidesowa metryką. Dlatego geometria Minkowskiego rosyjskiego fizyka nie ma cech wizualnych i celowe jest przedstawienie modelu wizualnego czasoprzestrzeni, którym dla hiperkuli A. Einsteina jest hiperboloida pięciowymiarowa w przestrzeni E 5, przedstawiona na Fig. 14 w czterech rzutach Monge a-polańskiego. Zarysy hiperkuli czterowymiarowej w przestrzeni E 4 na rzutniach π 1 π π 3 opisane są w rozdziale.3. Na rzutni π 4 w układzie współrzędnych x, t, gdzie t jest czasem kosmicznym, przedstawiona jest hiperbola tworząca przez swój obrót dookoła osi b hiperpowierzchnię wizualnej czasoprzestrzeni o poczwórnej rozciągłości. Oś b jest prostopadła jednocześnie do π 1 π π 3 i rzut b IV jest prostopadły do osi X. Pozostałe rzuty osi b są punktami i leżą w rzutach środka hiperkuli, której rzut na π 4 jest odcinkiem 1 o długości R, równoległym do IV IV osi X. Punkty 1 leżą jednocześnie na hiperboli zarysu IV IV, hiperpowierzchni i odpowiadają chwili t 1 czasu kosmicznego, w której hiperkula ma promień R. Chwilom t i t 3 odpowiadają punkty 4 na hiperboli zarysu, której IV IV i 5 płaszczyzna η jest równoległa do π 4 czyli prostopadła do π 1 π π 3 jednocześnie i posiada na tych rzutniach zarysy η, η. Na tych ' '' η, '''

3 zarysach leżą rzuty punktów 1,, 4, 5 i niech te punkty należą do historii Galaktyki I. Aby otrzymać p. 3 historii Galaktyki II obróćmy p. 1 dookoła osi b w hiperpłaszczyźnie ξ 5, obrotu w przestrzeni E 5. Obrót w hiperpłaszczyźnie λ 4 w przestrzeni E 4 jest opisany w rozdziale.5. Nowym położeniem p. 1 IV niech będzie p. 3 IV na π 4. Na rzutniach π 1 π π 3 istnieje nieprzeliczalny zbiór rzutów p. 3 i możliwych przemieszczeń p. 1 po łukach okręgów wielkich o promieniu R hiperkuli czterowymiarowej w E 4. Spośród tego zbioru wybieramy jeden łuk, który uprości konstrukcję graficzną obrotu np. p. 3 leżący na zarysie hiperkuli na π 3. Pozostałe rzuty p. 3 leżą na zarysach ϕ i ϕ płaszczyzny ϕ obrotu wybranego spośród nieprzeliczalnego zbioru płaszczyzn dla p. 3 IV, czyli leżą na zarysach równoległych do osi X, przechodzących przez rzuty środka hiperkuli. Płaszczyzna ϕ obrotu wybranego jest przynależna do hiperpłaszczyzny 5 ξ 1, która ma cztery zmienne niezależne x, y, z, u dla t=const i jest prostopadła do π 4 a więc ma zarys na tej rzutni. Wybierając p 3 wybraliśmy kąt Θ obrotu p. 1 do p. 3, który jest ' ' ' jednakowy dla wszystkich punktów obróconej hiperboli. Nowe położenie płaszczyzny η zarysu hiperboloidy znajdzie się w płaszczyźnie η z jej zarysem na π 3 przechodzącym przez p. 3 i p. b. Na zarys płaszczyzny η nanosimy łukami współśrodkowymi w p. b punkty 4 i 5 zaś na zarysy ϕ i ϕ nanosimy punkty p. 4 i 5 oraz p. 4 i 5, a na odpowiednie przekroje czasowe hiperboloidy nanosimy p. 4 IV i 5 IV. W ten sposób otrzymujemy 3 punkty, które układają się na hiperboli, która jest obrotowym przekształceniem hiperboli zarysu hiperboloidy.

4 Przekształcona hiperbola jest historią Galaktyki II, która oddala się od Galaktyki I. Jak widać na Fig. 14 wyznaczanie rzutów na π 1 i π 3 punktów (3, 4, 5) może być zbędne przy wyznaczaniu p. (3 IV, 4 IV, 5 IV ) przekształconej hiperboli ale dla formalności każdy punkt i element konstrukcji w przestrzeni E 5 musi mieć swój rzut na każdej rzutni. Rzuty na π 1 i π p. O i O 1 jako środków obrotu p. 4 i 5 jednoczą się z rzutami osi b na te rzutnie.