Wyznaczanie współczynnika intensywności naprężeń etodai optycznyi ateriały poocnicze oprac. dr inż. Ludoir J.Jankowski Wstęp Mechanika pękania to nauka o inicjacji i rozwoju szczelin (pęknięć) powstających w różnych warunkach: przy obciążeniach statycznych, ziennych w czasie, w środowisku korozyjny, itp. Z punktu widzenia wytrzyałości ateriałów, szczelina to koncentrator naprężeń, a występujące w pobliżu wierzchołka szczeliny bardzo wysokie gradienty naprężeń wyagają wprowadzenia specyficznego opisu pola naprężeń. W opisie ty występują paraetry pękania, a wśród nich swoisty odpowiednik współczynnika koncentracji naprężeń, tj. współczynnik intensywności naprężeń. a) b) c) Współczynnik koncentracji naprężeń Współczynnik intensywności naprężeń Rys. 1. Rozciągane pasa z: a) otwore kołowy, b) otwore eliptyczny, c) szczeliną Wartości naprężeń aksyalnych w przypadku a) i b) określają wzory (1) i (): Natoiast w przypadku c) konieczne jest uwzględnienie faktu, że proień w wierzchołku szczeliny dąży do zera, powodując osobliwość rozwiązania równań opisujących pole naprężeń w jego otoczeniu. Trudność tę ożna usunąć wprowadzając współczynnik intensywności naprężeń ( : (1) () (3) 1
W raach echaniki pękania rozpatruje się trzy podstawowe przypadki obciążenia brzegów szczeliny (tzw. ody): a) b) c) Rys.. Scheaty podstawowych przypadków obciążenia brzegów szczeliny: a) rozwieranie (oda ), b) ścinanie (oda ), c) antypłaskie obciążenie brzegów (oda ) Poniżej zostaną pokazane dwa przykłady zastosowania optycznych etod poiaru do wyznaczania współczynnika intensywności naprężeń. Zastosowanie elastooptyki dwuwyiarowej w echanice pękania (poiar Stan naprężenia wokół wierzchołka szczeliny, w płaski stanie naprężenia, jest charakteryzowany za poocą współczynnika intensywności naprężeń. Elastooptyka dwuwyiarowa uożliwia wyznaczenie tych współczynników dla przypadku rozwarcia szczeliny (oda ) i ścinania (oda ), na podstawie danych elastooptycznych, tj. N i. Na rys. 3 pokazano charakterystyczny obraz izochro wokół wierzchołków szczeliny centralnej w paśie rozciągany w kierunku prostopadły do brzegów szczeliny. ) Rys. 3. Obraz izochro połówkowych wokół wierzchołków szczeliny centralnej w rozciągany paśie Składowe stanu naprężenia (w prostokątny układzie współrzędnych) są określone wzorai: x r 3 cos 1 sin sin 0x
3 y cos 1 sin sin (4) r xy r 3 sin cos cos gdzie: 0 - naprężenie w obszarze nie zaburzony przez szczelinę. x y Wartość aksyalnego naprężenia stycznego wynosi: x 3 (5) r r 0x sin sin sin x y xy 0x Jeśli przyjąć, że punkt pętli izochroy, w który 0, a współrzędne i r, to i 0x ożna wyrazić za poocą wielkości określonych na podstawie obrazu izochro: r sin 1 1 3tg tg 3 1 3tg (6) cos 0x (7) 3 cos3 cos sin przy czy: N f t N Rys. 4. Scheat wyznaczania r i Metoda wyznaczania przedstawiona powyżej (opracowana przez G.R.rwin'a) jest czuła na błędy wyznaczania wielkości ierzonych, tj. N, i r. Przyjuje się, że dla szczeliny centralnej o długości a, w paśie rozciągany w kierunku prostopadły do 3
szczeliny, kąt powinien zawierać się w przedziale 73 o, 139 o. Wówczas wartość współczynnika intensywności naprężeń jest oszacowana z błęde nie większy niż 5%. Aby poprawić dokładność (błąd rzędu %), wprowadza się odyfikacje, polegające na uwzględnieniu inforacji zawartych w więcej niż jednej pętli izochroy. tak, wykorzystując dwie pętle izochro o rzędach N N1, współczynnik oże być wyrażony za poocą wzoru: w który funkcja g, r, a Współczynnik 4 g, r a (8), jest obliczana dla obu izochro, i a postać:, r, a sin r a sin sin3 r a g (9) 0 a przyjuje się zwyczajowo równy jedności, a po x przekształceniach zależność (8) ożna przedstawić w postaci: f t r r g 1 1 r g nna odyfikacja polega na poiarze odległości od wierzchołka szczeliny punktów przecięcia dwóch pętli izochro N i oraz 1 N N r 1 (10) N j z osią y układu współrzędnych, tj. dla zadanego o kąta 90. Wówczas współczynnik intensywności naprężeń oże być obliczony ze wzoru: Wyznaczenie uożliwia i j ri (11) 1 ri rj obliczenie innego paraetru stosowanego w echanice pękania, który jest współczynnik uwalniania energii sprężystej G i. Nazywany również pracą rozwarcia szczeliny, współczynnik ten jest związany ze współczynnikie intensywności naprężeń wzore (dla jednostkowej grubości pasa): G U (1) a E w który a jest połową długości szczeliny, a U - energią potencjalną niezbędną do powstania szczeliny. Ziany tej energii, po osiągnięciu pewnej wartości krytycznej, powodują propagację szczeliny, a odpowiadające stanowi krytyczneu współczynniki i G są oznaczane odpowiednio: c i G c (wartości krytyczne). Współczynnik c nazywany odpornością ateriału na pękanie, jest rzeczywistą charakterystyką ateriału, określającą jego zachowanie w aspekcie zniszczenia. Szersze oówienie ożliwości zastosowania elastooptyki w badaniach echanizów pękania wykracza poza ray niniejszego opracowania. Warto jednak zaznaczyć, że techniki poiarów wykorzystujące elastooptykę uożliwiają wyznaczanie paraetrów pękania dla
innych postaci zniszczenia (ody szczeliny), w przypadku ieszanej postaci obciążenia szczeliny (rozwarcie ze ścinanie) rys. 5, a także w analizie pękania ciał trójwyiarowych. Rys. 5. Obraz izochro całkowitych oda ieszana ( + ) Warstwa powierzchniowa Rys. 6. Obraz izochro całkowitych (oda ) w elastooptycznej warstwie powierzchniowej Wartość współczynnika intensywności naprężenia ożna również wyznaczyć na podstawie obrazu izochro zarejestrowanych w elastooptycznej warstwie powierzchniowej rys. 6. Analizę obrazu przeprowadza się w sposób zaproponowany przez G.rwina, tj. na podstawie obrazu izochro widocznych wokół wierzchołka szczeliny. Wartość współczynnika c (dla ody rozwierania brzegów szczeliny) określa wzór: (13) 5
Powyższe równanie oże być stosowane wówczas, gdy kąt określający położenie najbardziej oddalonego punktu pętli izochroy o rzędzie N, spełnia warunek: Alternatywą, jest zaproponowana przez H.C. Soo i.m. Daniela, etoda polegająca na poiarach prowadzonych w pewnej odległości od wierzchołka szczeliny. Maksyalne odkształcenie postaciowe jest funkcją ap (współczynnika przybliżonego ): (14) a stąd (po uwzględnieniu podstawowych zależności iędzy odkształcenie i efekte optyczny): Dokonując poiarów N na osi y, tj. dla postaci: (15), powyższe równanie upraszcza się do (16) Wartości ap należy obliczyć dla różnych wartości r na podstawie poiarów rzędów izochro N(r), a następnie wyznaczyć c (w wierzchołku szczeliny) na drodze ekstrapolacji. Zastosowanie etody kaustyk do wyznaczania współczynnika intensywności naprężeń austyka to hiperpowierzchnia stanowiąca obwiednię wiązki proieni świetlnych biegnących z punktowego, określonego źródła światła (w szczególności, punktowe źródło światła oże leżeć w nieskończoności = równoległa wiązka światła), i: - odbitych od innej hiperpowierzchni katakaustyka, - ugiętych przez ośrodek, przez który biegnie światło diakaustyka. 6
Rys. 7. Przykłady katakaustyk Metoda kaustyk jest w echanice wykorzystywana do wyznaczania paraetrów charakteryzujących osobliwości pola naprężeń, takich jak: spiętrzenia naprężeń wokół wierzchołka szczeliny, w dnie karbu, w rejonie kontaktu dwóch ciał, czy w iejscach wprowadzenia obciążeń skupionych rys. 8. 7
Rys. 8. Przykłady osobliwości pól naprężeń Jej istotą jest uzyskanie inforacji o tych osobliwościach na drodze optycznej, poprzez obserwację efektu optycznego związanego z generowanie przez lokalnie zdeforowany ośrodek specyficznego pola optycznego W praktyce, obserwowany jest efekt w postaci cienego pola otoczonego jasny prążkie (linią) zwany kaustyką. Jest ona forowana przez proienie wiązki światła odbite od powierzchni lub przechodzące przez ośrodek, które tworzą (na skutek odbicia lub ugięcia) w przestrzeni powierzchnię kaustyczną ściśle związaną z paraetrai charakteryzującyi daną osobliwość pola naprężeń. Przecięcie tej powierzchni płaszczyzną referencyjną (np. ekranu) daje obraz krzywej płaskiej, o zwiększony natężeniu światła, otaczającej cieny region. Zaletą tej etody poiaru jest ożliwość wykorzystania związków iędzy paraetrai osobliwego pola naprężeń i geoetrią kaustyki (np. jej średnicą). dea etody na przykładzie diakaustyki - jest pokazana na rys. 8. Padająca równoległa wiązka światła (np. koherentnego) przechodzi przez ośrodek transisyjny ze szczeliną, którego powierzchnia jest usytuowana prostopadle do kierunku padania światła. Jeśli ośrodek poddany jest działaniu płaskiego stanu naprężenia, to w rejonie osobliwości tego pola pojawią się ziany grubości t (x, y) wywołane efekte współczynnika Poisson'a: t = - t ν (σ xx + σ yy )/ E (17) Na skutek działania suy naprężeń (σ xx + σ yy ) powierzchnie badanego ośrodka ulegają deforacji Powierzchnie te działają jak soczewka, powodując ugięcie proieni światła. W odległości z 0, w płaszczyźnie referencyjnej (ekranu), obserwowany jest efekt ugięcia tych proieni w postaci cienego obszaru otoczonego jasny prążkie (efekt przecięcia powierzchni kaustycznej płaszczyzną ekranu). W obszarach otaczających kaustykę, odpowiadających niski gradiento (σ xx + σ yy ), obserwowane jest nieco zniejszone natężenie światła. Tak więc, widoczny na ekranie obraz jest ściśle związany z pole suy naprężeń działających w płaszczyźnie prostopadłej do kierunku wiązki światła. 8
Rys. 9. Scheat powstawania diakaustyki próbka rozciągana ze szczeliną Rys. 10. Obraz diakaustyki na ekranie oda W przypadku obiektu dyfuzyjnego występuje analogiczny echaniz powstawania kaustyki z ty, że tworzą ją na ekranie proienie światła odbite od niepłaskiej powierzchni obiektu (niepłaskie zwierciadło). W ty przypadku na ekranie jest obserwowany pozorny obraz kaustyki, a współczynnik załaania wynosi n = -1. Rys. 11. Układ współrzędnych 9
Na rys. 11 pokazano układ współrzędnych dla przypadku próbki ze szczeliną. Powstający wokół wierzchołka szczeliny efekt soczewkowania wywołuje ugięcie proieni światła, które na ekranie tworzą obraz kaustyki. Niech punkt P s leży w pobliżu wierzchołka szczeliny w płaszczyźnie próbki. Proień światła przechodząc przez ten punkt ulega ugięciu, i na ekranie położony w odległości z 0 (w płaszczyźnie π i tworzy obraz tego punktu P i. Położenie tego punktu określa wektor: r i = r s + g (18) Wektor g opisuje przeieszczenie obrazu punktu P s, leżącego w płaszczyźnie próbki, do punktu P i w płaszczyźnie ekranu, i jest zależny od odległości ekranu i lokalnej deforacji powierzchni próbki: g = - z 0 ( s) (19) = i ( / x) + j ( / y) + k ( / z) operator, s dodatkowa droga optyczna wywołana przez ziany grubości próbki na skutek działania naprężeń oraz ziany wartości współczynnika załaania ośrodka n. Jeśli grubość jest stała, to zianę drogi optycznej opisuje wzór: s = (n 1) t + t n (0) Dla płaskiego stanu naprężenia (σ zz = 0) ziany grubości t są opisane wzore (17). Ziany wartości współczynnika załaania światła są funkcją naprężeń głównych (równania Maxwell a): n 1 = c 1 σ 1 + c σ (1) n = c 1 σ + c σ 1 gdzie: c 1, c stałe optyczne ateriału ośrodka. Powyższe związki uożliwiają wyznaczenie zian długości drogi optycznej w funkcji suy i różnicy naprężeń głównych: s 1 = C 1 t [(σ 1 + σ ) + C (σ 1 σ )] () s = C 1 t [(σ 1 + σ ) - C (σ 1 σ )] gdzie: C 1 = (c 1 + c )/ ν (n 1)/E C = (c 1 c )/{c 1 + c [ ν (n 1)/E]}. Z równania () wynika, że w płaszczyźnie ekranu (płaszczyźnie obrazowej) ogą pojawić się dwie kaustyki. austyka związana z s jest efekte anizotropii optycznej (dwójłoności). Dla ateriału optycznie izotropowego jest: s 1 = s = s = C 1 t (σ 1 + σ ) (3) Powstawanie kaustyk jest wywołane przede wszystki przez gradient naprężeń w rejonie osobliwości pola naprężeń. Obraz kaustyki powstałej w wyniku obciążenia pierwszego typu szczeliny krawędziowej (oda ) pokazano powyżej. 10
Dla takiego przypadku, związki iędzy naprężeniai w rejonie wierzchołka szczeliny a współczynnikie intensywności naprężeń charakteryzujący ateriał ośrodka ają postać: (4) W przypadku optycznie izotropowego ateriału ośrodka jest: (5) W ty przypadku kaustyka a postać krzywej, otaczającej ciene pole (zlokalizowane w rejonie wierzchołka szczeliny), określonej jako granica iędzy jasny prążkie i cieny pole, przy czy spełniony jest warunek: ( x i y i / r Θ) ( x i y i / Θ r) = 0 (6) Ze wzorów (5) i (6) otrzyuje się zależność iędzy proienie r, określający położenie zbioru punktów P s na próbce oraz krzywą kaustyki obserwowaną w płaszczyźnie obrazowej. Równanie: pokazuje, że krzywą początkową kaustyki jest okrąg o proieniu r 0. Zieniając położenie ekranu lub wartość obciążenia otrzyuje się różne położenia okręgu początkowego (podstawowego). Dla określonej wartości i z 0 okrąg jest zlokalizowany zgodnie z równanie (7). Podstawiając równanie (7) do równania (6) otrzyuje się opis krzywej kaustyki jako obrazu okręgu podstawowego, stąd: (7) (8) przy czy: 11
Równania (8) są uogólnionyi równaniai epicykloidy, której aksyalna średnica (rys. 1) w funkcji proienia okręgu podstawowego r 0 a wartość: D = 3.17 r 0 (9) Natoiast współczynnik intensywności naprężeń oże być obliczony ze wzoru: = 0.0934 D 5/ / z 0 C 1 t (30) Epicykloida kaustyki Okrąg podstawowy Rys. 1. Epicykloida diakaustyki oda Należy podkreślić, że współczynnik intensywności naprężeń (WN) jest paraetre używany zarówno do opisu stanu poprzedzającego spontaniczną propagację szczeliny, jak i do opisu dynaiki jej rozwoju. Ze względu na swoją prostotę, etoda kaustyk jest szeroko stosowana w badaniach z zakresu echaniki pękania, przy czy doinują badania w układach poiarowych transisyjnych (ateriały przezroczyste, np. PMMA). Rzadziej stosowane są układy uożliwiające obserwację kaustyk w świetle odbity (głównie poiary na etalowych próbkach). Niezależnie od typu układu poiarowego, najczęściej jest to układ z równoległą wiązką światła, z reguły jako źródło światła wykorzystywane są źródła światła koherentnego (lasery), które uożliwiają uzyskanie wyższego kontrastu iędzy jasny prążkie, a cieny pole. Na rys. 13 pokazano scheaty innych układów poiarowych, w ty układ do obserwacji w świetle odbity. 1
Próbka (obiekt) Rys. 13. Przykłady układów poiarowych W przypadku stosowania układów z nierównoległą wiązką światła należy uwzględnić jej geoetrię, która a wpływ na wielkość obserwowanej na ekranie kaustyki. Najczęściej stosowane próbki w badaniach odporności na pękanie pokazano na rys. 14. 0.5W a) P P a (t) 1. W W b) a w a c) a Rys. 14. Próbki do badania odporności na pękanie: a) typu CT, a) czteropunktowo lub trójpunktowo zginana, c) rurowe (ze szczeliną wewnętrzną lub zewnętrzną) 13
Obliczenia współczynnika intensywności naprężeń Wartości współczynnika intensywności naprężenia, dla wybranej postaci próbek (z uwzględnienie sposobu obciążenia próbki i jej skończonych wyiarów), podano poniżej. Próbka kopaktowa (CT) P W 0.5 W 1. W 0.55 W ( t = 0.5W) a 1.5W P Próbka trójpunktowo zginana L/ P W a L W obydwu przypadkach współczynnik λ wynosi λ = aw. 14
Literatura [1] Neiitz A., Mechanika pękania, PWN, Warszawa, 1998 [] Bochenek A., Eleenty echaniki pękania, Wyd. Polit. Częstochowskiej, Częstochowa, 1998 [3] Geran J., Podstawy echaniki pękania, skrypt Polit. rakowskiej, raków, 005 [4] Dally J.W., Riley W.F., Experiental Stress Analysis, 3rd Ed., McGraw-Hill, nc., 1991 15