Zadania o numerze 4 z zestawów licencjat 2014. W nawiasie przy zadaniu jego występowanie w numerze zestawu Spis treści (Z1, Z22, Z43) Definicja granicy ciągu. Obliczyć granicę:... 3 Definicja granicy ciągu... 3 Rozwiązanie problemu... 3 Potwierdzenie... 3 (Z2, Z23, Z44) Definicja granicy funkcji w punkcie. Obliczyć granicę:... 4 Definicja granicy funkcji w punkcie... 4 Definicja wg. Heine go:... 4 Definicja wg. Cauchy ego... 4 Rozwiązanie problemu... 4 Potwierdzenie... 4 (Z3, Z24, Z45) Symbole nieoznaczone; reguła de l Hospitala. Obliczyć granicę:... 5 Reguła de l Hospitala... 5 Rozwiązanie problemu... 5 Potwierdzenie... 5 (Z4, Z25, Z46) Wzór Taylora. Zastosowanie do obliczenia przybliżonej wartości.... 6 (Z5, Z26, Z47) Kryterium d Alemberta zbieżności szeregów. Zbadać zbieżność szeregu:... 7 Treść kryterium... 7 Rozwiązanie problemu... 7 (Z6, Z27, Z48) Twierdzenie Cantora-Bernsteina i jego zastosowania.... 8 (Z7, Z28, Z49) Twierdzenie Fubiniego. Obliczyć całke:... 9 Treść twierdzenia... 9 Rozwiązanie problemu... 9 (Z8, Z29, Z50) Zbiory liczb całkowitych, wymiernych i rzeczywistych jako zbiory ilorazowe.... 10 (Z9, Z30, Z51) Współrzędne biegunowe i ich zastosowania. Obliczyć całke:, gdzie... 11 (Z10, Z31, Z52) Funkcja wyboru i aksjomat Zermelo.... 12 (Z11, Z32, Z53) Gradient funkcji. Związek gradientu, pochodnych cząstkowych i różniczki. Różniczka pewnej funkcji wynosi. Ile wynosi gradient tej funkcji?... 13 (Z12, Z33, Z54) Wzór całkowania przez części. Obliczyć całkę:.... 14 Treść twierdzenia... 14
Rozwiązanie problemu... 14 Potwierdzenie... 14 (Z13, Z34, Z55) Zasada indukcji matematycznej i jej przykładowe ilustracje.... 15 (Z14, Z35, Z56) Kryterium Leibniza zbieżności szeregów. Zbadać zbieżność szeregu:. Czy ten szereg jest zbieżny bezwzględnie?... 16 Treść kryterium... 16 Zbieżność bezwzględna... 16 Rozwiązanie problemu... 16 (Z15, Z36, Z57) Definicja różniczki funkcji. Wyznaczyć różniczkę funkcji w punkcie i podać jej interpretację geometryczną.... 17 (Z16, Z37, Z58) Zmienna losowa: definicja, rodzaje i rozkłady.... 18 Definicja 1... 18 Definicja 2... 18 Rodzaje z rozkładami... 18 (Z17, Z38, Z59) Przykładowe zastosowania lematu Kuratowskiego-Zorna... 19 Lemat Kuratowskiego-Zorna:... 19 (Z18, Z39, Z60) Przestrzeń prohabilistyczna i aksjomaty Kołmogorowa... 20 (Z19, Z40) Centralne twierdzenie graniczne... 21 Centralne twierdzenie graniczne Lindeberga-Levy ego... 21 (Z20, Z41) Wzory na prawdopodobieństwo warunkowe i całkowite; wzór Bayesa i przykład jego zastosowania... 22 Prawdopodobieństwo warunkowe... 22 Prawdopodobieństwo całkowite... 22 Wzór Bayesa... 22 Zastosowanie wzoru Bayesa... 22 (Z21, Z42) Prawa wielkich liczb i ich znaczenie.... 23 Prawo wielkich liczb Markowa... 23 Pierwsze prawo wielkich liczb Kołmogorowa... 23 Drugie prawo wielkich liczb Kołmogorowa... 23
(Z1, Z22, Z43) Definicja granicy ciągu. Obliczyć granicę: Definicja granicy ciągu Liczbę nazywamy granicą ciągu jeżeli: Rozwiązanie problemu = = ( ) = Potwierdzenie https://www.wolframalpha.com/input/?i=lim+n-%3e+infinity+%283n^2%29%2f%282n^2+- +3n+%2B+1%29
(Z2, Z23, Z44) Definicja granicy funkcji w punkcie. Obliczyć granicę: Definicja granicy funkcji w punkcie Definicja wg. Heine go: Liczbę nazywamy granicą funkcji w punkcie, jeżeli dla każdego ciągu o wyrazach, zbieżnego do, ciąg jest zbieżny do. Definicja wg. Cauchy ego Liczbę nazywamy granicą funkcji w punkcie, jeżeli dla każdego istnieje takie, że dla każdego spełniającego nierówność: jest spełniona nierówność: Rozwiązanie problemu Potwierdzenie https://www.wolframalpha.com/input/?i=lim+x-%3e1+%28x^2+%2b+3x+-+4%29+%2f+%28x-1%29
(Z3, Z24, Z45) Symbole nieoznaczone; reguła de l Hospitala. Obliczyć granicę: Reguła de l Hospitala Jeżeli: oraz i lub i oraz istnieją skończone pochodne i to Rozwiązanie problemu Potwierdzenie
(Z4, Z25, Z46) Wzór Taylora. Zastosowanie do obliczenia przybliżonej wartości.
(Z5, Z26, Z47) Kryterium d Alemberta zbieżności szeregów. Zbadać zbieżność szeregu: Treść kryterium Jeżeli szereg jest szeregiem o wyrazach dodatnich oraz to: Jeżeli szereg jest zbieżny Jeżeli szereg jest rozbieżny Jeżeli, kryterium nie rozstrzyga. Rozwiązanie problemu ( )
(Z6, Z27, Z48) Twierdzenie Cantora-Bernsteina i jego zastosowania.
(Z7, Z28, Z49) Twierdzenie Fubiniego. Obliczyć całke: Treść twierdzenia Niech [ ] [ ] będzie kostką w. Niech będzie funkcją ciągłą. Wówczas istnieją całki iterowane: ( ) ( ) oraz zachodzą równości: [ ] [ ] ( ) ( ) Rozwiązanie problemu ( )
(Z8, Z29, Z50) Zbiory liczb całkowitych, wymiernych i rzeczywistych jako zbiory ilorazowe.
(Z9, Z30, Z51) Współrzędne biegunowe i ich zastosowania. Obliczyć całke: ( ), gdzie { }
(Z10, Z31, Z52) Funkcja wyboru i aksjomat Zermelo.
(Z11, Z32, Z53) Gradient funkcji. Związek gradientu, pochodnych cząstkowych i różniczki. Różniczka pewnej funkcji wynosi. Ile wynosi gradient tej funkcji?
(Z12, Z33, Z54) Wzór całkowania przez części. Obliczyć całkę:. Treść twierdzenia Mamy całkę: Jeżeli znajdziemy, takie że, to Całość wynika ze wzoru na pochodną iloczynu. Rozwiązanie problemu [ ] [ ] [ ] [ ] Potwierdzenie https://www.wolframalpha.com/input/?i=integral+0+to+pi%2f2+x+*+sinx+dx
(Z13, Z34, Z55) Zasada indukcji matematycznej i jej przykładowe ilustracje. Jeżeli: Twierdzenie T jest prawdziwe dla pewnej liczby naturalnej, oraz z prawdziwości twierdzenia T dla liczby naturalnej wynika prawdziwość twierdzenia T dla liczby, to twierdzenie T jest prawdziwe dla wszystkich liczb naturalnych Przykłady: Udowodnij, że dla każdego naturalnego liczba jest podzielna przez. Induk. 1. Sprawdzamy dla n=1: 4 + 15 1 = 18 dzieli się przez 9 2. Zakładamy, że twierdzenie jest prawdziwe dla pewnej liczby naturalnej, tzn.. 3. Jeżeli udowodnimy, że twierdzenie jest prawdziwe dla liczby n+1, to na mocy zasady indukcji matematycznej dowód będzie zakończony 4. 5. 6. ckd.
(Z14, Z35, Z56) Kryterium Leibniza zbieżności szeregów. Zbadać zbieżność szeregu:. Czy ten szereg jest zbieżny bezwzględnie? Treść kryterium Jeżeli ciąg jest malejący i zbieżny do zera, to szerego jest zbieżny. Zbieżność bezwzględna Jeżeli szereg jest zbieżny to szereg jest zbieżny bezwględnie. Rozwiązanie problemu { } Po krótce: wykorzystamy tutaj kryterium porównawcze i porównamy sobie ten szereg z szeregiem: a, wiemy że jest to szereg harmoniczny, więc rozbieżny dlatego też: jest także rozbieżny
(Z15, Z36, Z57) Definicja różniczki funkcji. Wyznaczyć różniczkę funkcji w punkcie ( ) i podać jej interpretację geometryczną.
(Z16, Z37, Z58) Zmienna losowa: definicja, rodzaje i rozkłady. Definicja 1 Zmienna losowa to funkcja przekształcająca wynik eksperymentu losowego na liczbę rzeczywistą Definicja 2 Zmienną losową (rzeczywistą) na przestrzeni probabilistycznej rzeczywistą funkcję mierzalną, tzn. funkcję spełniającą warunek nazywamy dowolną dla każdego zbioru borelowskiego. Tradycyjnie zmienne losowe zapisuje się za pomocą wielkich liter z końca alfabetu, np. liter greckich odmiennie niż zwykle zapisuje się funkcje. lub Rodzaje z rozkładami Zmienna losowa skokowa o Rozkład dwupunktowy Mówimy, ze zmienna losowa X ma ten rozkład, jeżeli może przyjmować jedynie dwie wartości oznaczone umownie x1 oraz x2, z prawdopodobieństwami kolejno: P(X=x1) = p; P(X=x2) = q; p+q=1 o Rozkład dwumianowy Mówimy, że zmienna losowa X ma ten rozkład, z parametrami n oraz p, jeśli jej funkcja rozkładu prawdopodobieństwa wyraża się wzorem: ( ) o Rozkład Poissona Mówimy, że zmienna X ma ten rozkład z parametrem, jeśli jej funkcja rozkładu prawdopodobieństwa wyraża się wzorem: Rozkład Poissona jest rozkładem granicznym rozkładu dwumianowego Zmienna losowa ciągła o Rozkład jednostajny Mówimy, że zmienna losowa ciągła X ma rozkład jednostajny na przedziale [a,b], jeśli jej funkcja gęstości wyraża się wzorem: { [ ] W rozkładzie jednostajnym: o Rozkład normalny Mówimy, że zmienna losowa ciągła X ma rozkład normalny z parametrami, jeśli jej funkcja gęstości wyraża się wzorem: o Rozkład chi-kwadrat
(Z17, Z38, Z59) Przykładowe zastosowania lematu Kuratowskiego- Zorna Lemat Kuratowskiego-Zorna: Niech A bedzie zbiorem częściowo uporządkowanym o tej własności, że dla każdego liniowo uporządkowanego zbioru istnieje element h(x) taki, że x <= h(x) dla każdego. Istnieje wówczas w A element maksymalny. Zastosowania Lematu: Przykłady zastosowania lematu Kuratowskiego-Zorna do dowodów twierdzeń: twierdzenie Hahna-Banacha oraz twierdzenie Kreina-Milmana w analizie funkcjonalnej. twierdzenie algebry uniwersalnej mówiące, że każde ciało ma domknięcie algebraiczne.
(Z18, Z39, Z60) Przestrzeń prohabilistyczna i aksjomaty Kołmogorowa
(Z19, Z40) Centralne twierdzenie graniczne Centralne twierdzenie graniczne Lindeberga-Levy ego Niech będzie ciągiem niezależnych zmiennych losowych o jednakowym rozkładzie, przy czym założenia, że istnieje wariacja). Wówczas:. Oznaczmy (ta wartość oczekiwana istnieje na mocy Gdzie ma standardowy rozkład normalny. Inaczej mówiąc, dla dowolnego ( ) Gdzie to dystrybuanta standardowego rozkładu normalnego
(Z20, Z41) Wzory na prawdopodobieństwo warunkowe i całkowite; wzór Bayesa i przykład jego zastosowania Prawdopodobieństwo warunkowe Prawdopodobieństwo całkowite Wzór Bayesa Zastosowanie wzoru Bayesa Twierdzenia Bayesa można użyć do interpretacji rezultatów badania przy użyciu testów wykrywających narkotyki. Załóżmy, że przy badaniu narkomana test wypada pozytywnie w 99% przypadków, zaś przy badaniu osoby nie zażywającej narkotyków wypada negatywnie w 99% przypadków. Pewna firma postanowiła przebadać swoich pracowników takim testem wiedząc, że 0,5% z nich to narkomani. Chcemy obliczyć prawdopodobieństwo, że osoba, u której test wypadł pozytywnie, rzeczywiście zażywa narkotyki.
(Z21, Z42) Prawa wielkich liczb i ich znaczenie. Prawa wielkich liczb są więc w znaczeniu teoretycznym wykorzystywane w procedurze wnioskowania statystycznego o parametrach i rozkładach zbiorowości generalnych na podstawie wyników uzyskiwanych z prób losowych. W znaczeniu praktycznym natomiast prawa wielkich liczb wiążą się z realizacją podstawowego celu każdego badania statystycznego, jakim jest wykrywanie prawidłowości występujących w zjawiskach masowych. Zasadniczym problemem jest odpowiedź na pytanie, czym się różnią matematyczne modele praw wielkich liczb od możliwej do statystycznego rozpoznania rzeczywistości i jakie są granice ich praktycznej użyteczności. Prawo wielkich liczb Markowa Niech (Xn) będzie ciągiem niezależnych zmiennych losowych mających skończone wariancje. Jeśli ciąg (Xn) spełnia warunek Markowa, to ciąg (Xn) spełnia słabe prawo wielkich liczb. Pierwsze prawo wielkich liczb Kołmogorowa Niech (Xn) będzie ciągiem niezależnych zmiennych losowych mających skończone wariancje. Jeśli ciąg (Xn) spełnia warunek Kołmogorowa, to ciąg (Xn) spełnia mocne prawo wielkich liczb. Drugie prawo wielkich liczb Kołmogorowa Niech (Xn) będzie ciągiem niezależnych zmiennych losowych o identycznych rozkładach. Ciąg (Xn) spełnia mocne prawo wielkich liczb wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje wartość oczekiwana gdzie n = 1, 2,...