RACHUNEK PRAWDOPODOBIE STWA

Transkrypt

1 Jerzy Ombach RACHUNEK PRAWDOPODOBIE STWA WSPOMAGANY KOMPUTEROWO DLA STUDENTÓW MATEMATYKI STOSOWANEJ Wydawnictwo Uniwersytetu Jagielloƒskiego

2 Seria Matematyka Książka finansowana przez Wydział Matematyki i Informatyki Uniwersytetu Jagiellońskiego, Instytut Matematyki Uniwersytetu Jagiellońskiego oraz Rektorski Fundusz Rozwoju Dydaktyki Ars Docendi Uniwersytetu Jagiellońskiego REDAKTOR SERII Krzysztof Ciesielski RECENZENCI Henryk Gacki Anna Pajor KOREKTA MERYTORYCZNA Krzysztof Ciesielski SKŁAD Jerzy Ombach REDAKCJA I KOREKTA Joanna Zwierzyńska PROJEKT OKŁADKI Paweł Bigos Copyright by Jerzy Ombach Copyright by Uniwersytet Jagielloński Wydanie I, Kraków 2018 All rights reserved Adres autora: Instytut Matematyki Uniwersytet Jagielloński Łojasiewicza 6, Kraków Jerzy.Ombach@im.uj.edu.pl Druk z materiałów dostarczonych przez Autora w formie gotowej do powielenia (camera ready) Niniejszy utwór ani żaden jego fragment nie może być reprodukowany, przetwarzany i rozpowszechniany w jakikolwiek sposób za pomocą urządzeń elektronicznych, mechanicznych, kopiujących, nagrywających i innych oraz nie może być przechowywany w żadnym systemie informatycznym bez uprzedniej pisemnej zgody Wydawcy. ISBN Wydawnictwo Uniwersytetu Jagiellońskiego Redakcja: ul. Michałowskiego 9/2, Kraków tel , tel./fax Dystrybucja: tel , tel./fax tel. kom , sprzedaz@wuj.pl Konto: PEKAO SA, nr

3 Spis treści Wstęp Rozdział 1. Przestrzenie probabilistyczne Definicja prawdopodobieństwa Schemat klasyczny Losowania Zastosowania schematu klasycznego Nieskończony zbiór zdarzeń Prawdopodobieństwo geometryczne Kłopoty z wyborem przestrzeni paradoks Bertranda Prawdopodobieństwo warunkowe Prawdopodobieństwo całkowite Wzór Bayesa Zdarzenia niezależne Iloczyn kartezjański Schemat Bernoulliego Ćwiczenia z Maple Zadania Rozdział 2. Rozkłady prawdopodobieństwa i zmienne losowe Rozkład prawdopodobieństwa Miary probabilistyczne w R n Rozkład dyskretny Rozkład ciągły Dystrybuanta Zmienne i wektory losowe Problem mierzalności Rozkład zmiennej losowej Wektor losowy Rozkłady brzegowe i warunkowe Niezależność Funkcje zmiennych i wektorów losowych Ćwiczenia z Maple Zadania

4 10 Spis treści Rozdział 3. Parametry rozkładów Nadzieja matematyczna Wariancja i odchylenie standardowe, momenty Problem istnienia wartości oczekiwanej i momentów Własności wartości oczekiwanej i wariancji Obliczanie momentów rozkładu Własności wynikające z niezależności Nierówność Czebyszewa Przykłady zastosowań Słabe prawo wielkich liczb Kwantyle Korelacja i regresja liniowa Kowariancja i korelacja Regresja liniowa Ćwiczenia z Maple Zadania Rozdział 4. Przegląd ważniejszych rozkładów Rozkłady związane ze zliczaniem Rozkład Bernoulliego (dwupunktowy (B(1, p), (0, 1, p)) Rozkład dwumianowy, B(n, p) Rozkład wielomianowy Rozkład Poissona Rozkład hipergeometryczny Rozkłady czasu oczekiwania Rozkład geometryczny Rozkład Pascala Rozkład wykładniczy Proces Poissona Rozkład normalny Centralne twierdzenie graniczne Przykłady Ćwiczenia z Maple Zadania Rozdział 5. Własności asymptotyczne Zbieżność zmiennych losowych Mocne prawa wielkich liczb Zbieżność rozkładów Funkcje charakterystyczne Definicja i własności Centralne twierdzenie graniczne dowód Ćwiczenia z Maple Zadania

5 Spis treści 11 Rozdział 6. Metody Monte Carlo Estymatory Przedziały ufności Całkowanie metodami Monte Carlo Optymalizacja stochastyczna Liczby pseudolosowe Ćwiczenia z Maple Zadania Rozdział 7. Warunkowa wartość oczekiwana Nadzieje rozkładów warunkowych Nadzieja warunkowa sytuacja ogólna Nierówność Jensena Nadzieja warunkowa jako rzutowanie Przykłady zastosowań Regresja nieliniowa Martyngały Ćwiczenia z Maple Zadania Rozdział 8. Łańcuchy Markowa Definicje i przykłady Spacer losowy Nieredukowalne łańcuchy Markowa Powracanie i okresowość Ergodyczność Markowowskie metody Monte Carlo, MCMC Ćwiczenia z Maple Zadania Rozdział 9. Wielowymiarowy rozkład normalny Niektóre fakty z algebry liniowej Parametry rozkładu n-wymiarowgo Funkcje generujące momenty Rozkład normalny Rozkład normalny na płaszczyźnie Ćwiczenia z Maple Zadania Rozdział 10. Miara i całka w pigułce Miara Całka względem miary Własności całki Całka Lebesgue a Całka Riemanna a całka Lebesgue a Twierdzenie Fubiniego

6 12 Spis treści Rozdział 11. Dodatek Rozszerzanie miar Iloczyny kartezjańskie Twierdzenie Kołmogorowa o rozkładach zgodnych Generowanie rozkładu przez dystrybuantę Twierdzenie 0-1 Kołmogorowa Uwagi bibliograficzne Bibliografia Skorowidz