dr nż. Zbgnew Tarapata: Optymalzacja decyzj nwestycyjnych, cz.ii 8. Optymalzacja decyzj nwestycyjnych W rozdzale 8, część I przedstawono elementarne nformacje dotyczące metod oceny decyzj nwestycyjnych. Obecne przedstawmy klka przykładów dotyczących decyzj nwestycyjnych, koncentrując sę na sposobach formułowana zadań decyzyjnych zwązanych z praktycznym problemam nwestycyjnym. aszą uwagę skupmy równeż na wykorzystanu do rozwązywana sformułowanych zadań decyzyjnych dodatku Solver arkusza Ecel opsanego w rozdzale.3. Przykład 8. Dokonać kompleksowej oceny trzech warantów nwestycyjnych, o których nformacje zawarto w Tabel 8. (por. przykład w rozdzale 5.3., część I).. Oceny dokonać stosując metody oceny welokryteralnej (dagram Hassego oraz sformułowane w postac zadana optymalzacj welokryteralnej). Tabela 8. Dane do zadana Warant I Warant II Warant III IRR (w %),87 9,94 6,9 PV (w tys. zł),74 8,67 6,3 PVR (w jedn.),75,445,36 Rozwązane Przyjmjmy, że kryterum K IRR, kryterum K PV, kryterum K 3 PVR. Aby uporządkować waranty stosując dagram Hassego musmy najperw zdefnować relację R określającą, który warant jest lepszy. Zacznemy od relacj R opsanej za pomocą wzorów (8..48), (8..49). Zauważmy, że w defncj relacj R zakładamy, że wszystke krytera są maksymalzowane. Z nterpretacj wskaźnków ocenających nwestycje (patrz rozdzał 5.3, część I) w Tabel 8. wynka, że wszystke trzy podlegają maksymalzacj. Zgodne z tym, do relacj R typu (8..48) (8..49) należy tylko jedna para elementów zboru W{I, II, III} warantów nwestycyjnych: (III, II), gdyż tylko dla tej pary warantów nwestycyjnych zachodz, że (patrz Tabela 8.): K ( II) > K( III) oraz K3( II) K3( III) K ( II) K ( III) czyl spełnone są warunk (8..48) (8..49). Dagram Hassego zwązany z rozpatrywanym problemem ma postać jak na Rysunku 8.. II I Rysunek 8. Dagram Hassego z relacją R opsaną przez (8..48)-(8..49) III
dr nż. Zbgnew Tarapata: Optymalzacja decyzj nwestycyjnych, cz.ii Zgodne z nterpretacją dagramu Hassego oraz relacj R najlepszym są waranty I II poneważ ne ma od nch lepszych. Zauważmy, że dla każdego z kryterum mamy nne jednostk mar, wobec tego ne będze można w prosty sposób dokonać oceny warantów nwestycj używając pozostałych dwóch defncj relacj R. Dlatego też należy dokonać normalzacj kryterów. Z ch nterpretacj, jak wcześnej wspomnano, wynka, że wszystke one podlegają maksymalzacj, wobec tego po normalzacj będą mały następującą postać (zgodne z (8..5)): przy czym K K ma mn K ma W K ( ) K K ( ) ma ma mn K ( ),, 3 W oraz W{I, II, III}. K ( ) K mn Wartośc kryterów po normalzacj przedstawono w Tabel 8.. Tabela 8. Znormalzowane wartośc kryterów (na baze Tabel 8.) Warant mn K,87 ma K 9,94 Kryterum mn K 6,3 ma K,74 mn K 3,75 ma K 3 K ( ) K ( ) K 3( ),445 Suma kryterów I II,55,55 III,45,89,34 I tak na przykład wartośc znormalzowane K dla kryterum K otrzymano następująco: dla warantu I: K ma K K( I) 9,94,87 ( I) ma mn K K 9,94,87 dla warantu II: K ma K K( II) 9,94 9,94 ( II) ma mn K K 9,94,87 dla warantu III: Przypomnjmy, że w dagrame (grafe) Hassego najlepszym są te waranty (werzchołk), dla których tzw. stopeń zewnętrzny (czyl lczba łuków wychodzących z danego werzchołka) jest równy zero.
dr nż. Zbgnew Tarapata: Optymalzacja decyzj nwestycyjnych, cz.ii K ma K K( III) 9,94 6,9 ( III),55 ma mn K K 9,94,87 Jeżel jako kryterum wyboru weźmemy sumę wartośc kryterów znormalzowanych (8..5), to optymalną decyzją będze wybór tego warantu nwestycj, dla którego ta suma jest najwększa. Korzystając z danych zawartych w Tabel 8. otrzymamy zatem, że decyzją optymalną jest decyzja II, gdyż zachodz: 3 K ( 3 ) ma K W,45 ( ) ma{;,55;,34},55 Gorszą od nej jest decyzja III, a najgorszą w tym ujęcu - decyzja I. Jeżel jako kryterum wyboru weźmemy średną ważoną wszystkch kryterów (8..5), przyjmując, że krytera PV IRR są równoważne natomast kryterum PVR jest trzy razy ważnejsze nż dwa pozostałe (tzn. przyjmując następujące wag kryterów: w,; w,; w 3,6), to optymalną decyzją będze wybór tego warantu nwestycj, dla którego średna ważona wszystkch kryterów znormalzowanych jest najwększa. Korzystając z danych zawartych w Tabel 8. otrzymamy zatem, że decyzją optymalną jest decyzja II, gdyż zachodz: 3 K ( ) w ma W ma{, +, +.6;, +,55. +,6;,45, +, +,89,6} ma{,;,9;,6},9 3 K ( ) w Tak jak poprzedno, gorszą od nej jest decyzja III, a najgorszą w tym ujęcu - decyzja I. Jeżel zbudujemy zadane optymalzacj welokryteralnej przyjmemy jako metakryterum średną ważoną kryterów znormalzowanych (8..55) otrzymamy zadane postac: przy ogranczenach: w K ( ) ma W w, w [, ],,. Przyjmując wartośc wag tak, jak poprzedno otrzymujemy take samo zadane oraz ten sam wynk, tzn. że decyzją optymalną jest decyzja (warant) II. Jeżel jako metakryterum przyjmemy mnmalzację odchyleń funkcj kryterów, to otrzymamy zadane (8..56)-(8..57): 3
dr nż. Zbgnew Tarapata: Optymalzacja decyzj nwestycyjnych, cz.ii u mn przy ogranczenach : K ( ) u,, W Wynk tej mnmalzacj przedstawono w tabel 8.3. Tabela 8.3 Wartośc odchyleń znormalzowanych funkcj kryterów (na baze Tabel 8.) Wartość odchylena funkcj kryterum Warant Wartość - K ( ) - K ( ) - K 3( ) u I II,45,45 III,55,55, Z Tabel 8.3 wynka, że mnmalną wartość zmennej u,45 otrzymujemy dla II, tzn. warant II jest najlepszy według tej funkcj metakryterum. Przykład 8. Frma produkująca samochody zacągnęła kredyt nwestycyjny w wysokośc 5 mln zł na zanstalowane nowoczesnych ln montażowych: nemeckej (), szwedzkej (S) polskej (P). Dobowe zdolnośc montażowe (w sztukach), w zależnośc od wysokośc nakładów nwestycyjnych przeznaczonych na zanstalowane ln montażowych danego typu, przedstawono w Tabel 8.4. Analza rynku pokazała, że każda z ln montażowych pozwala uzyskać jednakowe zysk w przelczenu na samochód. ależy zdecydować o podzale kredytu pomędzy poszczególne programy nwestycyjne, tak aby frma osągnęła maksymalną, dobową zdolność montażową, zakładając, że można kredyt podzelć z dokładnoścą do mln zł, czyl na 6 częśc:,,, 3, 4 lub 5 mln zł. Tabela 8.4 Dane do przykładu 8. akłady (w mln zł) 3 4 5 Zdolnośc 6 8 7 montażowe ln S 5 8 4 7 (w szt.) P 4 7 3 Rozwązane Zbudujemy najperw model matematyczny naszego zagadnena. Przyjmjmy następujące oznaczena: n - lczba ln montażowych; We wzorze (8..56) w częśc I pojawła sę błąd. Pownno być: ( ) u K 4
dr nż. Zbgnew Tarapata: Optymalzacja decyzj nwestycyjnych, cz.ii m - lczba możlwych częśc kredytu, które można przeznaczać na poszczególne programy nwestycyjne; A - macerz, której elementy a j stanową wartość zdolnośc montażowych -tej ln, [ a j ] n m przy zanwestowanu j-tej częśc kredytu (, n, j, m ); j - bnarna zmenna decyzyjna, która przyjmuje wartość jeżel na -tą lnę montażową przeznaczono j-tą część kredytu, - w przecwnym przypadku; Zauważmy, ż można przyjąć, że ndeks j oznacza (w mln zł) przydzeloną wartość częśc kredytu, węc j, m. W takm ujęcu m- oznacza wartość kredytu. Ponumerujemy równeż lne montażowe od do 3 przyjmując, że lna ma numer, lna S - numer, a lna P - numer 3. Zadane podzału kredytu mędzy lne montażowe będze mało zatem postać: n m () a j j j ma przy ogranczenach: m () j,, n () j j m j n m j () {, },, n, j, m j Funkcja celu () maksymalzuje zdolnośc montażowe frmy po przydzelenu odpowednch częśc kredytu do poszczególnych rodzajów ln. Zestaw ogranczeń postac () wymusza, że dla każdej z ln montażowych zostane przydzelona ne węcej nż jedna część kredytu. Ogranczene () gwarantuje, że łączna suma częśc kredytu przydzelonych do poszczególnych ln montażowych będze równa wartośc kredytu. Ogranczene () stanow warunek na bnarność zmennych decyzyjnych. Zauważmy, że dla naszego zadana mamy następujące dane: n3; m6; macerz A ma postać: 6 8 7 A 5 8 4 7 ; 4 7 3 Zadane decyzyjne będze mało zatem następującą postać: () a 3 5 j j j ma 5
dr nż. Zbgnew Tarapata: Optymalzacja decyzj nwestycyjnych, cz.ii przy ogranczenach: () j,, 3 5 j () j 3 5 j j 5 () {, },,3, j, 5 j czyl () + + + 6 3 + 5 + 4 + 8 3 + 8 + 7 + 3 3 + + + 3 33 4 + 4 + + 7 4 34 5 + + 7 + 3 5 35 + ma przy ogranczenach: + + + + + 3 4 5 () + + + + + 3 4 5 3 + 3 + 3 + 33 + 34 + 35 () + + + 3 + + + 3 + + + 3 3 3 + 3 + 3 + 4 3 33 4 + 4 + 4 + 5 4 34 5 + + 5 + 5 5 35 + 5 () {, },,3, j, 5 j Aby rozwązać to zadane posłużymy sę Solver'em z arkusza kalkulacyjnego Ecel (patrz rozdzał.3). W tym celu, w komórkach arkusza zdefnowano opsywany problem (patrz Rysunek 8.): macerz A znajduje sę w komórkach B4:G6; zmenne decyzyjne j znajdują sę w komórkach B:G; funkcja celu znajduje sę w komórce D jest zapsana za pomocą formuły: SUA.ILOCZYÓW(B4:G6B:G) ; lewe strony zestawu ogranczeń () znajdują sę w komórkach B6:B8, tzn. w komórce B6 znajduje sę formuła : SUA(B:G), w komórce B7 formuła : SUA(B:G), a w komórce B8 formuła : SUA(B:G) ; lewa strona ogranczena () znajduje sę w komórce B, tzn. znajduje sę tam formuła: B+C+D+E3+F4+G5+B+C+D+E3+F4 +G5+B+C+D+E3+F4+G5. Aby dokończyć defncję naszego zadana oraz je rozwązać należy: W menu arzędza wybrać polecene Solver. Zostane wyśwetlone okno Solver-Parametry (patrz Rysunek 8.); W polu Komórka celu wpsać D lub zaznaczyć w arkuszu komórkę D (funkcja celu). Wybrać opcję aks; 6
dr nż. Zbgnew Tarapata: Optymalzacja decyzj nwestycyjnych, cz.ii W polu Komórk zmenane wpsać B:G lub zaznaczyć w arkuszu komórk B:G (zmenne decyzyjne); Rysunek 8. Zdefnowane problemu podzału kredytu nwestycyjnego mędzy lne montażowe Klknąć przycsk Dodaj. Pojaw sę okno dalogowe Dodaj warunek ogranczający (por. Rysunek.3.4). W polu Adres komórk wpsać B6 lub zaznaczyć komórkę B6. Komórka B6 mus być mnejsza lub równa. Domyślną relacją w polu Ogranczena jest < (mnejsze lub równe) ne trzeba jej zmenać. W polu obok relacj wpsać adres komórk D6. Klknąć przycsk Dodaj. W polu Adres komórk wpsać B7 lub zaznaczyć komórkę B7. W polu obok relacj wpsać adres komórk D7. Klknąć przycsk Dodaj. W polu Adres komórk wpsać B8 lub zaznaczyć komórkę B8. W polu obok relacj wpsać adres komórk D8. Klknąć przycsk Dodaj. W polu adres komórk wpsać B lub zaznaczyć komórkę B. Komórka B mus być równa 5. Zmenć relację w polu Ogranczena na (równe). W polu obok relacj wpsać adres komórk D. Klknąć przycsk Dodaj. W polu Adres komórk wpsać B:G lub zaznaczyć komórk B:G. Komórk B:G, zawerające zmenne decyzyjne, muszą meć wartośc bnarne. Zmenć warunek w polu Ogranczena na bn (bnarna). Klknąć przycsk Ok. Otrzymamy zdefnowane zadane w okne Solver-Parametry (patrz Rysunek 8.) powązane z modelem zapsanym w arkuszu z Rysunku 8.. Po klknęcu przycsku Rozwąż Solver rozwąże nasze zadane przypsując optymalne wartośc zmennym decyzyjnym jak na Rysunku 8.3. 7
dr nż. Zbgnew Tarapata: Optymalzacja decyzj nwestycyjnych, cz.ii Rysunek 8. Zdefnowane zadane wyznaczana maksymalnych zdolnośc montażowych fabryk przy zadanych ogranczenach Rysunek 8.3 Optymalny podzał kredytu nwestycyjnego na lne montażowe maksymalzujący zdolnośc montażowe frmy Z Rysunku 8.3 odczytujemy, że wartośc trzech zmennych decyzyjnych są nezerowe, a manowce:,, 33. Pozostałe zmenne mają wartość. Wartość funkcj celu dla rozwązana optymalnego odczytujemy z komórk D wynos ona 3. Jest to maksymalna możlwa zdolność montażowa fabryk po rozdysponowanu zacągnętego kredytu nwestycyjnego w wysokośc 5 mln zł mędzy lne montażowe w sposób następujący (odczytujemy te wartośc z nterpretacj zmennych decyzyjnych): oznacza, że na lnę 8
dr nż. Zbgnew Tarapata: Optymalzacja decyzj nwestycyjnych, cz.ii nr () przydzelamy mln zł, oznacza, że na lnę nr (S) przydzelamy równeż mln zł, oznacza, że na lnę nr 3 (P) przydzelamy 3 mln zł. 33 Przykład 8.3 Inwestor dysponuje kwotą zł. Chce zakupć akcje dwóch spółek gełdowych : ARCH IUS, których notowana z okresu 3..999-3.-r zawarto w Tabel 8.5. Interesuje go zbudowane takego portfela akcj obu spółek, który posada mnmalne ryzyko gwarantując jednocześne jednodnową stopę zwrotu ne mnejszą nż.5%. Przyjąć, że aktualne ceny akcj obu spółek określone są cenam z dna 3..r. Dobrać tak udzały akcj obu spółek w portfelu, aby spełnć wymagana nwestora. Tabela 8.5 Dane o notowanach spółek ARCH (tabela I) IUS (tabela II) 3 I Data notowana Cena (w zł) 3..999 4,5 4..999 5 5..999 4 6..999 3,5 7..999 4..999 5,5..999 7,5..999 8 3..999 6 7..999 3 8..999 9 9..999 3 3.. 43 4.. 45 5.. 34,5 6.. 4,5 7.. 54,5.. 69,5.. 79.. 75 3.. 8 II Data notowana Cena (w zł) 3..999 66,9 4..999 73,3 5..999 69,9 6..999 69,5 7..999 7..999 7,5..999 7..999 7 3..999 74 7..999 76,8 8..999 77,8 9..999 78,4 3.. 86, 4.. 88,7 5.. 86 6.. 9,9 7.. 96,5.. 6.. 6,5.. 6,5 3.. 5 Rozwązane W perwszej kolejnośc musmy polczyć jednodnowe stopy zwrotu z akcj obu spółek korzystając ze wzoru (3.3.) przyjmując, że dywdenda jest równa zero, tzn. 3 Źródło: Gełda Paperów Wartoścowych w Warszawe. 9
Rozdzał 8. Optymalzacja decyzj nwestycyjnych R t Wt W W t t I tak np. dla t4..999 otrzymujemy dla obu spółek: dla ARCH'a: R dla IUS'a: R W W 5 4.5 4.5 t 4..999 t 3..999 t 4..999 Wt 3..999 W W 73.3 66.9 66.9 t 4..999 t 3..999 t 4..999 Wt 3..999.44.957 Wylczena jednodnowych stóp zwrotu dla pozostałych dn przedstawono w Tabel 8.6. ając wyznaczone wartośc stóp zwrotu z rozpatrywanego okresu musmy wylczyć oczekwaną stopę zwrotu R oraz odchylene standardowe s stopy zwrotu obu spółek zgodne z formułam (3.3.3) (3.3.6). Korzystając z danych zawartych w Tabel 8.6 otrzymujemy 4 : dla spółk ARCH: R s m p R R.43 m m V p ( R R ) ( R dla spółk IUS:.43).47 R s m p R R.84 m m V p ( R R ) ( R.84).435 Oczekwana stopa zwrotu z portfela dwuskładnkowego jest lczona zgodne z formułą (3.4.), tzn. R w R + w R w.43+ w.84 p gdze w w oznaczają odpowedno udzały spółk ARCH IUS w portfelu, natomast ryzyko tego portfela merzone za pomocą odchylena standardowego stopy zwrotu portfela wylczamy zgodne z (3.4.), tzn. 4 Zauważmy, że p /m, dla,...,m, gdze m (lczba obserwacj).
Rozdzał 8. Optymalzacja decyzj nwestycyjnych s p w s + w s + w w s s ρ, gdze ρ ( R R ) ( R R, j, j cov( R, R ) j, s s s s ).787 czyl s p w.8 + w.9 +. 6 w w Tabela 8.6 Jednodnowe stopy zwrotu spółek ARCH IUS umer dna Data notowana Stopa zwrotu () (t) ARCH IUS 4..999,44,957 5..999 -,87 -,464 3 6..999 -,44 -,57 4 7..999,44,6 5..999,3,7 6..999,73 -,7 7..999,43, 8 3..999,678,43 9 7..999,37,378 8..999 -,77,3 9..999,78,77 3..,,995 3 4..,4,9 4 5.. -,74 -,34 5 6..,446,686 6 7..,996,5 7..,97,984 8..,56,99 9.. -,3, 3..,4 -,9 Oczekwana stopa zwrotu,43,84 Odchylene standardowe stopy zwrotu,47,435 Warancja stopy zwrotu,8,9 Współczynnk korelacj,787 Borąc pod uwagę powyższe oblczena zadane wyznaczena optymalnych udzałów akcj obu spółek w portfelu mnmalzujące ryzyko portfela oraz jednocześne zapewnające uzyskane stopy zwrotu na pozome co najmnej.5% zdefnujemy następująco: () w.8 + w.9 +.6 w w mn
Rozdzał 8. Optymalzacja decyzj nwestycyjnych przy ogranczenach: () w.43+ w.84. 5 () w w + () w, w Funkcja celu () mnmalzuje ryzyko portfela merzone za pomocą odchylena standardowego stopy zwrotu z portfela. Ogranczene () gwarantuje nam, że oczekwana dzenna stopa zwrotu z portfela będze ne mnejsza nż wymagane.5%. Ogranczene () wymusza sumowane sę udzałów do jednośc (naczej: do %). Ogranczene () zapewna, że udzały są lczbam neujemnym. Zauważmy jednakże, że w treśc zadana mamy podaną kwotę, którą należy rozdysponować na zakupy akcj obu spółek. Rozwązując zadane powyżej sformułowane może sę zdarzyć, że udzały, które otrzymamy ne zagwarantują nam otrzymana lczby akcj, które należy zakupć z posadanych środków, jako lczby całkowtej. Wobec tego musmy zmodyfkować powyższe zadane. ech l l oznaczają odpowedno lczbę akcj spółk ARCH IUS, które należy zakupć, a c c ceny akcj tych spółek. Wówczas zmodyfkowane udzały można przedstawć jako: w l l c c + l c w l l c c + l c Zmodyfkowane zadane będze mało zatem postać: () w.8 + w.9 +.6 w w mn przy ogranczenach: () w.43 + w.84. 5 () l c + l c () l c + l c c () l, l, l, l - całkowtolczbowe W zmodyfkowanym zadanu zamast wyznaczać udzały w portfelu będzemy wyznaczać lczbę akcj każdej ze spółek do zakupu. Funkcja celu ogranczene () mają ten sam sens co w zadanu poprzedno zdefnowanym. Ogranczene () zapewna, że wartość portfela (czyl koszt zakupu akcj będących w portfelu) ne przekroczy posadanych środków. Z kole warunek () gwarantuje, że koszt portfela będze wystarczająco blsk wartośc posadanych środków (z dokładnoścą do ceny akcj (najtańszej)). Warunek () zapewna nam, że lczby akcj obu spółek będą całkowte neujemne.
Rozdzał 8. Optymalzacja decyzj nwestycyjnych Aby rozwązać to zadane posłużymy sę jak poprzedno Solver'em z arkusza kalkulacyjnego Ecel (patrz rozdzał.3). W tym celu, w komórkach arkusza zdefnowano opsywany problem (patrz Rysunek 8.4): ceny akcj c c znajdują sę w komórkach D:E; oczekwane stopy zwrotu R R znajdują sę w komórkach D3:E3; odchylena standardowe stóp zwrotu s s znajdują sę w komórkach D4:E4; zmenne decyzyjne l l znajdują sę w komórkach D5:E5; zmodyfkowane udzały znajdują sę w komórkach D6:E6; funkcja celu znajduje sę w komórce C8 jest zapsana za pomocą formuły: PIERWIASTEK(D6^D4^+E6^E4^+,6D6E6) ; lewa strona ogranczena () znajduje sę w komórce C9 jest zapsana za pomocą formuły: D6D3+E6E3 ; lewa strona ogranczena () znajduje sę w komórce C, tzn. znajduje sę tam formuła: D5D+E5E ; lewa strona ogranczena () znajduje sę w komórce C, tzn. znajduje sę tam formuła: D5D+E5E ; Rysunek 8.4 Zdefnowane problemu wyznaczana optymalnego portfela akcj Aby dokończyć defncję naszego zadana oraz je rozwązać należy: W menu arzędza wybrać polecene Solver. Zostane wyśwetlone okno Solver-Parametry (patrz Rysunek 8.5); W polu Komórka celu wpsać C8 lub zaznaczyć w arkuszu komórkę C8 (funkcja celu). Wybrać opcję n; W polu Komórk zmenane wpsać D5:E5 lub zaznaczyć w arkuszu komórk D5:E5 (zmenne decyzyjne); Klknąć przycsk Dodaj. Pojaw sę okno dalogowe Dodaj warunek ogranczający (por. Rysunek.3.4). W polu Adres komórk wpsać C9. Komórka C9 mus być wększa lub równa od,5. Zmenć relację w polu Ogranczena na > (wększe lub równe). W polu obok relacj wpsać adres komórk E9. Klknąć przycsk Dodaj. W polu Adres komórk wpsać C lub zaznaczyć komórkę C. Komórka C mus być mnejsza lub równa. Domyślną relacją w polu Ogranczena jest < (mnejsze lub równe) ne trzeba jej zmenać. W polu obok relacj wpsać adres komórk E. Klknąć przycsk Dodaj. 3
Rozdzał 8. Optymalzacja decyzj nwestycyjnych W polu Adres komórk wpsać C lub zaznaczyć komórkę C. Komórka C mus być wększa lub równa od 9885. Zmenć relację w polu Ogranczena na > (wększe lub równe). W polu obok relacj wpsać adres komórk E. Klknąć przycsk Dodaj. W polu Adres komórk wpsać D5:E5 lub zaznaczyć komórkę D5:E5. Komórk D5:E5, zawerające zmenne decyzyjne, muszą być wększe lub równe. Zmenć relację w polu Ogranczena na > (wększe lub równe). W polu obok relacj wpsać. Klknąć przycsk Dodaj. W polu Adres komórk wpsać D5:E5 lub zaznaczyć komórk D5:E5. Komórk D5:E5 muszą meć wartośc całkowte. Zmenć warunek w polu Ogranczena na nt (całkowta). Klknąć przycsk OK. Otrzymamy zdefnowane zadane w okne Solver-Parametry (patrz Rysunek 8.5) powązane z modelem zapsanym w arkuszu z Rysunku 8.4. Rysunek 8.5 Okno Solver-Parametry dla zadana wyznaczana optymalnego portfela akcj Po nacśnęcu przycsku Rozwąż otrzymamy rozwązane naszego problemu przedstawone na Rysunku 8.6 zawarte w komórkach D5 E5: l 9, l 4. Te wartośc lczby akcj stanową odpowedno 5.8% udzału w portfelu 47.8% udzału. nmalne ryzyko, które zwązane jest z tym portfelem wynos 3.97%, a stopa zwrotu z portfela:.6%. Wartość portfela wynos 9993 zł, a węc zostało nam 7 zł z posadanej kwoty na nwestycję. Rysunek 8.6 Optymalne wartośc lczby akcj w portfelu mnmalzujące ryzyko portfela przy zadanych ogranczenach 4
Rozdzał 8. Optymalzacja decyzj nwestycyjnych Zadana 8.. Frma przewduje uruchomene produkcj nowego wyrobu. Oszacowano zapotrzebowane na ten wyrób w wysokośc tys. sztuk roczne. a podstawe wstępnego rozeznana ustalono, ze możlwe jest wybudowane zakładów wytwarzających ten produkt tylko w trzech mejscowoścach: A, B C. Koszty wybudowana zakładu, koszty wyprodukowana jednostk wyrobu oraz maksymalne roczne zdolnośc produkcyjne zakładu w różnych mejscowoścach są różne. Podane je w tabel 8.7. Tabela 8.7 ejscowość Koszt wybudowana zakładu (mln zł) Koszt produkcj jednostk wyrobu (zł) aksymalna zdolność produkcyjna (tys. sztuk) A 48 7 B,3 4 6 C, 44 8 Zakładając, że każdy zakład będze produkował przez lat, a jednostkowe koszty produkcj ne zmeną sę w tym okrese, wyznaczyć mejsca lokalzacj zakładów oraz welkość rocznej ch produkcj tak, aby łączna suma kosztów ponesonych na budowę kosztów produkcj była najmnejsza. Wskazówka Zauważyć, że mamy do czynena z zadanem meszanym. Część zmennych będze mała charakter bnarny, a część całkowtolczbowy. 8.. Projektowana jest budowa od jednej do 4 nowych pekarn mających zaopatrywać w peczywo 5 mejscowośc: A, B, C, D E. Pekarne można wybudować w mejscowoścach A, B, C E. Dzenne zdolnośc wytwórcze Z pekarn (w kg), popyt P j na peczywo (w kg) z czterech mejscowośc oraz oszacowane przyszłe jednostkowe koszty produkcj k przewozu peczywa c j (w zł za kg) podano w Tabel 8.8. Oszacowano równeż, że koszty wybudowana każdej z pekarn są jednakowe. Tabela 8.8 c j A B C D E Z k A,4,6,8,7 3 8,7 B,,9,6 8 6,5 C,5,5,8,4 7 7,9 E,,4,5 35 9, P j 5 6 4 - - Zaproponować welkość rocznej produkcj każdego z zakładów oraz plan transportu peczywa, dzęk którym całkowte koszty produkcj transportu będą możlwe najnższe. Wskazówka amy do czynena z zadanem całkowtolczbowym. 5
Rozdzał 8. Optymalzacja decyzj nwestycyjnych 8.3. Projektuje sę wybudowane zakładów produkujących włókna syntetyczne dla zaspokojena potrzeb czterech zakładów odzeżowych. Ustalono, że fabryk można zlokalzować w czterech punktach geografcznych: A, B, C D, przy czym potencjalne zdolnośc produkcyjne tych zakładów wynoszą odpowedno: 4, 4, 3m tkann. atomast poszczególne zakłady odzeżowe zgłosły odpowedne zapotrzebowane na, 5, 5 4m tkann. Oszacowane przyszłe koszty transportu m tkann pomędzy dostawcam odborcam podano w tabel 8.9, a koszty produkcj m w poszczególnych zakładach oszacowano odpowedno na 3; 4,5; 4 5 zł. Tabela 8.9 Punkty geografczne Odborcy tkann 3 4 A,5 5 6 B,5 3,5 4,5 C,5 4 3 D,5 3,5 Rozwązać problem lokalzacj zakładów produkcyjnych, tak by mnmalzować łączne koszty produkcj transportu. Wskazówka Jak w zadanu poprzednm. 8.4. Przedsęborstwo (gracz P) prowadzące produkcję eksportową może przyjąć za podstawę swojej produkcj jeden z czterech warantów planu, dających odpowedno dochód w wysokośc: 76, 6, 68 64 tys. zł. a rynku mędzynarodowym (na który mają wpływ nn przedsęborcy, ogólne: gracz P) pownen obowązywać jeden z trzech układów cen. W zależnośc od wybranego warantu planu obowązującego układu cen przedsęborstwo będze mogło przeznaczyć na swój fundusz dewzowy tak procent dochodu, jak przedstawa macerz A A 9 9 8 9 Który z warantów planu pownno przyjąć przedsęborstwo, aby welkość funduszu dewzowego (lczona w %) była jak najwększa, a który, aby welkość funduszu dewzowego (lczona w zł) była jak najwększa? Wskazówka ależy skorzystać z metod rozwązywana ger dwuosobowych o sume zero. 8.5. Inwestor dysponuje kwotą 3 zł. Chce zakupć akcje dwóch spółek gełdowych : ARCH IUS, których notowana z okresu 3..999-3.-r zawarto w Tabel 8.5. Interesuje go zbudowane takego portfela akcj obu spółek, który maksymalzuje oczekwaną stopę zysku przy ryzyku, merzonym przy pomocy odchylena standardowego stopy zwrotu, ne wększym nż 4%. Przyjąć, że aktualne 6
Rozdzał 8. Optymalzacja decyzj nwestycyjnych ceny akcj obu spółek określone są cenam z dna 3..r. Dobrać tak udzały akcj obu spółek w portfelu, aby spełnć wymagana nwestora. Wskazówka Porównaj rozwązane zadane z Przykładu 8.3. 8.6. Inwestor chce zakupć akcje trzech spółek gełdowych : AICA, DĘBICA PESA, których notowana z okresu 3..999-3.-r. zawarto w tabel 8. 5. Interesuje go zbudowane portfela akcj, który maksymalzuje oczekwaną stopę zysku przy jednoczesnej mnmalzacj ryzyka. Dobrać tak udzały akcj spółek w portfelu, aby spełnć wymagana nwestora formułując zadane optymalzacj welokryteralnej z funkcją metakryterum będącą średną ważoną kryterów. Przyjąć, że kryterum ryzyka jest dwa razy ważnejsze nż kryterum zysku. Tabela 8. Dane do zadana Data Kurs akcj spółk Kurs akcj spółk Kurs akcj spółk notowana AICA (w zł) DĘBICA (w zł) PESA (w zł) 3..999 8,9 4,5 4, 4..999 9 4,6 4,4 5..999 8,5 4,5 4,5 6..999 8 4,5 4,7 7..999 8,5 4,9 4,9..999 8,6 4, 4,9..999 9,4 4 4,7..999 3 4 4,7 3..999 3,8 43 5 7..999 34,5 44 5, 8..999 33,9 44 7 9..999 33,8 43,5 6 3.. 35, 47,3 6 4.. 34,4 46,3 6 5.. 3 43,5 3,4 6.. 3,7 43,8 4,5 7.. 34, 45 6,7.. 35,8 47,5 6.. 35,4 47 6,7.. 34,4 46 6 3.. 34,5 45,8 6 Wskazówka Porównaj Przykład 8..7 (część I) oraz Przykład 3.. 8.7. Inwestor chce zakupć akcje trzech spółek gełdowych : AICA, DĘBICA PESA, których notowana z okresu 3..999-3.-r zawarto w tabel 8.. Interesuje go zbudowane portfela akcj, który maksymalzuje oczekwaną stopę zysku przy jednoczesnej mnmalzacj ryzyka. Dobrać tak udzały akcj spółek w portfelu, aby spełnć wymagana nwestora formułując zadane optymalzacj 5 Źródło: Gełda Paperów Wartoścowych w Warszawe. 7
Rozdzał 8. Optymalzacja decyzj nwestycyjnych welokryteralnej z funkcją metakryterum będącą mnmalzacją odchyleń funkcj kryterów. Wskazówka Jak w zadanu poprzednm. 8.8. Dla ośmu spółek notowanych na gełdze warszawskej w okrese 3..999-3..r. wylczono oczekwaną stopę zwrotu oraz odchylene standardowe stopy zwrotu (Tabela 8.). Dokonać uporządkowana tych spółek ze względu na oba krytera poprzez zbudowane grafu Hassego dla kryterów znormalzowanych neznormalzowanych. Wskazać najgorsze najlepsze nwestycje. Tabela 8. umer spółk azwa spółk Oczekwana stopa zwrotu (R) Amca,95, Optmus,84,9 3 Kredyt Bank,8,9 4 KGH,9, 5 Ebud,5, 6 Dębca,54,9 7 Compensa,43,4 8 Comarch,43,8 Wskazówka Porównaj Przykład 8..6 (część I) oraz Przykład 8.. Odchylene standardowe stopy zwrotu (s) 8.9. Dyrektor pewnej frmy ubezpeczenowej mus podjąć decyzję dotyczącą optymalnej struktury portfela środków penężnych pochodzących ze składek ubezpeczenowych 6. a do wyboru 5 sposobów lokaty kaptału różnących sę roczną stopą zwrotu kaptału, stopnem ryzyka zwązanym z zanwestowanem środków penężnych oraz okresem, jak jest nezbędny do zrealzowana zakładanej stopy zwrotu kaptału. Pozom ryzyka oszacowany został (subektywne) przez specjalstę do spraw analzy portfelowej w skal od do na podstawe znajomośc bezpeczeństwa poszczególnych sposobów lokaty środków penężnych. ezbędna dane zawarto w Tabel 8.. Tabela 8. umer lokaty Rodzaj lokaty kaptału Roczna stopa zwrotu kaptału (w %) Ryzyko Okres, na jak należy zanwestować Zakup akcj pewnego przedsęborstwa 4 Zakup oblgacj skarbu państwa 8 3 Zwększene rezerwy środków penężnych w banku 5 4 Gra na gełdze 5 3 5 Pozostawene gotówk 6 Zadane zaczerpnęto z pracy: K. Kukuła (red.), Badana operacyjne w przykładach zadanach, PW, Warszawa 999, zad., str. 8. 8
Rozdzał 8. Optymalzacja decyzj nwestycyjnych Optymalna struktura portfela ma gwarantować maksymalzację stopy zwrotu tego portfela, a ponadto należy uwzględnć następujące warunk: Przecętny pozom ryzyka ne pownen przekroczyć.6; Przecętny okres zamrożena kaptału ne pownen przekroczyć 6 lat; Co najmnej 5% środków penężnych pownno pozostać w postac gotówk na beżące wypłaty. Wskazówka Porównaj Przykład 8..5 (część I). 8.. Dla danych jak w Tabel 8. wyznaczyć optymalną strukturę portfela gwarantującą mnmalzację ryzyka tego portfela przy uwzględnenu następujących warunków: Roczna stopa zysku z portfela mus być ne mnejsza nż 3%; Przecętny okres zamrożena kaptału ne pownen przekroczyć 5 lat; Co najmnej 5% środków penężnych pownno pozostać w postac gotówk na beżące wypłaty. Wskazówka Jak w poprzednm zadanu. 8.. Dokonać welokryteralnej oceny spółek AICA IUS stosując metakryterum kombnacj lnowej funkcj kryterów dla dzesęcu kryterów ryzyka przedstawonych w Tabel 8.3 (porównaj równeż Przykład 3., rozdzał 3) uwzględnając kryterum dochodu w postac oczekwanej stopy zwrotu. Założyć, że kryterum dochodu jest dwa razy ważnejsze nż każde z pozostałych kryterów. Tabela 8.3 umer kryterum azwa kryterum Wartość kryterum (w odnesenu do stopy zwrotu) AICA IUS Warancja (V)..9 Odchylene standardowe (s).348.435 3 Odchylene przecętne (d).8.365 4 Współczynnk zmennośc (CV) 3.667.53 5 Value at Rsk (dla α.5).65 4.96 6 Semwarancja (SV).6.8 7 Semodchylene standardowe (ss).4.8 8 Semodchylene przecętne (sd).4.83 9 Pozom bezpeczeństwa (R b ) (dla α.) -.7 -.9 Prawdopodobeństwo neosągnęca.6.5 pozomu aspracj (P a ) (dla R a %) Oczekwana stopa zwrotu.95.84 Wskazówka Porównaj Przykład 8.. ależy dokonać najperw normalzacj kryterów. 9
Rozdzał 8. Optymalzacja decyzj nwestycyjnych Odpowedz 8. Przyjmjmy następujące oznaczena: - lczba mejscowośc; kw - koszt wybudowana zakładu w -tej mejscowośc,, ; kp - koszt produkcj wyrobu w -tej mejscowośc,, ; zp - maksymalna zdolność produkcyjna w -tej mejscowośc,, ; - zmenna decyzyjna określająca, czy wybudowano zakład w -tej mejscowośc,, jeśl w mejscowośc o numerze wybudowano zaklad,, ;, w przecwnym przypadku y - welkość rocznej produkcj w -tym zakładze,,. Funkcja celu będze mała postać: przy ogranczenach: ( kw + y kp ) mn y y zp,, y,, {,}, y calkowtolczbowe,, Dla naszego zadana mamy: 3; kw - druga kolumna tabel 8.7; kp - trzeca kolumna tabel 8.7; zp - czwarta kolumna tabel 8.7. Po podstawenu danych do zadana rozwązanu go otrzymamy:,, 3 y, y 6, y 4. 3 ależy zatem zlokalzować zakłady w mejscowoścach numer (B) 3 (C) oraz należy produkować w obu zakładach odpowedno 6 sztuk 4 sztuk wyrobów roczne. Zapewn to nam mnmalny koszt w wysokośc 44 zł w cągu -cu lat produkcj. 8. Przyjmjmy następujące oznaczena: - lczba pekarn; - lczba mejscowośc dostarczana peczywa;
Rozdzał 8. Optymalzacja decyzj nwestycyjnych y j - welkość produkcj -tej pekarn przeznaczona dla j-tej mejscowośc, j,.,, Pozostałe oznaczena jak w treśc zadana. Funkcja celu będze mała postać: j y j c przy ogranczenach: yj j yj Z P j j + k j,,, j, y j mn y,,, j, j y calkowtolczbowe,,, j, j Dla naszego zadana mamy: 4; 5; Z - przedostatna kolumna tabel 8.8; k - ostatna kolumna tabel 8.8; P j - ostatn wersz tabel 8.8; y [ ] y j - macerz optymalnych welkośc produkcj przewozu z poszczególnych pekarn do mejscowośc. Po podstawenu danych do zadana rozwązanu go otrzymamy: y 5 6 8 674 56 874 Plan przewozu peczywa zawera macerz y. atomast welkość produkcj poszczególnych pekarn jest następująca: dla pekarn w mejscowośc A: +66; dla pekarn w mejscowośc B: +88; dla pekarn w mejscowośc C: 5+674+567; dla pekarn w mejscowośc E: 874. Zapewn to nam mnmalny koszt produkcj transportu w wysokośc 5885 zł. 8.3 Podobne, jak w zadanu poprzednm przyjmjmy następujące oznaczena: - lczba punktów geografcznych potencjalnych lokalzacj zakładów odzeżowych;