Wyłady z Inf - MKE. Podsawy Mahcada. Podsawy Mahcada.. Dlaczgo Mahcad? Spośród wilu programów ompurowych wspomagaących rozwiązywani róŝngo rodzau zagadniń lrochnicznych Mahcad wyróŝnia się względną prosoą, wyazuąc przy ym pwną ogólność w rozwiązywaniu zagadniń. Dlago właśni zdcydowano się na go zasosowani oraz omówini i zasosowani na laboraorium. MoŜ być zasosowany do rozwiązania zadania proowgo. 4-3-9 4
Wyłady z Inf - MKE. Podsawy Mahcada.. Podsawy Mahcada (na podsawi pliu pomocy Mahcada) PoniŜszy s nalŝy na biŝąco ilusrować w Mahcadzi. Prznowany mariał w Ŝadn sposób ni wyczrpu opisu programu, lcz sanowi dyni wsęp do go moŝliwości.... Doumn programu Mahcad Doumn Mahcada, zwany aruszm, nalŝy do zw. doumnów inracynych. KaŜda zmiana w doumnci znadu naychmias odzwircidlni w dalsz części doumnu (a a w Exclu, gdzi zmiana w dn omórc odzwircidla się naychmias w omórach z nią powiązanych). Mahcad łączy inrfs Ŝywgo doumnu ypu arusza alulacyngo z sysmm WYSIWYG (Wha You S Is Wha You G - dosasz o co widzisz) procsora su, pozwalaąc rozwiązać dowoln oryczni zagadnini. W aruszu moŝna umiszczać równania, s i grafię w dowolny sposób miszaąc z sobą. UmoŜliwia o ław śldzni złoŝonych opraci oraz prznowani wyniów obliczń na dwu- lub rówymiarowych wyrsach. Obszar ona Mahcada słada się z arusza, bli mnu, pasa przycisów szybigo dosępu, pasa formaowania oraz wnualni oin przycisów (pal). 4-3-9 5
Wyłady z Inf - MKE. Podsawy Mahcada Arusz Mahcada o zbiór równań, su oraz grafii. KaŜdy ai lmn o zw. rgion. Mahcad worzy niwidzialny prosoą ograniczaący aŝdy rgion. Aby uworzyć rgion nalŝy linąć pusy obszar arusza, co umiszcza mały rzyŝy w miscu linięcia. Nasępni moŝna wpisać równani, s lub uworzyć wyrs. JŜli raz zacznimy coś wpisywać z lawiaury, o domyślni Mahcad porau o ao wyraŝni mamayczn (zwan dal równanim). Aby wpisać s, nalŝy zacząć od naciśnięcia cudzysłowu " (zn. SHIT + ) lub po prosu wpisać pirwszy wyraz i spacę, aby Mahcad auomayczni zminił rgion z równania na s. Z oli grafię umiszcza się za pomocą odpowidnich polcń mnu, przycisów lub sróów lawiaurowych. W razi porzby rgiony moŝna przsuwać w inn misc, zminiać ich rozmiary, usuwać, opiować id. 4-3-9 6
Wyłady z Inf - MKE. Podsawy Mahcada... Mahcad ao alulaor W Mahcadzi moŝna obliczyć warość wyraŝnia mamayczngo. W ym clu wpisumy wyraŝni i nacisamy lawisz. Powodu o wyświlni po praw sroni wyniu. MoŜna uŝywać sandardowych opraorów, ór wpisumy np. za pomocą lawiszy: + - dodawani (SHIT + ), - odmowani lub zmiana znau, * - mnoŝni (SHIT + 8 ) - wyświla ao, / - dzilni - wsawia szablon, ^ - poęgowani (SHIT + 6 ) - wsawia szablon, \ - pirwias wadraowy (o niumn części rzczywis) - wsawia szablon, Crl + \ - pirwias dowolngo sopnia - wsawia, ( i ) - nawiasy (SHIT + 9 i SHIT + ), ' - obmu nawiasami aualni wybran podwyraŝni, - warość bzwzględna - wsawia. Przyładowo, aby wpisać 5 3 moŝmy wpisywać olno:, +, /, \, 5, Spac, +,, ^,, Tab,,, Crl + \,, Tab, 3, Spac, Spac, Spac, *, 3. ZauwaŜmy, Ŝ Tab przchodzi pomiędzy olnymi polami, a Spac wychodzi z podwyraŝnia o dn poziom wyŝ. Zwróćmy przy oazi uwagę, Ŝ podczas dyci wyraŝnia mamayczngo poawiaą się zw. lini dycyn, ór wsazuą podwyraŝni, ór s aualni dyowan. Po naciśnięciu dosamy wyni:.3 5. 3.9 3 MoŜmy uŝywać sandardowych funci, np. sin, cos, an, xp, ln ip. Argumny funci poda się w nawiasach orągłych i oddzila przcinami. Mahcad rozróŝnia mał i duŝ liry - nazwy funci podamy na ogół małymi lirami, chyba Ŝ w nazwi s aura duŝa lira, np. funcę Bssla J n (x) wpisumy ao Jn(n, x). Mahcad ofru ila sandardowych sałych mamaycznych, z órych nawaŝnisz o π, oraz, ór wpisu się odpowidnio ao Crl + P, oraz CTL + Z. Ponado dfiniu ao duŝą liczbę, co pozwala aŝ uŝywać go symbolu w obliczniach. Klawiszologia: - wyświla wyni numryczny, Spaca - przści poziom wyŝ w wyraŝniu, Tab - przści do nasępngo pola, Crl + P - wpisu π, Crl + Z - wpisu. 4-3-9 7
Wyłady z Inf - MKE. Podsawy Mahcada..3. Liczby zspolon Mahcad ma wbudowaną obsługę liczb zspolonych. Np. liczbę + 3 wpiszmy ao, +, 3 (zamias moŝna uŝyć i). Al uwaga: liczbę + wpisumy ao +. Ta więc do symbolizowania dnosi uroon Mahcad uŝywa i lub. Wyonuąc oblicznia na liczbach zspolonych, moŝmy orzysać z sandardowych funci aich a, Im, (moduł, wpisywany ao ), arg. Argumn liczby zspolon podawany s w radianach. JŜli np. napiszmy arg( + i), o dosanimy.785. Aby uzysać wyni w sopniach, posępumy nasępuąco: liamy myszą w obszar wyraŝnia lub wyniu - za wyniim.785 poawi się dodaow pol, w ór wpisumy dg: arg( i).785 arg( i) 45 dg Wsazu o dnosi, w órych chcmy uzysać wyni. Jao wyni uzysamy wdy 45. SprzęŜni wpisu się ao " (SHIT + ' ). Mahcad oznacza sprzęŝni rsą nad danym wyraŝnim. ( 3i) 3i Liczby zspolon mogą być argumnami wilu funci udosępnianych przz Mahcada, w ym sin, cos, xp, ln, aan ip. W udosępnion wrsi ni moŝna sosować liczb zspolonych ao argumnów funci spcalnych, np. funci Bssla I n czy funci błędu rf. Klawiszologia: i lub - dnosa uroona, (z) - część rzczywisa liczby z, Im(z) - część uroona liczby z,, z - moduł liczby z (poawia się z ), arg(z) - argumn liczby z, z, " - sprzęŝni liczby z (poawia się z ). 4-3-9 8
Wyłady z Inf - MKE. Podsawy Mahcada..4. Wyrsy funci dn zminn Aby narysować wyrs funci dn zminn, worzymy wyrs za pomocą sróu lawiszowgo @ (SHIT + ). Poawi się rgion grafii, na razi w formi szablonu. W misc czarnych prosoąciów (pól) wpisumy odpowidni wyraŝnia. Np. aby narysować wyrs sin(x), w doln pol wpisumy x, a w lw - sin(x). JŜli ni wypłnimy aigoś pola, ór s wymagan, o poawi się ono na czrwono, np. JŜli dna wypłnimy pola zgodni z wczśniszym opism, o dosanimy wyrs.99998 sin( x).99998 x Przy ońcach osi poziom znaduą się pola zarsu osi - dwa podrślon misca, w órych począowo znaduą się liczby oraz. MoŜmy zminić zars zminn x na od do 7. 4-3-9 9
Wyłady z Inf - MKE. Podsawy Mahcada.999996 sin( x).999999 5 x 7 TaŜ przy osi pionow znaduą się pola zarsu osi, ór domyślni zawiraą warości auomayczni wyznaczon przz Mahcada a, aby zmiścił się cały wyrs. J aŝ moŝmy zminić. W dnym rgioni moŝ być więc wyrsów. Aby dodać wyrs drugi funci, usawiamy ursor uŝ za sin(x), wpisumy przcin oraz drugą funcę, np. x (. \, x)..64575 4 sin( x) x.999999 5 x 7 Dodamy raz lini siai. Dwuroni linięci na obszar wyrsu powodu wyświlni oina formaowania wyrsu, w órym moŝna orślić indywidualn prfrnc rysowania wyrsów. Zaznaczamy Grid Lins dla obydwu osi i orzymumy 4-3-9
Wyłady z Inf - MKE. Podsawy Mahcada.64575 4 sin( x) x.999999 5 x 7 Za pomocą go samgo szablonu moŝna narysować wyrs funci zadan paramryczni, np. x() sin(), y() sin(). W ym clu w pol osi poziom wpisumy sin(), a w pol osi pionow sin()..999999 sin( ).999999.99998 sin( ).99998 Mahcad domyślni rysu fragmn wyrsy dla od do. Późni poznamy sposób, aby o zminić. Klawiszologia: SHIT + - wsawia szablon wyrsu, podwón linięci na wyrsi - ono opci wyrsu. 4-3-9
Wyłady z Inf - MKE. Podsawy Mahcada..5. Dfiniowani zminnych salarnych Aby zdfiniować zminną, piszmy nazwę i uŝywamy :, co wpisu się za pomocą dwuropa : (SHIT + ; ). JŜli nazwa zminn s dla Mahcada niznana, o moŝna Ŝ nacisnąć, co da n sam f. Np. dfinicę zminn o nazwi d: d, : Nasępni wpisumy wyraŝni dfiniuąc zminną i zawirdzamy Enr. d d sin Od chwili w wszysich rgionach poniŝ dfinici moŝna uŝywać zdfiniowan zminn d. Np. d.97 d.943 Pamięamy, Ŝ Mahcad prowadzi oblicznia o góry na dół i od lw do praw, więc nasza zminna widoczna s dyni przz rgiony znaduąc się fizyczni za rgionm dfiniuącym zminną. KaŜda zmiana w dfinici powodu auomayczn przliczni dalszych formuł i uaualnini grafii. Np. Ŝli wrócimy do d i zminimy dfinicę na d π o auomayczni dosanimy d.77 d 4.4 Ta ccha auomayczn aualizaci s bardzo pomocna w badaniu ypu a co śli?. Zminiaąc warości róŝnych paramrów moŝmy od razu przonać się a wpływaą on na wynii obliczń. Jdna Ŝli z aigoś powodu ni chcmy, aby Mahcad auomayczni przliczał arusz (np. chcmy wyonać ila zmian, a oblicznia po aŝd zmiani byłyby bardzo czasochłonn), o moŝmy wyłączyć auomayczn przliczani: w mnu Mah liamy na Auomaic calculaion i usuwamy pasz. W n sam sposób przywracamy auomayczn oblicznia. JŜli w wyraŝniu uŝymy aigoś nizdfiniowango wyŝ symbolu, poawi się on na czrwono, np. q p Próbowaliśmy ua zdfiniować zminną q za pomocą wyraŝnia p +, yl, Ŝ Mahcad ni wi co o s p. 4-3-9
Wyłady z Inf - MKE. Podsawy Mahcada..6. Dfiniowani funci unc dfiniu się podobni a zminn, al dodaowo funca posiada argumny podawan w nawiasach i oddzilon przcinaami, ór mogą być uŝy po praw sroni znau przypisania,. w dfinici funci. Zdfiniumy funcę obliczaącą wadra liczby i nazwimy ą wadra. unca powinna mić dn argumn, óry nazwimy x. J dfinica wygląda nasępuąco wadra( x) x co w Mahcadzi zapisumy ao: wadra(x), :, x, ^,, Enr. Od chwili moŝmy pisać np. wadra(5) orzymuąc w wyniu 5. Przyład funci dwóch zminnych: powr( x, n) x n unc zdfiniowan są raowan a a func wbudowan. MoŜmy więc rślić ich wyrsy i wyonywać ai sam oprac a na funcach wbudowanych...7. Nazwy dfiniowanych symboli Nazwa zminn - lub ogólni dfiniowango symbolu - moŝ zawirać liry alfabu angilsigo (mał lub duŝ) lub grcigo (mał lub duŝ), cyfry, zna aposrofu ' (prim), zna podrślnia _, zna procnu %, symbol nisończoności. Do wpisania liry grci moŝna zasosować palę alfabu grcigo lub sró lawiaurowy Crl + G. Np. aby wpisać α, nacisamy a, a pom Crl + G. Nazwa moŝ Ŝ zawirać indsy doln, ór wpisu się za pomocą ropi. - np. zminną o nazwi a p wpisumy ao a,., p. a p Klawiszologia: : - dfinica zminn lub funci,. - inds dolny w nazwi, Crl + G - zamiana poprzdni liry na lirę grcą. 4-3-9 3
Wyłady z Inf - MKE. Podsawy Mahcada..8. ozwiązywani równań algbraicznych Mahcad umoŝliwia rozwiązywania równań i uładów równań algbraicznych, a aŝ róŝniczowych. Ofru w ym clu całim sporo funci. Tua ograniczymy się do prosych przyładów...8.. Znadowani dngo z rozwiązań podynczgo równania za pomocą roo Aby znalźć dno z rozwiązań równania posaci f(x), moŝmy posąpić wyorzysać funcę wbudowaną roo. Przypuśćmy, Ŝ chcmy wyznaczyć rozwiązani równania x cos( x ) 4 Narysowawszy wyrs lw i praw srony swirdzamy, Ŝ równani o ma rzy rozwiązania znaduąc się w pobliŝu x, x oraz x 4..5 4 cos( x) x 4.5 4 5 5 x Aby sorzysać z funci roo, musimy orślić przybliŝon rozwiązani. JŜli napiszmy x a nasępni orzysamy z funci roo, o orzymamy roo cos ( x) x 4, x.5 Ja widać, na podsawi warości począow Mahcad znalazł doładnisz rozwiązani równ ooło,5. Kliaąc na n wyni i nacisaąc CTL + SHIT + N, dosamy na dolnym pasu wyni zawiraący więc cyfr. Aby znalźć inn rozwiązani, musimy podać inny pun sarowy i znowu wyorzysać funcę roo, np. x roo cos ( x) x 4, x.33 x 4 roo cos ( x) x 4, x 3.596 4-3-9 4
Wyłady z Inf - MKE. Podsawy Mahcada..8.. Znadowani rozwiązania uładu równań za pomocą blou Givn-ind ozwiąŝmy uład równań x + y 9 y x órgo rozwiązaniami są pary punów (x, y) znaduąc się na przcięciu oręgu o środu w punci O i prominiu 3 oraz pros y x +. obimy rysun 4 4 x 3 sin( ) 4 4 4 4 4 x, 3 cos( ) 4 Z obraza widzimy, Ŝ są dwa rozwiązania: ooło (, ) oraz (, ). Podobni a przy roo, musimy podać warości domyśln, np. x y Traz budumy zw. blo Givn-ind: napirw wpisumy słowo Givn, pom równania. Zna równości w równaniach wpisumy ao CTL + - Mahcad wyświla wdy pogrubiony zna równości - opraor rlaci równości (s o inny opraor niŝ : - opraor przypisania, a aŝ inny niŝ - opraor waluaci numryczn). W ońcu wpisumy ind(x,y) i nacisamy (ua właśni s zwył równa się - opraor waluaci numryczn). Orzymumy wyni w posaci wora, órgo pirwsza warość odpowiada x, a druga - y. Givn x y 9 y x ind( x, y).56.56 4-3-9 5
Wyłady z Inf - MKE. Podsawy Mahcada..8.3. Znadowani rozwiązań symbolicznych Mahcad porafi Ŝ znalźć rozwiązania symboliczn (w pwnym zarsi). MoŜmy np. znalźć symboliczni pirwiasi poprzdnigo zagadninia. Wsawiwszy y x + do pirwszgo równania dosanimy x ( x ) a gdzi zamias 9 napisano a (a s prominim oręgu). Traz zaznaczamy ę zminną, względm ór chcmy znalźć pirwias powyŝszgo wyraŝnia (. rozwiązani równania orzymango po przyrównaniu go wyraŝnia do zra). W naszym przypadu zaznaczamy x i z mnu Symbolics Variabl wybiramy Solv. Mahcad poda wyni... a. a óry oznacza, Ŝ mamy dwa rozwiązania dla x. Podan ua mody ni wyczrpuą wszysich moŝliwości rozwiązywania równań ofrowanych przz Mahcada. 4-3-9 6
Wyłady z Inf - MKE. Podsawy Mahcada..9. Zminn zarsow i indsow Oprócz zminnych salarnych (o podyncz warości) Mahcad ofru zw. zminn zarsow, ór przymuą przliczalni wil warości z podango przdziału. MoŜmy np. zdfiniować zminną i przymuącą warości od do co. W ym clu piszmy olno i, :,, ;,, co powodu poawini się na rani i.. (zauwaŝmy, Ŝ zna.. wpisumy lawiszm ; ). JŜli raz zaŝądamy wyświlnia warości i poprzz napisani i,, o dosanimy poniŝ ablę z olnymi warościami przymowanymi przz i: i 3 4 5 6 7 8 9 W powyŝszym przyładzi warość zminn i wzrasała co, al moŝmy uzysać zmianę o dowolną liczbę, np. o.. Ogólni po znau dfinici : wpisumy wdy napirw pirwszą warość zminn, pom drugą, pom zna.., a na ońcu osanią warość zminn. Np. Ŝli chcmy, aby,.,.4,.6,, 5, o wpisumy, :,,,,., ;, 5, co powodu wyświlni,... 5 Zminn zarsow, ór przymuą warości liczb nauralnych, nazywać będzimy zminnymi indsowymi (np. zminna i powyŝ, al ni zminna ). Zminn indsow wyorzysu się do numrowania lmnów lisy, wora, macirzy. Ponado zminn zarsow moŝna wyorzysać do przprowadznia srii obliczń lub do narysowania wyrsu funci orślon paramryczni, np. x() sin(), y() sin(). Wimy uŝ, a uworzyć wyrs ai funci, al pamięamy, Ŝ ni miliśmy sposobu, aby powidzić Mahcadowi, Ŝ chcmy, aby przymowało warości z zarsu do π. Traz uŝ moŝmy o zrobić - wysarczy przd wyrsm zdfiniować :, π/.. π, wpisuąc, :,,,, /,, p, Crl + G, Tab,, Spac, ;,, p, Crl + G. 4-3-9 7
Wyłady z Inf - MKE. Podsawy Mahcada... Lisy W Mahcadzi moŝna oprować ni ylo na zminnych salarnych lub zarsowych, al na zminnych indsowanych liczbami nauralnymi,. lisach. Np. aby uworzyć lisę warości funci x w wybranych punach, moŝmy posąpić nasępuąco: - dfiniumy zminną zarsową i :.. 5, - dfiniumy lisę warości y ao: y i : i. Wpisumy o ao: y, [, i, :, i, ^,. ZauwaŜmy, Ŝ lawisz [ powodu wsawini dolngo indsu (szablonu posaci ). MoŜmy wyświlić warość y poprzz: y,. Mahcad wyświli lisę w posaci wora olumnowgo. i.. 4 y i i y JŜli wor ai zawira wil lmnów, Mahcad wyświli oino z blą przwiania (wysarczy w ym przyładzi zminić 5 na ). Dosęp do indywidualnych lmnów lisy uzysu się za pomocą wsazania lmnu. Np. aby wyświlić y 3, piszmy: y, [, 3,. Lisy moŝna uwaŝać za func dysrn argumnu w posaci liczby nauraln. óŝnica s aa, Ŝ dla funci ciągł piszmy f(x), a dla lisy f n. 4 9 6 4-3-9 8
Wyłady z Inf - MKE. Podsawy Mahcada... Wyrsy danych dysrnych Wyrs danych w posaci lisy (danych dysrnych) worzy się podobni a wyrs funci ciągł. Napirw musimy mić aąś lisę. Wyorzysamy ua lisę y uworzoną poprzdnio. PoniŜ dfinici lisy worzymy rgion wyrsu ( @ ). W pol osi poziom wpisumy i, a w pol osi pionow - y i. 6 y i 4 i 4 Kliaąc dwuroni w wyrs wyświlamy oino opci wyrsu. Wybiramy arę Tracs KaŜdy wyrs rprznowany s przz rac. Zminiaąc paramry wybrango śladu, moŝmy uzysać inny wygląd wyrsu, np. 6 6 6 y i y i y i 4 i 4 4 i 4 4 i 4 4-3-9 9
Wyłady z Inf - MKE. Podsawy Mahcada... Wory Zminn lisow są rprznowan przz wory olumnow. Dlago wory moŝna dfiniować a samo a lisy. Isni Ŝ bzpośrdni sposób orślnia sładowych wora poprzz ich wyszczgólnini. Aby orślić wor olumnowy w o sładowych, 3, 6, piszmy olno: w, : i nacisamy Crl + M. Wyświli się oino, w órym orślamy liczbę wirszy i olumn. PoniwaŜ chcmy mić wor olumnowy, o podamy 3 wirsz i olumna. Po zawirdzniu dosamy szablon w w óry wpisumy olno:, Tab, 3, Tab, 6 i zawirdzamy Enr. w 3 6 Ta uworzony wor moŝmy raować a lisę o rzch lmnach, przy czym lmn nr ma warość, lmn nr - 3, a lmn nr - 6. Zwróćmy uwagę, Ŝ w Mahcadzi numrowani lmnów lis (a aŝ worów i macirzy) rozpoczyna się od zra, al moŝna o zminić przypisuąc prdfiniowan zminn OIGIN warość - wdy numraca będzi od. Mahcad udosępnia sandardow oprac na worach, ai a: iloczyn wora przz liczbę, np. 6 3 w 9 8 iloczyn salarny dwóch worów w v, wpisywany ao: w, *, v - obydwa wory muszą mić dnaową długość, np. v 4 w. v 6 iloczyn worowy dwóch worów, np. w v, wpisywany ao: w, Crl + 8, v - w ym przypadu wory w i v muszą mić długość doładni 3, gdyŝ iloczyn worowy s orślony dyni w aim przypadu, np. 4-3-9
Wyłady z Inf - MKE. Podsawy Mahcada 8 v 4 w v 5 długość wora w, wpisywana ao, w; np. w 7 sumę lmnów wora Σw, wpisywaną ao Crl + 4, w; np. w MoŜmy Ŝ zaminić wor olumnowy na wirszowy lub odwroni poprzz doonani ranspozyci za pomocą Crl +, co powodu poawini się liry T w indsi górnym wsazuąc na ranspozycę. Np. w, Crl +, da w wyniu wor wirszowy, óry s zwyl dogodniszy do wyświlnia: w T 3 6 Częso Ŝ dfiniumy wor olumnowy ao wor wirszowy poddany ranspozyci, np. w moglibyśmy zdfiniować ao: w, :, Crl + M, wpisumy wirsz i 3 olumny, pom, Tab, 3, Tab, 6, Spac, Crl +. w ( 3 6 ) T Js o dłuŝszy sposób, al dogodni gospodaru miscm na rani. 4-3-9
Wyłady z Inf - MKE. Podsawy Mahcada..3. Macirz Macirz w Mahcadzi moŝna dfiniować na ila sposobów. Omówimy na razi dwa z nich. Sposób pirwszy polga na ręcznym wpisaniu lmnów macirzy; s on dogodny, gdy znamy wszysi lmny macirzy i macirz mała. Np. moŝmy zdfiniować macirz o lmnach cos sin ( α ) sin( α ) ( α ) cos( α ) Js o macirz obrou wora na płaszczyźni Oxy o ą α. Nazwimy ę macirz (α), zn. będzi o funca paramru α zwracaąca macirz. Piszmy: (a, Crl + G, ), :, Crl + M. W oinu wpisumy wirsz i olumny. Poawia się szablon ( α) W oln pola wpisumy odpowidni warości, przy czym pomiędzy polami przchodzimy lawiszm Tab. Orzymumy ( α) cos ( α ) sin( α) sin( α ) cos ( α) Drugi sposób dfiniowania macirzy s podobny do dfiniowania lisy (w isoci lisa s przciŝ worm olumnowym, a więc szczgólnym przypadim macirzy). Nich nasza macirz ma 4 wirsz oraz 6 olumn. Dfiniumy dwi zminn indsow, dna do numrowania wirszy, druga do numrowania olumn, np. i :.. 3, :.. 5. Traz moŝmy orślić lmny macirzy A programowo, np. Ŝli lmn A i s równy numrowi wirsza podnisionmu do poęgi o numrz olumny, o moŝmy zapisać: A i, : i (A, [, i,,,, :, i, +,, Enr): i.. 3.. 5 A i, i MoŜmy raz wyświlić macirz A, pisząc: A, i dosanimy A 4 8 6 3 3 9 7 8 43 JŜli rozmiar macirzy będzi duŝy, o wyświli się oino z blami przwiania, w órym moŝna przrzć całą macirz. Aby uworzyć macirz ransponowaną, sosumy sró Crl +. Np. A, Crl +, : 4-3-9
Wyłady z Inf - MKE. Podsawy Mahcada 3 A T 4 8 9 7 6 8 3 43 Do lmnów macirzy moŝna odwoływać się poprzz inds dolny ( [ ), np. A,. MoŜna Ŝ oprować na całych olumnach macirzy: olumnę wyodrębniamy z macirzy za pomocą sróu Crl + 6, co wsawia szablon < >.Np. A, Crl + 6, 3 da olumnę nr 3 (licząc od zra), czyli A < 3> 8 7 Ni ma oddziln moŝliwości oprowania na wirszach macirzy, al moŝna o zrobić opruąc na olumnach macirzy ransponowan. Dlago Ŝ wirsz macirzy moŝmy uzysać nasępuąco A T < >T 4 8 6 3 Macirz moŝna przmnoŝyć przz liczbę lub przz inną macirz o odpowidnim wymiarz. Do go clu sosu się zwyczany zna * (a do mnoŝnia liczb). Macirz moŝna Ŝ dodawać lub odmować. W przypadu macirzy wadraow moŝmy obliczyć wyznaczni za pomocą sróu (go samgo, órgo uŝywamy do oblicznia warości bzwzględn liczby czy Ŝ długości wora). Dla macirzy wadraow B o nizrowym wyznaczniu isni macirz odwrona, órą obliczamy aa B (B do poęgi ). Np. i.. 3.. 3 B i, i B B B 4 8.833 3.5.5.333.5 3 9 7.67.5.5.67 W rozparywan wrsi Mahcada ni moŝna uŝywać ablic o wymiarz więszym niŝ, np. ablicy rówymiarow. 4-3-9 3
Wyłady z Inf - MKE. Podsawy Mahcada..4. Wyrsy funci dwóch zminnych uncę dwóch zminnych moŝna zobrazować w Mahcadzi na 4 sposoby: ao wyrs powirzchni 3D, ao wyrs onurowy, ao wyrs słupowy i ao wyrs punowy. Aby narysować wyrs funci dwóch zminnych, Mahcad uŝywa macirzy. Narysumy np. wyrs funci x y dla x [, 3] i y [, 3]. Dfiniumy macirz B ao f( x, y) x y i.... B i, f i, 4 4 Tworzymy raz szablon wyrsu 3D poprzz naciśnięci Crl +. W dyn dosępn pol wpisumy nazwę macirzy,. B, orzymuąc 5 5 B Ni wygląda o nalpi, więc moŝmy poombinować. Kliaąc dwuroni na wyrs owiramy ono opci Napirw sprawdzimy f działania zsawu opci Display As. Kliamy na oln opc i nacisamy Zasosu, aby zobaczyć f działania. 4-3-9 4
Wyłady z Inf - MKE. Podsawy Mahcada 5 5.5 5.5 B 5.5.5 B 5 34567 8 9 9 8 7 6 5 4 3 B Conour Plo Daa Poins 3D Bar Plo Wybirzmy Conour Plo. Kilaąc dwuroni owiramy oino opci i na załadc Color & Lins wybiramy Color. Dodaowo na załadc Axs wpisumy zarsy dla obydwu osi od do 3, orzymuąc 3 5 5 5 3 B Wyrs onurowy moŝna Ŝ uworzyć od razu sróm Crl + 5. 4-3-9 5
Wyłady z Inf - MKE. Podsawy Mahcada..5. Jdnoczsn oprac na lmnach wora lub macirzy Mahcad ofru bardzo pomocą niidy opracę wyonania dan opraci dnoczśni na wszysich lmnach macirzy lub wora, co wyonu się polcnim CTL + -, co wsawia szablon r. Przyładowo, w onści poprzdni dfinici macirzy B: B 4 8 3 9 7 moŝmy np. obliczyć pirwias wadraowy aŝdgo z lmnu. W ym clu wpisumy \, B, Spac, CTL + -,, co da B.44.88.73 3 5.96 Mahcad wyonu podaną opracę indywidualni na aŝdym lmnci. Inn przyłady:.5.54.5.5.5.5 cos( B) B.5.333...54.54.54.46.54.654.54.46.5.5..36.54.99.9.9 Porównamy szcz o: B B 4 6 64 4 5 6 34 4 9 36 5 9 8 79 4 8 84 Pirwsz wyraŝni o macirz będącą wadraami lmnów macirzy B, podczas gdy drugi s macirzą będącą wadram cał macirzy B, czyli wyraŝnim B B. 4-3-9 6
Wyłady z Inf - MKE. Podsawy Mahcada..6. Obliczani pochodn i całi z funci Mahcad umoŝliwia ni ylo oblicznia numryczn, al aŝ symboliczn. MoŜ np. obliczyć pochodną lub całę z funci. W clu oblicznia pochodn piszmy? (SHIT + / ), co powodu poawini się szablonu pochodn Nasępni wypłniamy pola, np. d d d d x sin( x) Traz wydamy polcni obliczń symbolicznych lawiszm CTL +., co wyświla srzałę ; po wyściu z wyraŝnia lub naciśnięciu ENTE Mahcad wyonu oblicznia symboliczn: d dx sin( x). cos (. x) Zwróćmy uwagę, Ŝ Ŝądaąc wyniu symboliczngo musimy uŝyć CTL +., a ni. W clu oblicznia n- pochodn uŝywamy CTL + SHIT + /, co wsawia szablon Po wypłniniu pól dosamy np. rzcią pochodną sin(x ) d d d 3 d x3 sin x 8. cos x. x 3. sin x. x Podobni obliczamy całę nioznaczoną - szablon całi wsawiamy przz CTL + I : d Po wypłniniu pól nacisamy CTL +. i ENTE, orzymuąc sin( x) dx. cos (. x ) Z oli aby obliczyć całę oznaczoną, uŝywamy SHIT + 7, co wsawia d Obliczymy np. całę z xsin(x) w granicach od do : x. sin( x) dx sin( ) cos( ) 4-3-9 7
Wyłady z Inf - MKE. Podsawy Mahcada Zwróćmy uwagę na wyni - ma on posać symboliczną. Aby uzysać wyni numryczny powinniśmy racz uŝyć zamias CTL +. : x. sin( x) dx.3 Całę oznaczoną moŝmy obliczyć naw wdy, gdy funca podcałowa ni ma funci pirwon w ym snsi, Ŝ ni da się wyrazić przz func lmnarn. Np. ln( x. cos( x) )dx ln( x. cos ( x) ) dx Mahcad ni moŝ obliczyć całi nioznaczon z podan funci, więc zwraca wyni w nizminion posaci. Al dla całi oznaczon mamy ln( x. cos ( x) )dx.35 Ja o działa? Mahcad sosu numryczny sposób obliczania ai całi. 4-3-9 8
Wyłady z Inf - MKE 3. Analiza liniowych obwodów lrycznych DC i AC 3. Analiza liniowych obwodów lrycznych DC i AC 3.. Obwody lryczn - podsawy 3... Napięci, prąd i ich oznaczani w obwodzi Prąd lryczny o ruch ładunów lrycznych. Miarą prądu s go naęŝni wyznaczan ao ilość ładunu lryczngo przmiszczaącgo się przz usaloną powirzchnię w dnosc czasu i oznaczan lirą i. Jdnosą naęŝnia prądu s ampr ( A). Napięci lryczn u pomiędzy dwoma punami s miarą pracy, aą nalŝy wyonać, aby przmiścić ładun z dngo punu do drugigo. Jdnosą napięcia s wol ( V). Poncałm punu nazywamy napięci pomiędzy ym punm a pwnym punm odnisinia, órgo poncał przymumy równy zru (zw. masą). Sąd wynia, Ŝ napięci pomiędzy punami s róŝnicą poncałów ych punów. W ogólności naęŝni prądu oraz napięci są wilościami zalŝnymi od czasu i oznaczanymi wdy małymi lirami i oraz u, czasm i() oraz u(). W przypadu wilości nizalŝnych od czasu, czyli prądów i napięć sałych sosumy duŝ liry: I oraz U. Analiza obwodu lryczngo polga na znalziniu wszysich lub wybranych prądów i napięć. W obwodach lrycznych prądy i napięcia symbolizu się na ogół srzałami. Są róŝn onwnc srzałowania, al naczęści sosu się ę, órą i my będzimy sosować. Ta więc: - Srzała prądu dla dodanich warości prądu wsazu irun ruchu ładunów dodanich. - Srzała napięcia dla dodanich warości napięcia wsazu pun o wyŝszym poncal. 4-3-9 9
Wyłady z Inf - MKE 3. Analiza liniowych obwodów lrycznych DC i AC 3... Podsawow lmny obwodu lryczngo Obwód lryczny zawira pwną liczbę lmnów. Wśród nich wyróŝnia się zw. dwónii - lmny o dwóch zacisach. KaŜdy z nich chararyzu się pwną zalŝnością pomiędzy prądm płynącym przz nigo i napięcim panuącym na go zacisach. Tua ograniczymy się do ilu aich lmnów, órych paramry ni zalŝą od warości prądu czy napięcia. Tai lmny nazywamy liniowymi. Zsawiono w abli. Zwróćmy uwagę, Ŝ na lmnach pasywnych (ni będących źródłami napięcia czy prądu) srzała napięcia s przciwna do srzałi prądu. Elmn Orślni Oznacznia Prąd i napięci idaln lmn, na órgo zacisach u źródło panu napięci nizalŝn od u, i zalŝy rszy obwodu i napięcia płynącgo przzń prądu lmn, przz óry płyni u idaln prąd nizalŝny od napięcia źródło prądu i na go zacisach i, u zalŝy od rszy obwodu rzysor lmn przszałcaący nrgię lryczną na ciplną i u u i (prawo Ohma) ondnsaor lmn magazynuący nrgię w posaci pola lryczngo i u C q Cu du i C d cwa lmn magazynuący nrgię w posaci pola magnyczngo i u L ψ Li di u L d 4-3-9 3
Wyłady z Inf - MKE 3. Analiza liniowych obwodów lrycznych DC i AC Elmny mogą być na róŝn sposoby łączon, worząc w obwodzi ocza i węzły. Oczim nazywamy zamnięy ciąg połączń lmnów nizawiraący w swoim wnęrzu gałęzi, a węzł s miscm, w órym zbigaą się więc niŝ dwi gałęzi. Ponado pomocn s zw. poęci oła napięć,. wyimaginowan rzyw zamnię wzdłuŝ ór sumumy napięcia. gałąź oczo węzł oło napięć 3..3. Prawa Kirchhoffa Napięcia i prądy spłniaą w obwodzi dwa podsawow prawa, zn. prawa Kirchhoffa: I prawo Kirchhoffa: Suma algbraiczna prądów wpływaących do węzła s równa zru. II prawo Kirchhoffa: Suma algbraiczna napięć w dowolnym ol napięć s równa zru. I prawo Kirchhoffa: ( i ) II prawo Kirchhoffa: ( u,) u i 5 i i 4 i i 3 u C u L L i i + i + i i u u u 3 4 5 L C C Prawa wraz z związami pomiędzy prądami i napięciami poszczgólnych lmnów są podsawą analizy obwodów lrycznych. 4-3-9 3
Wyłady z Inf - MKE 3. Analiza liniowych obwodów lrycznych DC i AC 3.. Analiza liniowych obwodów prądu sałgo 3... Podsawow lmny obwodu dla prądu sałgo JŜli załoŝymy, Ŝ napięcia i prądy w obwodzi są sał w czasi, o wdy orzymamy: Elmn Oznacznia Związ pomiędzy prądm i napięcim U idaln źródło napięcia I E U E, I zalŝy rszy obwodu U idaln źródło prądu I J I J, U zalŝy od rszy obwodu U rzysor I U I (prawo Ohma) ondnsaor sa się przrwą I U I, U zalŝy od rszy obwodu, Q CU cwa sa się zwarcim I U U, I zalŝy od rszy obwodu, Ψ LI 4-3-9 3
Wyłady z Inf - MKE 3. Analiza liniowych obwodów lrycznych DC i AC 3... Moda równań Kirchhoffa Moda równań Kirchhoffa polga na ułoŝniu ylu równań, il s gałęzi w obwodzi. Poazu się, Ŝ w ym clu wysarczy ułoŝyć równania dla aŝdgo ocza oraz równania dla aŝdgo węzła z pominięcim dowolngo z nich. Po rozwiązaniu ych równań orzymamy prądy w obwodzi, wnualni napięcia na lmnach obwodu. Prawa Kirchhoffa dla obwodu lryczngo prądu sałgo przymuą posać ( I ), ( U, E) Przyład 3.. UłoŜyć równania Kirchhoffa dla podango obwodu U U I I I 3 E U 3 3 J U J ozwiązani. Mamy ua dwa ocza oraz dwa węzły. Zam wg pirwszgo prawa uładamy dno równani, np. dla górngo węzła: I + I I3 Zwróćmy uwagę, Ŝ dla dolngo węzła orzymalibyśmy ai samo równani z doładnością do znau. Dla ocz uładamy równania E I I 3 3 + I I 3 3 U J przy czym sorzysaliśmy ua z prawa Ohma. Ponado mamy I J 4-3-9 33
Wyłady z Inf - MKE 3. Analiza liniowych obwodów lrycznych DC i AC 3..3. ozwiązywani obwodów prądu sałgo w Mahcadzi Do rozwiązywania obwodów w Mahcadzi naprości s zasosować blo Givn-ind. Dla obwodów liniowych moŝna Ŝ zasosować zapis macirzowy i funcę lsolv. Przdsawimy dwa sposoby na powyŝszym przyładzi. Przyład 3.. ozwiązać poprzdni obwód za pomocą bou Givn-ind. Przyąć nasępuąc warości liczbow: E 4 V, J 3 A, Ω, 5 Ω, 3 3 Ω. ozwiązani. Wpisumy dan: E 4 J 3 5 3 3 Indsy doln wpisumy za pomocą., np. o,.,. Nasępni orślamy warości wsępn szuanych prądów I, I, I 3 i napięcia U. MoŜna przyąć, Ŝ są on równ zru: I I I 3 U J Wpisumy Givn oraz równania (zna wpisumy ao CTL + ): Givn I I I 3 E. I. 3 I 3. 3 I 3. I U J I J Wrszci uŝywamy ind do rozwiązania wpisanych równań (zauwaŝmy, Ŝ w Mahcadzi moŝna uŝyć zw. przypisania równolgłgo,. zminnym I, I, I 3 i U J przypisu się odpowidni lmny wora gnrowango przz ind): T I I I 3 U J ind I, I, I 3, U J I I 3 I 3 4 U J 7 (aby wpisać wor, uŝywamy CTL + M ; zna : wpisumy ao :, ransponowani o CTL +, znai równości wpisumy ao ). 4-3-9 34
Wyłady z Inf - MKE 3. Analiza liniowych obwodów lrycznych DC i AC 4-3-9 35 Przyład 3.3. ozwiązać rozparywany obwód modą macirzową. ozwiązani. Napirw usalmy, co ai wilości są niwiadomymi. Są o I, I, I 3 oraz U J. Zapisumy równania obwodu w posaci, w ór niwiadom znaduą się po lw sroni, a wiadom - po praw: J I U I I E I I I I I J + + + 3 3 3 3 3 co s równowaŝn J E U I I I J 3 3 3 Wpisumy więc do Mahcada dan: E 4 J 3 5 3 3 a nasępni orślamy macirz uładu A oraz wor wyrazów wolnych B: A 3 3 B E J Sąd wor rozwiązań wynosi A B. 3 4 7 Zawira on olno I, I, I 3 oraz U J. Zamias osani opraci moŝmy uŝyć lsolv: lsolv A B, ( ) 3 4 7 co wyonu doładni o samo, co A B.
Wyłady z Inf - MKE 3. Analiza liniowych obwodów lrycznych DC i AC Przyład 3.4. ozwiązać poniŝszy obwód. Orślić napięcia na ondnsaorach, ich ładuni oraz srumiń magnyczny cwi. U U C I I 3 I C E U U C C U L L Przyąć: E 6 V, 5 Ω, Ω, C µ, C 3 µ, L mh. ozwiązani. Wpisumy warości lmnów E 6 5 L 3 C 6 C 3. 6 oraz warości wsępn rozwiązania: I I I 3 U L ψ q q U C U C W ym miscu nalŝy zauwaŝyć, Ŝ dla prądu sałgo cwa sanowi zwarci, więc U L bz względu na płynący przz nią prąd (pomiamy rzysancę), a ondnsaor s przrwą, więc I 3. Dlago równania uładamy ylo dla pozosałych wilości: Givn I I E. I. I. I U C U C q C. U C q C. U C q q ψ L. I i rozwiązumy : ind I, I, q, q, U C, U C, ψ T 4 4 3 5 3 5 3 4 3 4-3-9 36
Wyłady z Inf - MKE 3. Analiza liniowych obwodów lrycznych DC i AC 3..4. Obwody prądu sałgo z źródłami srowanymi Oprócz rozparywanych wyŝ lmnów w obwodach lrycznych mogą poawić się zw. lmny srowan, z órych ua uwzględnimy dyni źródła. Paramry aich lmnów (zn. E lub J) ni są sał, lcz zalŝą od napięcia lub prądu w inn części obwodu. Mówimy wdy o lmnci srowanym napięciowo (Volag Conrol) lub prądowo (Currn Conrol). Mamy czry moŝliwości, ór przdsawia abla: Elmn Oznaczni Opis źródło napięciow srowan napięciowo (VCV) U au Napięci s proporconaln do napięcia U w inn części obwodu źródło napięciow srowan prądowo (CCV) I ri Napięci s proporconaln do prądu I w inn części obwodu źródło prądow srowan napięciowo (VCC) U gu Prąd s proporconalny do napięcia U w inn części obwodu źródło prądow srowan prądowo (CCC) I bi Prąd s proporconalny do prądu I w inn części obwodu 4-3-9 37