ZASTOSOWANIE WAŻONEGO UŚREDNIANIA DO KONSTRUKCJI OPTYMALNYCH I SUBOPTYMALNYCH PORTFELI STRATEGII INWESTYCYJNYCH

STUDIA INFORMATICA 2015 Volume 36 Number 1 (119) Alna MOMOT Poltechnka Śląska, Instytut Informatyk Mchał MOMOT Instytut Technk Aparatury Medycznej ITAM ZASTOSOWANIE WAŻONEGO UŚREDNIANIA DO KONSTRUKCJI OPTYMALNYCH I SUBOPTYMALNYCH PORTFELI STRATEGII INWESTYCYJNYCH Streszczene. Artykuł przedstawa zastosowane ważonego uśrednana opartego na maksymalzacj skalarnej funkcj celu do konstrukcj strateg nwestycyjnych na rynkach kontraktów różnc kursowych. Portfele są doberane jako wypukłe kombnacje strateg elementarnych. Skuteczność proponowanych metod została empryczne ocenona na podstawe kwotowań kontraktów na różnce kursowe pary EUR/USD w ujęcu tygodnowym. Słowa kluczowe: stratega nwestycyjna, ważone uśrednane, optymalzacja parametryczna APPLICATION OF WEIGHTED AVERAGING TO CONSTRUCTION OPTIMAL AND SUBOPTIMAL INVESTMENT STRATEGY PORTFOLIOS Summary. Ths paper presents applcaton of weghted averagng based on mnmzaton of scalar crteron functon to constructon of portfolo of strateges operatng on futures markets, specfcally on foregn exchange. Portfolos are constructed as convex combnatons of elementary strateges and ther performance s emprcally examned based on weekly quotatons of EUR/USD contract. Keywords: nvestment strategy, weghted averagng, parametrc optmzaton 1. Wprowadzene Przechowywane przetwarzane nformacj zwązanych z beżącym notowanam nstrumentów fnansowych stanow wyzwane dla każdego nwestora [10]. Stąd najczęścej

90 A. Momot, M. Momot procesy planowana podejmowana decyzj wykorzystują różne technologe systemy nformatyczne. Natomast szeroka dostępność baz danych, zawerających hstoryczne notowana nstrumentów fnansowych, takch jak akcje, oblgacje czy też kontrakty termnowe, pozwala na przeprowadzane symulacj różnych strateg dzałana wraz z loścowym ocenam ch skutecznośc, którym zazwyczaj są mernk zysku oraz ryzyka [11, 16]. Gdyż jak psał Jack Hrschlefer [3]: Inwestycja jest w stoce beżącym wyrzeczenem dla przyszłych korzyśc. Ale teraźnejszość jest względne dobrze znana, natomast przyszłość to zawsze tajemnca. Przeto nwestycja jest wyrzeczenem sę pewnego dla nepewnej korzyśc. Warto tu podkreślć stotną rolę czasu, którego upływ jest nezbędny do powstana przyszłych korzyśc. Ponadto z nwestowanem neodłączne wąże sę ponoszene ryzyka z uwag na fakt, że przyszłość jest nepewna, przyszłe korzyśc mogą, ale ne muszą wystąpć. Ryzyko można określć jako pewne prawdopodobeństwo wystąpena jakegoś negatywnego zdarzena [1]. Frank Knght proponował, aby przyporządkowywać rozkład prawdopodobeństwa dla pojawena sę pewnych zdarzeń, a ryzyko według nego występuje w przypadku, gdy wynk danego dzałana lub decyzj może być określony za pomocą jednego z trzech rodzajów prawdopodobeństwa: matematycznego, statystycznego lub szacunkowego, a gdy ne jest to możlwe, mamy do czynena z nepewnoścą [6]. W odróżnenu od ryzyka nepewność dotyczy sytuacj, gdy wydarzena lub zmany są trudne do oszacowana z uwag na newelką lczbę dostępnych nformacj. Prognoza dotycząca przyszłośc zawsze obarczona jest pewną dozą nepewnośc. W zwązku z czym w każdej nwestycj należy wdzeć dwa aspekty: szanse zagrożena, a ch wykorzystane lub zapobegane m odbywa sę w warunkach narastającej zmennośc w wymarze makroekonomcznym mkroekonomcznym [15]. Każdy nwestor keruje sę naturalną zasadą mnmalzacj ryzyka maksymalzacj dochodu. Przy czym ryzyko określa sę na ogół za pomocą zróżncowana możlwych stóp zwrotu, a typową marą ryzyka jest warancja stopy zwrotu lub równoważne odchylene standardowe stopy zwrotu, które wyrażone w procentach wskazuje przecętne odchylene możlwych stóp zwrotu od oczekwanej stopy zwrotu [4]. Jednak bezpośredne zastosowane zasady mnmalzacj ryzyka maksymalzacj dochodu jest najczęścej nemożlwe, gdyż na efektywnych rynkach kaptałowych nstrumenty fnansowe o wysokm dochodze charakteryzują sę też wysokm ryzykem. W takej sytuacj nwestor tworzy portfel akcj (lub nnych nstrumentów fnansowych), borąc pod uwagę węcej nż jedną spółkę kerując sę korelacją stóp zwrotu wybranych akcj. Wtedy ryzyko portfela (merzone warancją stopy zwrotu portfela) zależy ne tylko od akcj wchodzących w jego skład, ale równeż od współczynnków korelacj tych akcj. Odpowedn dobór nstrumentów fnansowych w konstrukcj portfela może doprowadzć do znacznego zmnejszena ryzyka, co nazywane jest dywersyfkacją. Przykład przedstawony na rysunku 1 pokazuje, że wprowadzając do portfela, zawerającego jedną akcję, akcje

Zastosowane ważonego uśrednana do konstrukcj optymalnych suboptymalnych... 91 drugej spółk można osągnąć redukcję ryzyka, a w tym specyfcznym przypadku nawet wzrost oczekwanej stopy zwrotu portfela. Zakładając, że na os odcętych zaznaczone są wartośc ryzyka w postac odchylena standardowego (S), a na os rzędnych wartośc oczekwanej stopy zwrotu (R), punkty A B reprezentują portfele jednoskładnkowe, które zawerają tylko akcje pojedynczych spółek. Posadając w portfelu akcje spółk A, stopnowo można dodawać do portfela akcje spółk B, co na rysunku odpowada przesuwanu sę od punktu A w kerunku punktu B. W zależnośc od współczynnka korelacj uzyskuje sę portfele reprezentowane przez punkty układające sę wzdłuż różnych ln łączących te dwa punkty zawerające sę w trójkące wyznaczonym punktam A, B C. Szczególne nteresująca jest sytuacja, w której współczynnk korelacj jest równy -1, gdyż wtedy możlwa jest konstrukcja portfela o zerowym ryzyku reprezentowany jest on w punkce C. Rys. 1. Ilustracja portfela dwóch akcj A B w zależnośc od różnych wartośc współczynnka korelacj Fg. 1. Illustraton of a portfolo of two shares of A and B accordng to dfferent values of the correlaton coeffcent W następnej częśc pracy przedstawono krytera, względem których możlwa jest dywersyfkacja portfela nstrumentów fnansowych, ze szczególnym uwzględnenem metody Markowtza oraz metody WACFM. W kolejnej sekcj opsane są pewne stratege operowana na rynku kontraktów termnowych [7, 17]. Stratege te tworzą pewną rodznę ndeksowaną parametrem t, którego wartość doberana jest w sposób adaptacyjny. Następna sekcja zawera wynk eksperymentów numerycznych, dotyczących tworzena portfel strateg nwestycyjnych, operujących na wspólnym nstrumence fnansowym (w tym przypadku dotyczy to kontraktu na różnce kursowe EUR/USD), jednak doberanych według różnych kryterów. Pracę kończy podsumowane.

92 A. Momot, M. Momot 2. Różne krytera dywersyfkacj portfela Inwestycja w portfel nstrumentów fnansowych o zróżncowanym składze stanow metodę dywersyfkacj ryzyka. Warto przy tym pamętać, że ryzyko takego portfela zależy ne tylko od ryzyka pojedynczych nwestycj wchodzących w jego skład, ale równeż od korelacj stóp dochodu z tych nwestycj. Mając na uwadze, że wartośc współczynnka korelacj mogą przyjmować wartośc z zakresu od -1 do 1, nwestor, który chce tworzyć portfel o nskm ryzyku, pownen w skład tego portfela włączać nstrumenty fnansowe, dla których współczynnk korelacj stóp zwrotu jest ujemny lub przynajmnej ma newelką wartość dodatną. Dzęk ujemnej wartośc współczynnka korelacj stóp zwrotu pomędzy poszczególnym nstrumentam fnansowym w portfelu w tym samym czase występują przykładowo spadk stóp zwrotu akcj jednej spółk wzrosty stóp zwrotu nnej. Zatem spadk stóp zwrotu jednej spółk rekompensowane są wzrostam stóp zwrotu tej drugej [2]. Dywersyfkacja, z uwzględnenem korelacj stóp zwrotu jest skutecznym narzędzem pomocnym przy tworzenu optymalnych portfel, ale ne zawsze użytecznym, gdyż wymaga stosowana wzorów matematycznych, w przypadku posadana ne zawsze wystarczającej lczby danych. Należy bowem pamętać, że oszacowana współczynnków korelacj na ogół wylczane na podstawe danych hstorycznych ne muszą obowązywać w przyszłośc [5]. Początkujący nwestorzy zazwyczaj stosują tak zwaną dywersyfkację prostą, która polega na dowolnym wyborze pewnej lczby nstrumentów fnansowych o równomernym rozłożenu, czyl udzały tych nstrumentów w portfelu pownny być zblżone. Gdy skład portfela jest opsywany procentowym udzałam każdego nstrumentu fnansowego za pomocą wektora w lczb z przedzału [0,1], sumujących sę do 1, w przypadku dywersyfkacj prostej każda składowa tego wektora jest jednakowa odpowada odwrotnośc długośc wektora w. Warto jednak przy tym pamętać, że przypadkowy wybór ne zawsze doprowadz do znacznej redukcj ryzyka. Newykluczony jest bowem w takm przypadku wybór welu par o dużej korelacj dodatnej, co jest oczywśce mało korzystne z punktu wdzena redukcj ryzyka portfela. 2.1. Metoda Markowtza Skład portfela zwykle określany jest na podstawe pewnego kryterum jakośc [2]. Jeśl jest nm mnmalzacja ryzyka, wyrażanego jako odchylene standardowe (lub równoważne warancja) stóp zwrotu przy jednoczesnym mnmalnym ogranczenu na średną stopę zwrotu (wartość oczekwaną), prowadz to do metody konstrukcj portfela przez rozwązane za-

Zastosowane ważonego uśrednana do konstrukcj optymalnych suboptymalnych... 93 dana programowana wypukłego (a dokładne kwadratowego). Mnmalzacj podlega wartość formy kwadratowej: w T Sw, (1) przy warunkach T w R Ro, 1 (2) T w 1, gdze w oznacza wektor procentowych zawartośc poszczególnych nstrumentów fnansowych w portfelu, S macerz kowarancj stóp zwrotu akcj, R wektor średnch stóp zwrotu, zaś 1 odpowednej długośc wektor jednostkowy. Metoda ta jest znana jako metoda Markowtza. 2.2. Metoda WACFM Metoda Markowtza bazuje na macerzy kowarancj wektorze średnch, traktując je jako statystyk dostateczne, zatem ne uwzględna pełnego charakteru zman poszczególnych trajektor strateg elementarnych. Innym pomysłem może być kryterum jakośc, polegające na znalezenu takej kombnacj wypukłej strateg elementarnych, która mnmalzuje funkcję celu będącą ważoną sumą odległośc eukldesowych poszczególnych strateg od strateg docelowej (uśrednonej). Prowadz to do metody WACFM (ang. Weghted Averagng based on Crteron Functon Mnmzaton) ważone uśrednane bazujące na mnmalzacj funkcjonału [8, 12]: I n 1 w ( z, z), (3) m gdze n jest lczbą uśrednanych strateg, m ( 1, ) jest parametrem metody, zaś (, z) jest marą odległośc medzy wektoram zysków strateg elementarnej z oraz strateg uśrednonej z. Mnmalzując funkcjonał ze względu na wektor wag (procentowych zawartośc poszczególnych nstrumentów fnansowych w portfelu), otrzymuje sę wzór: w ( z, z) n 1 ( z, z) 1/(1 m) 1/(1 m) {1,2,, n}. (4) T W przypadku kwadratowej funkcj mary odległośc ( z, z) z z z z można otrzymać ze wzoru: z, wektor z

94 A. Momot, M. Momot z n 1 n 1 w m w z m. (5) Warto tu nadmenć, że parametr m ( 1, ) decyduje o rozproszenu wag. Dla m dążącego do 1 otrzymuje sę rozwązane, w którym tylko jedna waga jest nezerowa, natomast gdy m dąży do neskończonośc, asymptotycznym wynkem jest uśrednene arytmetyczne. 3. Stratega podążająca za trendem z dynamczną optymalzacją pozomu odwrócena pozycj Pewnym pomysłem na dywersyfkację ryzyka jest nwestycja w kontrakt termnowy na ndeks akcj, poneważ kontrakt termnowy na ndeks akcj odwzorowuje zachowane całego paketu akcj, zatem zajęce pozycj długej jest odpowednkem nwestycj w portfel o ustalonej z góry strukturze [17]. Poneważ stopy zwrotu akcj są tak zwykle dodatno skorelowane mędzy sobą (w okrese hossy wększość akcj na rynku rośne, w okrese bessy spada), alternatywnym sposobem jest stosowane równoległe welu różnych strateg operujących na tym samym kontrakce termnowym, a polegających na różnych algorytmach naprzemennego zajmowana pozycj długch krótkch [13, 14]. Ich trajektore zysków strat mogą być strategam elementarnym, stanowąc stratege elementarne zarówno dla metody Markowtza, jak dla metody WACFM. 3.1. Stratega elementarna Ogólne założena rozważanych tutaj elementarnych strateg wyglądają następująco, a szczegółowy ch ops można znaleźć w [14]: 1. gracz jest stale obecny na rynku, zajmując naprzemenne pozycje długe krótke o stałej welkośc, początkowa pozycja jest ustalana arbtralne; 2. decyzje o odwrócenu pozycj są podejmowane wyłączne na podstawe kursów Open- Hgh-Low-Close w ustalonych nterwałach czasowych; 3. odwrócene pozycj odbywa sę przez jednoczesne zlecene zamknęca pozycj beżącej otwarce nowej, przecwnej, na tym samym pozome kursowym; 4. pozom odwrócena jest ustalany na początku nterwału w stałej odległośc w górę/dół od kursu Open obowązuje aż do końca nterwału; ta odległość, oznaczana dalej symbolem t, stanow parametr strateg. Zakłada sę ponadto, że stratega ma charakter podążana za trendem wybce w górę to sygnał zajęca pozycj długej, a w dół krótkej. Taka defncja strateg jednoznaczne okre-

Zastosowane ważonego uśrednana do konstrukcj optymalnych suboptymalnych... 95 śla pozycje zajmowane przez gracza, jego zysk oraz straty warunkowane parametrem strateg t, który determnuje pozom odwrócena w górę/dół relatywne do kursu Open nterwału czasowego. Zakładając, że parametr ten przyjmuje wartośc z określonego przedzału, zadana ne pojedyncza stratega, a cała ch rodzna jest ndeksowana parametrem skalarnym t. 3.2. Dynamczna optymalzacja parametrów strateg elementarnych Przy ustalanu optymalnych wartośc parametru t warto zwrócć uwagę, że straty wynkające z częstych, kosztownych operacj odwracana pozycj na ogół ne są równoważone zyskam. Problem ten można starać sę rozwązać przez adaptacyjne ustalane parametru t, bazujące na analze stosunku zysku do ryzyka, przyjmując jak w [14]: t opt CG( z( t)) arg max, (6) t t t MDD( z( t)) mn max gdze jako zysk przyjęto CG, które stanow łączny skumulowany zysk wynkający ze stosowana danej strateg, natomast jako marę ryzyka przyjęto MDD maksymalne obsunęce kaptału [11]. Koneczne jest jednak tutaj określene lczby n elementów, z których składa sę próbka, dla której wyznaczono zysk obsunęca. 4. Eksperymenty numeryczne Przedstawoną koncepcję nwestowana w portfel parametrycznych strateg podążających za trendem, w wersjach wykorzystujących zarówno metodę Markowtza, jak WACFM, przebadano na zborze notowań kontraktów na różnce kursowe EUR/USD, dostępnego jako nstrument fnansowy na rynku Forex, przyjmując za nterwał czasowy tydzeń. Ta forma nwestowana umożlwa zajmowane pozycj długch krótkch, odpowadających oczekwanom wzrostów spadków notowań unjnej waluty względem dolara amerykańskego w średnm horyzonce czasowym. Przyjmując podejśce analogczne do stosowanego w badanach przedstawonych w [14], użyto dynamcznej optymalzacj parametrów strateg elementarnych, a przy tym ustalono zakres parametru n, decydującego o rozmarze próby, jako rozcągający sę od 21 do 40 nterwałów. Dla notowań z roku 2013 wyznaczono trajektore zysków strat strateg elementarnych odpowadających tym wartoścom parametrów. Empryczne wyznaczone estymatory wektora średnch macerzy kowarancj posłużyły jako dane wejścowe dla optymalzacj portfel metodą Markowtza. Należy tu podkreślć, że zysk strateg były rozpatrywane nomnalne (a ne procentowo) wyrażały sę w mnmalnej jednostce (kroku) notowań kontraktu EUR/USD, czyl jako welokrotnośc kwoty 0.0001 USD. W takch jednostkach średne zysk strateg elementarnych przyjmowały wartośc z prze-

96 A. Momot, M. Momot dzału (39.99, 404.3). Take też wartośc średnch były uwzględnane jako wartośc mnmalnych ogranczeń na zysk portfela przy optymalzacj metodą Markowtza, co oznacza, że wyznaczono zbór portfel dopuszczalnych o średnch z tego przedzału, a ch odchylena standardowe w wynku mnmalzacj przyjęły wartośc z przedzału (1004.53, 1276.94). Dla tych samych strateg elementarnych przeprowadzono równeż konstrukcję portfel metodą WACFM, przyjmując wartośc parametru rozproszena m z przedzału (1, 50). Dla tych portfel wartośc średnch zysków znalazły sę w przedzale (258.0, 393.5), a odchylena standardowe w przedzale (1005.2, 1114.3). 450 400 Markowtz WACFM 350 300 250 200 150 100 50 0 1000 1050 1100 1150 1200 1250 1300 Rys. 2. Portfele strateg wyznaczone dla zboru uczącego rok 2013 Fg. 2. Portfolos of strateges for learnng perod year 2013 Rysunek 2 przedstawa lne, wzdłuż których układały sę portfele uzyskane dla metod Markowtza WACFM, a dokładne średne odchylena standardowe zysków w roku 2013. Na os pozomej znajduje sę odchylene standardowe, a na ponowej średn zysk. Dla portfel Markowtza na wykrese znajdują sę znacznk obrazujące położene portfel uzyskanych, gdy za mnmalne ogranczena na zysk przyjmowano wartośc dokładne równe zyskom poszczególnych strateg elementarnych, a czarna lna łączy te portfele, wyznaczając grancę (lewy brzeg) obszaru wszystkch możlwych portfel. Szara lna łączy portfele uzyskane dla metody WACFM, w sposób oczywsty układając sę na wykrese po prawej strone ln portfel Markowtza. Dla wartośc parametru m zblżonych do górnego ogranczena, przyjętego w tym eksperymence, czyl blskch lczby 50, portfele WACFM zblżyły sę do portfel Markowtza, uzyskując średn zysk około 258, a odchylene standardowe około 1005. Nższe wartośc parametru m, zawarte w przedzale (1, 22), prowadzły do uzyskana portfel o zy-

Zastosowane ważonego uśrednana do konstrukcj optymalnych suboptymalnych... 97 skach w przedzale (350, 400) odchylenach standardowych w przedzale (1055, 1115). Portfele te na rysunku przedstawają skupsko punktów, układając sę w kształt przypomnający odcnek ln prostej. Najstotnejsza własność metody konstrukcj portfela, którą jest zanteresowany nwestor, polega na zdolnośc konstrukcj takch portfel, które skuteczne realzują postulaty nwestora (w rozumenu korzystnych relacj zysku do ryzyka) ne tylko w zakrese czasu, dla którego zostały skonstruowane, ale równeż w przyszłośc. Własność ta, w termnolog ntelgencj oblczenowej określana jako zdolność uogólnana, jest cechą pożądaną, poneważ oczekuje sę, że reguły dzałana, wypracowane wyuczone na podstawe danych ze zboru chronologczne wcześnejszego, okażą sę przydatne skuteczne w konfrontacj z faktam danym, które przynese przyszłość. Dlatego właśne portfele konstruowane na podstawe danych z roku 2013, traktowanego jako okres uczący, zostały poddane próbe czasu, a ch wynk uzyskane w roku 2014, traktowanym jako okres testowy, zlustrowano na rys. 3. Nastąpło przenesene współczynnków wagowych (udzałów poszczególnych strateg w portfelu) w nezmenonym składze wyznaczene średnch zysków odchyleń standardowych. Czarna lna wraz ze znacznkam, jak poprzedno, symbolzuje grancę obszaru portfel Markowtza wyznaczonych dla roku 2014, gdze pojedyncze znacznk odpowadają poszczególnym zadanym wartoścom zysków przy optymalzacj. Dla tych portfel wartośc średnch zysków znalazły sę w przedzale (-80.2, 245.5), a odchylena standardowe w przedzale (734.9, 1065.2). Na tym samym rysunku znajduje sę cągła szara lna, prezentująca zachowane w roku 2014 portfel zoptymalzowanych według metody Markowtza na konec roku 2013, gdze wartośc średnch zysków meszczą sę w przedzale (-33.8, 112.4), a odchylena standardowe wahają sę od wartośc 753.6 do 967.9. Analogczna lna szara przerywana prezentuje zachowane w roku 2014 portfel optymalzowanych według metody WACFM na konec roku 2013, gdze wartośc średnch zysków meszczą sę w przedzale (94.8, 112.6), a odchylena standardowe wahają sę od wartośc 753.5 do 788.8. Wzajemne ułożene ln Markowtza WACFM na obszarze portfel testowych wskazuje, że przy porównywalnych pozomach zysków portfele WACFM neznaczne ustępują portfelom Markowtza pod względem pozomu ryzyka. Można poczynć nne nteresujące spostrzeżene: żaden z portfel WACFM w okrese testowym ne odnotował straty, podczas gdy pewna lczba portfel Markowtza w tym okrese charakteryzuje sę ujemną stopą zwrotu. Stanow to przesłankę do rozwoju badań w zakrese stosowana metody mnmalzacj odległośc pomędzy trajektoram zysków a strategą uśrednoną, poneważ wydaje sę ona zawerać potencjał w zakrese zdolnośc uogólnana generowanych reguł dzałana.

98 A. Momot, M. Momot 300 250 Markowtz 2014 Markowtz 2013 WACFM 2013 200 150 100 50 0 50 700 750 800 850 900 950 1000 1050 1100 100 Rys. 3. Portfele strateg wyznaczone dla zboru testowego rok 2014 Fg. 3. Portfolos of strateges for testng perod year 2014 5. Podsumowane W pracy przedstawono koncepcję operowana na rynkach kontraktów na różnce kursów walut, z wykorzystanem algorytmzowanych reguł dzałana. Elementarne reguły, ndeksowane parametram, po połączenu optymalzacj prowadzą do herarchcznych systemów podejmowana decyzj nwestycyjnych na rynku wymany walut. Przebadano empryczne klasyczną metodę konstrukcj portfela nstrumentów fnansowych, zaproponowaną przez Markowtza w zestawenu z alternatywną metodą, opartą na mnmalzacj odległośc eukldesowej realzacj strateg od strateg uśrednonej (WACFM). Jako dane wejścowe zastosowano notowana kontraktów na różnce kursowe EUR/USD w latach 2013-2014, przyjmując za nterwał elementarny tydzeń kalendarzowy. Wynk strateg w roku 2013 posłużyły do konstrukcj portfel metodam Markowtza WACFM. Ich zachowane następne zostało prześledzone w roku 2014. Wynk w postac średnch odchyleń standardowych zysków zostały przedstawone w celu zorentowana sę w potencjalnych możlwoścach zdolnośc uogólnana zaproponowanych metod. Wydaje sę, że metoda WACFM jest przydatnym narzędzem do konstrukcj portfel strateg, a jej skuteczność może być jeszcze zwększona przez wprowadzene dodatkowych warunków w zadanu optymalzacj. Będze to przedmotem dalszych badań teoretycznych emprycznych.

Zastosowane ważonego uśrednana do konstrukcj optymalnych suboptymalnych... 99 BIBLIOGRAFIA 1. Brgham E. F.: Podstawy zarządzana fnansam. PWE, Warszawa 2005. 2. Elton E. J., Gruber M. J.: Nowoczesna teora portfelowa. WIG PRESS, Warszawa 1998. 3. Hrshlefer J.: Investment Decson under Uncertanty: Choce-Theoretc Approaches. Quarterly Journal of Economcs Vol. 79, 1965, s. 509 536. 4. Jajuga K., Jajuga T.: Inwestycje: nstrumenty fnansowe, ryzyko fnansowe, nżynera fnansowa. PWN, Warszawa 1996. 5. Jajuga K.: Podstawowe stratege nwestowana. Komsja Nadzoru Fnansowego, Warszawa 2009. 6. Knght F. H.: Rsk, Uncertanty and Proft. London School of Economcs, Londyn 1993. 7. LeBeau C., Lucas D. W.: Komputerowa analza rynków termnowych. WIG-Press, Warszawa 1998. 8. Łęsk J.: Robust Weghted Averagng. IEEE Transactons on Bomedcal Engneerng, Vol. 49, No. 8, 2002, s. 796 804. 9. Markowtz, H. M: Portfolo Selecton: Effcent Dversfcaton of Investments. Yale Unversty Press, New Heaven 1959. 10. Momot A., Momot M.: Składowane przetwarzane danych w systemach do tworzena oceny strateg nwestycyjnych na rynkach walutowych. Studa Informatca, Vol. 30, No. 2B(84), Glwce 2009, s. 191 202. 11. Momot A., Momot M.: Projektowane strateg nwestycyjnych na rynkach termnowych z zastosowanem symulacj komputerowych metod Monte Carlo. Studa Informatca, Vol. 31, No. 2B(90), Glwce 2010, s. 397 407. 12. Momot A., Momot M.: Zastosowane ważonego uśrednana do projektowana strateg nwestycyjnych na rynkach kaptałowych. Studa Informatca, Vol. 32, No. 2A(96), Glwce 2011, s. 473 483. 13. Momot A., Momot M.: Adaptacyjne podejśce do tworzena strateg nwestycyjnych na rynkach kaptałowych wraz z zastosowanem ważonego uśrednana. Studa Informatca, Vol. 33, No. 2A(105), Glwce 2012, s. 593 604. 14. Momot A., Momot M.: Perspektywy zastosowań metod statystycznych w konstrukcj strateg dzałana na rynkach kaptałowych wykorzystane systemów herarchcznych oraz regularyzacj. Studa Informatca, Vol. 34, No. 2A(111), Glwce 2013, s.263 274. 15. Solorz J. K.: Zarządzane ryzykem systemu fnansowego. Wydawnctwo Naukowe PWN, Warszawa 2008.

100 A. Momot, M. Momot 16. Weron A., Weron R.: Inżynera fnansowa. Wycena nstrumentów pochodnych. Symulacje komputerowe. Statystyka rynku. WNT, Warszawa 1998. 17. Zalewsk G.: Kontrakty termnowe w praktyce. WIG-Press, Warszawa 2006. Abstract The paper presents the concept of operatng on the foregn exchange market usng contracts for dfferences and algorthmc methods. Elementary rules ndexed by parameters, after mergng and optmzaton lead to herarchcal systems of nvestment and decson-makng on the foregn exchange market. Authors present emprcally tested classcal method of constructon of a portfolo of fnancal nstruments, as proposed by Markowtz n comparson wth an alternatve method based on the mnmzaton of the Eucldean dstance between elementary strategy and averagng strategy (WACFM). As nput data were used tradng contracts for dfference of EUR / USD n 2013-2014, takng as an elementary nterval calendar week. The results of the strategy n 2013 were used to construct portfolos of Markowtz and WACFM methods. Ther behavor was subsequently nvestgated n 2014. The results, n the form of means and standard devatons are presented n the form of charts to get an overvew of the potental possbltes of generalzaton ablty of the proposed methods. Adresy Alna MOMOT: Poltechnka Śląska, Instytut Informatyk, ul. Akademcka 16, 44-101 Glwce, Polska, alna.momot@polsl.pl. Mchał MOMOT: Instytut Technk Aparatury Medycznej, ul. Roosevelta 118, 41-800 Zabrze, Polska, mchal.momot@tam.zabrze.pl.