Statystyka Inżynierska



Podobne dokumenty
opisać wielowymiarową funkcją rozkładu gęstości prawdopodobieństwa f(x 1 , x xn

ROZKŁADY ZMIENNYCH LOSOWYCH

N ( µ, σ ). Wyznacz estymatory parametrów µ i. Y które są niezależnymi zmiennymi losowymi.

POPULACJA I PRÓBA. Próba reprezentatywna. Dr Adam Michczyński - METODY ANALIZY DANYCH POMIAROWYCH 5 1

Stanisław Cichocki Natalia Nehrebecka. Zajęcia 7-8

Prawdopodobieństwo i statystyka r.

. Wtedy E V U jest równa

Matematyka ubezpieczeń majątkowych r. t warunkowo niezależne i mają (brzegowe) rozkłady Poissona:

Stanisław Cichocki. Natalia Nehrebecka. Zajęcia 5

( X, Y ) będzie dwuwymiarową zmienną losową o funkcji gęstości

Zadanie 1. ), gdzie 1. Zmienna losowa X ma rozkład logarytmiczno-normalny LN (, . EX (A) 0,91 (B) 0,86 (C) 1,82 (D) 1,95 (E) 0,84

wyniki serii n pomiarów ( i = 1,..., n) Stosując metodę największej wiarygodności możemy wykazać, że estymator wariancji 2 i=

W loterii bierze udział 10 osób. Regulamin loterii faworyzuje te osoby, które w eliminacjach osiągnęły lepsze wyniki:

W zadaniu nie ma polecenia wyznaczania estymatora nieobciążonego o minimalnej wariancji. σ σ σ σ σ = =

ma rozkład normalny z nieznaną wartością oczekiwaną m

IV. ZMIENNE LOSOWE DWUWYMIAROWE

ma rozkład normalny z wartością oczekiwaną EX = EY = 1, EZ = 0 i macierzą kowariancji

STATYSTYKA MATEMATYCZNA WYKŁAD 2 ESTYMACJA PUNKTOWA

Statystyka Opisowa 2014 część 3. Katarzyna Lubnauer

VI. TWIERDZENIA GRANICZNE

Statystyka. Analiza zależności. Rodzaje zależności między zmiennymi występujące w praktyce: Funkcyjna

JEDNOWYMIAROWA ZMIENNA LOSOWA

OBLICZANIE NIEPEWNOŚCI METODĄ TYPU B

W zadaniu nie ma polecenia wyznaczania estymatora nieobciążonego o minimalnej wariancji. σ σ σ σ σ = =

Różniczkowanie funkcji rzeczywistych wielu zmiennych. Matematyka Studium doktoranckie KAE SGH Semestr letni 2008/2009 R. Łochowski

Podstawy opracowania wyników pomiarowych, analiza błędów

Regresja REGRESJA

5. OPTYMALIZACJA NIELINIOWA

PŁASKA GEOMETRIA MAS. Środek ciężkości figury płaskiej

Materiały do wykładu 7 ze Statystyki

Prawdopodobieństwo i statystyka r.

będą niezależnymi zmiennymi losowymi o tym samym 2 x

ZMIENNA LOSOWA JEDNOWYMIAROWA POJĘCIE ZMIENNEJ LOSOWEJ

STATYSTYKA MATEMATYCZNA WYKŁAD 1. Wiadomości wstępne

będą niezależnymi zmiennymi losowymi z rozkładu o gęstości

Kurs Prawdopodobieństwo Wzory

Zadanie 1. Rzucamy symetryczną monetą tak długo, aż w dwóch kolejnych rzutach pojawią się,,reszki. Oblicz wartość oczekiwaną liczby wykonanych rzutów.

BADANIE WSPÓŁZALEśNOŚCI DWÓCH CECH - ANALIZA KORELACJI PROSTEJ

Wnioskowanie statystyczne dla korelacji i regresji.

Linie regresji II-go rodzaju

Podstawowe zadanie statystyki. Statystyczna interpretacja wyników eksperymentu. Zalety statystyki II. Zalety statystyki

Statystyka Matematyczna Anna Janicka

Permutacje. } r ( ) ( ) ( ) 1 2 n. f = M. Przybycień Matematyczne Metody Fizyki I Wykład 2-2

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

f f x f, f, f / / / METODA RÓŻNIC SKOŃCZONYCH niech N = 2 (2 równania różniczkowe zwyczajne liniowe I-rz.) lub jedno II-rzędu

3. OPTYMALIZACJA NIELINIOWA

Statystyka Opisowa Wzory

Matematyka dyskretna. 10. Funkcja Möbiusa

Zadania z rachunku prawdopodobieństwa

( ) L 1. θ θ = M. Przybycień Rachunek prawdopodobieństwa i statystyka. = θ. min

Miary statystyczne. Katowice 2014

Rachunek prawdopodobieństwa i statystyka matematyczna. Estymacja przedziałowa parametrów strukturalnych zbiorowości generalnej

Janusz Górczyński. Moduł 1. Podstawy prognozowania. Model regresji liniowej

STATYKA. Cel statyki. Prof. Edmund Wittbrodt

Podstawy analizy niepewności pomiarowych (I Pracownia Fizyki)

Portfel złożony z wielu papierów wartościowych

KONCEPCJA WIELOKRYTERIALNEGO WSPOMAGANIA DOBORU WARTOŚCI PROGOWEJ W BIOMETRYCZNYM SYSTEMIE UWIERZYTELNIANIA. Adrian Kapczyński Maciej Wolny

x, y środek ciężkości zbioru

Podstawowe pojcia. Metody probabilistyczne i statystyka Wykład 7: Statystyka opisowa. Rozkłady prawdopodobiestwa wystpujce w statystyce.

Portfel. Portfel pytania. Portfel pytania. Analiza i Zarządzanie Portfelem cz. 2. Katedra Inwestycji Finansowych i Zarządzania Ryzykiem

[, ] [, ] [, ] ~ [23, 2;163,3] 19,023 2,7

KORELACJA KORELACJA I REGRESJA. X, Y - cechy badane równocześnie. Dane statystyczne zapisujemy w szeregu statystycznym dwóch cech

EKSTREMA FUNKCJI EKSTREMA FUNKCJI JEDNEJ ZMIENNEJ. Tw. Weierstrassa Każda funkcja ciągła na przedziale domkniętym ma wartość najmniejszą i największą.

będzie próbką prostą z rozkładu normalnego ( 2

Planowanie eksperymentu pomiarowego I

Miary położenia wskazują miejsce wartości najlepiej reprezentującej wszystkie wielkości danej zmiennej. Mówią o przeciętnym poziomie analizowanej

FUNKCJE DWÓCH ZMIENNYCH

X i T (X) = i=1. i + 1, X i+1 i + 1. Cov H0. ( X i. k 31 ) 1 Φ(1, 1818) 0, 12.

Ćwiczenia nr 3 Finanse II Robert Ślepaczuk. Teoria portfela papierów wartościowych

Niezależność zmiennych, funkcje i charakterystyki wektora losowego, centralne twierdzenia graniczne

Statystyczne charakterystyki liczbowe szeregu

WSPÓŁZALEŻNOŚĆ PROCESÓW MASOWYCH Co w Sylabusie?

Niezawodność. systemów nienaprawialnych. 1. Analiza systemów w nienaprawialnych. 2. System nienaprawialny przykładowe

STATYSTYKA OPISOWA WYKŁAD 3,4

Podprzestrzenie macierzowe

Analiza Matematyczna Ćwiczenia. J. de Lucas

L.Kowalski PODSTAWOWE TESTY STATYSTYCZNE WERYFIKACJA HIPOTEZ PARAMETRYCZNYCH

Estymacja to wnioskowanie statystyczne koncentrujące się wokół oszacowania wartości parametrów rozkładu populacji.

Prawdopodobieństwo i statystyka

Funkcja wiarogodności

L.Kowalski zadania ze statystyki opisowej-zestaw 5. ZADANIA Zestaw 5

Statystyka. Katarzyna Chudy Laskowska

Stanisław Cichocki. Natalia Nehrebecka. Wykład 6

Rozkłady statystyk z próby Twierdzenia graniczne

PODSTAWY OPRACOWANIA WYNIKÓW POMIARÓW Z ELEMENTAMI ANALIZY NIEPEWNOŚCI POMIAROWYCH. dr Michał Silarski

Tablica Galtona. Mechaniczny model rozkładu normalnego (M10)

Zmienna losowa X ma taki rozkład, jeśli przyjmuje wartości k=0,1,2,...,n z prawdopodobieństwami określonymi wzorem:

Monika Jeziorska - Pąpka Uniwersytet Mikołaja Kopernika w Toruniu

PDF created with FinePrint pdffactory Pro trial version WIII/1

KURS STATYSTYKA. Lekcja 4 Nieparametryczne testy istotności ZADANIE DOMOWE. Strona 1

Liniowe relacje między zmiennymi

Teoria i praktyka. Wyższa Szkoła Turystyki i Ekologii. Fizyka. WSTiE Sucha Beskidzka Fizyka

Obliczanie średniej, odchylenia standardowego i mediany oraz kwartyli w szeregu szczegółowym i rozdzielczym?

Materiały do ćwiczeń 2 Zmienna losowa dyskretna Rozkład zmiennej losowej dyskretnej Powtarzanie doświadczeń

Statystyka Wykład 6 Adam Ćmiel A3-A4 311a

Rozkłady prawdopodobieństwa 1

ZAGADNIENIE TRANSPORTOWE

X i. X = 1 n. i=1. wartość tej statystyki nazywana jest wartością średnią empiryczną i oznaczamy ją symbolem x, przy czym x = 1. (X i X) 2.

Zdarzenia losowe, definicja prawdopodobieństwa, zmienne losowe

PODSTAWY OPRACOWANIA WYNIKÓW POMIARÓW Z ELEMENTAMI ANALIZY NIEPEWNOŚCI POMIAROWYCH

Transkrypt:

Statystyka Iżyerska dr hab. ż. Jacek Tarasuk AGH, WFIS 013 Wykład 3 DYSKRETNE I CIĄGŁE ROZKŁADY JEDNOWYMIAROWE, PODSTAWY ESTYMACJI Dwuwymarowa, dyskreta fukcja rozkładu rawdoodobeństwa, Rozkłady brzegowe warukowe, Kowaracja wsółczyk korelacj, Korelacja ezależość, Prosta regresj, Regresja ortogoala, Poulacja, Próba losowa, Estymator, Estymacja

Zmea losowa Przez zmeą losową dwuwymarową będzemy rozumel taką arę fukcj (e) Y(e) określoych a rzestrze zdarzeń elemetarych, że dla każdej ary lczb rzeczywstych x, y moża określć rawdoodobeństwo zastea zdarzea A takego że: P A P x, Y y Dwuwymarowa zmea losowa jest zmeą dyskretą jeśl składowe Y mają skończoy lub rzelczaly zbór wartośc. 1.Zmea losowa. Rozkład dystrybuata AGH, Tarasuk 013

Rozkład dystrybuata Rozkładem rawdoodobeństwa dwuwymarowej dyskretej zmeej losowej azywamy zbór rawdoodobeństwa wszystkch zdarzeń (=x, Y=y j ): P Gdze =1, oraz j=1, x, Y y j j Z waruków ormalzacj wyka, że: j j 1.Rozkład dystrybuata Dystrybuatą takej zmeej losowej będze fukcja: F x, y P( x, Y y) 3 AGH, Tarasuk 013

Rozkłady brzegowe Rozkłady brzegowe w rzyadku dwuwymarowej dyskretej zmeej losowej defujemy jako: k k Rozkłady brzegowe określają rawdoodobeństwo, że jeda ze zmeych losowych rzyjme jakąś wartość, ezależe od tego jaką wartość rzyjmuje druga zmea losowa. x j kj k P j P Y y j. Rozkład dystrybuata 3.Rozkłady brzegowe 4 AGH, Tarasuk 013

Rozkłady warukowe Rozkłady warukowe w rzyadku dwuwymarowej dyskretej zmeej losowej defujemy jako: P x Y P Y y Rozkłady brzegowe określają rawdoodobeństwo, że jeda ze zmeych losowych rzyjme jakąś wartość, w sytuacj gdy druga rzyjmuje kokretą wartość (odaą w waruku). j y x k k k k kj k. Rozkład dystrybuata 4.Rozkłady warukowe 5 AGH, Tarasuk 013

Charakterystyk Mometem zwykłym rzędu r+s dwuwymarowej zmeej losowej (,Y) azywamy wartość oczekwaą loczyu zmeych losowych r Y s : Gdy s=0 r=1 to 10 =E, czyl jest to wartość oczekwaa zmeej. Gdy s=1 r=0 to 01 =EY, czyl jest to wartość oczekwaa zmeej Y. rs E r s Y j x r y s j j. Rozkład dystrybuata 5.Charakterystyk Pukt ( 10, 01 ) azywamy środkem masy rozkładu rawdoodobeństwa dwuwymarowej zmeej losowej (,Y). Gdy E(Y)=EEY to zmee Y są ezależe. 6 AGH, Tarasuk 013

Charakterystyk Mometem cetralym rzędu r+s dwuwymarowej zmeej losowej (,Y) azywamy wartość oczekwaą loczyu zmeych losowych (-E) r (Y-EY) s : rs rs E r E Y EY j r x E y EY Gdy s=0 r= to 0 =D, czyl jest to waracja zmeej. Gdy s= r=0 to 0 =D Y, czyl jest to waracja zmeej Y. s s j. Rozkład dystrybuata 5.Charakterystyk Gdy s=1 r=1 to 11 =cov(,y) co azywamy kowaracją zmeych losowych,y. Pomędzy owyższym welkoścam steją bardzo użytecze zwązk: D =E( )-(E) D Y=E(Y )-(EY) cov(,y)=e(y)-eey 7 AGH, Tarasuk 013

Charakterystyk Wsółczykem korelacj dwuwymarowej zmeej losowej (,Y) azywamy: Oczywśce D a D Y e mogą być rówe zeru. Jeżel =1 to zaczy, że zmee Y zwązae są ścsłą relacją Y=a+b, rzy czym a jest dodate. Podobe, gdy =-1, tylko a jest wówczas ujeme. cov D, Y D Y. Rozkład dystrybuata 5.Charakterystyk Im wartość jest blższa 1 lub -1 tym częścej zmee losowe Y sełają relację lowej zależośc. Mówmy wówczas, że zmee są sle lub słabo skorelowae. Wartość wsółczyka =0 ozacza brak korelacj. 8 AGH, Tarasuk 013

Korelacja ezależość Jeżel E(Y)=EEY to zmee Y są ezależe. Poeważ kowaracja: cov(,y)=e(,y)-eey to jeżel zmee są ezależe, to ch kowaracja jest rówa 0, w kosekwecj wsółczyk korelacj =0, czyl zmee są eskorelowae. Jeżel zmee losowe są ezależe to są eskorelowae, ale jeżel są eskorelowae to e muszą być ezależe! Jeżel zmee losowe są skorelowae, to są róweż zależe. Jeżel zmee losowe Y są ezależe, to zachodzą róweż zwązk: F j j x, y F x F y Y. Rozkład dystrybuata 6.Korelacja ezależość Zmee eskorelowae Zmee ezależe 9 AGH, Tarasuk 013

Prosta regresj Prostą regresj drugego rodzaju zmeej losowej Y względem zmeej losowej azywamy rostą o rówau y=ax+b, której wsółczyk a b są tak dobrae, aby średe odchylee kwadratowe zmeej losowej Y od zmeej losowej a+b było ajmejsze: Moża wykazać, że wsółczyk takej rostej dadzą sę wylczyć jako: a a b m E Y D Y D b EY a E Y. Rozkład dystrybuata 7.Prosta regresj 10 AGH, Tarasuk 013

Regresja ortogoala Dla dowolych zmeych Y steje zawsze rzekształcee lowe, srowadzające te zmee do ostac, w której wsółczyk korelacj omędzy zmeym rówa sę zeru. Przekształcee to ma ostać: Y rzy czym: * * E cos Y EY s E s Y EY cos cov, Y tg D D Y. Rozkład dystrybuata 8.Regresja ortogoala y EY tg x E 11 AGH, Tarasuk 013

Próba losowa oulacja Badaa wyczerujące (całkowte) ewyczerujące (częścowe). Poulacja geerala oulacja róba. Próba rerezetatywa: losowy wybór z oulacj geeralej dostatecza lczość róby Ocey arametru oulacj geeralej dokoujemy a odstawe omarów w oulacj róbej. Prawdzwość ocey arametru oulacj geeralej a odstawe róby jest zdarzeem losowym.. Rozkład dystrybuata 9.Próba losowa oulacja Wartość tego rawdoodobeństwa zależy od welkośc róby oraz od dokładośc ocey. 1 Podstawy estymacj AGH, Tarasuk 013

Parametr rozkładu jego Parametr Estymator Wartość oczekwaa E x 1. Rozkład dystrybuata Waracja D x E S * 1 1 Prawdoodobeństwo sukcesu (wskaźk struktury) k ^ k 13 Podstawy estymacj AGH, Tarasuk 013

Estymacja rzedzałowa Jeśl 1 ma rozkład N,, to x ma rozkład Po zormalzowau, zmea rozkładow N(0,1). będze odlegać Możemy zaleźć eskończee wele rzedzałów, w których zmea ta zajdze sę z rawdoodobeństwem 1-α : P U 1 u U u u 1 1 u1 N,. Rozkład dystrybuata 11. Estymacja rzedzałowa P u u 1 u1 u 1 1 P u 1 u 1 u 1 u 1 1 1 14 Podstawy estymacj AGH, Tarasuk 013

AGH, Tarasuk 013 Estymacja rzedzałowa Tylko jede z tych rzedzałów będze symetryczy. Tak dla którego: 1, a wówczas możemy owedzeć, że rzedzał: u1, u1 z rawdoodobeństwem 1-α okrywa rawdzwą wartość oczekwaą µ dla badaego rozkładu. Jeśl e zamy waracj σ to musmy ją estymować: * 1 S x x 1 1 wówczas rzedzał wygląda astęująco: u1 * * S S, u1. Rozkład dystrybuata 11. Estymacja rzedzałowa Oba owyższe rzedzały to tzw. rzedzały ufośc dla wartośc oczekwaej rozkładu a ozome ufośc 1- α.