Ruch punktu materialnego

WIRTUALNE LABORATORIA FIZYCZNE NOWOCZESNĄ METODĄ NAUCZANIA INNOWACYJNY PROGRAM NAUCZANIA FIZYKI W SZKOŁACH PONADGIMNAZJALNYCH Moduł dydaktyczny: fizyka - infomatyka Ruch punktu mateialnego Elżbieta Kawecka Człowiek - najlepsza inwestycja Pojekt współfinansowany pzez Unię Euopejską w amach Euopejskiego Funduszu Społecznego

Tytuł: Ruch punktu mateialnego Auto: d inż. Elżbieta Kawecka Redakto meytoyczny: d hab. inż. pof. WWSI Zenon Gniazdowski Moduł 3 Ruch punktu mateialnego fizyka zakes ozszezony Mateiał dydaktyczny opacowany w amach pojektu edukacyjnego WIRTUALNE LABORATORIA FIZYCZNE NOWOCZESNĄ METODĄ NAUCZANIA. PROGRAM NAUCZANIA FIZYKI Z ELEMENTAMI TECHNOLOGII INFORMATYCZNYCH OPRACOWANE W RAMACH PROJEKTU: WIRTUALNE LABORATORIA FIZYCZNE NOWOCZESNĄ METODĄ NAUCZANIA. PROGRAM NAUCZANIA FIZYKI Z ELEMENTAMI TECHNOLOGII INFORMATYCZNYCH www.wlf.wwsi.edu.pl wlf@wwsi.edu.pl Wydawca: Waszawska Wyższa Szkoła Infomatyki ul. Lewatowskiego 7, -69 Waszawa www.wwsi.edu.pl ektoat@wwsi.edu.pl Pojekt gaficzny: Maciej Koczanowicz Waszawa 3 Copyight Waszawska Wyższa Szkoła Infomatyki 3 Publikacja nie jest pzeznaczona do spzedaży Komentaz metodyczny Realizacja opisanych tematów wymaga ścisłej współpacy nauczyciela fizyki i infomatyki. W amach modułu zapoponowano stosowanie óżnych nazędzi technologii infomacyjnej, któe mogą ułatwić zozumienie zagadnień fizycznych. W szczególności zaleca się stosowanie opogamowania do analizy uchu metodą wideopomiaów, akusza kalkulacyjnego, pogamów do modelowania matematycznego oaz inteaktywnych symulacji. Zapoponowane ćwiczenia mogą być ealizowane na lekcjach fizyki i infomatyki oaz na zajęciach dodatkowych, powadzonych pzez nauczycieli obu pzedmiotów. Wstęp do modułu Z uchem spotykamy się codziennie, ale jak go badać, opisywać i analizować? Pomogą nam w tym doświadczenia, ale potzebne też będą wektoy i wykesy. Będziemy stosować óżne nazędzia technologii infomacyjnej, któe pomogą w zozumieniu teści fizycznych. Zaczniemy od uchu punktu mateialnego. To modelowe pojęcie można zastosować, gdy ozmiay ciała są małe w poównaniu z pokonywaną pzez nie odległością i gdy nie inteesuje nas budowa wewnętzna ciała i jak pouszają się względem siebie poszczególne elementy. Na pzykład, gdy opisujemy pzelot samolotu z Waszawy do Londynu możemy taktować samolot jak punkt mateialny. W szczególności takie uposzczenie stosuje się pzy opisie uchu postępowego, gdy wszystkie punkty ciała pouszają się po tych samych toach, mają tę samą pędkość i pzyspieszenie. Dobym uposzczeniem jest wtedy opis uchu śodka masy. Człowiek - najlepsza inwestycja Pojekt współfinansowany pzez Unię Euopejską w amach Euopejskiego Funduszu Społecznego 3

Względność uchu Temat. Względność uchu Ruch polega na zmianie położenia zachodzącego z upływem czasu. Opis uchu zależy od wybou układu odniesienia względem któego go opisujemy. Mówimy, że uch jest względny. Obsewujemy to często w podóży, gdy śledzimy pouszające się pojazdy pzez okno pociągu. Siedząc w pouszającym sie pociągu spoczywamy względem układu odniesienia związanego z pociągiem, a pouszamy się względem układu związanego z peonem. Patząc pzez okno na samochód jadący po dodze biegnącej wzdłuż toów czasem mamy ważenie, że się nie pouszamy. Jeśli idą zgodnie z kieunkiem uchu pouszają sie szybciej, gdyż do watości pędkości własnej podóżnego dodajemy pędkość chodnika. Pouszając się po uchomym chodniku w kieunku pzeciwnym możemy nawet pzesuwać się do tyłu! Obliczanie watości pędkości, gdy uczestniczymy jednocześnie w dwóch uchach po tej samej postej spowadza się do dodawania lub odejmowania watości pędkości obu uchów. W pzypadku składania uchów zachodzących y w óżnych kieunkach, np. gdy chcemy pzepłynąć łódką w popzek zeki, musimy posłużyć się y B pojęciem wektoów. Zaczniemy od wpowadzenia podstawowych pojęć takich jak: wekto położenia, wekto pzemieszczenia, to uchu, doga oaz działań na weky A toach. Wybiezmy postokątny układ współzęd nych XY, względem któego opisujemy uch punktu mateialnego na płaszczyźnie. W chwili t punkt znajdował się w położeniu A, opisanym pzez wekto położenia, a w chwili t w położeniu B, opisanym pzez wekrysunek.3. Wekto położenia. to położenia. W nawiasach kwadatowych podajemy współzędne wektoów. Rys..3. y W pzedziale czasu <t, t> punkt mógł pouszać y się po óżnych toach, na pzykład,, 3, Doga B pzebyta pzez ciało jest ówna długości tou u chu. Pełny opis uchu wymaga zatem podania weka y toa położenia dla wszystkich punktów tou, 3 czyli opisu zależności wektoa położenia (jego współzędnych) od czasu. Obejzyj animację wyjaśniającą, w jaki sposób do dajemy i odejmujemy wektoy, któe mają óżne kieunki (nie leżą na tej samej postej). Y Y X X Rys... Rys...Wybó układu odniesienia wpływa na opis uchu. Dobym miejscem do obsewacji względności uchu są też uchome schody czy chodniki na lotniskach. Czasem obsewujemy podóżnych, któzy biegną po pzesuwającym się chodniku, żeby zdążyć na samolot. Wektoy i to wektoy położenia i. Z ysunku wynika, że czyli wekto jest óżnicą wektoów (położenia końrys..4. cowego ) i (położenia początkowego ). Nazywamy go wektoem pzemieszczenia (lub wektoem pzesunięcia) i oznaczamy pzez. Rysunek.4. Różne toy uchu. y y B Uwaga: Tylko w pzypadku uchu po linii postej długość wektoa pzemieszczenia jest ówna długości tou, czyli dodze pzebytej pzez ciało. A y Rys...Ruchomy chodnik na lotnisku w Madycie. Rysunek.5. Wekto pzemieszczenia Rys... Rys..5. 4 5

Kinematyka uchów postoliniowych Temat. Kinematyka uchów postoliniowych Zaczniemy od ogólnej definicji wielkości fizycznych, stosowanych do opisu uchu: pędkości i pzyspieszenia. Są to wielkości wektoowe. Pędkością nazywamy wekto ówny stosunkowi wektoa pzemieszczenia pouszającego się ciała do czasu, w któym ono nastąpiło. Wykes zależności położenia od czasu jest linią postą, a kąt nachylenia postej do osi czasu zależy od watości pędkości. 8 7 6 5 4 [m] Pzy uchu postoliniowym, gdy toem uchu jest linia posta, wystaczy jednowymiaowy układ współzędnych. 3,5,5,5 3 3,5 v Rysunek.3. Wykes zmian położenia punktu pouszającego się uchem jednostajnym postoliniowym z pędkością, położenie początkowe m. Rysunek.. W uchu postoliniowym wekto pędkości Rys... leży na postej, po któej pousza się ciało. ν v Rysunek.. W uchu kzywoliniowym wekto pędkości jest zawsze styczny do tou uchu. Szybkość zmiany wektoa pędkości okeśla wekto zwany pzyspieszeniem. Pzyspieszeniem nazywamy stosunek wektoa pzyostu pędkości do czasu, w któym nastąpiła ta zmiana pędkości. Ćwiczenie. Uuchom inteaktywną symulację Pouszający się człowiek ze stony http: //phet.coloado.edu/en/simulations/tanslated/pl. Zmieniaj położenie początkowe i pędkość uchu człowieka. Obsewuj wykesy zmian położenia i pędkości. Okeśl pzedziały czasu, w któych człowiek pouszał się uchem jednostajnym postoliniowym. W języku codziennym, a także w fizyce, posługujemy się pojęciem dogi. Dlaczego zatem opisujemy uch na wykesie zależności położenia od czasu a nie dogi od czasu? Wóćmy teaz do pzykładu łódki. Wyobaź sobie sytuację, że musisz pzepłynąć łódką na dugi bzeg zeki jak najkótszą dogą. Jak skieować łódkę? Obejzyj kótki film z pzebiegu symulacji, któą można pzepowadzić w pogamie Modellus. W każdym z obsewowanych pzypadków wekto pędkości łodzi (względem bzegu), zwany pędkością wypadkową, jest sumą wektoów pędkości własnej łodzi (względem wody) i wektoa pędkości pądu. W układzie SI jednostką pędkości jest m/s, a jednostką pzyspieszenia m/s. Ruch jednostajny postoliniowy Zajmiemy się teaz uchem jednostajnym postoliniowym, gdy wekto pędkości jest stały, czyli nie zmienia się jego watość, kieunek i zwot. Doświadczenie. Badanie uchu jednostajnego postoliniowego. Podsumowanie W uchu jednostajnym postoliniowym wekto pędkości jest stały. Zmiany położenia punktu pouszającego się z pędkością v, zachodzące z upływem czasu t opisuje zależność:, gdzie oznacza położenie w chwili początkowej (t = ). Pzy takim zapisie ównania uchu jednostajnego pzyjmujemy, że gdy: y v > to wekto pędkości ma zwot zgodny ze zwotem osi OX, y v < to wekto pędkości ma zwot pzeciwny do zwotu osi OX. Ruch jednostajnie zmienny A teaz zajmiemy się uchem postoliniowym, w któym watość pędkości pouszającego się ciała zmienia się w czasie uchu. Można podać wiele pzykładów: uszające ze skzyżowania lub hamujące gwałtownie pojazdy, pouszająca się winda, dziecko zjeżdżające na sankach z góki lub zjeżdżalni na placu zabaw. Plac zabaw lub wesołe miasteczko jest dobym miejscem do obsewacji i analizy zjawisk fizycznych. Wócimy tam jeszcze pzy analizie uchu po okęgu. Uposzczeniem najpostszej zjeżdżalni na placu zabaw jest ównia pochyła w pacowni fizycznej. Doświadczenie. Badanie uchu jednostajnie zmiennego. Ruch wózka zjeżdżającego w dół ówni pochyłej to pzykład uchu jednostajnie pzyspieszonego, w któym pzyspieszenie jest stałe, a pędkość ośnie liniowo. Wózek popchnięty pod góę ówni pousza sie uchem jednostajnie opóźnionym. W tabeli zestawiono paame- Rys..4. Opis uchu dziecka na tej zjeżdżalni jest tudniejszy niż opis uchu wózka na ówni pochyłej. 6 7

Temat Kinematyka uchów postoliniowych ty, ównania i pzykładowe wykesy pzedstawiające zależność położenia, pędkości i pzyspieszenia od czasu w uchu jednostajnie zmiennym postoliniowym. Tabela. Ruch jednostajnie zmienny postoliniowy ównania i wykesy Paamety uchu Równania Pzykładowe wykesy Zależność położenia od czasu Położenie Pędkość v 3 5 5 5 5 5 5 8 6 4 [m] 3 [m] a< 3 v [m/s] 8 6 4 Zależność pędkości od czasu 3 v [m/s] a< Paamety uchu Równania Pzykładowe wykesy Zależność pzyspieszenia od czasu,5 a [m/s],5 a(t) = const. a > uch jednostajnie,5 pzyspieszony Pzyspieszenie a a < uch jednostajnie 3 opóźniony a [m/s] a = uch jednostajny - 3 - -3 Ćwiczenie. Wykesy w tabeli zostały wygeneowane w akuszu kalkulacyjnym. W opaciu o podane wzoy utwóz podobne wykesy w akuszu kalkulacyjnym tak, aby każda zmiana watości paametów uchu powodowała zmianę pzebiegu tych wykesów. Często łatwiej jest obliczać dogę na podstawie wykesu zależności pędkości od czasu. Pzykład. Obliczanie dogi na podstawie wykesu pędkości W uchu jednostajnym postoliniowym doga pzebyta w czasie t pzez ciało pouszające się z pędkością v jest ówna s = v t, co odpowiada polu postokąta pod wykesem pędkości. W pzypadku pzedstawionym na wykesie ciało pouszające się z pędkością m/s w czasie s pzebyło dogę 4m. Można wykazać, że doga jest ówna polu pod wykesem pędkości także w uchu postoliniowym jednostajnie zmiennym. Z wykesu wynika, że dogę można obliczyć jako pole tapezu Rys..5. Wykes pędkości od czasu w uchu jednostajnym postoliniowym. 3 W pzypadku pzedstawionym na wykesie doga pzebyta w ciągu 3 sekund wynosi: Rys..6. Wykes pędkości od czasu w uchu jednostajnie zmiennym postoliniowym. 8 9

Zasady dynamiki Newtona Temat 3. Zasady dynamiki Newtona Kinematyka zajmuje sie opisem uchu ciał nie wnikając w jego pzyczyny. Dynamika klasyczna, opata na tzech zasadach dynamiki, sfomułowanych w XVII wieku pzez Isaaca Newtona, pozwala wyjaśnić wiele zjawisk obsewowanych w życiu codziennym i technice. Oto kilka często zadawanych pytań: yy Jakim uchem pousza się samochód, gdy siły działające na niego się ównoważą? yy Dlaczego spadochoniaz otwiea spadochon kilka sekund po opuszczeniu samolotu? yy Wyjaśnij sposób osadzania obucha młotka na tzonek. Uwaga. Siły te są pzyłożone do dwóch óżnych ciał. Ćwiczenie. Uuchom inteaktywną symulację Siły w jednym wymiaze (plik: foces-d_pl.ja) ze stony http: //phet. coloado.edu/en/simulations/tanslated/pl. Popychaj komodę tak, aby ją pzesunąć uchem jednostajnym i zatzymać pzed ścianą.. Obsewuj pzebieg wykesów: siły wypadkowej, położenia i pędkości.. Nazwij kolejne etapy uchu. 3. Odczytaj z wykesu watość wypadkowej siły pzy uchu jednostajnym i jednostajnie zmiennym. Jakie siły wchodzą w skład siły wypadkowej? yy Jak wyjaśnić uch kulek w kołysce Newtona? Zacznijmy od sfomułowania zasad dynamiki Newtona, a później podamy pzykłady potwiedzające ich słuszność. I zasada dynamiki Newtona (zasada bezwładności, lub inaczej niechęci ciała do zmiany stanu uchu) Jeśli na ciało nie działają żadne siły lub siły działające ównoważą się, to ciało pozostaje w spoczynku lub pousza się uchem jednostajnym postoliniowym. Układ odniesienia, w któym obowiązuje I zasada dynamiki jest nazywany inecjalnym układem odniesienia. II zasada dynamiki Newtona Pzyspieszenie, z któym pousza się ciało pod wpływem stałej niezównoważonej siły, jest wpost popocjonalne do wypadkowej siły działającej na ciało, a odwotnie popocjonalne do masy ciała. Kieunek i zwot wektoa pzyspieszenia jest zgodny z kieunkiem i zwotem siły. Jednostką siły w układzie SI jest niuton (N). III zasada dynamiki Newtona (zasada akcji i eakcji) Jeśli ciało A działa na ciało B pewną siłą, to ciało B działa na ciało A siłą o tej samej watości i kieunku, ale pzeciwnie zwóconą. Rys. 3.. Pzykładowe wykesy otzymane w symulacji Siły w jednym wymiaze (plik: foces-d_pl.ja) ze stony http: //phet.coloado.edu/en/simulations/tanslated/pl. Doświadczenie FAB A B FAB = - FBA Rys. 3.. Oddziaływania są wzajemne. FBA Połóżmy 5-złotową monetę na sztywnym katoniku na kubku czy szklance (ys. 3). Pzy wolnym pzesuwaniu katonika moneta pzesuwa się azem z nim. Gdy gwałtownie pociągniemy katonik moneta wpada do naczynia. Czy umiesz to wyjaśnić? Doświadczenie Potzebna jest linka, siłomieze i uczniów. Mocujemy siłomieze na końcach linki. (ys. 3.4). Jeden koniec liny z siłomiezem mocujemy na haku pzytwiedzonym do ściany. Jeden uczeń ciągnie dugi koniec liny, do któego jest umocowany dugi siłomiez i odczytuje watość siły, Rys. 3.3. Zdjęcie zestawu doświadczalnego

Temat 3 Zasady dynamiki Newtona gdy lina jest napężona. Dugi uczeń odczytuje watość siły wskazywaną pzez siłomiez umocowany do ściany. Uczniowie poównują wskazania obu siłomiezy pzy óżnym napięciu liny. O czym świadczą obsewowane wyniki? Pzykład 3.. Obsewując uch ciężaków zawieszonych na obacającym się bloczku (ys. 3.5) zauważymy, że pzy ównych masach obciążników zawieszonych na obu końcach nici ciężaki pouszają się uchem jednostajnym (po wpawieniu ich w uch). Pzy niewielkiej óżnicy mas układ pousza się uchem jednostajnie pzyspieszonym. Rejestacja komputeowa zmian położenia wybanego obciążnika pokazuje, że wykes położenia od czasu jest paabolą (ys. 3.6). Pzykład 3.. Równia pochyła Obejzyj filmik z animacją uchu ciała zsuwającego się z ówni pochyłej. W tej animacji pominięto opoy uchu. Siła zsuwająca, powodująca uch ciała w dół ówni, jest wypadkową siły ciężkości i siły eakcji ówni. Zgodnie z III zasadą dynamiki siła eakcji jest ówna co do watości sile z jaką ciało naciska na ównię, czyli składowej siły ciężkości postopadłej do powiezchni ówni. Siła wypadkowa jest ówna, (g pzyspieszenie ziemskie). Zgodnie z II zasadą dynamiki pzyspieszenie ciała zsuwającego się z ówni pochyłej wynosi Pzyspieszenie zależy tylko od kąta nachylenia α ówni. Pzykład 3.3. Podóż windą siły bezwładności. Podóżując szybką windą odczuwamy działanie dodatkowych sił. Możemy je zaobsewować, a nawet zmiezyć (ys. 3.7, 3.8). siłomieze Rys. 3.4. Rys.3.5. Schemat zestawu doświadczalnego Rys. 3.7. Rejestato danych z czujnikiem siły, na któym zawieszono ciężaek o masie,9 kg. Rys. 3.8. Wykes siły wskazywanej pzez czujnik podczas uchu szybkiej windy w wieżowcu do góy i w dół (winda zatzymywała się tylko na piewszym i na ostatnim piętze). Rys.3.5. Schemat zestawu doświadczalnego Gdy masy obciążników są ówne wypadkowa siła działająca na układ obciążników jest ówna zeu i układ pousza się uchem jednostajnym postoliniowym. Pzy óżnych masach obciążników wypadkowa siła jest óżna od zea i ówna óżnicy ciężaów obu obciążników. Doświadczenie 3. Badanie zależności pzyspieszenia od działającej siły Gdy winda pouszała się uchem jednostajnym lub spoczywała siłomiez wskazywał watość siły = 9 N, ówną ciężaowi zawieszonego pzedmiotu. Gdy pędkość windy zmieniała się w czasie (winda pzyspieszała lub zwalniała) zaobsewowano wzost lub spadek ciężau. Układ odniesienia pouszający się uchem niejednostajnym względem wybanego układu inecjalnego jest nazywany układem nieinecjalnym. Obsewato, znajdujący się w tym układzie, odczuwa działanie sił bezwładności. Siła bezwładności ma zwot pzeciwny do pzyspieszenia układu, a jej watość wynosi: F b = m a, gdzie m masa ciała, a pzyspieszenie układu. Układ odniesienia związany z windą, któa pousza sie uchem niejednostajnym, jest układem nieinecjalnym, w któym obsewujemy działanie sił bezwładności. Rys. 3.9. ν Rys. 3.9. Winda pouszająca się uchem jednostajnie pzyspieszonym do góy. Ciało o masie m naciska na podłogę windy siłą o watości N = Q + F b =m(g+a). F b Q m a 3

Temat 3 Rozkład sił działających na ciężaek leżący na podłodze windy, w układzie odniesienia związanym z windą pouszającą się uchem jednostajnie pzyspieszonym, pzedstawiono na ysunkach 3.9 i 3.. Występowanie sił bezwładności można odczuć w czasie podóży pociągiem czy innym śodkiem komunikacji. Co czujesz, gdy pojazd gwałtownie hamuje lub pzyspiesza? Zauważ, że pojęciem sił bezwładności posługujemy się, gdy opisujemy uch z punktu widzenia obsewatoa, znajdującego się w układzie nieinecjalnym. Rys. 3.. ν F b Rys. 3.. Winda pouszająca się uchem jednostajnie pzyspieszonym do dołu. Ciało o masie m naciska na podłogę windy siłą o watości N = Q - F b =m(g a). Q m a Temat 4. Zasada zachowania pędu II zasadę dynamiki można zapisać w innej postaci. Z definicji pzyspieszenie dynamiki. Zatem, czyli po pzekształceniu otzymujemy ównanie:, a z dugiej zasady Iloczyn masy i pędkości punktu mateialnego nazywamy pędem. Pęd jest wielkością wektoową, kieunek i zwot wektoa pędu jest zgodny z kieunkiem i zwotem wektoa pędkości. W mechanice klasycznej masa jest wielkością stałą, zatem lewa stona ównania okeśla zmianę pędu. II zasada dynamiki może być zapisana w postaci: czyli szybkość zmiany pędu jest ówna pzyłożonej sile. Jest to ównoważna postać dugiej zasady dynamiki, czasem nazywana II zasadą dynamiki w postaci uogólnionej (gdyż obowiązuje ównież w mechanice elatywistycznej). W pzypadku, gdy działająca siła jest ówna zeu pęd punktu mateialnego jest stały. Jest to szczególny pzypadek ważnego, uniwesalnego pawa fizyki zasady zachowania pędu. Zasada zachowania pędu Jeśli na układ ciał nie działają siły zewnętzne to pęd układu jest zachowany. Można ją zastosować w óżnoodnych sytuacjach, na pzykład do analizy zdezeń ciał czy wyjaśnienia zjawiska odzutu. Pawo to jest uniwesalne, obowiązuje ównież w mechanice elatywistycznej, pzy uchu ciał z pędkościami poównywalnymi z pędkością światła. Pzykład 4.. Najpostsze doświadczenie ilustujące zjawisko odzutu polega na wypuszczeniu powietza z nadmuchanego balonika i puszczenie go. Balonik będzie pouszał się w pzeciwną stonę niż wylatujące z niego powietze. Pęd początkowy układu powietze + balonik był ówny zeu, zatem z zasady zachowania pędu wynika, że: Zjawisko odzutu możemy zaobsewować podczas wystzału z działa czy boni palnej. Niektóe zwiezęta wodne (meduza, ośmionica, kałamanice) wykozystują to zjawisko do pouszania się. Pzykład 4.. Pzeanalizujmy sytuację pzedstawioną na ysunku 4.. Rys. 4.. Po puszczeniu balonika zaobsewujemy zjawisko odzutu. A B,4 m/s,5 m/s 5 kg 8 kg Rys. 4.. Rys. 4.. Ilustacja zasady zachowania pędu. 4 5

Temat 4 Rys. 43. Na początku łyżwiaze nie pouszają się, czyli ich pęd = (ysunek a). Chłopiec odpycha się od ojca i obaj pouszają się w pzeciwne stony z pędkościami o watościach podanych na ysunku (b). Spawdźmy, że jest to zgodne z zasadą zachowania pędu. Jeśli założymy zwot osi w pawo, to współzędna pędu i pędkości chłopca (v ) jest ujemna, a ojca (v ) dodatnia. Pęd chłopca wynosi Pęd ojca. Zatem pęd końcowy układu (suma pędów chłopca i ojca) jest ówny zeo. Pzykład 4.3. Podczas gy w bilad obsewujemy zdezenia kul i zadziwia nas pecyzja udezeń gaczy. Rozpatzmy dwa pzypadki zdezeń spężystych (bez stat enegii) kul o ównych masach i ozmiaach, gdy jedna kula spoczywa pzed zdezeniem, a duga w nią udeza. m ν pzed zdezeniem m m po zdezeniu Rys. 4.3. Pzy zdezeniu centalnym kul o ównych masach kule wymieniają się pędkościami. Z zasady zachowania pędu: m ν Rys. 44. ν Rys. 4.4. Pzy zdezeniu skośnym kul o ównych masach, gdy jedna z nich spoczywa, toy kul po zdezeniu twozą kąt posty. ν ν ν = ν + ν ν Temat 5. Tacie i opoy uchu Siła tacia pojawia się pzy pzesuwaniu się jednej powiezchni po dugiej. Jest mniejsza pzy toczeniu i dlatego w wielu uządzeniach mechanicznych stosuje się łożyska kulkowe. Jest pzykładem siły opou, ale czy zawsze pzeszkadza w uchu? Gdy chcemy uszyć ciało z miejsca pojawia się tzw. tacie statyczne, któe jest eakcją na działającą siłę. Na pzykład, gdy popychamy ciężką komodę stopniowo zwiększając watość siły, ośnie tacie statyczne aż do momentu, gdy ciało zacznie się pouszać. Wtedy mówimy o taciu kinetycznym. Siła tacia T jest wpost popocjonalna do watości siły nacisku N i zależy od odzaju stykających ν się powiezchni, a nie zależy od ich wielkości. T = f N, gdzie f oznacza współczynnik tacia (wyznaczany doświadczalnie). T Jeśli ciało się nie pousza to siła tacia statycznego ównoważy wypadkową pozostałych sił działających na ciało, ma ten sam kieunek a pzeciwny zwot. Siła tacia kinetycznego ma zwot pzeciwny do wektoa pędkości. Pzykład 5.. Rys. 5.. Badanie siły tacia statycznego i kinetycznego Klocek z obciążnikiem połączono z czujnikiem siły i intefejsem pomiaowym (można to wykonać z tadycyjnym siłomiezem). Ciągnąc klocek po poziomym stole zwiększano stopniowo watość siły aż do momentu, gdy klocek zaczął się pouszać. Następnie ciągnięto klocek uchem jednostajnym ównoważąc siłę tacia kinetycznego. Zaejestowane wykesy (ys. 5.3) pozwalają obsewować pzebieg zmian siły ciągu w czasie. Potwiedza się znane stwiedzenie, że zwykle tudniej jest uszyć ciało z miejsca niż je potem ciągnąć lub pchać. Z wykesu na ysunku 5.3 widać, że dla klocka o ciężaze 3 N maksymalna watość siły tacia Rys. 5.. Siła tacia ma zwot pzeciwny do wektoa pędkości. Rys. 5.. Zestaw pomiaowy z czujnikiem siły do badania tacia statycznego i kinetycznego pzy óżnych watościach siły nacisku. Cięża klocka 3 N, obciążnika N. Inne pzykłady zdezeń pzeanalizujemy w module Enegia mechaniczna. Rys. 5.3. Wykesy zmian siły ciągu (ównej co do watości sile tacia klocka o podłoże) dla dwóch watości sił nacisku. Wzost siły ciągu powoduje wzost siły tacia statycznego. Pzy uchu jednostajnym siła ciągu jest stała. 6 7

Temat 5 statycznego wynosiła 3,7 N, a tacia kinetycznego około,5 N. Zatem współczynnik tacia statycznego wynosi, a tacia kinetycznego. Zazwyczaj współczynnik tacia kinetycznego jest mniejszy niż statycznego. Współczynniki tacia są wyznaczane doświadczalnie i można je znaleźć w tablicach fizycznych. Ćwiczenie. Doga hamowania samochodu Znajomość dogi hamowania samochodu w óżnych waunkach pogodowych ma badzo duże znaczenie dla bezpieczeństwa kieowcy i pasażeów. Doga hamowania samochodu zależy od jego pędkości i współczynnika tacia opon o jezdnię. Pzy gwałtownym hamowaniu na mokej jezdni może wystąpić blokada kół, dlatego nowoczesne samochody wyposażone są w system ABS (Anti-Lock Baking System).. Obejzyj film Hamowanie samochodu pzedstawiający model i opatą na nim animację.. Zbuduj podobny model w akuszu kalkulacyjnym lub pogamie do modelowania, np. w Modellusie, Coach 6, Insight. 3. Spawdź długość dogi hamowania pzy pędkości km/h pzyjmując następujące watości współczynnika tacia:,7 (sucha jezdnia) i, (moka jezdnia). Temat 6. Ruch ciała w dwóch wymiaach. Rzuty. W oku 3 została ogłoszona lista najpiękniejszych ekspeymentów z fizyki, któe zostały wybane pzez filozofa, histoyka nauki Robeta P. Cease a (Stony Book Univesity) na podstawie ankiety pzepowadzonej wśód fizyków z całego świata (http: //physics-animations.com/physics/english/top_ef. htm). Są tam dwa doświadczenia Galileusza: Spadek swobodny ciał o óżnej masie i Badanie uchu ciał staczających się z ówni pochyłej. Legenda mówi, że Galileusz zzucając dwie ciężkie kule o óżnej masie z kzywej wieży w Pizie zaobsewował, że czas spadku jest taki sam. Swobodny spadek to uch pod wpływem siły gawitacji, gdy nie nadajemy ciału pędkości początkowej i pomijamy opó powietza. Na niewielkich wysokościach siła gawitacji jest w pzybliżeniu stała i ówna F = m g, czyli ciała (niezależnie od masy) spadają ze stałym pzyspieszeniem ziemskim. Potwiedzono to doświadczalnie, badając spadanie óżnych pzedmiotów (kulki stalowej, pióka, monety) w uze opóżnionej z powietza. Swobodny spadek to uch jednostajnie pzyspieszony, więc możemy zastosować znane zależności na dogę i pędkość: F op Pzebyta doga to wysokość h, pędkość początkowa =, a pzyspieszenie a = g. Zatem oznaczając pzez t czas spadku, a pzez v k pędkość końcową otzymujemy: Czas spadku i pędkość końcowa wynoszą: Czas spadku i pędkość końcowa swobodnie spadającego ciała nie zależą od jego masy. Rys. 5.4. Rys. 5.3. Skok ze spadochonem. Tacie to szczególny pzykład siły opou. Opoy uchu to wszystkie siły działające na pouszające się ciało, któe pzeciwdziałają uchowi ciała. Może to być siła opou powietza czy siła opou w innym ośodku, np. w wodzie. Siła opou ma kieunek zgodny a zwot pzeciwny do wektoa pędkości pouszającego się ciała. Watość siły opou ośnie waz ze wzostem pędkości i zależy od kształtu ciała (pola pzekoju popzecznego). Po pewnym czasie siła opou ównoważy siłę ciężkości, więc zgodnie z I zasadą dynamiki spadochon opada uchem jednostajnym postoliniowym. Można to zbadać doświadczalnie i poównać wyniki pomiaów z modelem teoetycznym. Może to być ealizowane w amach intedyscyplinanego pojektu uczniowskiego. Q Rzut poziomy Piłeczka wyzucona poziomo z pewnej wysokości pousza się po zakzywionym toze. Rzut poziomy jest zatem pzykładem uchu dwuwymiaowego. Do analizy takiego uchu stosujemy zasadę niezależności uchów, czyli ozpatujemy uch jako złożenie dwóch uchów zachodzących niezależnie od siebie. Sfilmowanie uchu wyzuconej poziomo piłki i ejestacja jej położenia na kolejnych klatkach filmu (ys. 6.) pozwala na utwozenie wykesów współzędnych położenia (t) i y (t) (ys. 6.). Otzymane wykesy potwiedzają, że zut poziomy można Rys. 6.. To piłki staczającej się z kawędzi stołu (zzut ekanu z pogamu Vidshell). 8 9

Temat 6 Względność uchu Temat 7. Ruch jednostajny po okęgu Pzypomnijmy podstawowe wielkości stosowane do opisu uchu jednostajnego po okęgu, czyli uchu po toze kołowym, w któym watość pędkości jest stała. Okes T to czas jednego pełnego obiegu po okęgu, a częstotliwość okeśla liczbę pełnych obiegów wykonywanych w jednostce czasu,. Rys. 6.. Rzut poziomy zależność współzędnej poziomej i pionowej y od czasu w układzie wspołzędnych z ys. 6.: oś pozioma OX zwot w pawo, a pionowa OY do dołu. taktować jako złożenie dwóch uchów: jednostajnego w kieunku poziomym i jednostajnie pzyspieszonego w kieunku pionowym. Ruch piłki wyzuconej poziomo z pędkością v można w tym układzie współzędnych opisać następującymi ównaniami: Pędkość liniowa to pędkość punktów leżących na obwodzie koła. Wekto pędkości liniowej jest w każdym punkcie styczny do okęgu (ysunek 7.). W ciągu okesu pokonywana jest doga ówna długości okęgu, więc watość pędkości liniowej możemy obliczyć ze wzou: Wygodnym paametem jest też pędkość kątowa, zdefiniowana jako stosunek kąta zakeślonego pzez pomień wodzący punktu pouszającego sie po okęgu do czasu, w któym zostaje on zakeślony. α v s v gdzie g pzyspieszenie ziemskie. Doświadczenie 4. Badanie zutu poziomego Innym pzykładem uchu dwuwymiaowego jest zut ukośny. Może to być uch piłki wzucanej do kosza czy uch stumienia wody wyzucanej pod pewnym kątem do poziomu (ys. 6.3). Rys. 7.. W uchu jednostajnym po okęgu wekto pędkości jest styczny do tou. Jednostką pędkości kątowej jest adian/s. Radian jest jednostką kąta w układzie SI i jest zdefiniowany jako stosunek długości łuku (s) do jego pomienia Rys. 7.. ():. Radian jest jednostką bezwymiaową i często pomija się go w zapisie. W uchu jednostajnym po okęgu pędkość kątową można obliczyć ze wzou gdyż w ciągu okesu T zostaje zakeślony kąt pełny. Pędkość liniowa i kątowa są ze sobą związane zależnością Rys. 6.3. Podświetlona fontanna na pasażu w Reims (Fancja) - fot. E.K. Pzykład 7. Obliczmy pędkość kątową wskazówki minutowej Zegaa Milenijnego na Pałacu Kultuy i Nauki w Waszawie oaz watość pędkości liniowej punktu leżącego na końcu tej wskazówki. Śednica taczy zegaa wynosi aż 6,3 m, a jego wskazówki są dłuższe od słynnego londyńskiego Big Bena! Mała wskazówka ma długość,7 meta, a duża 3,54 meta. Rys. 7.. Zdjęcie taczy Zegaa Milenijnego na PKiN.

Temat Względność uchu Dane: R = 3,5 m pomień taczy R h =,35 m długość wskazówki godzinowej R m = 3,54 m długość wskazówki minutowej Rozwiązanie Wskazówka minutowa wykonuje pełny obieg taczy zegaa w ciągu godziny. Zatem pędkość kątowa wskazówki minutowej K F n F d α α F od F n K α α Pędkość liniowa punktu na końcu wskazówki minutowej wynosi F g F g Czas pełnego obiegu taczy pzez wskazówkę godzinową wynosi godzin. Pzypominamy, że pzyczyną uchu po okęgu jest siła dośodkowa, o kieunku wzdłuż pomienia i zwocie do śodka okęgu. Ona nadaje ciału pzyspieszenie dośodkowe, związane ze zmianą kieunku wektoa pędkości. Rolę siły dośodkowej mogą pełnić óżne siły. Może to być na pzykład siła napięcia nici (gdy obacamy kamień uwiązany na sznuku) czy siła gawitacji (w uchu planet wokół Słońca). Siła dośodkowa jest wpost popocjonalna do kwadatu pędkości i można obliczyć ze wzou: α F d F d s v Rys. 7.4. Rys. 7.4. Z punktu widzenia obsewatoa stojącego z boku na kzesełko wiującej kauzeli działa siła ciężkości F g i siła napięcia nici F n. Siła dośodkowa F d jest wypadkową tych sił - kzesełko pousza się uchem jednostajnym po okęgu. Rys. 7.5. Rys. 7.5. Z punktu widzenia obsewatoa znajdującego się w układzie odniesienia związanym z wiującą kauzelą, na kzesełko działa siła ciężkości F g, siła napięcia nici F n i siła odśodkowa bezwładności F d. Wypadkowa tych sił jest ówna zeo, kzesełko spoczywa względem obacającego się układu odniesienia. v Zgodnie z II zasadą dynamiki watość pzyspieszenia dośodkowego w uchu jednostajnym po okęgu wynosi: Rys. 7.3. Siła dośodkowa jest zwócona do śodka okęgu. Pzyspieszenie dośodkowe ma kieunek i zwot zgodny z kieunkiem i zwotem siły dośodkowej. Pzykład 7.. Obacająca się kauzela Rys. 7.3. Ruch ten można analizować z punktu widzenia obsewatoa stojącego z boku (ys. 7.4) lub z punktu widzenia obsewatoa siedzącego na kzesełku kauzeli (ys. 7.5). Układ odniesienia związany z obacającą się kauzelą jest układem nieinecjalnym. Obsewato siedzący na kzesełku kauzeli odczuwa działanie siły bezwładności, zwóconej pzeciwnie do pzyspieszenia układu. Siła ta jest nazywana siłą odśodkową bezwładności, gdyż ma kieunek wzdłuż pomienia, a zwot od śodka okęgu. 3

Temat Człowiek - najlepsza inwestycja 4 Pojekt współfinansowany pzez Unię Euopejską w amach Euopejskiego Funduszu Społecznego