Kurs wyrównawczy dla kandydatów i studentów UTP Część III Funkcja wymierna, potęgowa, logarytmiczna i wykładnicza Magdalena Alama-Bućko Ewa Fabińska Alfred Witkowski Grażyna Zachwieja Uniwersytet Technologiczno Przyrodniczy Bydgoszcz Grudzień 2010
1 Wyrażenia wymierne 2 Funkcja potęgowa 3 Funkcja logarytmiczna 4 Funkcja wykładnicza
W tej części... 1 Wyrażenia wymierne Odwrotna proporcjonalność Funkcja wymierna Funkcja homograficzna Równanie wymierne Nierówność wymierna Zadania
Odwrotna proporcjonalność Definicja Wielkości związane zależnością: y = a x gdzie a 0 nazywamy odwrotnie proporcjonalnymi. Czas przejazdu t z miasta do miasta jest odwrotnie proporcjonalny do prędkości v: t = s v, gdzie symbol s oznacza drogę.
Odwrotna proporcjonalność Definicja Wielkości związane zależnością: y = a x gdzie a 0 nazywamy odwrotnie proporcjonalnymi. Czas przejazdu t z miasta do miasta jest odwrotnie proporcjonalny do prędkości v: t = s v, gdzie symbol s oznacza drogę. Liczba litrów benzyny n jest odwrotnie proporcjonalna do ceny c, jeżeli tankujemy za każdym razem za tę samą sumę s: n = s c.
Funkcja wymierna Definicja Funkcją wymierną nazywamy iloraz dwóch wielomianów, czyli: f (x) = W (x) Q(x), gdzie Q(x) 0. Dziedziną funkcji wymiernej jest zbiór D f = R \ {x 1, x 2,, x k }, gdzie x 1, x 2,, x k są pierwiastkami wielomianu Q(x). Wyznacz dziedzinę funkcji: f (x) = x 4 +1 (x 2 1)(x+2) 2.
Funkcja wymierna Definicja Funkcją wymierną nazywamy iloraz dwóch wielomianów, czyli: f (x) = W (x) Q(x), gdzie Q(x) 0. Dziedziną funkcji wymiernej jest zbiór D f = R \ {x 1, x 2,, x k }, gdzie x 1, x 2,, x k są pierwiastkami wielomianu Q(x). Wyznacz dziedzinę funkcji: f (x) = x 4 +1 (x 2 1)(x+2) 2. Rozwiązanie Q(x) = (x 2 1)(x + 2) 2 = (x 1)(x + 1)(x + 2) 2 Q(x) = 0 (x 1)(x + 1)(x + 2) 2 = 0 x = 1 lub x = 1 lub x = 2. Zatem D f = R \ { 2, 1, 1}.
Definicja Funkcje wymierne postaci: A (x a) 2, Ax+B (x 2 +px+q) m, gdzie n, m N, = p 2 4q < 0, A, B R, nazywamy ułamkami prostymi. Twierdzenie Każdą funkcję wymierną można przedstawić jako sumę wielomianu i pewnej liczby ułamków prostych.
Funkcja homograficzna Definicja Funkcję wymierną postaci: f (x) = ax+b cx+d, gdzie ad bc i c 0 nazywamy funkcją homograficzną. Uwaga Dziedziną funkcji homograficznej jest zbiór: D f = R \ { d c }, gdzie d c jest pierwiastkiem wielomianu cx + d. Wykresem funkcji homograficznej jest hiperbola, której asymptotami są proste y = a d c (asymptota pozioma) oraz x = c (asymptota pionowa). Funkcja homograficzna jest różnowartościowa i przedziałami rosnąca (gdy ad bc > 0) lub przedziałami malejąca (gdy ad bc < 0 ).
Szczególnym przypadkiem funkcji homograficznej jest funkcja o wzorze y = a x, gdzie a 0, której asymptotami są osie układu. Dla a > 0 funkcja y = a x jest przedziałami malejąca: y 5 4 3 2 1 0 5 4 3 2 1 0 1 1 2 3 4 5 2 3 4 5 np. y = 2 x ; y = 3 x x Dla a < 0 funkcja y = a x jest przedziałami rosnąca: y 5 4 3 2 1 0 5 4 3 2 1 0 1 1 2 3 4 5 2 3 4 5 np. y = 2 x ; y = 1 x x
Wykres funkcji: y = a x α różni się od wykresu funkcji: y = a x tym, że asymptotą pionową przestała być oś Oy, a została prosta x = α (miejsce zerowe mianownika). Gdy α > 0, to wykres funkcji y = a x przesuwamy o α jednostek w prawo: y 5 4 3 2 1 0 2 1 0 1 1 2 3 4 5 6 7 8 2 3 4 5 np. y = 2 x 3 ; y = 3 x 5 x Gdy α < 0, to wykres funkcji y = a x przesuwamy o α jednostek w lewo: y 0 7 6 5 4 3 2 1 0 1 1 2 3 2 3 4 5 np. y = 2 x+2 ; y = 1 x+5 5 4 3 2 1 x
Wykres funkcji: y = a x + β różni się od wykresu funkcji: y = a x tym, że asymptotą poziomą przestała być oś Ox, a została prosta y = β. Gdy β > 0, to wykres funkcji y = a x przesuwamy o β jednostek w górę: y 7 6 5 4 3 2 1 0 5 4 3 2 1 0 1 1 2 3 4 5 2 3 np. y = 2 x + 2; y = 3 x + 5 x Gdy β < 0, to wykres funkcji y = a x przesuwamy o β jednostek w dół: y 2 1 0 5 4 3 2 1 0 1 1 2 3 4 5 2 3 4 5 6 7 8 np. y = 2 x 3; y = 1 x 5 x
a Wykres funkcji y = x α + β otrzymamy przesuwając wykres funkcji y = a x równolegle do osi Ox o α jednostek w prawo (gdy α > 0) lub w lewo (gdy α < 0) oraz równolegle do osi Oy o β jednostek w górę (gdy β > 0) lub w dół (gdy β < 0). Czyli przesuwamy wykres funkcji y = a x o wektor [α, β]. Asymptotami tej hiperboli są proste x = α (asymptota pionowa) oraz y = β (asymptota pozioma). y = 2 x+2 3, czyli wykres funkcji y = 2 x przesuwamy o wektor [ 2, 3]: y 0 7 6 5 4 3 2 1 0 1 1 2 3 2 1 2 3 4 5 6 7 8 x y = 1 x 2 + 1, czyli wykres funkcji y = 1 x przesuwamy o wektor [2, 1]: y 6 5 4 3 2 1 0 3 2 1 0 1 1 2 3 4 5 6 7 2 3 4 x
Uwaga Dzieląc licznik przez mianownik funkcję homograficzną y = ax+b cx+d można zapisać w postaci: y = a x α + β. Mianowicie (ax + b)(cx + d) = a c + b ad c cx+d = a bc ad c + c 2. x+ d c Wystarczy teraz podstawić: a = bc ad, α = d c 2 c oraz β = a c, aby otrzymać żądaną postać. Zapisz funkcję y = 6x+1 1 x w postaci y = a x α + β.
Uwaga Dzieląc licznik przez mianownik funkcję homograficzną y = ax+b cx+d można zapisać w postaci: y = a x α + β. Mianowicie (ax + b)(cx + d) = a c + b ad c cx+d = a bc ad c + c 2. x+ d c Wystarczy teraz podstawić: a = bc ad, α = d c 2 c oraz β = a c, aby otrzymać żądaną postać. Zapisz funkcję y = 6x+1 1 x w postaci y = a x α + β. Rozwiązanie y = 6x+1 1 x Odp. y = 7 = 6x 1 x 1 x 1 6 = 6(x 1) 7 x 1 = 6 + 7 x 1.
Określ dziedzinę i monotoniczność funkcji: y = 2 x x+3, a następnie narysuj jej wykres.
Określ dziedzinę i monotoniczność funkcji: y = 2 x x+3, a następnie narysuj jej wykres. Rozwiązanie D = R \ { 3}, ad cd = 1 3 1 2 = 3 2 = 5, zatem funkcja jest przedziałami malejąca. a = bc ad c = 5 2 1 = 5, α = d c = 3 1 = 3, β = a c = 1 1 = 1. Stąd y = 2 x x+3 = 5 x+3 1 (co mogliśmy także uzyskać dzieląc licznik przez mianownik) y Wystarczy zatem narysować wykres funkcji: y = 5 x, a następnie przesunąć go o wektor [ 3, 1]. 4 0 8 7 6 5 4 3 2 1 0 1 1 2 3 2 1 2 3 4 5 6 x
Równanie wymierne Definicja Równaniem wymiernym nazywamy równanie postaci: W (x) Q(x) = 0, gdzie W (x) i Q(x) oznaczają wielomiany oraz Q(x) 0. Uwaga Równanie postaci: A(x) B(x) = C(x) D(x), gdzie A(x), B(x), C(x), D(x) są dowolnymi wielomianami oraz B(x) 0 i D(x) 0, rozwiązujemy sprowadzając do postaci: W (x) Q(x) = 0. Następnie korzystamy z poniższego twierdzenia: Twierdzenie W (x) Q(x) = 0 W (x) = 0 i Q(x) 0.
Rozwiąż równanie: x x 2 +1 = x2 x+3.
Rozwiąż równanie: Rozwiązanie x x 2 +1 = x2 x+3. x D = R \ { 3}; x 2 +1 = x2 x+3 x x 2 +1 x2 x+3 = 0 3x x 4 (x 2 +1)(x+3) = 0 3x x 4 = 0 i x 3 x(3 x 3 ) = 0 i x 3 x = 0 D lub x = 3 3 D. Odp. x = 0 lub x = 3 3. Rozwiąż równanie: 3x 2 1 4x = 5.
Rozwiąż równanie: Rozwiązanie x x 2 +1 = x2 x+3. x D = R \ { 3}; x 2 +1 = x2 x+3 x x 2 +1 x2 x+3 = 0 3x x 4 (x 2 +1)(x+3) = 0 3x x 4 = 0 i x 3 x(3 x 3 ) = 0 i x 3 x = 0 D lub x = 3 3 D. Odp. x = 0 lub x = 3 3. Rozwiąż równanie: 3x 2 1 4x = 5. Rozwiązanie D = R \ { 1 3x 2 4 }; 1 4x = 5 3x 2 1 4x 5 = 0 3x 2 5(1 4x) 1 4x = 0 23x 7 = 0 i x 1 4 x = 7 7 23 D. Odp. x = 23.
Nierówność wymierna Definicja Nierówności postaci: W (x) Q(x) > 0, W (x) Q(x) < 0, W (x) Q(x) gdzie Q(x) 0 oraz W (x) i Q(x) są wielomianami, nazywamy nierównością wymierną. Uwaga Nierówności postaci: A(x) B(x) > C(x) D(x), A(x) B(x) < C(x) D(x), A(x) B(x) C(x) D(x) 0, W (x) Q(x) 0, oraz A(x) B(x) C(x) D(x), gdzie A(x), B(x), C(x), D(x) są dowolnymi wielomianami oraz B(x) 0 i D(x) 0, rozwiązujemy sprowadzając do postaci: W (x) Q(x) > 0, W (x) Q(x) < 0, W (x) Q(x) 0 oraz W (x) Q(x) 0.
Uwaga Rozwiązanie nierówności wymiernej sporwadzamy do rozwiązania nierówności algebraicznej, korzystając z następującego twierdzenia: Twierdzenie Następujące nierówności są równoważne: W (x) Q(x) W (x) Q(x) W (x) Q(x) W (x) Q(x) > 0 W (x) Q(x) > 0 i Q(x) 0, < 0 W (x) Q(x) < 0 i Q(x) 0, 0 W (x) Q(x) 0 i Q(x) 0, 0 W (x) Q(x) 0 i Q(x) 0, gdzie Q(x) 0 oraz W (x) i Q(x) są wielomianami.
Rozwiąż nierówność: x x 2 +1 x2 x+3.
Rozwiąż nierówność: Rozwiązanie x x 2 +1 x2 x+3 x x 2 +1 x2 x x 2 +1 x2 x+3. x+3 0 x(x+3) x 2 (x 2 +1) 0 3x x4 (x 2 +1)(x+3) (x 2 +1)(x+3) 0 (3x x 4 )(x 2 + 1)(x + 3) 0 i x 3 x(3 x 3 )(x 2 + 1)(x + 3) 0 i x 3 x( 3 3 x)( 3 9 + 3 3 + x 2 )(x 2 + 1)(x + 3) 0 i x 3 Wystarczy zbadać znak iloczynu: x( 3 3 x)(x + 3). 3 0 3 3 Odp. x (, 3) [0, 3 3].
Zadania Zadanie Wyznacz dziedzinę funkcji wymiernych: a) f (x) = 4x 1 2x 2 6 (odp. D f = R \ { 3, 3}), b) f (x) = 3x5 4 x 2 +x 6 (odp. D f = R \ { 3, 2}), c) f (x) = 2x2 3x+5 x 3 x 2 4x+4 (odp. D f = R \ { 2, 1, 2}). Zadanie Korzystając z wykresów funkcji y = 2 x oraz y = 2 x naszkicuj wykresy funkcji: a) y = 2 x 4, b) y = 2 x + 2, c) y = 2 2 x 1 + 1, d) y = x+3. Określ ich dziedzinę i monotoniczność.
Zadanie Rozwiąż równania wymierne: a) 3x 6 x 2 = 2x + 1 (odp. x = 1), b) 4 x + 6 x+1 = 4 (odp. x = 1 2 c) 2x 4x 2 1 = 2 3 (odp. x = 1 4 d) x+2 x x = 2+2 13 3 ). lub x = 2), lub x = 1), + 2x 5 x 4 = 4 x 2 (odp. x = 1 lub x = 2 2 13 3 lub Zadanie Rozwiąż nierówności wymierne: 3 a) x+1 > 2 x 1 (odp. x ( 1, 1) (5, + )), b) x 2 x+2 + x+2 x 2 < 0 (odp. x ( 2, 2)), c) 2x 3 x 2 1 2(odp. x [ 1 2 11 2, 1) ( 1, 1) (1, 1 2 + 11 2 ]), d) x2 +3x 1 1 (odp. x (, 5 4 x 2 2 ] [ 1, 1)).
W tej części... 2 Funkcja potęgowa Prawa działań na potęgach i pierwiastkach Funkcja potęgowa Wykres funkcji potęgowej Równania potęgowe Nierówności potęgowe
Prawa działań na potęgach i pierwiastkach Wzory a 0 = 1 a 1 = a a n = 1 a n ( a b ) n = ( b a )n a 1 n = n a a m n = ( n a) m = n a m a m a n = a m+n a m a = a m n n (a m ) n = a m n (a b) m = a m b n ( a b )m = am b n m a n b = n a b a b = n a n n b y 2 0 = 1, 5 0 = 1, ( 3) 0 = 1 2 1 = 2, 5 1 = 5, ( 3) 1 = 3 2 1 = 1 2, 5 4 = 1, ( 3) 8 = 1 5 4 ( 3) 8 ( 2 3 ) 1 = 3 2, ( 10 7 ) 2 = ( 7 10 )2 9 1 2 = 9 = 3, 8 1 3 = 3 8 = 2 4 2 3 = ( 3 4) 2 = 3 4 2 = 3 16 = 2 3 2 2 3 2 5 = 2 3+5 = 2 8 2 3 = 2 3 5 = 2 2 = 2 = 1 2 5 2 2 4 (2 3 ) 4 = 2 3 4 = 2 1 2 = 4096 (3 5) 2 = 3 3 5 2 = 9 5 = 45 ( 3 5 )2 = 32 = 9 5 2 25 2 3 = 6, 3 2 3 4 = 3 8 = 2 4 9 = 4 9 = 2 3, 3 5 8 = 3 5 3 8 = 3 5 2
Funkcja potęgowa Definicja Funkcję f (x) = x p nazywamy funkcją potęgową, gdzie p R. Własność Dziedzina funkcji potęgowej zależy od wykładnika p. Oznaczenia: R + zbiór liczb rzeczywistych dodatnich,
Funkcja potęgowa o wykładniku rzeczywistym y 6 x e 5 x 1.26 4 x 3 x 0.85 2 x 0.15 1 x 1/π x 1.15 x 0 1 2 3 p < 0 0 < p < 1 1 < p D = R + D = R + {0} D = R + {0} malejąca rosnąca rosnąca różnowartościowa dodatnia nieujemna wypukła wklęsła wypukła Uwaga: dla niektórych wykładników dziedzinę funkcji potęgowej można rozszerzyć na liczby ujemne.
Wykładniki wymierne o nieparzystych mianownikach Jeżeli p jest liczbą wymierną, która po uproszczeniu jest ułamkiem o nieparzystym mianowniku i nieparzystym liczniku (w szczególności nieparzystą liczbą całkowitą), to można określić wartość funkcji potęgowej dla ujemnych argumentów przyjmując x p = ( x) p. Otrzymana w ten sposób funkcja jest nieparzysta. y 3 2 1 0 x 3 2 1 0 1 2 3 1 2 x 1/3 3 x 3 x 5/3 x 3/5 p < 0 0 < p < 1 1 < p 3 x D = R \ D = R D = R x 1/3 {0} przedziałami rosnąca rosnąca malejąca różnowartościowa dodatnia x > 0, ujemna x < 0 zmienia wypukłość w 0
Wykładniki wymierne o parzystych mianownikach Jeżeli p jest liczbą wymierną, która po uproszczeniu jest ułamkiem o nieparzystym mianowniku i parzystym liczniku (w szczególności parzystą liczbą całkowitą), to można określić wartość funkcji potęgowej dla ujemnych argumentów przyjmując x p = ( x) p. Otrzymana w ten sposób funkcja jest parzysta. x 4/5 y 3 x 2 2 x 2/5 1 x 4/5 3 2 1 0 1 2 x 3 p < 0 0 < p < 1 1 < p D = R \ D = R D = R {0} zmienia monotoniczność w 0 nie jest różnowartościowa dodatnia nieujemna zmienia wypukłość w 0 wypukła
Funkcja potęgowa o wykładniku 0 Wykładnik zerowy: p = 0, f (x) = { x 0 x 0 1 x = 0 1, D = R, y 3 2 1 x 0 x 3 2 1 0 1 2 3 Uwaga: nie oznacza to, że wyrażenie postaci 0 0 ma sens. W tym przypadku 0 0 jest granicą wyrażeń x 0, kóre są stale równe 1.
Równania potęgowe Definicja Równaniem potęgowym nazywamy równanie, w którym niewiadoma występuje pod znakiem potęgi. Rozwiąż równanie: x 2 5 + 3x 1 5 = 28.
Równania potęgowe Definicja Równaniem potęgowym nazywamy równanie, w którym niewiadoma występuje pod znakiem potęgi. Rozwiąż równanie: x 2 5 + 3x 1 5 = 28. Rozwiązanie Ustalmy na początek dziedzinę tej funkcji: D = R. To równanie sprowadzamy do równania kwadratowego wykonując podstawienie: x 1 5 = t; t 0. t 2 + 3t 28 = 0; = 121; = 11, t 1 = 7 / D, t 2 = 4 D x 1 5 = 4, x = 4 5 = 1024. Odp. x = 1024
Rozwiąż równanie: 4x + 5 2x 6 = 3.
Rozwiąż równanie: 4x + 5 2x 6 = 3. Rozwiązanie Ustalmy dziedzinę: 4x + 5 0 i 2x 6 0 x 5 4 i x 6 2 x 3. Czyli D = [3, + ). Wyrażenie podnosimy do kwadratu (lewa i prawa strona jest dodatnia): ( 4x + 5 2x 6) 2 = 9 4x + 5 2 (4x + 5)(2x 6) + 2x 6 = 9 2 8x 2 14x 30 = 6x + 10 8x 2 14x 30 = 3x 5 Żeby równanie to miało sens muszą zachodzić warunki: x [3, + ) i 8x 2 14x 30 0 i 3x 5 0 x [3, + ) i x ( [ ; 5] 4 1 3 ; + ; ) i x 5 3 x [3, + ). Ponownie podnosimy do kwadratu: 8x 2 14x 30 = (3x 5) 2, 8x 2 14x 30 = 9x 2 30x + 25 x 2 + 16x 55 = 0. Czyli: x 1 = 5 [3; + ) oraz x 2 = 11 [3; + ) Odp. x = 5 lub x = 11.
Nierówności potęgowe Definicja Nierównością potęgową nazywamy nierówność, w której niewiadoma występuje pod znakiem potęgi. Uwaga Rozwiązując nierówności potęgowe możemy obustronnie pomnożyć nierówności przez x k, gdzie k jest liczbą dodatnią parzystą. Rozwiąż nierówność: x 4 > x 3.
Nierówności potęgowe Definicja Nierównością potęgową nazywamy nierówność, w której niewiadoma występuje pod znakiem potęgi. Uwaga Rozwiązując nierówności potęgowe możemy obustronnie pomnożyć nierówności przez x k, gdzie k jest liczbą dodatnią parzystą. Rozwiąż nierówność: x 4 > x 3. Rozwiązanie 1 Aby ustalić dziedzinę, przekształcamy naszą nierówność: x > 1 4 x. 3 Zatem: D = R \ {0}. Możemy teraz pomnożyć obie strony przez x 4 (x 4 > 0 dla każdego x D). Mamy: 1 x > 0 x < 1 Uwzględniając dziedzinę otrzymujemy: x (, 0) (0, 1).
Rozwiąż nierówność: x 3 8.
Rozwiąż nierówność: x 3 8. Rozwiązanie Ustalamy dziedzinę: D = R \ {0}. Tym razem rozwiążemy tę nierówność w standardowy sposób. 1 Przenosimy wszystko na lewą stronę: x 8 0 3 Sprowadzamy do wspólnego mianownika: 1 8x 3 x 0 3 x 3 (1 2x)(1 + 2x + 4x 2 ) 0 i x 0 Ustalamy znak iloczynu zaznaczając pierwiastki na osi: x 1 = 0 i x 2 = 1 2, 0 1 2 Uwzględniając dziedzinę otrzymujemy rozwiązanie: x (, 0) [ 1 2, + ).
Zadanie Oblicz: a) 43 4 2 +5 4 5 3 9 6 :9 7 +(0,47) 0, b) 275 :81 4 (2 1 ) 3 ( 9) 2. Zadanie Rozwiąż równania: a) 2x 3 = 3x + 2, b) x 1 = 2x 1 + 2, c) x 2 3 = 9, d) x + x 1 2 = 12. Zadanie Rozwiąż nierówności: a) x 2 > x 3, b) x 1 2 3x 1 4 + 1 > 0, c) 3x 1 6 > x 1 4.
W tej części... 3 Funkcja logarytmiczna Definicja logarytmu Prawa działań na logarytmach Wykres funkcji logarytmicznej Przekształcanie wykresu funkcji logarytmicznej Równania logarytmiczne Nierówności logarytmiczne
Definicja logarytmu log a b logarytm z liczby b przy podstawie a log 2 8 logarytm z 8 przy podstawie 2 log 100 logarytm dziesiętny z 100 (ma w podstawie 10) ln 6 logarytm naturalny z 6 (ma w podstawie e 2, 718) Definicja Jeżeli a > 0 i a 1 oraz b > 0, to log a b = c a c = b. log 2 8 = 3 dlatego, że 2 3 = 8 log 4 16 = 2 dlatego, że 4 2 = 16 log 1000 = 3 dlatego, że 10 3 = 1000
Prawa działań na logarytmach Wzory log a 1 = 0 log a a = 1 log a a k = k log a x k = k log a x a log a x = x log a (x y) = log a x +log a y log a x y = log a x log a y log a b = log c b log c a log a b = 1 log b a y log 3 1 = 0; log 12 1 = 0 log 3 3 = 1; log 12 12 = 1 log 2 2 3 = 3; log 5 5 3 = 3 log 3 2 5 = 5 log 3 2 3 log 3 5 = 5; (12) log 12 7 = 7 log 2 (3 5) = log 2 3 + log 2 5 log 2 3 5 = log 2 3 log 2 5 log 2 3 = log 13 3 log 13 2 log 3 8 = 1 log 8 3
Wykres funkcji logarytmicznej Definicja Funkcję y = log a x, gdzie a > 0 i a 1 nazywamy funkcją logarytmiczną. Wykres funkcji logarytmicznej zależy od podstawy a: dla a > 1 funkcja logarytmiczna jest rosnąca: dla 0 < a < 1 funkcja logarytmiczna jest malejąca: y = ln x (czerwony); y = log 2 x (niebieski) y = log 1/2 x (czerwony); y = log 0,3 x (niebieski) Funkcja logarytmiczna jest różnowartościowa.
Dziedzina funkcji logarytmicznej w zadaniach Wyznacz dziedzinę funkcji: y = 1 ln(x+1).
Dziedzina funkcji logarytmicznej w zadaniach Wyznacz dziedzinę funkcji: y = 1 ln(x+1). Rozwiązanie { x + 1 > 0 ln(x + 1) 0 { x > 1 x + 1) 1 { x > 1 ln(x + 1) ln 1 { x > 1 x 0 Odp. x ( 1; 0) (0; + ).
Wyznacz dziedzinę funkcji: y = log 1 x 4. 2
Wyznacz dziedzinę funkcji: y = log 1 x 4. 2 Rozwiązanie log 1 x 4 0 2 x 4 > 0 { x 4 1 x 4 Odp. x (3, 4) (4, 5). log 1 2 x 4 { 3 < x < 5 x 4 x 4 log 1 1 2
Przekształcenia wykresu funkcji logarytmicznej Naszkicuj wykres funkcji f (x) = log 2 x, a następnie naszkicuj wykres funkcji g(x) symetrycznej do f (x) względem: a) osi Ox b) osi Oy c) prostej y = x d) początku układu współrzędnych Podaj wzór funkcji g(x), D g, W g oraz przedziały monotoniczności.
Przekształcenia wykresu funkcji logarytmicznej Naszkicuj wykres funkcji f (x) = log 2 x, a następnie naszkicuj wykres funkcji g(x) symetrycznej do f (x) względem: a) osi Ox b) osi Oy c) prostej y = x d) początku układu współrzędnych Podaj wzór funkcji g(x), D g, W g oraz przedziały monotoniczności. Rozwiązanie a) g(x) = log 2 x, D g = (0, + ), W g = (, + ), funkcja malejąca w całej dziedzinie.
Rozwiązanie b) g(x) = log 2 ( x), D g = (, 0), W g = (, + ), funkcja malejąca w całej dziedzinie. c) g(x) = 2 x, D g = (, + ), W g = (0, + ), funkcja rosnąca w całej dziedzinie.
Rozwiązanie d) g(x) = log 2 ( x), D g = (, 0), W g = (, + ), funkcja rosnąca w całej dziedzinie.
Równania logarytmiczne Uwaga Przy rozwiązywaniu równań logarytmicznych korzystamy z faktu, że funkcja logarytmiczna jest różnowartościowa: jeżeli a > 0 i a 1 oraz log a x 1 = log a x 2, to x 1 = x 2. Zadanie Rozwiąż równanie: log 4 [log 3 (log 2 x)] = 0
Równania logarytmiczne Uwaga Przy rozwiązywaniu równań logarytmicznych korzystamy z faktu, że funkcja logarytmiczna jest różnowartościowa: jeżeli a > 0 i a 1 oraz log a x 1 = log a x 2, to x 1 = x 2. Zadanie Rozwiąż równanie: log 4 [log 3 (log 2 x)] = 0 Rozwiązanie Zał. x > 0 i log 2 x > 0 i log 3 (log 2 x) > 0 x > 2 log 4 [log 3 (log 2 x)] = log 4 1 log 3 (log 2 x) = 1 log 3 (log 2 x) = log 3 3 log 2 x = 3 log 2 x = 3 log 2 2 log 2 x = log 2 2 3 x = 2 3 (spełnia założenie x > 2) Odp. x = 8.
Nierówności logarytmiczne Uwaga Rozwiązując nierówności logarytmiczne korzystamy z faktu, że funkcja logarytmiczna jest monotoniczna: jeżeli a > 1 oraz log a x 1 > log a x 2, to x 1 > x 2 (f. rosnąca) jeżeli 0 < a < 1 oraz log a x 1 > log a x 2, to x 1 < x 2 (f. malejąca) Rozwiąż nierówność: log 3 ( 1 2x 1+x ) 1.
Nierówności logarytmiczne Uwaga Rozwiązując nierówności logarytmiczne korzystamy z faktu, że funkcja logarytmiczna jest monotoniczna: jeżeli a > 1 oraz log a x 1 > log a x 2, to x 1 > x 2 (f. rosnąca) jeżeli 0 < a < 1 oraz log a x 1 > log a x 2, to x 1 < x 2 (f. malejąca) Rozwiąż nierówność: log 3 ( 1 2x 1+x Rozwiązanie Zał. 1 2x ) 1. 1+x > 0 (1 2x)(1 + x) > 0 x ( 1; 1 ( ) 2 ); log 1 2x 3 1+x log 3 3 1 2x 1+x 3 1 2x 1+x 3 0 1 2x 3 3x 1+x 0 2 5x 1+x 0 ( 2 5x)(1 + x) 0 i 1 + x 0 ( x 1; 2 5 ( 1; 1 2 )
Nierówności logarytmiczno-wykładnicze Rozwiąż równanie: 3 log x = 1 27.
Nierówności logarytmiczno-wykładnicze Rozwiąż równanie: 3 log x = 1 27. Rozwiązanie Zał. x > 0; 3 log x = 3 3 log x = 3 x = 10 3 x = 1 1000 (spełnia założenie x > 0).
Zadania Zadanie Wyznacz dziedzinę funkcji: 1 a) f (x) = 1+log 2 x + 5 3 log 2 x + 5, (odp. D = (0, 1 2 ) ( 1 2, 8) (8, + )) b) f (x) = log 1 (25 x 2 ) + 4. 2 (odp. D = ( 5, 3 3, 5)) Zadanie Naszkicuj wykresy funkcji: a) y = log 3 (x 3), b) y = ln x, c) y = log 1 ( x). 3
Zadanie Rozwiąż równania: a) log 2 3 x log 3 x 3 + 2 = 0, (odp. x = 3 lub x = 9) b) log 16 x + log 4 x + log 2 x = 7. (odp. x = 16) Zadanie Rozwiąż nierówności: a) log x (x 2 3) log x (x 1) > 0, (odp. x > 3) b) log 2 (x + 1) > 3, (odp. x > 7) c) log 1 3 [log 4(x 2 5)] > 0. (odp. x ( 3; 5) ( 5; 3)) Zadanie Oblicz x: x = log 2 [ab(a 1 2 + b 1 2 ) 2 a b], gdzie log 2 a = 3 oraz log 2 b = 5. (odp. x = 5)
Zadanie Wyznacz zbiór tych wartości x, które są rozwiązaniem jednocześnie wszystkich trzech nierówności: a) 2 log 1 (x 1) log 1 (x + 1) 1, 3 3 b) 2 x+2 + 3 2 x + 6 < 5 2 x+1, c) x 2 < 3. (odp. x 2, 5)) Zadanie Dla jakich wartości x, liczby: 3; log 2 2x + 4 x ; log 2 (2 2x 1 1 4 ) są trzema kolejnymi, początkowymi wyrazami ciągu arytmetycznego? Oblicz różnicę r tego ciągu i wyznacz dane liczby. (odp. dla x = 0 podane wyrażenia tworzą ciąg arytmetyczny postaci: 3; 1 2, 2; r = 5 2 ).
W tej części... 4 Funkcja wykładnicza Definicja i wykres funkcji wykładniczej Przekształcanie wykresu funkcji wykładniczej Równania wykładnicze Nierówności wykładnicze Zadania
Definicja i wykres funkcji wykładniczej Definicja Funkcję f (x) = a x, gdzie a > 0 nazywamy funkcją wykładniczą. Wykres funkcji wykładniczej zależy od podstawy a: dla a > 1 funkcja wykładnicza jest rosnąca: dla 0 < a < 1 funkcja wykładnicza jest malejąca: y = 2 x (czerwony); y = e x (niebieski) y = 1 x 2 (czerw.); y = ( 1 e )x = e x (nieb.)
dla a = 1 funkcja wykładnicza jest funkcją stałą: Uwaga Dla a > 0 i a 1 funkcja wykładnicza jest różnowartościowa.
Przekształcanie wykresu funkcji wykładniczej Na podstawie wykresu funkcji f (x) = 2 x sporządzić wykresy: a) g(x) = 2 x 1, b) h(x) = 2 x, c) F (x) = 2 x, d) G(x) = 2 x.
Przekształcanie wykresu funkcji wykładniczej Na podstawie wykresu funkcji f (x) = 2 x sporządzić wykresy: a) g(x) = 2 x 1, b) h(x) = 2 x, c) F (x) = 2 x, d) G(x) = 2 x. Rozwiązanie a) Przesunięcie równoległe o jedną jednostkę w prawo b) Symetria względem osi Ox g(x) = 2 x 1 h(x) = 2 x
Rozwiązanie c) Symetria względem osi Oy d) G(x) = 2 x = { 2 x dla x 0 2 x dla x < 0 F (x) = 2 x
Równania wykładnicze Uwaga Przy rozwiązywaniu równań wykładniczych korzystamy z różnowartościowości funkcji wykładniczej: jeżeli a > 0 i a 1 oraz a x 1 = a x 2, to x 1 = x 2. Rozwiąż równanie: 3 5x 8 = 9 x 3.
Równania wykładnicze Uwaga Przy rozwiązywaniu równań wykładniczych korzystamy z różnowartościowości funkcji wykładniczej: jeżeli a > 0 i a 1 oraz a x 1 = a x 2, to x 1 = x 2. Rozwiąż równanie: 3 5x 8 = 9 x 3. Rozwiązanie Zawsze, jeśli to możliwe doprowadzamy do postaci: a x 1 = a x 2. Zapisujemy zatem kolejno: 3 5x 8 = (3 2 ) x 3 3 5x 8 = 3 2x 6 5x 8 = 2x 6 x = 2 3
Rozwiąż równanie: 2 16 x 2 4x 4 2x 2 = 15.
Rozwiąż równanie: 2 16 x 2 4x 4 2x 2 = 15. Rozwiązanie Przekształcamy lewą stronę nierówności: L = 2 16 x 2 4x 4 2x 2 = 2 (2 4 ) x 2 4x (2 2 ) 2x 2 = = 2 2 4x 2 4x 2 4x 4 = 2 4x 1 16 24x = 2 4x 15 16 Zatem 2 4x 15 16 = 15. Stąd 2 4x = 16, co daje 2 4x = 2 4. Więc x = 1.
Rozwiąż równanie: 2 16 x 17 4 x + 8 = 0.
Rozwiąż równanie: 2 16 x 17 4 x + 8 = 0. Rozwiązanie Tutaj nie uda się doprowadzić do postaci: a x 1 = a x 2. Postępujemy następująco: wprowadzamy zmienną pomocniczą t, stosując podstawienie: 4 x = t, gdzie t > 0. 2 t 2 17t + 8 = 0 = 225; t 1 = 1 2 ; t 2 = 8 Oba rozwiązania są dodatnie, zatem: 4 x = 1 2 lub 4x = 8 2 2x = 2 1 lub 2 2x = 2 3 2x = 1 lub 2x = 3 x = 1 2 lub x = 3 2
Nierówności wykładnicze Uwaga Przy rozwiązywaniu nierówności wykładniczych korzystamy z monotoniczności funkcji wykładniczej: 1) jeżeli a > 1 oraz a x1 > a x2, to x 1 > x 2 (f. rosnąca), 2) jeżeli 0 < a < 1 oraz a x1 > a x2, to x 1 < x 2 (f. malejąca). Rozwiąż nierówności: a) ( 1 4 )4x < 1 64, b) 5 x+3 < 7 x+5 5 2.
Nierówności wykładnicze Uwaga Przy rozwiązywaniu nierówności wykładniczych korzystamy z monotoniczności funkcji wykładniczej: 1) jeżeli a > 1 oraz a x1 > a x2, to x 1 > x 2 (f. rosnąca), 2) jeżeli 0 < a < 1 oraz a x1 > a x2, to x 1 < x 2 (f. malejąca). Rozwiąż nierówności: a) ( 1 4 )4x < 1 64, b) 5 x+3 < 7 x+5 5 2. Rozwiązanie Doprowadzamy, jeżeli można do postaci a x1 < a x2 i korzystamy z monotoniczności funkcji wykładniczej (patrz uwaga powyżej). a) ( 1 4 )4x < ( 1 4 )3 4x > 3 x > 3 4 b) 5 x+3 < 7 x+5 5 2 5 3 1 5 < 7 1 x 7 5 2 x 5 1 5 < 7 1 x 7 7x x 5 < 7 x 5 ( 7 5 )x < ( 7 5 )1 x < 1
Zadania Zadanie Bazując na wykresie funkcji y = 2 x naszkicuj wykresy: a) y = 2 x+1, b) y = 2 x, c) y = 2 x, d) y = 2 x + 1. Zadanie Rozwiąż nierówności: a) 3 2 x > 0, (odp. dla każdego x 0) b) 2 x+1 < 4 x 2, (odp. x < 1 lub x > 1 2 ) c) 8 x + 5 2 x 2 + 4 x+1. (odp. x [1, )) Zadanie Rozwiąż równania: a) 6 x 5 36 x+3 = 6 16, (odp. x = 1 1 ) b) ( 3 4 )x 1 ( 4 3 ) 1 x = 9 16, (odp. x = 3 13 2 lub x = 3+ 13 c) 2 x+2 + 3 2 x + 6 < 5 2 x+1, (odp. x (1; + )) d) 3 x + 3 2x + 3 3x + = 1 2. (odp. x = 1) 2 )