1. Teoria mnogości, zbiory i operacje na zbiorach, relacje i odwzorowania, moc zbiorów. Teoria mnogości inaczej nazywana teorią zbiorów jest to teoria matematyczna badająca własności zbiorów (mnogość dawna nazwa zbioru). Teoria mnogości powstała w drugiej połowie XIX wieku, głównie dzięki pracom Georga Cantora; na początku XX wieku została przedstawiona w postaci aksjomatycznej (E. Zermelo, A. Fraenkel, W. Sierpiński i in.). Na gruncie teorii mnogości można zdefiniować wszystkie podstawowe pojęcia matematyczne, jak liczby (całkowite, wymierne, rzeczywiste) wraz z działaniami arytmetycznymi i naturalnym uporządkowaniem, relacje, funkcje itp.; dzięki temu każda teoria matematyczna może być potraktowana jako fragment teorii mnogości.
Terminy pierwotne teorii mnogości Zbiór (mnogość) pojęcie pierwotne, jest jednoznacznie określany przez swoje elementy (indywidua). Stwierdzenie - należy do oznaczane jest symbolem Î ; wyrażenie x jest elementem zbioru A zapisujemy w skrócie xîa. Oznaczenia A, B, C, - zbiory; a, b, c, x, y, z, - elementy zbioru; Stałe logiczne : - spójniki ~ Ø nieprawda, że (negacja) Þ Ù Ú Û º jeśli to (implikacja) oraz (koniunkcja) lub (alternatywa) wtedy i tylko wtedy; - kwantyfikatory ogólny: " dla dowolnego egzystencjalny: $ istnieje takie, że - identyczność = jest identyczne ( jest równe ) Wyrażenie, że ~ (xîa) nieprawda, że x należy do A, zapisujemy xïa, symbol Ï oznacza nie należy. Wyrażenie, że ~ (x=y) nieprawda, że x jest równe y zapisujemy x¹y, symbol ¹ oznacza jest różne.
Dwa sposoby określania zbioru 1. Przez wyliczenie wszystkich elementów zbioru, elementy te zapisujemy w nawiasie klamrowym: A={x,y, z} A={1,2,,10} zbiory skończone lub A={1,3,5, } zbiór nieskończony. 2. Przez podanie własności jaką posiadają wyłącznie elementy zbioru, inaczej przez wyróżnienie: A={x x jest liczbą nieparzystą}. Zbiory liczbowe N={0,1,2, } zbiór liczb naturalnych; N + ={1,2,3, } zbiór liczb naturalnych dodatnich; Z={0,1,-1,2,-2, } zbiór liczb całkowitych; Q={ q p p,qîz Ù q¹0} zbiór liczb wymiernych; R zbiór liczb rzeczywistych; C zbiór liczb zespolonych.
Zasada ekstensjonalności Dwa zbiory A i B są równe (uważamy je za identyczne) wtedy i tylko wtedy, gdy zawierają te same elementy, tzn. A=B Û "x (xîa Û xîb). Zasada dystrybutywności Żaden zbiór nie jest identyczny z żadnym ze swych elementów, tzn. ~ ( $A $x (xîa Ù x=a) ), oznacza to, że {a}¹a. Zbiór pusty Celowe i użyteczne jest wprowadzenie pojęcia zbioru pustego, który oznaczamy przez symbol Zbiór pusty jest to zbiór, który nie posiada żadnego elementu. Symbolicznie: Æ. $A "x (xïa). Z zasady ekstensjonalności wynika, że istnieje tylko jeden taki zbiór. Z zasady dystrybutywności wynika, że {Æ} Æ, czyli zbiór {Æ} nie jest zbiorem pustym.
Podzbiór Jeśli A i B są zbiorami oraz każdy element zbioru A jest też elementem zbioru B to zbiór A nazywamy podzbiorem zbioru B i oznaczamy AÌB. Mówimy wtedy, że A zawiera się w B. Symbolicznie: AÌB Û "x (xîa Þ xîb). Zawieranie się zbiorów nazywane jest również inkluzją. Własności inkluzji: 1. "A AÌA (każdy zbiór jest swoim podzbiorem), 2. "A ÆÌA (zbiór pusty jest podzbiorem dowolnego zbioru), 3. AÌB Ù BÌC Þ AÌC (przechodniość), 4. AÌB Ù BÌA Û A=B. Jeżeli AÌB Ù A¹B Ù A¹Æ, to A nazywamy podzbiorem właściwym zbioru B. Zbiór pusty Æ i zbiór A są podzbiorami niewłaściwymi zbioru A.
Zbiór potęgowy Zbiór wszystkich podzbiorów zbioru A nazywamy zbiorem potęgowym zbioru A i oznaczamy przez P(A), tzn. Elementarne wnioski: P(A)={M MÌA}. 1. Dla każdego zbioru A zachodzi ÆÎP(A), tzn. zbiór pusty jest elementem każdego zbioru potęgowego. 2. Jeżeli zbiór A ma n elementów, to zbiór P(A) ma 2 n elementów. Dopełnienie zbioru Rozpatrując podzbiory wyłącznie ustalonego zbioru U (zwanego uniwersum), np. podzbiór AÌU, możemy określić dopełnienie zbioru A oznaczane przez A jako zbiór tych elementów zbioru U, które nie należą do A. A = {x xîu Ù xïa}. Diagramy Venna Do zobrazowania zbiorów i operacji na nich wykorzystuje się diagramy Venna. Zbiory w tym ujęciu reprezentowane są przez figury płaskie. Dla zbiorów A i B są to najczęściej koła, natomiast uniwersum U rysowane jest jako prostokąt, obejmujący koła przedstawiające zbiory A oraz B. U A B
Operacje (działania) na zbiorach Za pomocą operacji teoriomnogościowych z danych zbiorów można utworzyć na wiele różnych sposobów nowe zbiory. Niech A i B będą zbiorami, określmy działania na tych zbiorach: 1. Suma zbiorów A i B (symbolicznie A B) określana jest następująco: A B={x xîa Ú xîb}. 2. Część wspólna (iloczyn, przekrój, przecięcie) zbiorów A i B (symbolicznie A B) określana jest następująco: A B={x xîa Ù xîb}. Działania te można uogólnić na rodzinę zbiorów D, czyli zbiór którego elementami są zbiory: 3. Suma rodziny zbiorów D (symbolicznie D) określana jest następująco: D={x $AÎD x ÎA}. 4. Część wspólna (iloczyn, przekrój, przecięcie) rodziny zbiorów D (symbolicznie D) określana jest następująco: D={x "AÎD x ÎA}.
Zbiory rozłączne Dwa dowolne zbiory A i B nie mające ani jednego elementu wspólnego nazywamy rozłącznymi. Oznacza to, że zbiory A i B są rozłączne gdy zachodzi równość: A B=Æ. 5. Różnica zbiorów A i B (symbolicznie A\B) określana jest następująco: A\B={x xîa Ù xïb}. Dopełnienie zbioru Dopełnienie zbioru A można zapisać również w postaci: A =U\A. 6. Różnica symetryczna zbiorów A i B (symbolicznie A B lub A B lub A B) określana jest następująco: A B={x (xîa Ù xïb) Ú (xîb Ù xïa)}.
Podstawowe prawa rachunku zbiorów Prawa łączności (A B) C = A (B C) (A B) C = A (B C) Prawa przemienności A B = B A A B = B A Prawa rozdzielności (A B) C = (A C) (B C) (A B) C = (A C) (B C) Prawa de Morgana (A B) = A B (A B) = A B Prawa absorpcji A (A B) = A A (A B) = A Prawa idempotentności A A = A A A = A Inne własności A A = U A A = Æ A U = U A U = A A Æ = A A Æ = Æ U = Æ Æ = U A B = (A B)\(A B) A\B = A\(A B) A (B\C) = (A B)\C (A B)\C = B (A\C) {A}=A {A}=A P(A)=A P(A)=Æ
Iloczyn (produkt) kartezjański Iloczynem (produktem) kartezjańskim zbiorów A 1, A 2,, A n nazywamy zbiór oznaczany A 1 A 2 A n postaci: A 1 A 2 A n ={(a 1, a 2,, a n ) a 1 Î A 1 Ù a 2 Î A 2 Ù Ù a n Î A n }. Mówimy także, że iloczyn kartezjański n zbiorów jest zbiorem wszystkich n-tek uporządkowanych, czyli ciągów (a 1, a 2,, a n ), gdzie a i ÎA i dla i=1,2, n. Przykład Jeżeli A 1 = {1,2,3}, A 2 = {2,4}, A 3 = {x,y}, to A 1 A 2 A 3 ={(1,2,x),(1,2,y),(1,4,x),(1,4,y),(2,2,x),(2,2,y),(2,4,x),(2,4,y), (3,2,x),(3,2,y),(3,4,x),(3,4,y)}. Jeżeli A 1 =A 2 = =A n =A, to A 1 A 2 A n nazywamy n-tą potęgą kartezjańską zbioru A i oznaczamy A n. Przykładem takiego zbioru jest R R R=R 3 ={(x 1,x 2,x 3 ) x 1 ÎRÙx 2 ÎRÙx 3 ÎR}, zbiór wszystkich punktów w przestrzeni trójwymiarowej. Szczególnym przypadkiem iloczynu kartezjańskiego jest iloczyn kartezjański dwóch zbiorów A B = {(a,b) aîa Ù bîb}. Elementy (a,b) zbioru A B nazywamy parami uporządkowanymi. Charakteryzują się one następującą równoważnością: (a,b) = (c,d) Û a=c Ù b=d.
Własności iloczynu kartezjańskiego Jeżeli A¹B¹C, to: 1. A B¹B A 2. A (B C)=(A B) C Jeżeli A¹ÆÙB¹ÆÙC¹ÆÙD¹Æ, to: 3. (AÌBÙCÌD) Û (A C)Ì(B D) 4. (A=BÙC=D)Û (A C)Ì(B D) Dla dowolnych A, B, C, D i U zachodzi: 5. (A B) (C D)=(A C) (B D) 6. (A B) (C D)Ì(A C) (B D) 7. (A B) C=(A C) (B C) 8. A (B C)=(A B) (A C) 9. (A B) C=(A C) (B C) 10.A (B C)=(A B) (A C) 11.(A\B) C=(A C)\(B C) 12.A (B\C)=(A B)\(A C) 13.(A B) (C D)=(A C) (B C) (A D) (B D) 14.A B=(A D) (C B), gdzie AÌCÙBÌD 15.U 2 \(A B)=[(U\A) U] [U (U\B)]
Aksjomaty teorii mnogości Pojęcia pierwotne zbiór, element zbioru. Aksjomaty Zermelo Frenkla (ZF): I. Aksjomat ekstensjonalności Dwa zbiory są równe, gdy mają te same elementy. II. Aksjomat zbioru pustego III. Aksjomat sumy Istnieje zbiór, który nie zawiera żadnego elementu. Dla dowolnej rodziny zbiorów istnieje zbiór składający się ze wszystkich tych elementów, które są elementami przynajmniej jednego ze zbiorów tej rodziny. IV. Aksjomat zbioru potęgowego Dla każdego zbioru istnieje zbiór składający się ze wszystkich podzbiorów danego zbioru. V. Aksjomat nieskończoności VI. Aksjomat zastępowania Istnieje zbiór nieskończony. Jeżeli każdy element zbioru zastąpimy dowolnym obiektem, to otrzymamy znów pewien zbiór.
Relacje Relacją n-argumentową na zbiorach A 1, A 2,, A n nazywamy podzbiór iloczynu kartezjańskiego tych zbiorów, tzn. ÌA 1 A 2 A n. Jeżeli ÌA n to relację nazywamy n-argumentową relacją w zbiorze A. Relacje opisują zależności między elementami jednego lub wielu różnych zbiorów. Przykład Niech A 1 ={1,2,3,4}, A 2 ={2,4,6,8}, A 3 ={2,3,4} ={(a 1, a 2, a 3 ) a 1 ÎA 1 Ùa 2 ÎA 2 Ùa 3 ÎA 3 Ùa 1 =a 2 =a 3 }, czyli ={(2,2,2), (4,4,4)}. i-tą dziedziną relacji ÌA 1 A 2 A n nazywamy zbiór postaci: D i ( )={xîa i $a 1,, $a i-1, $a i+1,, $a n (a 1,,a i-1,x,a i+1,,a n )Î }. Zamiast pisać (a 1, a 2,, a n )Î piszemy także (a 1, a 2,,a n ). Ponieważ relacje są szczególnego rodzaju zbiorami określa się dla nich wszystkie operacje teoriomnogościowe.
Relacje binarne (dwuargumentowe) Relacją binarną (dwuargumentową) między elementami zbiorów A i B nazywamy dowolny podzbiór zbioru A B. Jeżeli A=B to relację ÌA 2 nazywamy relacją binarną określoną na A. Zamiast pisać, że (a,b)î stosujemy zapis (a,b) lub częściej a b. Dziedziną relacji binarnej nazywamy zbiór postaci: D( )={aîa $bîb a b }, natomiast przeciwdziedziną relacji binarnej nazywamy zbiór postaci: D -1 ( )={bîb $aîa a b }. Zbiór D( ) D -1 ( ) nazywamy polem relacji. Dopełnieniem relacji binarnej pomiędzy elementami zbiorów A B nazywamy zbiór postaci: =(A B)\. Relacją odwrotną oznaczaną -1 do relacji binarnej nazywamy zbiór: -1 ={(a,b) b a}. Niech 1 ÌA B oraz 2 ÌB C będą relacjami binarnymi. Złożeniem (superpozycją, iloczynem) 1 2 relacji 1 i 2 nazywamy zbiór określony następująco: 1 2 ={(a,c) $b (bîb Ù a 1 b Ù b 2 c}. Przez I A oznaczamy następującą relację binarną: I A ={(a,b)îa 2 a=b}={(a,a) aîa}.
Dla relacji binarnych 1, 2, 3 określonych na zbiorze A zachodzi: 1. ( 1 2 ) -1-1 -1 = 1 2 2. ( 1 2 ) -1-1 -1 = 1 2 3. ( 1 2 ) 3 =( 1 3 ) ( 2 3 ) 4. ( 1 2 ) 3 Ì( 1 3 ) ( 2 3 ) 5. ( 1 2 ) -1-1 -1 = 2 1 Relację binarną ÌA 2 można przedstawić za pomocą: 1. Diagramu strzałkowego Elementy zbioru A oznaczamy na płaszczyźnie punktami a,b, i następnie przeprowadzamy od a do b linie zakończoną strzałką wtedy i tylko wtedy gdy a b. 2. Macierzy relacji M Elementy zbioru A wpisujemy do pierwszego wiersza i pierwszej kolumny macierzy. Na przecięciu wiersza wyznaczonego przez aîa i kolumny bîa w przypadku gdy a b wpisujemy 1, w przeciwnym wypadku wpisujemy 0.
Przykład Niech A={1,2,3,4} relację określmy jako zbiór: ={(a,b) aîa Ù bîa Ù a dzieli b}, wtedy ={(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(2,2),(2,4),(3,3),(4,4)}, a na diagramie strzałkowym przedstawiamy to następująco: 1 2 3 4 Natomiast macierz M relacji przedstawia się następująco: M 1 2 3 4 1 1 1 1 1 2 0 1 0 1 3 0 0 1 0 4 0 0 0 1 Określmy teraz dziedzinę, przeciwdziedzinę, pole, dopełnienie, relację odwrotną dla danej relacji. Dziedzina: D( )={1,2,3,4}=A, Przeciwdziedzina D -1 ( )={1,2,3,4}=A, Pole relacji D( ) D -1 ( )={1,2,3,4}=A, Dopełnienie ={(2,1),(2,3),(3,1),(3,2),(3,4),(4,1),(4,2),(4,3)}, Relacja odwrotna -1 ={(1,1),(2,1),(3,1),(4,1),(2,2),(4,2),(3,3),(4,4)}.
Niech ÌA 2 wtedy relacja jest 1. zwrotna (refleksywna) w A, jeżeli "aîa zachodzi a a 2. przeciwzwrotna (irrefleksywną) w A, jeżeli "aîa zachodzi Ø(a a) 3. symetryczna w A, jeżeli "(aîaùbîa) zachodzi a b Þ b a 4. przeciwsymetryczna (asymetryczna) w A, jeżeli "(aîaùbîa) zachodzi a b Þ Ø(b a) 5. słabo antysymetryczna (wpół antysymetryczna, na wpół przeciwsymetryczna w A, jeżeli "(aîaùbîa) zachodzi a bùb aþa=b 6. przechodnia (tranzytywna) w A, jeżeli "(aîaùbîaùcîa) zachodzi a bùb cþa c 7. liniowa w A, jeżeli "(aîaùbîa) zachodzi a búb a 8. spójna w A,, jeżeli "(aîaùbîa) zachodzi a búb aúa=b Jeżeli ÌA 2 i A 1 ÌA, to relację A 1 2 nazywamy obcięciem relacji do A 1 i oznaczamy przez A 1. Relacja ÌA 2 jest zwrotna (przeciwzwrotna, symetryczna i itp.) jeżeli relacja A 1 jest zwrotna (przeciwzwrotna, symetryczna i itp.) na A 1 będącym polem.
Relacje równoważności i klasy abstrakcji Relację binarną na zbiorze A ( ÌA 2 ) nazywamy relacją równoważności, jeżeli jest zwrotna symetryczna i przechodnia. Z każdą relacją równoważności w zbiorze A związany jest rozkład tego zbioru na niepuste parami rozłączne podzbiory, tzw. klasy równoważności. Zbiór postaci: [a] := {b bîa Ù a b} Nazywamy klasą równoważności elementu a względem relacji. Własności klas abstrakcji: 1. [a] ¹Æ 2. a b Û [a] = [b] 3. Ø(a b) Û [a] [b] =Æ Wszystkie klasy abstrakcji są elementami pewnego nowego zbioru nazywanego zbiorem ilorazowym, który jest oznaczany przez A/ i ma postać: A/ ={[a] aîa}. Podzbiór ZÌP(A) zbioru potęgowego P(A) nazywamy rozkładem zbioru A, jeżeli ÆÏZ Ù (X,YÎZ Ù X¹Y Þ X Y=Æ) Ù X =A. XÎZ
Twierdzenie o rozkładzie (faktoryzacji) Każda relacja równoważności w zbiorze A indukuje pewien rozkład Z zbioru A, mianowicie Z=A/ i na odwrót, każdemu rozkładowi Z zbioru A odpowiada pewna relacja równoważności w A, co symbolicznie można zapisać: a b Û $XÎZ (aîx Ù bîx). Relację równoważności w zbiorze A można rozpatrywać jako uogólnienie relacji identyczności (równości) w tym zbiorze. Abstrahujemy wtedy od nieistotnych własności elementów zbioru A, jednocześnie elementy nie różniące się pod względem pewniej cechy przypisujemy do jednej i tej samej klasy abstrakcji. Przykład Niech dana będzie relacja ÌN + 2 taka, że "(aîn + ÙbÎN + ) a b Û (2 dzieli a+b). Sprawdzić czy jest to relacja równoważności i jeżeli jest to określić klasy abstrakcji oraz rozkład zbioru N +.
Relacje porządkujące Relację binarną w zbiorze A, która jest zwrotna, słabo antysymetryczna i przechodnia nazywamy relacją porządkującą (porządkiem, porządkiem częściowym, półporządkiem). Jeżeli ponadto jest liniowa to jest całkowitym porządkiem (liniowym porządkiem) lub łańcuchem. Zbiór A określany jest wówczas jako uporządkowany przez relację lub liniowo uporządkowany przez. W zbiorze liniowo uporządkowanym każde dwa elementy są porównywalne. Jeżeli a b i jest relacją porządkującą to stosujemy zapis a b lub a b. Zbiory N, Z, Q, R są liniowo uporządkowane przez standardową relację jest mniejsze lub równe co zapisujemy. Zbiór potęgowy P(A) z relacją zawierania Ì jest zbiorem częściowo uporządkowanym.
Niech dany będzie zbiór A uporządkowany przez relację, wyróżniamy następujące elementy: element aîa nazywamy maksymalnym w A jeśli "xîa (a xþx=a), element aîa nazywamy minimalnym w A jeśli "xîa (x aþx=a), element aîa nazywamy największym w A jeśli "xîa (x a), element aîa nazywamy najmniejszym w A jeśli "xîa (a x). Ponadto jeżeli XÌA, to ograniczeniem górnym zbioru X nazywamy każdy taki element aîa, że "xîx (x a), natomiast ograniczeniem dolnym nazywamy każdy taki element aîa, że "xîx (a x). Lemat Kuratowskiego Zorna: Jeżeli zbiór A jest uporządkowany przez relację oraz dla każdego łańcucha istnieje w A górne ograniczenie, wtedy w A istnieje co najmniej jeden element maksymalny, co więcej dla każdego xîa istnieje element maksymalny a taki, że x a.
Przykład 2 Niech dana będzie relacja ÌN + taka, że "(aîn + ÙbÎN + ) a b Û (a dzieli b). Sprawdzić czy jest to relacja porządkująca.
Funkcje i odwzorowania Relację ÌX Y nazywamy funkcją, jeżeli "xîx "yîy "zîy ( x yùx z Þ y=z ). Elementy zbioru X nazywamy argumentami funkcji, natomiast elementy zbioru Y wartościami funkcji. Dla oznaczenia funkcji używamy liter f, g, h i zamiast (x,y)îf zapisujemy f (x)=y. Dziedziną (zbiorem argumentów) funkcji nazywamy zbiór D f ={xîx $yîy (f(x)=y)}, przeciwdziedziną (zbiorem wartości funkcji) nazywamy zbiór W f ={yîy $xîx (f(x)=y)}. Odwzorowaniem (przekształceniem) zbioru X w zbiór Y nazywamy taką funkcję f, że D f =X i W f ÌY i oznaczamy przez f: X Y. Zbiór wszystkich odwzorowań z X w Y oznaczamy Y X. Odwzorowanie f nazywamy z X na Y (surjekcją, epimorfizmem) jeżeli i oznaczamy f : X na Y. "yîy $xîx (f(x)=y) inaczej gdy W f =Y Odwzorowanie f nazywamy różnowartościowym (injekcją, monomorfizmem) jeżeli "x 1 ÎX "x 2 ÎX "yîy ( (x 1,y)Îf Ù(x 2,y)Îf Þ x 1 =x 2 ) i oznaczamy f : X 1 1 Y.
Odwzorowanie f nazywamy wzajemnie jednoznacznym (bijekcją) jeżeli jest różnowartościowe i na (surjekcją i injekcją). Dla odwzorowania wzajemnie jednoznacznego f : X Y określa się odwzorowanie odwrotne f -1 : Y X, takie, że "xîx "yîy (f(x)=y Þ f -1 (y)=x). Dla danych odwzorowań f : X Y g : Y Z definiuje się przekształcenie g f : X Z zwane złożeniem (superpozycją) według wzoru: (x,z)î g f Û $yîy (f(x)=yùg(y)=z). Złożenie odwzorowań nie jest przemienne g f ¹ f g natomiast jest łączne h (f g)= (h f) g.
Moc zbiorów Liczbę elementów zbioru skończonego A nazywamy mocą zbioru lub liczbą kardynalną zbioru A i oznaczamy przez card A lub przez A. Również każdemu zbiorowi nieskończonemu przypisuje się jego liczbę kardynalną. Dwa zbiory A i B nazywamy równolicznymi jeżeli istnieje jakakolwiek bijekcja między tymi zbiorami, co oznaczamy przez A~B. Każdemu zbiorowi A przyporządkowuje się jego liczbę kardynalną card A lub A, w taki sposób, że zbiory równoliczne mają tę samą liczbę kardynalną. Ponieważ żaden zbiór nie jest równoliczny ze swoim zbiorem potęgowym, więc nie istnieje największa liczba kardynalna. Najmniejszą nieskończoną liczbą kardynalną jest liczba kardynalna zbioru liczb naturalnych N, oznaczana przez symbol 0 (alef 0). Zbiór nieskończony nazywamy przeliczalnym jeżeli jest równoliczny ze zbiorem liczb naturalnych, oznacza to, że jego elementy można ustawić w ciąg a 1, a 2, ponumerowany kolejnymi liczbami naturalnymi. Zbiór nieskończony nazywamy nieprzeliczalnym jeżeli nie jest równoliczny ze zbiorem liczb naturalnych. Wynika z tego, że każdy zbiór nieskończony nie będący zbiorem przeliczalnym jest nieprzeliczalny. Zbiory Z, Q są przeliczalne, natomiast zbiory R i C są nieprzeliczalne. Zbiory R i C są równoliczne i mają tę samą moc, ich liczbę kardynalną oznacza się przez c (continuum).
Działania na liczbach kardynalnych Sumą liczb kardynalnych n 1 i n 2 nazywamy liczbę m=n 1 +n 2, jeżeli każdy zbiór mocy m jest równoliczny z sumą zbiorów o mocy n 1 i n 2. Iloczynem liczb kardynalnych n 1 i n 2 nazywamy liczbę m=n 1 n 2, jeżeli każdy zbiór mocy m jest równoliczny z iloczynem kartezjańskim zbiorów o mocy n 1 i n 2. Potęgą liczby kardynalnej n 2 liczby kardynalnej n 1 nazywamy liczbę n kardynalną m= n 2 1, jeżeli każdy zbiór mocy m jest równoliczny A B, gdzie A i B mają moce odpowiednio n 1 i n 2. Własności liczb kardynalnych: 1. n+ 0 = 0 2. 0 + 0 = 0 0 = 0 3. 0 +c= 0 c=c 4. c+c=c c=c 5. 0 2 =c