IDZ DO PRZYK ADOWY ROZDZIA SPIS TREŒCI KALOG KSI EK KALOG ONLINE ZAMÓW DRUKOWANY KALOG Algorymy numryczn w Dlph Ksêga kspra Auorzy: Brnard Baron, Arur Pasrbk, Marcn Mac¹ k ISBN: 83-736-95-8 Forma: B5, sron: 544 TWÓJ KOSZYK DODAJ DO KOSZYKA CENNIK I INFORMACJE ZAMÓW INFORMACJE ONOWOŒCIACH ZAMÓW CENNIK CZYTELNIA FRAGMENTY KSI EK ONLINE Mody numryczn s¹ o sposoby rozw¹zywana z³o onych problmów mamaycznych za pomoc¹ narzêdz oblcznowych udosêpnanych przz popularn jêzyk programowana Jdn z najpopularnjszych jêzyków Pascal, bêd¹cy podsaw¹ jêzyka ObjcPascal wykorzysywango w Dlph, pozwala na bardzo ³aw¹ mplmnacjê mchanzmów oblczñ numrycznych Spcyfka projkowana aplkacj w œrodowsku Dlph pozwala na uworzn komponnów ralzuj¹cych algorymy numryczn sosowan ch w wlu aplkacjach Ks¹ ka Algorymy numryczn w Dlph Ksêga kspra przdsawa najczêœcj wykorzysywan mody numryczn wraz z przyk³adam ch mplmnacj w jêzyku ObjcPascal Ka d zagadnn js omówon zarówno od srony orycznj, jak prakycznj, co u³awa jgo zrozumn pozwala na modyfkacj zamszczonych w ks¹ c kodów Ÿród³owych Typy, funkcj, klasy procdury wykorzysywan w algorymach numrycznych Algbra macrzy równana lnow Badan funkcj Rozw¹zywan równañ nlnowych wyznaczan waroœc w³asnych macrzy Uk³ady równañ ró nczkowych lnowych nlnowych Przksza³cna Fourra Laplac a Nmal ka dy problm oblcznowy mo na rozw¹zaæ za pomoc¹ mod numrycznych N mussz wêc wymyœlaæ ponown ko³a wysarczy, poznasz opsan w j ks¹ c algorymy Wydawncwo Hlon ul Chopna 6 44- Glwc l 3223-98-63 -mal: hlon@hlonpl
Sps rśc Zmany w sosunku do poprzdngo wydana 9 Przdmowa Rozdzał Dfncj ypów, procdur, funkcj klas dla zagadnń numrycznych 3 Organzacja bblok oblczń numrycznych 4 2 Typ waranowy 4 3 Prdfnowany yp lczb zspolonych 6 4 Dfncja ypu lczb zspolonych 7 5 Funkcj konwrsj lczb rzczywsych zspolonych na łańcuch odwron 8 6 Wkor 2 7 Macrz 2 8 Rprznacja wkorów macrzy za pomocą ablc 2 8 Przydzlan zwalnan pamęc dla ablc jdnowymarowych 23 82 Przydzlan zwalnan pamęc dla ablc dwuwymarowych 24 9 Zaps odczy wkorów oraz macrzy w komponnc TSrngGrd 25 Wzorcow funkcj zapsu odczyu plków macrzy 26 Rozdzał 2 Algbra macrzy równana lnow 27 2 Moda bzpośrdngo rozwązywana układu równań macrzowych modą lmnacj Gaussa 28 2 Skalowan układu równań lnowych 32 22 Rozwązywan układu równań lnowych wdług algorymu Croua 34 23 Oblczan macrzy odwronj modą lmnacj Gaussa 39 24 Oblczan macrzy odwronj modą Croua 43 25 Oblczan wyznacznka macrzy kwadraowj 48 26 Wskaźnk uwarunkowana macrzy 5 27 Oblczan warośc własnj macrzy kwadraowj A o najwększym modul 52 28 Oblczan warośc własnj macrzy αa o najwększym modul 53 29 Rozwązywan układu równań lnowych modą racj Jacobgo oraz Rchardsona 55 2 Rozwązywan układu równań modą Gaussa-Sdla oraz modą nadrlaksacj 58 2 Psudorozwązan układu nadokrślongo 6 22 Moda najmnjszych kwadraów 66 23 Algorym Croua rozwązywana rzadkch układów równań lnowych 68 24 Algorymy racyjn Rchardsona oraz Gaussa-Sdla dla macrzy rzadkch 78 Przykłady 85 Komponny 85 Właścwośc 85
4 Algorymy numryczn w Dlph Zdarzna 86 Przykład 2 Oblczan macrzy odwronj 88 Przykład 22 Rozwązywan układów równań algbracznych 95 Przykład 23 Rozwązywan układów równań algbracznych rzadkch 2 Rozdzał 3 Prakyka badana funkcj 9 3 Całkowan różnczkowan numryczn 9 3 Eksrapolacja rowana Rchardsona Akna 9 32 Całkowan numryczn 6 33 Różnczkowan numryczn 25 34 Gradn funkcj wlu zmnnych 35 35 Jakoban funkcj wkorowj wlu zmnnych 36 36 Hsjan funkcj wlu zmnnych 37 32 Wybran mody aproksymacj nrpolacj lnowj funkcj jdnj zmnnj 38 32 Aproksymacja modą najmnjszych kwadraów 39 322 Aproksymacja funkcj dyskrnj wlomanm 4 323 Aproksymacja układam funkcj orogonalnych 4 324 Aproksymacja wlomanam orogonalnym 42 325 Implmnacja mod aproksymacj 44 326 Inrpolacja funkcj dyskrnj krzywą łamaną 59 327 Inrpolacja wlomanm poęgowym Lagrang a 6 328 Inrpolacja funkcjam skljanym 6 329 Inrpolacja funkcjam wlomanam orogonalnym 62 32 Mody nrpolacj w ramach klasy TInrpolaon 65 33 Wybran mody poszukwana mnmum funkcj wlu zmnnych modam bzgradnowym 8 33 Wyznaczn mnmum funkcj wlu zmnnych bzgradnową modą poszukwań prosych Hook a-jvsa 8 332 Bzgradnowa moda złogo podzału poszukwana mnmum 84 333 Bzgradnowa moda Powlla poszukwana mnmum funkcj wlu zmnnych 92 34 Wybran mody poszukwana mnmum funkcj wlu zmnnych modam gradnowym 96 34 Moda kspansj konrakcj gomrycznj z jdnym sm badana współczynnka kroku przy poszukwanu mnmum w krunku 97 342 Moda aproksymacj parabolcznj z jdnym sm badana współczynnka kroku przy poszukwanu mnmum w krunku 2 343 Algorym najwększgo spadku 26 344 Zmodyfkowany algorym Nwona 2 Przykłady 25 Komponny 25 Przykład 3 Tsowan mod całkowana 26 Przykład 32 Tsowan procdur różnczkowana numryczngo 22 Przykład 33 Tsowan funkcj do wyznaczana macrzy Jacobgo funkcj wkorowj 225 Przykład 34 Tsowan funkcj do wyznaczana macrzy Hssgo funkcj wlu zmnnych 229 Przykład 35 Tsowan mod klasy TApproxmaon 23 Przykład 36 Tsowan mod klasy TInrpolaon 239 Przykład 37 Tsowan mod wyznaczana mnmum funkcj 244
Sps rśc 5 Rozdzał 4 Równana nlnow, zra wlomanów, warośc własn macrzy 25 4 Algorymy rozwązywana układów równań nlnowych 252 4 Rozwązywan układów równań nlnowych modą Nwona 253 42 Rozwązywan układów równań nlnowych modą gradnową 256 43 Rozwązywan układu równań nlnowych zmodyfkowaną modą Nwona 26 44 Rozwązywan układów nlnowych modą racyjną 264 45 Psudorozwązana nlnowgo układu nadokrślongo modą Hook a-jvsa 267 42 Wyznaczan zr wlomanów modam Barsowa Lagurr a 27 42 Dzln wlomanów o współczynnkach rzczywsych przz czynnk lnowy wdług algorymu Hornra 27 422 Dzln wlomanu przz czynnk kwadraowy 272 423 Wyznaczan dzlnków wlomanu sopna N > 2 w posac rójmanu kwadraowgo modą Barsowa 273 424 Wyznaczan zr wlomanów o współczynnkach rzczywsych 277 425 Wyznaczan zr wlomanu modą Lagurr a 28 426 Wyznaczan zr wlomanu modą Lagurr a 282 43 Wyznaczan warośc własnych macrzy modam Barsowa Lagurr a 284 43 Wyznaczan współczynnków wlomanu charakrysyczngo macrzy kwadraowj modą Kryłowa 285 432 Wyznaczan warośc własnych macrzy modą Barsowa 287 433 Wyznaczan warośc własnych macrzy modą Lagurr a 29 44 Wyznaczan zr funkcj jdnj zmnnj modą połowna przdzału 29 Przykłady 293 Komponny 293 Przykład 4 Tsowan mod rozwązywana układu równań nlnowych 294 Przykład 42 Tsowan mod rozwązywana układu równań nlnowych cd 295 Przykład 43 Wyznaczan zr wlomanów o współczynnkach rzczywsych zadanych z klawaury za pomocą mod Lagurr a oraz Barsowa 3 Przykład 44 Wyznaczan warośc własnj macrzy zadanj z klawaury lub plku 32 Przykład 45 Wyznaczan zr ksrmum funkcj Bssla rzędu N 35 Rozdzał 5 Układy zwyczajnych równań różnczkowych nlnowych 39 5 Układ równań różnczkowych jako klasa programowana obkowgo 3 5 Dfncj ypów do zadawana układu równań różnczkowych nlnowych 3 52 Dfncja klasy prooypowj dla klas mplmnujących rozwązywan układu równań różnczkowych 32 53 Dfncja klasy prooypowj dla klas poomnych doyczących rozwązywana układu równań różnczkowych nlnowych 38 54 Aproksymacja dyskrnych warośc wkorów sanu 39 55 Funkcj pomocncz do dzałana na wkorach sanu 322 52 Mody Runggo-Kuy 323 53 Rozwązywan układu równań różnczkowych zwyczajnych modą Runggo-Kuy z auomaycznym doborm kroku całkowana 327 54 Mody Fhlbrga 332
6 Algorymy numryczn w Dlph 55 Rozwązan układu równań różnczkowych nlnowych zwyczajnych modą Fhlbrga z auomaycznym doborm kroku całkowana 34 56 Rozwązan układu równań różnczkowych nlnowych zwyczajnych modą Dormanda-Prnc a z auomaycznym doborm kroku całkowana 344 57 Wlokrokowa moda rozwązywana układu równań różnczkowych nlnowych z członm przwdywana Adamsa-Bashforha oraz członm korkcyjnym Adamsa-Mulona z auomaycznym doborm kroku rzędu 349 57 Algorym Adamsa-Bashforha 349 572 Algorym Adamsa-Mulona 35 573 Algorymy przwdywana korkcj wyrażon przz macrz Nordscka 354 574 Faza wsępna oblczń 363 575 Mody klasy TAdamsMulonAbsrac TAdamsMulon, ralzując algorym Adamsa-Mulona 368 58 Rozwązywan układu równań nlnowych modą szywno sablnych algorymów Gara 374 59 Moda Gragga z ksrapolacją Bulrscha-Sora 386 Przykłady 394 Komponny 394 Przykład 5 Rozwązywan układów równań różnczkowych druggo rzędu 395 Przykład 52 Zasosowan klasy TRoRoNl do rozwązywana układów równań różnczkowych nlnowych w ramach pwnj klasy 42 Przykład 53 Wahadło mamayczn 48 Rozdzał 6 Układy równań różnczkowych lnowych o sałych współczynnkach 43 6 Równana różncow dla różnych aproksymacj funkcj wymuszających 48 6 Wymuszn aproksymowan funkcjam przdzałam sałym 48 62 Wymuszn aproksymowan funkcjam przdzałam lnowym 42 63 Wymuszn aproksymowan wlomanm sopna druggo 422 64 Dobór kroku całkowana T z względu na dobór górnj grancy błędu oblczana macrzy oraz z względu na numryczną sablność rozwązana 425 62 Dfncja ypów dla lnowych równań różnczkowych 427 63 Numryczn rozwązywan równań różnczkowych lnowych o sałych współczynnkach dla aproksymacj wymuszń funkcjam przdzałam sałym 429 64 Numryczn rozwązywan równań różnczkowych lnowych o sałych współczynnkach dla aproksymacj wymuszń funkcjam przdzałam lnowym 43 65 Numryczn rozwązywan równań różnczkowych lnowych o sałych współczynnkach dla aproksymacj wymuszń funkcjam przdzałam kwadraowym 433 Przykłady 435 Komponny 435 Przykład 6 Tsowan mod rozwązywana układu równań różnczkowych lnowych 435 Przykład 62 Tsowan mod rozwązywana układu równań różnczkowych lnowych zdfnowanych wwnąrz pwnj klasy 44 Rozdzał 7 Prakyka przkszałcń Fourra 449 7 Dyskrna ransformacja Fourra wdług algorymu Hornra 455 72 Szybk przkszałcn Fourra wdług algorymu Coolya-Tukya 457 73 Szybk przkszałcn Fourra wdług algorymu Sand a-tukya 466 74 Wyznaczan współczynnków zspolongo szrgu Fourra dla dowolnj funkcj okrsowj 47 75 Oblczan odwronj ransformacj Fourra dla dowolnj ransformay 47
Sps rśc 7 Przykłady 474 Komponny 474 Przykład 7 Oblczan zspolonych współczynnków szrgu Fourra 475 Przykład 72 Oblczan odwronj ransformacj Fourra 479 Przykład 73 Oblczan zspolonych współczynnków szrgu Fourra w ramach pwnj klasy 483 Rozdzał 8 Prakyka przkszałcń Laplac a 487 8 Numryczn oblczan ransformacj odwronj Laplac a w wybranj chwl czasowj z zasosowanm szrgów Fourra 488 82 Numryczn oblczan ransformacj odwronj Laplac a w wybranj chwl czasowj z zasosowanm szrgów Lagurr a 494 83 Numryczn oblczan ransformacj odwronj Laplac a w wybranj chwl czasowj wdług algorymu Valsa 498 84 Oblczan ransformacj odwronj Laplac a funkcj wymrnj na podsaw jj pozosałośc w bgunach 52 84 Dfncja klasy do oblczana odwronj ransformacj Laplac a funkcj wymrnj na podsaw jj pozosałośc w bgunach 55 Przykłady 5 Komponny 5 Przykład 8 Wyznaczan odwronj ransformacj Laplac a funkcj opraorowych zgodn z wzorcam funkcj 5 Przykład 82 Zasosowan ransformacj odwronj Laplac a dla funkcj wymrnych 56 Bblografa 523 Skorowdz 525
Rozdzał 6 Układy równań różnczkowych lnowych o sałych współczynnkach Zadany js układ N równań różnczkowych lnowych njdnorodnych: + W j j j N j j j u b x a d dx, 2,, N, 6 gdz współczynnk a j oraz b j są rzczyws Układ n można zapsać w posac macrzowj: d d Bu Ax x +, 62 gdz: 2 x x x N x ; 62a d dx d dx d dx d d N 2 x ; 62b
44 Algorymy numryczn w Dlph aa2 Ka N A a2a22 Ka2 N K ; anan 2 KaNN bb2 Kb W B b2b22 Kb2W K ; bnbn 2 KbNW u u2 u uw 62c 62d Na człony njdnorodn układu 6 składa sę W wymuszń u j j, 2,, W wysępujących z współczynnkam b j macrzy prosokąnj B W or równana 62 cnralną rolę odgrywa funkcja wykładncza A macrzy kwadraowj A przmnożonj przz zmnną nzalżną, zdfnowaną szrgm macrzowym [7]: A + A + 2! k 2 k A A + K + A + K k! k k! 63 Szrg macrzowy 63 js równoważny N 2 zwykłym skalarnym szrgom poęgowym: 2 k δ + A + { A } j + K + { A } j + K, j j, j, 2,, N 2! k! Do zrozumna konsrukcj całk ogólnj równana 62 nzbędn będą nasępując własnośc funkcj wykładnczj A : Jżl, o zgodn z dfncją 63 A macrz jdnoskowa N N-wymarowa 64 2 Jżl macrz A komuuj z macrzą B, a węc AB BA, o: A B A+B 65 3 Ponważ na mocy własnośc 65 A A A A, węc macrz odwrona macrzy A ma posać: [ ] A A 66 4 Różnczkując ob srony równana macrzowgo 63 z względu na oraz wyłączając wspólny czynnk A z wyrazów szrgu nskończongo, orzymuj sę: d d A A A A A 5 Mnożąc lwosronn lub prawosronn równan macrzow 67 przz A macrz odwrona macrzy A, a nasępn całkując ak orzymywan równana z względu na od do 2, orzymuj sę: 67
Rozdzał 6 Układy równań różnczkowych lnowych o sałych współczynnkach 45 A2 A A2 A A 2 A d A 68 Do rozwązana układu równań różnczkowych lnowych 62 można zasosować modę uzmnnna sałych W ym clu najprw rozparuj sę przypadk, gdy u, co oznacza, ż równan 62 js jdnorodn dx Ax d 69 Ławo wykazać, ż całka ogólna równana jdnorodngo 69 ma posać: x A y, 6 gdz y js wkorm N-wymarowym o składowych sałych Ison z własnośc 67 wynka dx d d d A A y A y Ax 6 Zgodn z modą uzmnnna sałych przyjmuj sę dalj, ż wkor y js funkcją zmnnj, co daj: x A y, 62 a nasępn podsawa sę wyrażn 62 do równana njdnorodngo 62, uwzględnając własność 67 A A y + A dy A d A y + Bu 63 Upraszczając równan 63 o człon A A y oraz mnożąc j lwosronn przz macrz A, orzymuj sę na mocy własnośc 66 dy d A Bu 64 Całkując równan 64 z względu na od do, orzymuj sę: y + y A Bu τ d τ 65 Jżl zadany js wkor warośc począkowych x, o odpowadający mu wkor y można wyznaczyć z równana 62, sosując własność 66: y A x 66 Uwzględnając równan 65 wraz z podsawnm 66 w równanu 62, orzymuj sę nasępując rozwązan równana 62:
46 Algorymy numryczn w Dlph A x + A A x τ Bu τdτ 67 Równan 67 n nadaj sę do bzpośrdngo oblczna numryczngo Rozwązan dokładn 67 równana 62 można jdnak wykorzysać w modz krokowj, zasępując o równan równanm różncowym, przyjmując kt k+t: k+ T A A k+ T [ k + T ] x kt + x τ Bu τdτ kt 68 W oblczanu całk 68 mogą wysąpć rudnośc zwązan z wysępowanm ujmnych dużych co do modułu warośc własnych macrzy A Z względu na możlwość akgo przypadku nalży aproksymować funkcję wkorową wymuszającą u, n zmnając jądra A w całc równana 68 Nch zachodz przypadk ogólny, dla kórgo macrz A ma dzlnk lmnarn: p p p λ λ, λ λ 2,, λ λ s 2 K s, gdz wśród warośc własnych λ, λ 2,, λ s macrzy A będących, zgodn z dfncją, zram wlomanu charakrysyczngo macrzy A I d A λ, mogą być lczby jdnakow; p n N, przy czym p +p 2 ++ps M Dowodz sę, ż w akm przypadku snj aka macrz nosoblwa S, ż A S CS, 69 gdz macrz C js macrzą quas-dagonalną, zwaną kanonczną macrzą Jordana [3] I C p λ I p2 λ 2 K K K K K K I λ ps s ; λ K λ K I λ p λ K K λ K λ 62
Rozdzał 6 Układy równań różnczkowych lnowych o sałych współczynnkach 47 Sosując ransformację 69, funkcję wykładnczą A można przkszałcć nasępująco: A S CS S C S C S S 62 Ponważ macrz C js quas-dagonalna, o: C I p λ I p2 λ2 I p s λs 622 Zgodn z dfncją macrzowj funkcj wykładnczj oraz macrzy 62 zachodz [3]: I p λ λ K λ λ K 2 λ λ λ K 2! KKKKKKKKKKKKKKKKKKKKK p p p 2 3 λ λ λ λ K p! p 2! p 3! 623 Wzory 67, 62 622 okrślają srukurę rozwązana równana różnczkowgo 62, a w szczgólnośc jgo zwązk z waroścam własnym λ wysępującym w kombnacjach funkcj λ przmnożonych przz wlomany P sopna n wększgo nż p, gdz p js sopnm dzlnka lmnarngo odpowadającgo warośc własnj λ λ, j P Załóżmy w ogólnym przypadku, ż warośc własn λ macrzy A są zspolon λ α + jβ, 2,, N 624 Jżl R { λ } α >, o odpowdn składnk rozwązana P wzrasają wykładnczo z członm wlomanowym P, gdy czas wzrasa Jżl α <, o odpowdn λ składnk rozwązana P malją, gdy czas wzrasa W każdym przypadku, jśl Im{ λ } β parę sprzężoną z odpowdną waroścą własną λ, co odpowada składnkow rozwązana snusodalnmu z wagą wykładnczą, o jak wadomo λ worzy zspoloną λ wlomanową P : α P sn β 625
48 Algorymy numryczn w Dlph 6 Równana różncow dla różnych aproksymacj funkcj wymuszających Do numryczngo rozwązana układu równań różnczkowych lnowych 62 można wykorzysać równan różncow 68, przyjmując różną aproksymację funkcj wymuszającj u W nnjszym opracowanu podan będą konsrukcj ych algorymów dla rzch przypadków, a manowc dla aproksymacj funkcj wymuszającj w posac funkcj przdzałam sałj, lnowj kwadraowj 6 Wymuszn aproksymowan funkcjam przdzałam sałym Nch wymuszn wkorow u js dan w posac funkcj przdzałam sałj akj, ż: u ukt dla kt k+t, k,, 2, 626 W akm przypadku, wykonując całkowan w równanu różncowym 68 z uwzględnnm wzoru 68, orzymuj sę [7]: k + T Aτ kt Bu τdτ - Aτ k+ T kt A BukT A k + T AkT + A BukT Po umszcznu powyższgo wynku całkowana w równanu 68 orzymuj sę: x A k + T A k + T AkT [ k + T ] x kt + + x kt + A Bu kt gdz: macrz jdnoskowa A Bu kt 627 628 W równanu różncowym 628 clowym js, z względu na mnmum opracj numrycznych, oblczać macrz A, n wykonując pomocnczych oblczń macrzy oraz A, lcz wykorzysując równość: n 629 n n+! A T wynkającą z dfncj 63 Zam po uwzględnnu równana 629 oraz oznaczna macrzy: F G A T n n! n 63 n 63 BT n n +!
Rozdzał 6 Układy równań różnczkowych lnowych o sałych współczynnkach 49 wkorów xk xkt; uk ukt 632 formuła rkurncyjna 628 przyjm posać: xk+ Fxk + G uk 633 N snj węc porzba oblczana macrzy odwronj A, jak by o wynkało z równana 628 Mając na uwadz dalszą mnmalzację opracj numrycznych, nalży zauważyć, ż formowan macrzy F G wzory 63 63 nalży prowadzć równolgl z względu na wspóln lmny wysępując w szrgach Równan różncow 633 daj węc formułę rkurncyjną, kórą można ławo zaprogramować na kompurz, co pokazan będz w dalszych punkach Sosując wzór rkurncyjny 633 do rozwązana numryczngo równana różnczkowgo 62, odpowadający aproksymacj wymuszń funkcjam przdzałam sałym, nalży w prwszj koljnośc wygnrować macrz F G, okrślon wzoram 63 63 Blok funkcyjny gnrujący macrz moż mć posać: funcon FmTmpvar A, B, F, G: TMarxF; T, ps, EpsR: TFloa; N, W: Ingr: Ingr; // Formowan macrzy pomocnczych F, G: // A, B macrz układu równań różnczkowych // dx/d A*X+B*U, // N rząd macrzy A, // W lczba kolumn macrzy B, // T wybrany krok całkowana, // ps górna granca błędu przyblżna macrzy F G, // EpsR błąd wyznaczna najwększj co do modułu warośc // własnj macrzy F var K, Error: Ingr; S, S, Norm, a, MWA: TFloa; AX, AY, a, BX, BT: TMarxF; bgn Rsul : ; SLngha, N +,N + ; SLnghAX, N +,N + ; SLnghBX, N +,N + ; SLnghAY, N +,N + ; SLnghBT, N +,W + ; ry mmulra, A, T; monax; Norm : mnorma; K : ; S : ; S : ; a : Norm / - Norm; mclonf, AX; mclonbx, AX; rpa IncK; mmulay, AX, a; S : S / K; mmulrax, AY, S;
42 Algorymy numryczn w Dlph maddf, F, AX; S : S / K + ; mmulrax, AY, S; maddbx, BX, AX; mclonax, AY; a : a * Norm / K + unl a < ps; Error : megnvalumwa, F, EpsR, ; f MWA > 5 hn Rsul : 6; f Error <> hn Rsul : 7; mmulrbt, B, T; mmulg, BX, BT; fnally a : nl; BT : nl; AX : nl; BX : nl; AY : nl; nd nd{fmtmp }; 62 Wymuszn aproksymowan funkcjam przdzałam lnowym Zakładamy, ż wymuszn u js funkcją cągłą przdzałam lnową aką, ż: dla u u kt + kt + f T [ u k + T ukt ] τ f τ τ 2 kt τ < k+t, gdz: k,, 2, u kt k[ u k + T ukt ] ; f [ u k + T ukt ] f T 2 634 634a Wykonując w akm przypadku całkowan przz częśc w równanu różncowym 68 z uwzględnnm wzoru 68, orzymuj sę: k + T Aτ kt Bu τ dτ A -Aτ A + - + f τ B f -AkT B A 2 B + A k + T kt + k + T kt A -AkT T Bf dτ B u kt + T - B u k + T -Aτ 2
Rozdzał 6 Układy równań różnczkowych lnowych o sałych współczynnkach 42 Po uwzględnnu powyższgo wynku całkowana oraz oznaczna 632 równan różncow 68 przyjm posać: x k + + A x k + A T A Bu k + A Bu k + T 635 Uwzględnając wzory 63 629, równan rkurncyjn 635 można przkszałcć do posac: xk+ Fxk+G uk+huk+, 636 gdz: A A A G A A B BT n T T T ; T n n! n + 2 H A n [ A ] B BT, n n + 2! naomas macrz F wyraża sę wzorm 63 637 638 Równan rkurncyjn 636 daj węc algorym wyznaczana rozwązana równana różnczkowgo w posac 62 W oblcznach kompurowych nalży zauważyć, ż wyznaczan macrzy F, G H zgodn z wzoram 63, 637 638 nalży prowadzć równolgl z względu na wspóln lmny n wysępując w szrgach macrzowych ych wzorów, co mnmalzuj lczbę opracj numrycznych W przypadku sosowana wzoru rkurncyjngo 636 nzbędn js wygnrowan macrzy F, G H wzory 63, 637 638, co można zralzować w nasępującym bloku funkcyjnym: funcon FmTmp2var A, B, F, G2, H: TMarxF; T, ps, EpsR: TFloa; N, W: Ingr: Ingr; // Formowan macrzy pomocnczych F, G2, H: // A, B macrz układu równań różnczkowych dx/d A*X+B*U, // N rząd macrzy A F, // W lczba kolumn macrzy B, G2, H, // T wybrany krok całkowana, // ps górna granca błędu przyblżna macrzy F, G2, H, // EpsR błąd wyznaczna najwększj co do modułu warośc // własnj macrzy F var K, Error: Ingr; SS, S, S2, Norm, a, MWA: TFloa; AX, AY, a, AG, AH, BT: TMarxF; bgn Rsul : ; SLngha, N +,N + ; SLnghAX, N +,N + ; SLnghAY, N +,N + ; SLnghAH, N +,N + ; SLnghAG, N +,N + ; SLnghBT, N +,W + ;
422 Algorymy numryczn w Dlph ry mmulra, A, T; monax; Norm : mnorma; K : ; SS : ; S : 5; S2 : 5; a : Norm / - Norm; monf; mmulrag, AX, 5; mclonah, AG; rpa IncK; mmulay, AX, a; SS : SS / K; mmulrax, AY, SS; maddf, F, AX; S : S * K + / K + 2 * K; mmulrax, AY, S; maddag, AG, AX; S2 : S2 / K + 2; mmulrax, AY, S2; maddah, AH, AX; mclonax, AY; a : a * Norm / K + unl a < ps; Error : megnvalumwa, F, EpsR, ; f MWA > 5 hn Rsul : 6; f Error <> hn Rsul : 7; mmulrbt, B, T; mmulg2, AG, BT; mmulh, AH, BT; fnally a : nl; BT : nl; AX : nl; AY : nl; AG : nl; AH : nl; nd nd{fmtmp2 };