...kady ptak lubi słuca swojego piewu... ROZDZIAŁ VI AALIZA MODALA. WSTP. PODSTAWY AALIZY MODALEJ 3. TEORETYCZA AALIZA MODALA 4. EKSPERYMETALA AALIZA MODALA 5. EKSPLOATACYJA AALIZA MODALA 6. WYIKI BADA
. WSTP Istnieje potzeba doskonalenia caakteystyk dynamicznyc konstuowanyc maszyn, szczególnie w pzypadku maszyn ealizujcyc pocesy tecnologiczne, któym towazysz due obcienia dynamiczne. Wpowadzane s bowiem do budowy maszyn nowe tecnologie oaz nowe ozwizania konstukcyjne, umoliwiajce zwikszenie wydajnoci pocesów, lecz towazysz im czsto due obcienia dynamiczne. Czynnikiem deteminujcym oddziaływania enegetyczne s caakteystyki dynamiczne (zwykle wieloezonansowe) maszyny oaz wekto wymusze. W pzypadku wystpowania obcie dynamicznyc pzekaczajcyc dopuszczalne watoci istnieje potzeba budowy modelu systemu mecanicznego, któego analiza pozwala wskaza tafnie odki i sposoby obniania nadmienyc obcie. Piewszym kokiem w analizie dynamicznej systemu jest identyfikacja wektoa sił wymuszajcyc, działajcyc bezpoednio na pewne elementy konstukcji i pzenoszcyc si do innyc elementów układu w ten sposób, i te ostatnie pobudzane s do dga w wyniku oddziaływania elementu ssiedniego. Poniewa to "pzenoszenie si" odbywa si w sposób selektywny, gdy elementy konstukcji maj własnoci filtujce, istotn zecz jest poznanie tyc własnoci [67,68,69,7]. Zastosowanie nowyc metod badania podatnoci dynamicznej pozwala ozdzieli złoony układ na postsze elementy, umoliwiajc pzepowadzenie analizy wpływu zmian podatnoci poszczególnyc elementów na ogóln caakteystyk dganiow układu złoonego i odpowiedni dobó (elementów) paametów układu podczas jego kształtowania. Minimalizacja oddziaływa enegetycznyc wymaga twozenia moliwie postyc modeli do symulacji obcie dynamicznyc, umoliwiajcyc minimalizacj obcie popzez zmian paametów mecanicznyc maszyny lub zmian paametów pocesu tecnologicznego. Analiz własnoci dynamicznyc konstukcji powadzi si popzez analiz zacowa dynamicznyc modelu tej konstukcji. Poces budowy modelu konstukcji moe by ealizowany popzez analityczny opis wielkoci caakteyzujcyc dynamik układu, albo te metod ekspeymentu modalnego, powadzonego na obiekcie zeczywistym. Czynnikiem deteminujcym oddziaływania enegetyczne i ic efektywno w systemie mecanicznym jest caakteystyka dganiowa złoonego układu mecanicznego, na ogół wieloezonansowego, czsto nieliniowego i o zmiennyc paametac w skali czasu ycia systemu lub czasu własnego pocesu tecnologicznego. Zatem, minimalizacja oddziaływa enegetycznyc ódeł musi powadzi pzez identyfikacj caakteystyk dynamicznyc i utwozenie dostatecznie dokładnego, ale jednoczenie moliwie postego, modelu enegetycznego do wiaygodnej symulacji i minimalizacji obcie dynamicznyc popzez np. zmian paametów mecanicznyc lub paametów pocesu tecnologicznego. Głównymi metodami analizy dynamicznej obiektu s metody analizy modalnej, w tym metoda ekspeymentalnej analizy modalnej i metoda eksploatacyjnej analizy modalnej. Opisujc ewolucyjny poces zuycia oaz uszkodze elementów obiektu mecanicznego naley zbudowa jego olistyczny model enegetyczny, opisujcy jego zacowanie w funkcji czasu Θ, bdcego czasem ewolucji dynamicznej, tj. w całym cyklu ycia obiektu.. PODSTAWY AALIZY MODALEJ Analiza modalna jest powszecnie stosowan w paktyce tecnik badania własnoci dynamicznyc obiektów mecanicznyc. W wyniku analizy modalnej otzymuje si model modalny w postaci zbiou czstoci własnyc, postaci dga oaz współczynników tłumienia. Znajomo tyc paametów umoliwia pzewidywanie zacowania si obiektu na skutek
dowolnyc zabuze ównowagi. Jest ona stosowana dla celów modyfikacji konstukcji, diagnostyki stanu konstukcji, dla celów syntezy steowania w układac aktywnej edukcji dga oaz dla celów weyfikacji i walidacji modeli numeycznyc takic jak modele elementów skoczonyc czy elementów bzegowyc [69,7]. Analiza modalna moe by stosowana, jeeli spełnione s nastpujace załoenia [7]: - układ jest liniowy i jego dynamika moe by opisana za pomoc liniowego układu ówna óniczkowyczwyczajnyc lub czstkowyc; - współczynniki ówna opisujcyc dynamik obiektu s stałe w czasie pomiaów; - układ jest obsewowalny i istnieje moliwo pomiau wszystkic caakteystyk, któyc znajomo jest niezbdna do identyfikacji modelu; - badany układ spełnia zasad wzajemnoci Maxwella; - tłumienie w układzie jest małe lub popocjonalne. Wanym oganiczeniem stosowania analizy modalnej jest te załoenie o oganiczonej liczbie stopni swobody badanego układu, z czym wie si wymia maciezy mas, sztywnoci i tłumienia oaz liczba teoetycznyc czstoci własnyc i postaci dga. Mimo tak silnyc załoe co do zakesu stosowalnoci analizy modalnej jest ona uywana coaz czciej do ozwizywania wielu poblemów, a nabywane dowiadczenia badawcze wskazuj na nowe moliwoci jej aplikacji. W wikszoci paktycznyc zastosowa analizy modalnej wymagany jest wielokanałowy ekspeyment oaz złoone obliczenia zwizane z pzetwazaniem zmiezonyc sygnałów oaz estymacj paametów modelu. Pomimo tak silnyc załoe co do stosowalnoci metody oaz złoonoci wymaganego ekspeymentu jest to w cwili obecnej metoda bez któej nie powstaje adna konstukcja, dla któej istotne s odpowiednio ukształtowane własnoci dynamiczne. Piewsze zastosowania metody analizy modalnej udokumentowano ju z kocem lat 40-tyc, a gwałtowny ic ozwój nastpił w latac 80- tyc, ze wzgldu na ozwój tecnik komputeowyc [7]. Coaz czciej metod t stosuje si dla celów diagnostyki maszyn, wykozystujc opate na modelu podejcie do diagnozowania obiektów mecanicznyc, dla któego caakteystyczne jest ledzenie zmian paametów modeli waz ze zmianami stanu badanego obiektu. Dziki modelowemu podejciu do obiektu mecanicznego moliwe staje si pzewidywanie ozwijajcyc si uszkodze, a tym samym wczeniejsze im pzeciwdziałanie. W klasycznym sfomułowaniu metoda analizy modalnej wymaga steowanego ekspeymentu w któym wymusza si uc obiektu za pomoc sił (lub kinematycznie) oaz miezy odpowied układu w sieci punktów pomiaowyc ozłoonyc na badanym obiekcie. a podstawie zmiezonyc sygnałów wymuszajcyc uc oaz odpowiedzi układu wyznacza si model funkcjonalny w postaci caakteystyk czasowyc lub czstotliwociowyc i na ic podstawie dokonuje estymacji paametów modelu modalnego. Jednak, ze wzgldu na konieczno pomiau wymuszenia, dla celów diagnostycznyc metoda analizy modalnej w klasycznym sfomułowaniu ma oganiczone zastosowanie. O wiele badziej pzydatna jest metoda opata o pomia tylko odpowiedzi układu na wymuszenia eksploatacyjne, któe s wynikiem oddziaływania maszyny z otoczeniem, uszkodze maszyny lub te wynikiem ealizowanego pocesu tecnologicznego. Dla wielu konstukcji w waunkac eksploatacji działaj na układ zupełnie inne wymuszenia (co do caakteu pzebiegu czasowego, ozkładu pzestzennego i amplitudy) ni mona zealizowa w waunkac laboatoyjnyc. Podobnie jest dla waunków bzegowyc, któe w czasie ekspeymentu zale od moliwoci zamocowania obiektu na stanowisku badawczym, natomiast óni si one znacznie od waunków wystpujcyc w czasie eksploatacji. W wielu paktycznyc ealizacjac bada modalnyc badany obiekt jest zbyt duy i ma zbyt du mas, aby mona było wymusi odpowiednio du amplitud ucu w waunkac ekspeymentu czynnego, pzy oganiczonyc jego kosztac, tj. wykozystujc
standadow apaatu badawcz Wymienione wye utudnienia w klasycznej analizie modalnej mog by zminimalizowane popzez zastosowanie analizy modalnej ealizowanej na podstawie pomiaów pzepowadzonyc w czasie nomalnej eksploatacji, czym zajmuje si eksploatacyjna analiza modalna. Tak widziane moliwoci zastosowa pozwala wyóni nastpujce odzaje analizy modalnej: teoetyczn, któa wymaga ozwizania zagadnienia własnego dla pzyjtego modelu stuktualnego badanego obiektu, ekspeymentaln, wymagajc steowanego ekspeymentu identyfikacyjnego, podczas któego wymusza si uc obiektu (np. dgania) oaz dokonuje pomiau wymuszenia i pomiau odpowiedzi w wielu punktac pomiaowyc, ozmieszczonyc na badanym obiekcie, eksploatacyjn, opieajc si na ekspeymencie eksploatacyjnym, w któym dokonuje si pomiaów tylko odpowiedzi układu w wielu punktac pomiaowyc, podczas gdy uc obiektu spowodowany jest zeczywistymi wymuszeniami eksploatacyjnymi. Podstawowy model modalny jest zdefiniowany, jak ju wspomiano, jako zbió czstoci własnyc oaz postaci dga własnyc odpowiadajcyc poszczególnym czstociom własnym. Badziej zaawansowane metody pozwalaj na identyfikacje współczynników tłumienia oaz masy i sztywnoci modalnej. Wyznaczenie modelu funkcjonalnego polega na okeleniu caakteystyk czasowyc odpowiedzi układu, w pzypadku gdy wymuszenie jest impulsowe lub caakteystyk czstotliwociowyc, gdy wymuszenie ma caakte szeokopasmowy. Znajc paamety wymuszenia (w pzypadku analizy ekspeymentalnej) oaz wybane caakteystyki, mona dokona estymacji paametów modelu modalnego. Polega ona na apoksymacji zmiezonyc caakteystyk konstukcji za pomoc funkcji, dla któej zmiennymi s paamety modelu modalnego. Stosowana coaz czciej analiza modalna pozwala na ozwizanie szeegu zagadnie, m.in.[7]: - analiza modalna jest metod ozwizania zagadnienia własnego dla konstukcji (nie dla modelu); - analiza modalna jest metod ozpzgania układu ówna ucu opisujcyc dynamik modelu, - analiza modalna jest metod identyfikacji własnoci dynamicznyc obiektu, - analiza modalna jest metoda dysketyzacji konstukcji o cigłym ozkładzie paametów, - analiza modalna jest metod edukcji modelu. Ekspeymentalna analiza modalna jest jedn z najbadziej ozpowszecnionyc tecnik identyfikacji paametów modalnyc konstukcji mecanicznyc. W metodac klasycznyc do estymacji paametów modeli modalnyc wykozystuje si pomia wymuszenia i odpowiedzi. Zasadniczy podział tyc metod to podział na metody w dziedzinie czasu i czstotliwoci [68]. W dziedzinie czasu ozónia si metody bezpoednie i metody poednie. Do metod bezpoednic metody opate o modele egesyjne sygnałów typu ARX, ARMA, ARMAX i metody DSPI. Do metod poednic zalicza si metody CE, LSCE, PRCE, ITD i ERA [68,7].. W dziedzinie czstotliwoci ównie wyónia si metody poednie i bezpoednie. Do najbadziej znanyc zaliczy naley metody poednie dla pojedynczego stopnia swobody (metoda amplitudy ezonansowej, metoda apoksymacji okgiem, metoda kwadatu, metoda Kennedy-Pancu, metoda odwotnej maciezy sztywnoci, metoda Dobsona, metoda CRF) i dla wielu stopni swobody (GSH, FDPM,CEFD,RFP) GRFP,ERA-FD,SFD,ISSPA) [68,7].
Wiele z tyc metod ma implementacje w opogamowaniu do wspomagania ekspeymentalnej analizy modalnej, pzy czym jest ono badzo dogie. W analizie eksploatacyjnej kozysta si tylko z pomiaów odpowiedzi układu. Znajomo caakteu wymuszenia nie jest w tym pzypadku istotna. ódłem wymusze moe by nomalna eksploatacja maszyny, gdzie na badany obiekt działaj siły zwizane z oddziaływaniem z otoczeniem. Metody identyfikacji opate o pomiay eksploatacyjne mona podzieli na nastpujce gupy [68]: metody ealizowane na bazie koelacji własnej i wzajemnej, metody ealizowane na bazie funkcji autoegesji dla sygnałów odpowiedzi, metody ealizowane w podpzestzeni stocastycznej, metody ealizowane w dziedzinie czstotliwoci w opaciu o apoksymacje zmiezonyc caakteystyk czstociowyc za pomoc modelu modalnego (Peak-Piking), metoda dekompozycji w dziedzinie czstotliwoci (FDD). W paktyce istnieje kilka podstawowyc algoytmów jej ealizacji, zaówno w dziedzinie czasu, jak i w dziedzinie czstotliwoci, pzy czym zastosowania paktyczne s jeszcze niewielkie. Metody oceny uszkodzenia konstukcji z zastosowaniem analizy modalnej mona podzieli na metody: analityczne, ekspeymentalne. W metodac analitycznyc wykozystuje si zaówno wyniki symulacji modeli elementów skoczonyc jak ównie wyniki pzepowadzonego testu modalnego. Klasycznym pzykładem takiej metody jest metoda polegajca na dostajaniu modelu elementów skoczonyc badanej konstukcji na podstawie wyników jej bada modalnyc pzepowadzanyc okesowo w czasie eksploatacji obiektu. Zmiany modelu podczas dostajania s wskanikiem zmian zacodzcyc w badanym obiekcie. Typowo ekspeymentaln metod jest poównywania czstoci własnyc wyznaczanyc w pewnyc odstpac czasu. Zmiany tyc czstoci mog by symptomem powstałego w układzie uszkodzenia. Jednak metoda taj jest w wielu paktycznyc pzypadkac zbyt mało czuła na powstałe uszkodzenia. Badziej czuła jest zmiana zidentyfikowanyc czstoci układu na błdy pomiaowe i zakłócenia ni na powstajce w konstukcji uszkodzenie. O wiele badziej czułe na uszkodzenia konstukcji s postacie dga, któe mona wykozysta do wykywania uszkodzenie konstukcji na kilka sposobów [5,53,68,7]. Do podstawowyc sposobów oceny stanu konstukcji nale: poównanie współczynników MAC i COMAC dla postaci zmiezonyc w pewnyc odstpac czasu w czasie eksploatacji i wykywanie zmian na skutek zmian stanu obiektu; wyznaczanie zmian enegii odkształcenia na skutek powstajcego uszkodzenia na podstawie znajomoci postaci dga. Duga z wymienionyc metod polega na badaniu zmian w pzebiegu postaci dga, a w szczególnoci dugic pocodnyc postaci po współzdnyc, czyli zmian enegii odkształcenia zwizanyc z dana postaci i danym uszkodzeniem konstukcji. Wyóni mona tutaj ównie podejcie czysto ekspeymentalne, w któym enegi odkształcenia oblicza si na podstawie zmiezonyc postaci dga [7] oaz ekspeymentalno- analityczne, w któym konieczna jest znajomo maciezy sztywnoci układu [54,7]. Analiza modalna z definicji moe by zastosowana dla układów spełniajcyc waunki liniowoci. W paktyce badania układów mecanicznyc, nie wszystkie układy mog by taktowane jako liniowe. Do najczciej wystpujcyc naley zaliczy nieliniowoci geometyczne, wynikajce na pzykład ze zmiany ozkładu masy, jak w mecanizmac o wielu złczac, jak ównie nieliniowoci fizyczne zwizane z nieliniowymi
caakteystykami mateiałów. W pzypadku nieliniowoci typu geometycznego do analizy modalnej mona zastosowa metody opate o teoi układów liniowyc o zmiennyc w czasie paametac. W pzypadku nieliniowoci fizycznyc najczciej stosuje si podejcie opate o tzw. siły esztkowe lub na lineayzacji w otoczeniu punktu pacy. Sfomułowanie analizy modalnej dla układów o zmiennyc paametac jest pewn modyfikacj klasycznej analizy modalnej, któa z zasady dotyczy układów o stałyc współczynnikac. Modyfikacja ta opata jest na pojciu zmiennej w czasie funkcji pzejcia. Wanym sposobem wykozystania analizy modalnej jest jej zastosowanie do dostajania modeli elementów skoczonyc. W celu dostojenia paametów modelu stosuje si ónego odzaju metody identyfikacji. Ic wspóln cec jest podział na caakteystyczne etapy: tansfomacja układu współzdnyc modelu numeycznego i ekspeymentalnego dla uzyskania zgodnoci geometii modelu, badanie koelacji pomidzy wynikami symulacji i ekspeymentu, lokalizacja błdów modelu, wybó metody optymalizacji kyteium jakoci modelu (metoda ealizacji dostajania). Zagadnienie to znajduje zastosowanie w doskonaleniu modelu dynamicznego maszyny i zostanie szczegółowo omówione w ozdziale 7. 3. TEORETYCZA AALIZA MODALA Teoetyczn analiz modaln definiuje si jako poblem własny maciezy zaleny od maciezy mas, sztywnoci i tłumienia. Teoetyczna analiza modalna wymaga ozwizania zagadnienia własnego dla pzyjtego modelu stuktualnego badanej konstukcji. Wyznaczone tu zbioy czstoci własnyc, współczynników tłumienia dla czstoci własnyc oaz postacie dga własnyc pozwalaj na symulacje zacowania si konstukcji pzy dowolnyc wymuszeniac, doboze steowa, modyfikacji konstukcji i innyc. Ma ona zastosowanie w pocesie pojektowania, gdy nie ma moliwoci ealizacji bada na obiekcie. W paktycznym zastosowaniu jak dotd wykozystywano analiz modaln do diagnozowania konstukcji katowyc (maszty, anteny, dwigi), diagnozowania tubozespołu oaz diagnozowania jakoci konstukcji mostów. W wikszoci tyc zastosowa zakłada si, e na skutek uszkodzenia zmienia si lokalnie sztywno konstukcji, co powoduje zmiany paametów modelu modalnego. Za pomoc ledzenia zmian postaci dga własnyc mona okeli obsza, w któym wystpuje uszkodzenie [7]. Ocen wpływu ozwijajcego si uszkodzenia na paamety modelu modalnego mona oszacowa stosujc teoi waliwoci do modelu stuktualnego bez tłumienia w postaci: M x+ Kx = 0 (6.) gdzie: M,K macieze mas i sztywnoci, x,x wekto pzypiesze i pzemieszcze. W celu wyznaczenia paametów modelu modalnego naley ozwiza zagadnienie własne w postaci: K { Ψ } Λ M{ Ψ } = {0} (6.) i i gdzie: Λ i -watoci własne, { Ψ i }-wektoy własne. Z powyszego ównania wynika, e zmiana caakteystyk mecanicznyc układu pociga za sob zmian jego caakteystyk własnyc.-, co w liteatuze znane jest jako zagadnienie waliwoci [56]. Po seii pzekształce (6.) uzyskano, dla układu bez tłumienia, w efekcie kocowym zaleno: i
f i T K f i T M = { Ψi} { Ψi} Ψi Ψi (6.3) p 8Π f i p p gdzie: piewszy składnik opisuje wpływ zmian sztywnoci, a dugi efekt zmian masy układu. Okelane zmiany czstoci własnej zale wpost popocjonalnie od wielkoci zmian sztywnoci lub masy, jak te zale od miejsca ozwoju uszkodzenia w konstukcji. Szczegółowe omówienie podstaw teoetycznej analizy modalnej, znanej jako poblem ozwizania zagadnienia własnego pzedstawiono w ozdziale IV, pkt.5.. Ekspeyment w identyfikacji układów mecanicznyc jest podstawowym ódłem infomacji o obiekcie, na podstawie któego ustala si stuktu modelu i wyznacza si watoci paametów (ys.6.). wymuszenie OBIEKT BADA tansmitancja H(f) odpowied czujniki System wstpnego Pzetwonik AC Kompute pzetwazania Rys.6. Typowy zestaw apaatuy do ealizacji ekspeymentu. Typowy zestaw apaatuy do ealizacji ekspeymentu w analizie modalnej skałada si z nastepujcyc elementów: - układ pomiau wymuszenia i odpowiedzi; - układ wstpnego pzetwazania sygnałów; - układ pzetwazania i zbieania synałów; - układ geneowania sygnału wymuszajcego; - układ wzbudzania dga. W badaniac modalnyc ekspeyment polega na wymuszeniu ucu układu i pomiaze siły wymuszajcej oaz odpowiedzi badanego układu. Wymuszenie ucu układu ealizowane jest za pomoc wzbudników dga (wibatoów) lub pzy wymuszeniac udezeniowyc za pomoc specjalnyc młotków. W konstukcji młotka wystpuj: czujnik siły umoliwiajcy pomia siły wymuszajcej, dodatkowa masa umieszczona w młotku w celu dostojenia młotka do wymaganego zakesu czstoci oaz wymienna kocówka o ónej sztywnoci w celu zmiany waunków lokalnyc udezenia. Taka konstukcja młotka umoliwia wzbudzanie dga w układzie o odpowiedniej amplitudzi. Jako odpowied układu na zadane wymuszenie miezy si najczciej pzypieszenie dga, co znajduje uzasadnienie w teoii wiboakustyki maszyn [6,8]. Układy pomiaowe najczciej s wielokanałowymi, umoliwiajcymi jednoczenie pomia wymuszenia i odpowiedzi. Estymacja caakteystyk dynamicznyc w analizie modalnej moe by powadzona dwojako: - za pomoc metody wymuszenia ucu układu wieloma wzbudnikami w celu wzbudzenia jednej z postaci dga własnyc; - za pomoc metody wymuszenia ucu układu w jednym lub w wielu punktac dla potzeb pomiau funkcji pzejcia.
Systemy pomiaowe stosowane w analizie modalnej s opate na ónym spzcie obliczeniowym (specjalizowane analizatoy, komputey PC z kat pzetwonika A/C, stacje obocze z intefejsem pomiaowym). 4. EKSPERYMETALA AALIZA MODALA Ekspeymentalna analiza modalna jest czsto stosowan w paktyce tecnik badania własnoci dynamicznyc obiektów mecanicznyc, zaówno na etapie konstuowania jak i w eksploatacji maszyn. Ekspeyment identyfikacyjny w ekspeymentalnej analizie modalnej (ys.6.) polega na wymuszeniu dga obiektu pzy jednoczesnym pomiaze siły wymuszajcej i odpowiedzi układu, najczciej w postaci widma pzyspiesze dga. M łotek PC B O biekt bada C zujnik IC P T yp A nalizato A PB 00 Rys.6. Zestaw apaatuy uytej do bada w ekspeymentalnej analizie modalnej. Ekspeymentalna analiza modalna składa si zatem z czteec podstawowyc etapów: - modelowanie; - ekspeyment; - estymacja paametów; - weyfikacja modelu. Piewszym kokiem w algoytmie postpowania w ekspeymentalnej analizy modalnej jest modelowanie [53], polegajce na wskazaniu punktów konstukcji, któyc zacowania dynamiczne s istotne w odwzoowaniu zacowa całej maszyny. astpnie naley wyznaczy odpowiedzi czstotliwociowe maszyny w tyc punktac na zadane wymuszenie. Jako wynik uzyskuje si opis własnoci dynamicznyc maszyny w postaci maciezy tansmitancji widmowyc H ik (jω) (i, k =,,...n; i - nume punktu odpowiedzi, k - nume punktu pzyłoenia wymuszenia). Istnieje kilka metod wyznaczania czstotliwociowej odpowiedzi układów mecanicznyc w zalenoci od tecniki wymuszenia. Zatem, w klasycznej analizie modalnej, paamety modalne identyfikowanego obiektu s wyznaczane na podstawie pomiau caakteystyk czstotliwociowyc zmiezonyc na obiekcie za pomoc czynnego ekspeymentu identyfikacyjnego polegajcego na steowanym wymuszeniu dga układu i pomiaze odpowiedzi w postaci widma pzyspieszenia dga. a podstawie znajomoci widma odpowiedzi i wymuszenia dokonuje si identyfikacji pzebiegu caakteystyk czstotliwociowyc obiektu. Postpowanie to jest stosowane w metodac ealizowanyc w dziedzinie czstotliwoci [5]. Za pomoc tyc metod mona wyznaczy paamety modelu modalnego w otoczeniu pojedynczej czstoci własnej (metody SDOF) lub w wybanym pamie czstotliwoci zawieajcym wicej jak jedn czstotliwo własn (metody MDOF). W odónieniu do tyc metod, metody ealizowane w dziedzinie czasu wymagaj wielokanałowego pomiau pzebiegów czasowyc odpowiedzi i wymuszenia. W wikszoci znanyc metod piewszym kokiem poceduy identyfikacji jest wyznaczenie odpowiedzi
impulsowej układu, a nastpnie na podstawie jej znajomoci estymuje si paamety modelu modalnego [5]. Metoda ekspeymentalnej analizy modalnej opisuje własnoci maszyny za pomoc maciezy caakteystyk dynamicznyc. Metoda ta pozwala dokona ozłoenia zacowania si układu na zbió ówna ucu (wyznaczonyc w pzestzeni modalnej) lub zbió postaci własnyc dla poszczególnyc czstotliwoci dga własnyc. Estymacja paametów w ekspeymentalnej analizie modalnej polega na apoksymacji odpowiedzi czstotliwociowej, uzyskanej z pomiaów, pzez wyaenie analityczne. Jeli wyaenie analityczne jest wynikiem ozwaa dotyczcyc odpowiedzi czstotliwociowej modelu, wtedy paamety modalne (czstoci dga własnyc, tłumienie i pzemieszczenie modalne) mog by estymowane na bazie danyc pomiaowyc. Identyfikacja modelu za pomoc ekspeymentalnej analizy modalnej odbywa si w nastpujcej kolejnoci: - wyznaczenie tansmitancji, - dopasowanie kzywyc oaz wyznaczenie czstotliwoci własnyc i stopni tłumienia, - wyznaczenie wektoów własnyc, - wyznaczenie maciezy bezwładnoci, tłumienia i sztywnoci. Własnoci dynamiczne maszyny opisuje maciez zawieajca tansmitancji. Do opisu dynamicznyc zacowa maszyny wystaczy okeli funkcji pzejcia. Musz by jednak spełnione nastpujce wymagania: - konieczny pomia co najmniej jednej autotansmitancji, - pzy wyznaczaniu funkcji tansmitancji winny by uwzgldnione wszystkie punkty dysketyzacji. Moe to polega bd na zastosowaniu wymuszenia w danym punkcie, bd pzez pomia odpowiedzi w tym punkcie. Metody zgodnoci kzywyc (dopasowanie kzywyc) mona podzieli na: - metody bazujce na teoii układu o jednym stopniu swobody, - metody bazujce na teoii układów o wielu stopniac swobody. Piewsza gupa metod ma zastosowanie dla układów o odległyc czstotliwociac własnyc i małyc spzeniac midzy postaciami. Oznacza to pzyjcie załoenia, e w okolicy kadej czstotliwoci własnej udział składowej postaci własnej w dganiac jest dominujcy. Caakteystyk dynamiczn maszyny, w zalenoci od czstotliwoci dga własnyc tłumionyc, współczynników tłumienia i pzemieszcze modalnyc, opisuje wyaenie: (6.4) gdzie: X i - pzemieszczenie w punkcie i, F k - wymuszenie w punkcie k; - nume postaci dga; - współczynnik tłumienia postaci dga o numeze ; ω - czsto dga własnyc o postaci ; U ik + jv ik - zespolone pzemieszczenie modalne. W zagadnieniac ozwizywanyc za pomoc ekspeymentalnej analizy modalnej caakteystyki dynamiczne wyznaczane s w oganiczonym pamie czstotliwoci ( f a, f b ). Wtedy uwzgldniajc wpływ postaci dga z poza pomiaowego pzedziału czstotliwoci otzymuje si: (6.5)
gdzie: m - masa efektywna wpływu postaci o czstociac niszyc od dolnego zakesu ik pomiaowego, S ik - sztywno efektywna wpływu postaci o czstotliwociac wyszyc od gónego zakesu pomiaowego, a, b - odpowiednio najniszy i najwyszy nume postaci dga o czstotliwoci z pzedziału (.f a,.f b ) Uwzgldnienie postaci dga o czstotliwociac własnyc niszyc od dolnej ganicy zakesu pomiaowego f a i wyszyc od gónej ganicy zakesu pomiaowego f b polega na pzyjciu, e poniej i powyej zakesu pomiaowego znajduje si jedynie po jednej postaci własnej [30, 95]. 5. EKSPLOATACYJA AALIZA MODALA Do identyfikacji obiektów mecanicznyc o duyc ozmiaac pzestzennyc i duyc masac stosowana jest metoda eksploatacyjnej analizy modalnej, opata o pomia odpowiedzi na wymuszenia eksploatacyjne, bdce wynikiem działania sił pocesu tecnologicznego, bd wymusze kinematycznyc oaz pocesu destukcji elementów maszyny [67,7]. Eksploatacyjna analiza modalna: - umoliwia analiz modaln obiektów o duyc ozmiaac, dla któyc testy laboatoyjne byłyby utudnione, - modeluje popawniej obiekty, gdy wymuszenia odpowiadaj obcieniom zeczywistym ze wzgldu na ic pzebieg czasowy, ozkład pzestzenny oaz amplitudy, a take waunki bzegowe, - umoliwia identyfikacj modeli nieliniowyc. Zalet metod eksploatacyjnej analizy modalnej w zastosowaniu do identyfikacji caakteystyk dynamicznyc obiektów jest zacowanie waunków bzegowyc oaz wymusze, caakteystycznyc pzy eksploatacji tyc obiektów. Istota eksploatacyjnej analizy modalnej została pzedstawiona na ys.6.3. OBIEKT BADA MODUŁ - diagam stabilizacyjny (nomalne uytkowanie) ekspl. analizy PC - czstoci dga własnyc modalnej - postacie dga, tłumienie Rys.6.3 Istota eksploatacyjnej analizy modalnej. Do identyfikacji modeli modalnyc w opaciu o pomiay eksploatacyjne stosowane s metody [53,7]: - LSCE (Least Squaes Complex Exponential), opata na pomiaac koelacji własnej i koelacji wzajemnej sygnałów odpowiedzi, - BR (Balanced Realisation), wyznaczane z pomoc funkcji autoegesji sygnałów odpowiedzi, - CVA (Canonical Vaiate Analysis), ealizowana w podpzestzeni stacostycznej.
Metod LSCE daje si oszacowa czstotliwoci własne i modalne współczynniki tłumienia. Jest ozszezeniem metody CE (Complex Exponential) dla pzypadku jednego wejcia i wielu wyj. Do identyfikacji modelu modalnego obiektu stosowany jest w waunkac eksploatacji obiektu system pzestzennego ozkładu dga PCODS (Pesonal Compute Opeation Deflection Sapes). Metoda eksploatacyjnej analizy wyznaczania postaci dga PCODS opata jest o wielokanałowy pomia odpowiedzi w wzłowyc punktac obiektu zeczywistego. System umoliwia gaficzne pzedstawienie zacowa dynamicznyc maszyny badanej w waunkac eksploatacyjnyc. Danymi wejciowymi do systemu s pzebiegi czasowe dga mecanicznyc, wystpujcyc w wzłowyc punktac maszyny, odniesione do jednego z nic (o najwyszej amplitudzie). Wyznaczane s widma mocy ω G jω, pzy czym punkt "k" własne G ( ) i widma mocy wzajemne odpowiedzi i ( ) x k x k obiektu jest punktem odniesienia, a punkty "i" s wzłowymi punktami obiektu. Podstawowym elementem metody jest identyfikacja maciezy tansmitancji widmowyc odpowiedzi: x i x k (6.6) Tansmitancja widmowa T ik (jω) zawiea infomacje o amplitudac wzgldnyc i fazac wzgldnyc (wzgldem punktu odniesienia) zacowa eksploatacyjnyc obiektu. System PCODS składa si z tzec modułów:. Moduł modelowania konstukcji. Umoliwia on stwozenie modelu geometycznego konstukcji popzez podanie współzdnyc wzłowyc punktów (max 300 punktów pomiaowyc) oaz elementów łczcyc te punkty (max 400). Istnieje moliwo wpowadzenia współzdnyc lokalnyc (sfeycznyc lub cylindycznyc).. Moduł pomiaowy. Umoliwia wyznaczenie i pzesłanie danyc (caakteystyki dynamiczne badanej maszyny). W takcie pzesyłania wyznaczonyc estymat mona na ekanie mikokomputea obsewowa poszczególne caakteystyki dynamiczne (w pzypadku analizy dwukanałowej mona pzeglda funkcje tansmitancji, koeencji oaz widma mocy lub estymaty amplitudowe i fazy wyznaczanyc sygnałów). 3. Moduł gaficzny. W module tym nastpuje wizualizacja i animacja zacowa dynamicznyc obiektu dla zadanyc czstotliwoci. Mona dla kadej czstotliwoci dga eksploatacyjnyc (ODS) uzyska wynik w postaci tablicy zawieajcej amplitud i faz dga wystpujcyc w poszczególnyc punktac obiektu. Do wyznaczenia paametów modelu modalnego stosuje si metod [53] LSCE (ang. Least Squaes Complex Exponential), za pomoc któej apoksymuje si pzebieg funkcji koelacji sum zanikajcyc wykładniczo funkcji amonicznyc. Metoda ta stosowana do odpowiedzi impulsowej układu jest dobze znan tecnik w klasycznej ekspeymentalnej analizie modalnej dajc estymatoy globalne biegunów układu. Mona udowodni, e funkcja koelacji wzajemnej moe by wykozystana w identyfikacji paametów modelu modalnego w sposób identyczny jak odpowied impulsowa układu. W tym celu ozwaono ównanie dynamiczne ucu układu w postaci: M χ +C χ +K χ = f(t) (6.7) gdzie: M,C,K macieze: mas, tłumienia i sztywnoci, χ, χ, χ - wektoy pzyspiesze, pdkoci i pzemieszcze, f(t) wekto sił wymuszajcyc.
Równanie (6.7) mona pzekształci do współzdnyc głównyc, stosujc tansfomacj dan wzoem: x(t) = Ψq(t) = Ψ n = q (t) (6.8) gdzie: Ψ' jest maciez modaln, któej kolumny s postaciami dga własnyc odpowiadajcyc danej czstoci własnej, q (t) jest współzdna główn (modaln). Pzy załoeniu, e tłumienie jest małe lub popocjonalne po podstawieniu zalenoci (6.8) do ównania (6.7) i pomnoeniu pzez Ψ T otzymuje si ozpzony układ ówna w postaci: q (t)+ξ ω n q (t)+ q T ω n (t)= Ψ f ( t) (6.9) m gdzie: ω n jest t czstoci dga własnyc, ξ jest modalnym współczynnikiem tłumienia dla tej postaci dga, m jest mas modaln. Rozwizanie ównania (6.9) pzy załoeniu zeowyc waunków pocztkowyc dla dowolnego wymuszenia, mona zapisa w postaci splotu: t T q ( t) = Ψ f ( τ ) g ( t τ ) dτ (6.0) Gdzie: g (t) = 0 dla t < 0; g (t) = exp( ξ ω nt) sinω n t dla t 0, ω ) / d = ω n ( ξ mω d jest czstoci dga własnyc tłumionyc. Wykozystujc ozwizanie (6.0) dla współzdnyc modalnyc do wyznaczenia ozwizania we współzdnyc uogólnionyc x(t) otzymano: x(t) = n = ψ t T ψ f ( τ ) g ( t τ dτ ) (6.) gdzie; n jest liczb postaci dga uwzgldnianyc w ozwizaniu. Równanie (6.) dla pojedynczego wyjcia i jednego wymuszenia w punkcie k ma posta: x ik (t) = n = ψ ψ t f ( τ ) g ( t τ dτ i k k ) (6.) gdzie; Ψ i jest i-t składow tej postaci dga. Odpowied impulsowa wywołana pzyłoeniem impulsu Diaca w punkcie k miezona jako odpowied w punkcie i ma posta: x ik ( t) = n ψ iψ k mωd = exp( ξ ω t) sin( ω t) n d (6.3) Funkcja koelacji wzajemnej wyznaczona dla dwóc sygnałów odpowiedzi w punkcie i i j wywołanyc wymuszeniem w postaci białego szumu pzyłoonego w punkcie k ma posta: R ijk (T ) = E[x ik (t + T)x jk (t)] (6.4) gdzie; E oznacza opeato watoci oczekiwanej. Podstawiajc ozwizanie w postaci (6.) do definicji koelacji wzajemnej danej wzoem (6.4) oaz pzyjmujc załoenie, e wymuszenie jest białym szumem dla któego funkcja koelacji jest stał α k pomnoon pzez delt Diaca δ(t), otzymano: R ijk (T) = n n = s= α k ψ iψ kψ jsψ ks g ( λ + T) g s ( λ) dλ 0 (6.5) gdzie: λ = t - τ oaz zmieniono ganice całkowania ze wzgldu na posta funkcji g i pzyczynowo układu.
Wykozystujc definicj funkcji g pzedstawion wzoem (6.0) oaz ozóniajc człony zalene od T i d otzymano: exp( ξ ω nλ) sin( ω d λ) g ( λ + T) = [exp( ξ ω nt) cos( ω dt )] mω d (6.6) exp( ξ ω nλ) cos( ω d λ) + [exp( ξ ω nt ) sin( ω dt )] m ω d podstawiajc zaleno (6.6) oaz analogiczn dla g s (λ) do wzou na funkcje koelacji wzajemnej (6.5) otzymano: R ijk ( T ) n = = [ A ijk exp( ξ ω T ) cos( ω T ) + B n d ijk exp( ξ ω T ) sin( ω T) n d (6.7) gdzie: A ijk, B ijk s niezalene od T i s funkcjami paametów modelu modalnego, A n ijk α kψ iψ kψ jsψ ks sin( ω sd λ) = ξ ω n ξ sω ns λ ω sd λ dλ Bijk s mω d msω exp( ) sin( ) (6.8) = sd cos( ω sd λ) 0 Równanie (6.7) pokazuje zaleno pomidzy funkcj koelacji wzajemnej, któa ma posta sumy wykładniczo zanikajcyc funkcji amonicznyc, a impulsow funkcj pzejcia stosowan w klasycznej analizie modalnej do identyfikacji paametów modeli modalnyc. Dla bezpoedniego wykozystania tak pzedstawionej funkcji koelacji do analizy modalnej mona pzekształci zaleno (6.7) do postaci: n ψ ig j Rij ( T ) = exp( ξ ω nt ) sin( ω dt + ϑ ) = mω d gdzie: nowy kt pzesunicia fazowego ϑ oaz stała,g j dane s wzoami: tan(ϑ ) = I J s I s = ω d (ξ ω n + ξ s ω ns ) s J s ( ) ( ) (6.9) = ω sd ω d + ξ ω n + ξ sω (6.0) ns β = α ψ ψ ψ m G jks j k k js ks n n ψ i = β jks ( I d + J s ) s mω d s= k = Metoda LSCE identyfikacji paametów modelu modalnego jest metod ealizowan w dziedzinie czasu, dajc globalne oszacowanie paametów modelu w postaci czstoci własnyc i modalnyc współczynników tłumienia. Podstaw do wyznaczania modeli modalnyc w metodzie CE (Complex Exponential) jest zmiezony pzebieg impulsowej funkcji pzejcia. a podstawie pomiau odpowiedzi układu na nieznane wymuszenie impulsowa funkcja pzejcia jest zastpowana pzez funkcj koelacji wzajemnej. Funkcja koelacji wzajemnej ma posta sumy zanikajcyc wykładniczo funkcji amonicznyc postaci (6.9). W celu pzedstawienia metody estymacji paametów funkcje t zapisano w postaci: jk (t) = A = jk e s t (6.) gdzie: S = -ω n ξ +iω d. Pzebieg funkcji (t) popzez póbkowanie ze stałym okesem póbkowania t pzekształca si na cig póbek 0, l,,..., L. Wato kadej póbki mona wyazi popzez zalenoci:
= = = = = = L L A V A V A 0 (6.) gdzie: A,V s szukanymi wielkociami, V = t s e. Watoci szukanyc współczynników mona znale stosujc metod Pony [6]. Zgodnie z t metod zawsze istnieje taki wielomian ze wzgldu na V, z zeczywistymi współczynnikami β taki, e spełniona jest zaleno: 0 0 = + + + + L L V V V β β β β (6.3) Wyznaczenie współczynników β wymaga ozwizania ównania postaci: 0 4 = + 4 0 β β β (6.4) Wyznaczone z ównania (6.4) współczynniki umoliwiaj znalezienie piewiastków wielomianu (6.3) V. Wykozystujc okelenie watoci V oaz watoci spzonej do niej wyznacza si czstoci dga własnyc i odpowiadajce im współczynniki tłumienia. Znajc watoci V mona wyznaczy współczynniki A, a w konsekwencji na podstawie zalenoci (6.9) stałe modalne i kat pzesunicia fazowego. Współczynniki A wyznacza si popzez ozwizanie ównania: V V V V V V V V V = A A A A 0 3 (6.5) Rozwizujc ównanie (6.5) ze wzgldu na A mona wyznaczy postacie dga własnyc. Jak mona zauway podane zalenoci s wypowadzone dla. układu typu jedno wejcie jedno wyjcie, tzn., e analizie poddaje si jeden pzebieg impulsowej funkcji pzejcia, a w pzypadku metody z pomiaem odpowiedzi jeden pzebieg funkcji koelacji wzajemnej. Metoda LSCE jest ozszezeniem metody CE dla pzypadku jednego wejcia i wielu wyj, umoliwia ona analiz jednoczenie wszystkic zmiezonyc funkcji koelacji wzajemnej, co pozwala na wyznaczenie estymatoów globalnyc paametów modalnyc badanej konstukcji. Odpowiednie zalenoci maj posta: [ ] [ ] [ ] { }= β p { } { } { } p lub [ ] ( ) px { } ( ) x β = { } ( ) px G (6.6) Rozwizanie ównania (6.6) ze wzgldu na β mona otzyma stosujc pseudo - odwotno: {β} = ([] T []) - [] T { G } (6.7)
Dalsze postpowanie w celu wyznaczenia paametów modelu modalnego jest identyczne jak w pzypadku wczeniej opisanej metody CE. Inn metod identyfikacji modeli modalnyc na podstawie pomiaów w czasie eksploatacji jest metoda BR. Metoda naley do gupy metod sfomułowanyc w podpzestzeni stocastycznej. W celu wypowadzenia podstawowyc zalenoci metody ozwaono stocastyczne ównanie w pzestzeni stanu sfomułowane dla czasu dysketnego. Równanie to ma posta: {x k+ } = [A]{x k } + {w k } {y k } = [C]{x k } + {v k } (6.8) gdzie: {x k } jest wektoem stanu lxn oaz {w k } {v k } s wektoy opisujce biały szum o watoci edniej ównej zeo i epezentujce szum zakłócajcy stan obiektu i wyjcie. Macieze [A] i [C] s odpowiednio maciezami stanu i wyjcia. Dla tak sfomułowanego modelu mona zdefiniowa macieze obsewowalnoci i macieze steowalnoci zdu p w postaci: [ C] [ C][ A] [ p [ O p ] = : [ C p ] = [ G][ A][ G] [ A] [ G ] (6.9) p C A [ ][ ] gdzie: [G] = E({x k+ }{y k } T ), E[.]oznacza wato oczekiwan Macieze steowalnoci i obsewowalnoci s z załoenia zdu n. Pzy takim sfomułowaniu poblem identyfikacji modelu modalnego w waunkac eksploatacji spowadza si do poblemu estymacji elementów maciezy [A] i [C] na podstawie pomiau jedynie wyjcia {y k }. a podstawie znajomoci maciezy [A] i [C] mona wyznaczy zaówno czstoci własne jak ównie obsewowalne postacie dga. Watoci własne i wektoy własne identyfikowanego układu wyznacza si ozwizujc zagadnienie własne dla maciezy [A], znajc te wielkoci mona dokona dekompozycji modalnej maciezy [A]: [A] = [Φ][Λ][Φ] - (6.30) Dysketne czstoci własne (wyznaczone dla układu zdysketyzowanego) λ, bdce watociami elementów na pzektnej maciezy [A] mog by pzetansfomowane do postaci czstoci własnyc dla czasu cigłego za pomoc zalenoci: µ t e i n( ) λ = µ = σ + ω = λ (6.3) t gdzie: σ współczynnik tłumienia, ω tłumion czstoci własn dla -tej postaci dga. Tłumienie modalne ξ dla - tej postaci dga wyznacza si zalenoci: σ ξ = (6.3) ω + σ Posta dga dla -tej czstoci własnej {Ψ} wyznaczona dla punktów w któyc mocowane s czujniki jest obsewowaln czci wektoa własnego {φ} (kolumna maciezy modalnej [Φ]) i mona j wyznaczy ze wzou: {Ψ} = [C]{φ} (6.33) aley zaznaczy, e tak wyznaczone postacie dga nie mog by znomalizowane wzgldem masy, wymaga to pomiau siły wymuszajcej uc. Jak mona. zauway z powyszyc ozwaa mona do estymacji paametów modelu modalnego konieczna jest znajomo elementów maciezy (A] i [C]. Metoda ealizowana w podpzestzeni stocastycznej wymaga, dla wyznaczenia elementów maciezy opisujcyc dynamik układu ozkładu na watoci osobliwe i wektoy osobliwe waonej maciezy Hankela, w ogólnym pzypadku niekwadatowej [53]:
[ ] [ ] R R R q [ ] [W ][H p,q ] = R [ R3 ] [ Rq+ ] [W ] (6.34) [ R p ] [ R p= ] [ R ] p+ q gdzie: R k jest maciez koelacji. Zwizki pomidzy maciez Hankela a maciez steowalnoci i obsewowalnoci wykozystuje si w identyfikacji elementów maciezy opisujcyc dynamiczne własnoci badanego obiektu. Maciez steowalnoci i obsewowalnoci zaley wpost od maciezy stanu A i maciezy wyj C. Obie opisywane metody ealizowane w podpzestzeni stocastycznej óni si maciezami wag [W i ], i=,. W metodzie BR (ang. Balanced Realisation) macieze te s maciezami jednostkowymi, natomiast w metodzie CVA macieze wag maja posta maciezy Teoplitza [5,53]. W piewszym koku poceduy estymacji wyznacza si maciez koelacji własnej i wzajemnej, pzebiegów dga zmiezonyc w punktac pomiaowyc oaz w punktac pzyjtyc jako efeencyjne. Koelacje t mona wyznaczy ze wzou: M [R k ] = { y }{ } T t + k yt (6.35) M t= 0 gdzie: M jest liczb póbek w sygnale. Inn metod jest wykozystanie pomiau gstoci widmowej mocy wzajemnej i własnej oaz wyznaczanie funkcji koelacji popzez odwotn tansfomacje Fouiea. Ze wzgldu na istnienie szybkic algoytmów ealizujcyc pzekształcenie Fouiea metoda ta jest wykozystywana czciej ni metoda opata na bezpoednim obliczaniu funkcji koelacji na podstawie pzebiegów czasowyc. Znajc funkcj koelacji wyznacza si blokow maciez Hankela oaz dokonuje jej ozkładu na watoci osobliwe (SVD): [ R ] [ R ] [ R p ] [ ] [H p,p] = R [ R3 ] [ R p+ ] = ] [ ][ ] T S [ ] [ ][ ] [ R p ] [ R p+ ] [ R ] [ ] 0 V [ U ][ U ] (6.36) T 0 S V p [ ] gdzie: [S ] = diag(σ σ n ), σ σ σ n 0 (6.37) [S ] = diag(σ n+ σ pesp ), σ n+ >> σ n s watociami osobliwymi, p jest pewn dowoln liczb całkowit wyban tak aby p> m, gdzie: m jest liczba fizycznyc postaci dga wystpujcyc w miezonym zakesie czstotliwoci. [S ] i [U l ] zawieaj n piewszyc watoci osobliwyc oaz odpowiadajce im wektoy osobliwe. Zaleno (6.37) umoliwia wyznaczenie zdu modelu n popzez załoenie pewnej ganicznej watoci σ n, watoci osobliwe mniejsze od σ n odzuca si. W paktyce istnieje zawsze taka wato watoci osobliwej, dla któej kolejne watoci s duo mniejsze, i je naley wyeliminowa z dalszyc ozwaa. Z teoii ealizacji stocastycznyc wiadomo, e maciez Hankela dan wzoem (6.36) mona pzedstawi w postaci: Oˆ ˆ (6.38) [H p,p ] = [ ][ ] p C p gdzie: estymata maciezy obsewowalnoci ma posta [ O ] [ U ][ S ] p = Jak mona zauway z powyszyc zalenoci wyznaczajc maciez koelacji, nastpnie twozc z nic blokow maciez Hankela mona wyestymowa maciez obsewowalnoci popzez ozkład na watoci osobliwe. a podstawie wyznaczonyc watoci elementów ˆ
maciezy obsewowalnoci mona wyznaczy szukane elementy maciezy stanu [A] oaz maciezy wyj [C]. Metoda ta moe by stosowana do estymacji modeli modalnyc układów mecanicznyc i jak pokazano w pacy [48,53] jest ona odpona na pewne niestacjonanoci w miezonyc sygnałac. Inn metod, któ mona zaliczy do metod ealizowanyc w podpzestzeni stocastycznej jest metoda CVA (ang. Canonical Vaiate Analysis), któa óni si od popzednio opisanej metody BR tym, e w celu identyfikacji paametów maciezy opisujcyc stan oaz wyjcie dokonuje si ozkładu na watoci i wektoy osobliwe maciez Hankela waon w postaci: [ ] [ ] [ ][ ] [ ][ ] [ ][ ] T [ ] [ ][ ] [ ] T S 0 V H p, p = R H p, p R = U U (6.39) T 0 S V gdzie: maciez wag jest maciez Toeplitza i ma posta: T T R R [ R ] [ 0 ] [ ] [R] = = R [ ] [ R ] [ R ] T 0 p = [ R ] [ R] T (6.40) [ R p ] [ R p ] [ ] R0 W tym pzypadku estymato maciezy obsewowalnoci oblicza si z zalenoci: p [ ] [ R] [ U ][ S ] O p = (6.4) Pozostałe koki algoytmu maj posta identyczn jak w pzypadku metody BR. Wyniki uzyskiwane za pomoc opisanego algoytmu CVA s odpone na błdy numeyczne a pocedua jest numeycznie efektywna. Badzo czsto w paktyce bada konstukcji wystaczajce jest zbadanie sposobu dynamicznego odkształcenia konstukcji na skutek działajcyc na ni obcie eksploatacyjnyc. Metoda ta w odónieniu od metody identyfikacji modelu modalnego daje wyniki zalene nie tylko od własnoci obiektu, ale ównie od sposobu obcienia konstukcji w czasie pomiau. Metoda ODS ta jest znana pod angielsk nazw Opeating Deffection Sape lub Running Mode, a w Polsce pzyjła si nazwa eksploatacyjna analiza modalna. ODS jest definiowane jako odkształcenie konstukcji dla wybanej czstotliwoci dga lub w danej cwili czasowej pzy działaniu na badany obiekt zewntznego wymuszenia, pzy czym analizowany musi by uc dwóc lub wicej punktów konstukcji. W ten sposób moe by okelone odkształcenie konstukcji podczas ucu wymuszonego, ozumiane jako wzgldny uc wybanego punktu odniesiony do pozostałyc. Ze wzgldu na to, e uc jest wektoem (wekto pzyspiesze, pdkoci lub pzemieszcze) ma on punkt zaczepienia, kieunek oaz wato, któe okeiaj sposób odkształcenia konstukcji podczas jej ucu. ODS w dziedzinie czasu moe by wyznaczony na podstawie ónego odzaju odpowiedzi czasowyc badanego obiektu na wymuszenie losowe, impulsowe lub amoniczne. Inne metody stosuje si pzy wyznaczaniu ODS w dziedzinie czstotliwoci, s one w wikszoci opate o pomia widma odpowiedzi układu, pomia gstoci widmowej mocy, caakteystyk czstotliwociowyc lub te specjalnie definiowanej dla celów wyznaczania ODS caakteystyki czstotliwociowej pzejcia odniesionej do dowolnie pzyjtego punktu efeencyjnego [68]. ODS zaley od wymuszenia i gdy zmieni si obcienie konstukcji zmieni si ODS, natomiast wekto modalny jest niezaleny od odzaju wymuszenia i caakteyzuje własnoci dynamiczne konstukcji, a w tym waunki bzegowe, własnoci geometyczne i mateiałowe. Postacie dga (wektoy modalne) s wielkoci bezwymiaow, natomiast ODS ma wymia
pzemieszczenia, pdkoci lub pzyspieszenia zalenie jakie wielkoci były pzyjte w czasie ealizacji pomiau. ODS mona wyznacza w sposób analityczny lub dowiadczalny. Analityczne wyznaczenie ODS polega na ozwizaniu ównania (6.7) dla pzyjtego pzebiegu czasowego wymuszenia. W wyniku ozwizania otzymuje si pzebieg czasowy odpowiedzi w postaci wektoa x(t). Dokonujc obliczenia watoci x(to) dla dowolnej cwili czasu, dla wszystkic współzdnyc wekto x otzymuje si ODS(t) w dziedzinie czasu. Ekspeymentalny sposób wyznaczania ODS polega na jednoczesnym pomiaze paametów dga konstukcji w wielu punktac. Wekto otzymany pzez wybó watoci amplitudy pzebiegu dla danej cwili czasu jest pzebiegiem ODS w dziedzinie czasu. Podobnie postpuje si pzy wyznaczaniu ODS w dziedzinie czstotliwoci. Dynamik układu w dziedzinie czstotliwoci mona opisa za pomoc ównania: X (jω) = H(jω)F(jω) (6.4) gdzie: X(jω)jest wektoem widm odpowiedzi układu, F(jω)jest wektoem widm sił wymuszajcyc, H(jω)jest maciez caakteystyk czstotliwociowyc. Równanie (6.4) jest spełnione w pzypadku układu liniowego dla wszystkic czstotliwoci w ozwaanym zakesie. ODS w dziedzinie czstotliwoci jest zdefiniowane jako odpowied układu na wymuszenie F( jω) dla dowolnej czstotliwoci ω 0 : ODS( jω 0 ) = H(jω 0 )F(jω 0 ) (6.43) Jak mona zauway z zalenoci (6.4) ODS zaley od caakteu sił wymuszajcyc. ODS(t) mona ównie wyznaczy dokonujc odwotnej tansfomacji Fouiea zalenoci (6.43): ODS(t) = FFT - {H( jω)f( jω )} (6.44) W ten sposób ODS moe by wyznaczony dla tyc cwil czasu, dla któyc obliczana jest wato odwotnej tansfomaty Fouiea. Dowiadczalne wyznaczenie ODS w dziedzinie czstotliwoci polega na wielokanałowym pomiaze widma odpowiedzi układu oaz wyznaczeniu widm wzajemnyc pomidzy punktami pomiaowymi, a punktami odniesienia. Ze wzgldu na koszty pomiau liczba kanałów, w któyc dokonuje si jednoczesnego pomiau odpowiedzi jest oganiczona. Z tego wzgldu na konstukcji pzyjmuje si punkty odniesienia, któyc połoenie nie jest zmieniane w czasie pomiaów, natomiast pozostałe punkty pomiaowe s zmieniane w czasie ealizacji ekspeymentu. Takie postpowanie jest konieczne ze wzgldu na konieczno znajomoci kta pzesunicia fazowego pomidzy odpowiedziami układu w punktac w któyc wyznaczane jest ODS. Jeli dgania wymuszone układu zdominowane s pzez dgania własne, to w tym pzypadku wekto ODS jest podobny do wektoa modalnego. Stopie tego podobiestwa zaley od stopnia zdominowania miezonyc odpowiedzi układu pzez dgania własne. Identyfikacja modelu modalnego w eksploatacyjnej analizie modalnej polega na wyznaczeniu: - zbiou czstoci własnyc, - zbiou postaci dga, - zbiou współczynników tłumienia. Do bada eksploatacyjnyc wykozystano [67,68] metod LSCE, któa została zaimplementowana w pogamie Vioma (opacowanym w zespole pof. T. Ula) słucym do pzepowadzenia wstpnej eksploatacyjnej analizy modalnej. W metodzie tej impulsowa funkcja pzejcia zastpowana jest funkcj koelacji wzajemnej, któej pzebieg apoksymowany jest sum zanikajcyc wykładniczo funkcji amonicznyc postaci: st jk ( t) = Ajk e, gdzie s ω nξ + iω d = = (6.45)
Pzebieg funkcji (t) na skutek póbkowania ze stałym okesem t, pzekształca si na cig póbek:,, 0, L. Wato n-tego cigu wyaa si wzoem: n = = A V n, gdzie: A, V s szukanymi wielkociami, V s t = e (6.46) Współczynniki V wyznacza si kozystajc z załoenia, e zawsze istnieje wielomian o zeczywistyc współczynnikac, spełniajcy zaleno: L β 0 + βv + β V + + β LV = 0 (6.47) Znalezienie współczynników β wymaga ozwizania ównania postaci: [ ]{ β } = { } (6.48) Znajomo współczynników β umoliwia z kolei znalezienie piewiastków wielomianu. Czstoci dga własnyc i odpowiadajce im współczynniki tłumienia wyznacza si na podstawie watoci V oaz watoci spzonej do niej. Współczynniki A, a w konsekwencji postacie dga własnyc s wyznaczane pzez ozwizanie ównania: [ V ]{ A} { } = (6.49) Pogam Vioma został napisany w odowisku MATLAB a. Implementuje opeacyjn (eksploatacyjn) oaz klasyczn (ekspeymentaln) analiz modaln konstukcji mecanicznyc. Do pacy wymaga nastpujcej konfiguacji spztowej: kompute klasy PC, z pocesoem Celeon 00MHz, pami opeacyjna (minimum) 3 MB, minimum 5 MB wolnej pzestzeni dyskowej, pakiet SigLab uzdzenie pomiaowe waz z opogamowaniem. system opeacyjny Windows 95, 98, 000, T, odowisko MATLAB w wesji 5.3, zainstalowany pakiet: Signal Pocessing Toolbox. Pogam składa si z nastpujcyc modułów: moduł Data - słucy do wczytywania, pzegldania, zazdzania i postego pzetwazania danyc pomiaowyc, moduł Geomety - pozwalajcy na budowanie i wizualizacj geometii badanego obiektu, moduł Analysis - implementujcy analiz modaln m.in. metod LSCE, moduł Visualization umoliwiajcy wizualizacj wyników analiz. Pzykładowy pzebieg postpowania w paktycznym wykozystaniu tego pogamu pzedstawiono w dalszej czci tego ozdziału. Poównanie modalnej analizy ekspeymentalnej z eksploatacyjn Ekspeymentalna analiza modalna wymaga laboatoyjnyc waunków do pzepowadzenia bada. Model poddawany jest z góy znanym i załoonym wymuszeniom. Wymuszenia te mog odbiega od tyc, któe działaj na obiekt w czasie nomalnej eksploatacji. Podczas ealizacji ekspeymentu mona napotka tudnoci z zacowaniem zgodnyc z zeczywistoci waunków bzegowyc jak np. sposób zamocowania badanego obiektu. W pzypadku duyc modeli wykonanie ekspeymentu jest badzo kosztowne, czsto niemoliwe. Eksploatacyjna analiza modalna, bazujca tylko na pomiaze odpowiedzi układu na wymuszenie eksploatacyjne, pozbawiona jest wad analizy ekspeymentalnej. Badania mona pzepowadzi w waunkac nomalnej pacy maszyny z zacowaniem caakteystycznego dla eksploatacji ozkładu obcie. Redukuj si zatem znacznie koszty pzepowadzenia
pomiaów i identyfikacji paametów modelu. Zidentyfikowany model lepiej symuluje zacowanie si konstukcji zeczywistyc oaz pozwala z dobym pzyblieniem bada układy nieliniowe. Eksploatacyjna analiza modalna znajduje zastosowanie wszdzie tam gdzie nie jest moliwe wykonanie testów laboatoyjnyc. 6. WYIKI BADA 6. Zastosowanie analizy modalnej w diagnostyce maszyn Diagnozowaie stanu maszyn opiea si na podejciu symptomowym lub olistycznym, co szczegółowo omówiono w ozdziale I. Aktualnie twaj badania pzydatnoci metod analizy modalnej w odniesieniu do modeli olistycznyc oaz w zakesie moliwoci poównania wyników bada wiboakustycznyc maszyn w ujciu symptomowym z modelem modalnym. Wynikajce z takiego podejcia poblemy otwieaj nowe moliwoci doskonalenia metod diagnostycznyc, szeoko stosowanyc w moitoowaniu stanu obiektów. Analiza modalna w diagnozowania stanu obiektów mecanicznyc moe zatem znale zastosowanie w nastpujcyc obszaac: wyznaczanie wymusze działajcyc na układ i ic widm czstotliwociowyc na podstawie paametów modelu modalnego i zmiezonej odpowiedzi układu; badanie podobiestwa caakteystyk czstotliwociowyc: dganiowyc i modalnyc; wyznaczenie paametów modelu modalnego eksploatowanego obiektu i ledzenie ic zmian w czasie eksploatacji; dostojenie, na bazie modelu modalnego, modelu elementów skoczonyc konstukcji w stanie zdatnoci oaz ledzenie zmian tego modelu w czasie eksploatacji; dostojony model elementów skoczonyc jest podstaw do modyfikacji konstukcji. Model modalny otzymany w wyniku analizy modalnej jest opisany zbioem czstoci własnyc, postaci dga oaz współczynników tłumienia. Odwzoowuje on zatem zmiany stanu dynamicznego epezentowane pzez zmiany masy, sztywnoci oaz tłumienia wystpujce w ównaniac opisujcyc funkcjonowanie maszyn. Znajomo zacowania si modelu w okelonyc sytuacjac pozwala na okelenie moliwyc miejsc uszkodze oaz pzeciwdziałanie im pzez wpowadzanie modyfikacji: masy (w jednym lub wszystkic kieunkac dga układu), tłumienia oaz sztywnoci (pomidzy poszczególnymi punktami modelu lub pomidzy punktem a ziemi). 6. Ekspeymentalna analiza modalna w badaniu stanu pzekładni zbatej Pzepowadzenie ekspeymentalnej analizy modalnej wymaga pomiau dga konstukcji w wielu jej punktac pzy wymuszeniu działajcym w jednym lub wielu punktac wyznaczonej sieci punktów pomiaowyc. Jednoczenie musi by miezony pzebieg siły wymuszajcej dgania. Estymacja paametów modelu modalnego polega na apoksymacji zmiezonyc caakteystyk konstukcji za pomoc funkcji, dla któej zmiennymi s paamety modelu modalnego. W wikszoci zastosowa zakłada si, e na skutek uszkodzenia zmienia si lokalnie sztywno konstukcji, co powoduje zmiany paametów modelu modalnego. Za pomoc ledzenia zmian postaci dga własnyc mona okeli obsza, w któym wystpuje uszkodzenie. Obiektem bada była pzekładnia zbata DMG- o kołac zbatyc pzesuwnyc i zbac postyc, składajca si z czteec kół osadzonyc na dwóc wałac (ys.5.3). W badaniac ozpoznawczyc modelowano zmiany stanu w waunkac ekspeymentu czynnego. Dla badanego modelu pzekładni zbatej, skonstuowano wekto cec stanu pzekładni z uwzgldnieniem wszystkic moliwyc kombinacji uszkodze: stan bak uszkodze pzekładnia zdatna ( wszystkie paamety w nomie),