ANALIZA MODALNA PROSTEGO ELEMENTU KONSTRUKCYJNEGO W UJ CIU TEORETYCZNYM I EKSPERYMENTALNYM

Transkrypt

1 ANALIZA MODALNA PROSTEGO ELEMENTU KONSTRUKCYJNEGO W UJCIU TEORETYCZNYM I EKSPERYMENTALNYM MICHAŁ LISS, BOGDAN ÓŁTOWSKI, MARCIN ŁUKASIEWICZ, TOMASZ KAŁACZYSKI, JOANNA WILCZARSKA Streszczenie Wtpliwoci zwizane z dokładnym odwzorowaniem modelu rzeczywistego z modelem wirtualnym stworzonym w programach CAD mog mie istotny wpływ na wyniki uzyskiwane z przeprowadzanych analiz dynamicznych na tych modelach. W niniejszym artykule przedstawiono efekty zwizane z przeprowadzon analiz dynamiczn, opartej na teoretycznej analizie modalnej, w programie Autodesk Inventor, a eksperymentaln analiz modaln przeprowadzon na rzeczywistym obiekcie. Słowa kluczowe: teoretyczna analiza modalna, analiza MES, eksperymentalna analiza modalna Wprowadzenie Stosowanie metod analitycznych do rozwizywania praktycznych zagadnie mechaniki orodków cigłych przez lata stanowiły ogromny problem dla inynierów. Wraz z rozwojem przyblionych metod numerycznych opartych na metodzie elementów skoczonych (MES) zwikszały si moliwoci zwizane z analitycznym rozwizywaniem tyche problemów. W midzyczasie jednak radzono sobie z tym problemem poprzez realizowanie odpowiednich eksperymentów na przygotowanych prototypach. W wyniku tego podejcia powstało wiele metod pomiarowych, które pozwalały dokładnie pozna sposób, w jaki zachowuje si badana konstrukcja w wybranych warunkach. Współczenie w dalszym cigu mocno rozwijane s te dwa podejcia analizowania konstrukcji mechanicznych, które skutecznie wzajemnie si uzupełniaj. W wielu przypadkach równie komputerowe analizy w systemach CAD stanowi pewn form weryfikacji dla wyników uzyskiwanych z eksperymentu przeprowadzonego na rzeczywistym obiekcie i odwrotnie, wyniki uzyskane z eksperymentu przeprowadzonego na rzeczywistym obiekcie mona zweryfikowa danymi uzyskanymi z analizy komputerowej. W jednym i drugim podejciu pojawiaj si liczne problemy zwizane z warunkami, jakie s przyjmowane podczas ich realizacji. W przypadku obiektu rzeczywistego osoba przeprowadzajca pomiar musi liczy si z zakłóceniami, które mog oddziaływa na układ pomiarowy podczas przeprowadzania eksperymentu, natomiast osoba przeprowadzajca analiz w programach CAD musi jak najdokładniej odwzorowa rzeczywiste warunki obiektu bada, aby moliwie jak najlepiej zbliy si do rzeczywistego obiektu, wykorzystujc operacje, w które wyposaone jest oprogramowanie CAD. Jedn z wielu metod realizowanych w celu identyfikacji własnoci dynamicznych konstrukcji mechanicznych a jednoczenie moliwych do zastosowania zarówno w programach CAD jak i w formie eksperymentu na rzeczywistym obiekcie s badania modalne. 143

2 Michał Liss, Bogdan ółtowski, Marcin Łukasiewicz, Tomasz Kałaczyski, Joanna Wilczarska Analiza modalna prostego elementu konstrukcyjnego w ujciu teoretycznym i eksperymentalnym 1. Badania modalne Badanie modalne to obecnie powszechnie stosowane techniki pomiarowe majce na celu okrelenie właciwoci dynamicznych konstrukcji mechanicznych. Realizowane s one na dwa sposoby: teoretycznie bd dowiadczalnie. Wynikiem wyjciowym analizy modalnej jest uzyskanie modelu modalnego opisujcego konstrukcj mechaniczn, a składajc si ze zbioru postaci drga własnych, czstoci drga własnych oraz współczynników tłumienia. Znajomo tych wielkoci pozwala na okrelenie zachowania si konstrukcji przy dowolnych wymuszeniach, doborze sterowa w aktywnych metodach ograniczania drga, modyfikacjach konstrukcji w celu osignicia danych charakterystyk dynamicznych, diagnostyce oraz wielu innych zagadnieniach, w których istotna jest znajomo własnoci dynamicznych. Tak widziane moliwoci zastosowa pozwala wyróni nastpujce rodzaje analizy modalnej [6,7,8,9]: a) teoretyczna sprowadzajca si do rozwizania zagadnienia własnego, b) eksperymentalna polegajca na pomiarze wartoci wymuszenia oraz odpowiedzi układu, c) eksploatacyjna polegajca jedynie na pomiarze odpowiedzi dynamicznych układu Teoretyczna analiza modalna W teoretycznej analizie modalnej celem rozwizania zagadnienia własnego jest znalezienie macierzy czstotliwoci i poszczególnych postaci drga własnych modeli numerycznych rozwaanych układów. Rozwizanie zagadnienia własnego sprowadza si do ułoenia układu równa w zalenoci od iloci stopni swobody obiektu bada, którego kady poszczególny człon wyglda nastpujco [4,9]: gdzie: m masa układu, c współczynnik tłumienia, k współczynnik sztywnoci, przypieszenie, prdko, przemieszczenie, siła zewntrzna oddziałowujca na układ w czasie t., (1) Korzystajc z transformacji wektora przemieszcze i jego pochodnych czasowych sprowadzamy równanie (1) do bazy przemieszcze uogólnionych [4]:, (2) gdzie: p wektor przemieszcze uogólnionych, q macierz transformacji. W praktyce wykorzystuje si macierz q uzyskan z rozwizania przemieszczeniowego zagadnienia drga swobodnych z pominiciem wartoci tłumienia [4,9]:, (3) 144

3 Studies & Proceedings of Polish Association for Knowledge Management Nr 79, 2016 Przekształcajc równanie (3) do postaci standardowego zagadnienia własnego mona załoy rozwizanie w postaci:, (4), (5), (6) Przyjmujc załoenie, e istnieje, a i A s odpowiednio czstoci i wektorem postaci drga własnych. Załoenia te przyczyniaj si do spełnienia nastpujcej zalenoci [4]: przyjmujc, e:, (7), (8), (9) Sprowadzajc równanie (7) do postaci standardowej wygldałoby ono nastpujco [4]:, (10) którego rozwizaniem jest zbiór par czstoci oraz wektorów postaci drga własnych [4]: zapisanych w postaci macierzy czstoci własnych [4]:, (11) oraz macierzy wektorów postaci własnych [4]:, (12), (13) przy czym wektory s wzajemnie ortogonalne wzgldem macierzy mas, tzn. [4]:, (14) Podstawiajc powysze równania do ogólnego równania róniczkowego ruchu (1) uzyskamy [4]:, (15) Korzystajc z ortogonalnoci macierzy mas mona zapisa nastpujce warunki pocztkowe [4]:, (16), (17) Układy analizowane w rodowisku Autodesk Inventor s rozwizywane zazwyczaj z pominiciem zjawiska tłumienia, tzn. wraz z uwzgldnieniem sił zewntrznych wymuszajcych układ. Dziki czemu równanie ruchu wyglda nastpujco [4]:, (18) 145

4 Michał Liss, Bogdan ółtowski, Marcin Łukasiewicz, Tomasz Kałaczyski, Joanna Wilczarska Analiza modalna prostego elementu konstrukcyjnego w ujciu teoretycznym i eksperymentalnym gdzie: wektor wymusze, czsto wymusze. Algorytmy teoretycznej analizy modalnej s coraz powszechniejszym narzdziem moliwym do wykorzystania w znanych programach CAD, takich jak np. Autodesk Inventor. W niniejszym artykule dwóm rónym metodom analizy modalnej poddano prosty obiekt o wymiarach 40 mm x 40 mm x 1000 mm, którego form rzeczywist i zamodelowan w rodowisku CAD, przedstawiono na rysunku 1. Właciwoci materiału, z którego został wykonany obiekt bada przedstawiono w tabeli 1. Rysunek 1. Kształtownik zamknity o profilu kwadratowym W wikszoci konstrukcji mechanicznych mona zauway wyran struktur non utrzymujc pozostałe podzespoły i zespoły w zwartej bryle. Na konstrukcje te składaj si odpowiednie typy kształtowników lub profili powizanych połczeniami rozłcznymi lub nierozłcznymi. Przeprowadzona analiza teoretyczna i eksperymentalna ma na celu zweryfikowanie dokładnoci w uzyskanych wynikach poszczególnych analiz. Tabela 1. Właciwoci mechaniczne materiału S235JR ródło: opracowanie własne Widoczny na rysunku 1 zamodelowany element poddano analizie za pomoc modułu Analiza napre. Ten moduł analityczny jest jednym z podsystemów obliczeniowych programu Inventor i został wyposaony w moliwo stosowania metody elementów skoczonych w celu przeprowadzenia teoretycznej analizy modalnej. Przygotowania poprzedzajce etap obliczeniowy zawieraj [1,2,3,5]: zdefiniowanie sposobu podparcia badanego elementu, konwersj wizów wynikajcych ze złoenia i sposobu połczenia brył poszczególnych elementów do postaci umoliwiajcej przeprowadzenie i okrelenie liczby postaci drga. 146

5 Studies & Proceedings of Polish Association for Knowledge Management Nr 79, 2016 W zalenoci od rodzaju połczenia wystpujcego pomidzy elementami konstrukcji zostały one zastpione kontaktami tzw. zwizanymi w przypadku połcze nieruchomych i kontaktami typu spryna w przypadku połcze ruchomych. Kontakt zwizany jest równoznaczny ze spojeniem materiału łczonych elementów takich jak np.: połczenia spawane. Natomiast kontakt typu spryna umoliwia wprowadzenie pomidzy przylegajce powierzchnie bezmasowego elementu sprystego o współczynniku sztywnoci, który jest ustalany przez uytkownika. Podczas modelowania pomijane jest zjawisko tłumienia w przypadku połcze ruchomych, co powoduje e model jest znacznie uproszczony [1,2,3,5]. Na etapie modelowania i przygotowania obiektu do przeprowadzenia teoretycznej analizy modalnej w programie Autodesk Inventor istotnym aspektem jest właciwe zidentyfikowanie warunków brzegowych, które bd wiernie odwzorowywały rzeczywiste warunki pracy badanego obiektu, a jednoczenie warunki te bd zgodne z tymi, w których realizowana była dowiadczalna analiza modalna. Zdefiniowanie warunków brzegowych oraz wprowadzenie ustawie analizy pozwala na przeprowadzenie symulacji. Wyniki przeprowadzonej symulacji przedstawiono w tabeli 2. W ustawieniach okrelono zakres czstotliwoci (do 2048Hz) w jakich ma zosta przeprowadzona analiza. Dziki przeprowadzonej symulacji uzyskano trzy postacie drga własnych o czstotliwociach przedstawionych w tabeli 2. Na rysunkach od 2 do 4 przedstawiono poszczególne postacie drga własnych. Tabela 2. Wyniki analizy modalnej przeprowadzonej w rodowisku CAD Posta drga Czstotliwo [Hz] 1 279, , ,55 Rysunek 2. Pierwsza posta drga własnych o czstotliwoci drga 279,86 [Hz] Rysunek 3. Druga posta drga własnych o czstotliwoci drga 751,64 [Hz] 147

6 Michał Liss, Bogdan ółtowski, Marcin Łukasiewicz, Tomasz Kałaczyski, Joanna Wilczarska Analiza modalna prostego elementu konstrukcyjnego w ujciu teoretycznym i eksperymentalnym Rysunek 4. Trzecia posta drga własnych o czstotliwoci drga 1420,55 [Hz] ródło: opracowanie własne 1.1. Eksperymentalna analiza modalna Eksperymentalna analiza modalna w przeciwiestwie do analizy teoretycznej realizowana jest na podstawie pomiarów na rzeczywistym obiekcie. Eksperyment sprowadza si do wymuszenia drga konstrukcji o odpowiednim zakresie czstotliwoci i pomiarze odpowiedzi układu na zadane w sposób impulsowy bd te harmoniczny wymuszenie. Schemat realizacji pomiaru z wymuszeniem impulsowym przedstawiono na rysunku 5. Przed zastosowaniem metody w praktyce badany układ musi spełni odpowiednie warunki i załoenia, które przedstawiono poniej [8,9,10]: układ jest liniowy i jego dynamika moe by opisana za pomoc liniowego układu równa róniczkowych zwyczajnych lub czstkowych. Z załoenia o liniowoci układu moemy sformułowa zasad superpozycji układu, układ spełnia zasad wzajemnoci Maxwella; w rezultacie spełnienia tego warunku otrzymujemy symetryczne macierze mas, sztywnoci, tłumienia oraz charakterystyk czstociowych, tłumienie w układzie jest małe lub proporcjonalne do masy lub sprystoci, układ jest obserwowalny i istnieje moliwo pomiarów wszystkich charakterystyk, których znajomo jest niezbdna do znajomoci modelu. Rysunek 5. Eksperymentalna analiza modalna typu SISO (Single Input Single Output) Zakładajc, e warunki zostały spełnione przechodzi si do badania analizowanej struktury pobudzajc j do drga wymuszeniem impulsowym. Takiego rodzaju wymuszenie moe zosta zadane młotkiem modalnym, bd wzbudnikiem drga. Reakcja badanego elementu na to wymuszenie jest w najczstszym przypadku mierzona czujnikiem przypiesze drga. 148

7 Studies & Proceedings of Polish Association for Knowledge Management Nr 79, 2016 Rysunek 6. Schemat powstawania poszczególnych podatnoci dynamicznych W trakcie pomiaru, wraz ze wzrostem czstotliwoci wymuszenia, nastpuj zmiany amplitudy w punkcie pomiarowym. Pomimo stałej w czasie siły wymuszajcej, odpowied układu na zadane wymuszenie wzmacnia si w niektórych czstotliwociach układu, a do momentu osignicia pełnej zgodnoci pomidzy czstotliwoci wymuszenia a jego czstotliwoci rezonansow. Rysunek 7. Rzeczywista posta zmierzonej wielkoci nazywanej widmow funkcj przejcia FRF Przetworzenie sygnału czasowego na sygnał czstotliwociowy za pomoc szybkiej transformaty Fouriera (FFT) pozwala na wyznaczenie tzw. widmowej funkcji przejcia (FRF). Taka posta sygnału umoliwia znacznie prostsz form wyznaczania czstotliwoci rezonansowych obiektu (rysunek 6 i 7). W zalenoci od zastosowania metody modalnej naley dobra odpowiedni ilo 149

8 Michał Liss, Bogdan ółtowski, Marcin Łukasiewicz, Tomasz Kałaczyski, Joanna Wilczarska Analiza modalna prostego elementu konstrukcyjnego w ujciu teoretycznym i eksperymentalnym punktów pomiarowych, poniewa liczba ta stanowi o rozmiarze modelu modalnego. Schemat powstawania modelu modalnego przedstawiono na rysunku 8. Rysunek 8. Powstawanie modelu modalnego badanego obiektu Oprócz uzyskiwanych parametrów modalnych w postaci czstoci drga własnych i współczynników tłumienia, otrzymuje si równie poszczególne postacie drga badanej struktury nazywane równie modami wibracji. Mody wibracji mog mie odmienny charakter: skrtny, gitny oraz gitno skrtny. W przygotowaniach do realizacji eksperymentalnej analizy modalnej skonfigurowano układ pomiarowy składajcy si na akcelerometr trójosiowy do rejestrowania dynamicznej odpowiedzi struktury, młotek modalny do wymuszania tej struktury oraz system akwizycji danych LMS Scadas Recorder. Czujnik piezoelektryczny był mocowany do obiektu za pomoc wosku w 20 punktach pomiarowych na całej długoci obiektu badawczego. Przed realizacj właciwego pomiaru przeprowadzono wstpny test pozwalajcy okreli najlepsze miejsce wymuszenia, które umoliwia wzbudzenie jak najwikszej liczby drga własnych obiektu. Trzeba przy tym równie pamita aby dobra odpowiedni kocówk do młotka modalnego, która sprawi, e warto siły wymuszajcej nie bdzie gwałtownie tłumiona przez obiekt i bdzie obejmowała pełny zakres analizowanej czstotliwoci. Zakres czstotliwoci drga w urzdzeniu LMS Scadas Recorder ustawiono na 2048 [Hz]. Wyniki przeprowadzonej eksperymentalnej analizy modalnej przedstawiono w tabeli 3. Tabela 3. Wyniki z eksperymentalnej analizy modalnej Posta Czsto [Hz] Wsp. Tłumienia [%] Posta ,001 Posta ,03 Posta ,05 Na rysunkach od 9 do 11 przedstawiono wyniki eksperymentalnej analizy modalnej w postaci poszczególnych postaci drga własnych. 150

9 Studies & Proceedings of Polish Association for Knowledge Management Nr 79, 2016 Rysunek 9. Pierwsza posta drga własnych o czstoci 279,46 [Hz] i tłumieniu 0,001 Rysunek 10. Druga posta drga własnych o czstoci 752,12 [Hz] i tłumieniu 0,03 [%] 151

10 Michał Liss, Bogdan ółtowski, Marcin Łukasiewicz, Tomasz Kałaczyski, Joanna Wilczarska Analiza modalna prostego elementu konstrukcyjnego w ujciu teoretycznym i eksperymentalnym Rysunek 11. Trzecia posta drga własnych o czstoci 1405,61 [Hz] i tłumieniu 0,05 [%] 2. Analiza wyników Po przeprowadzeniu bada proponowanymi metodami modalnymi sporzdzono zestawienie poszczególnych wyników. W pierwszej kolejnoci skupiono uwag na pierwszym sporód trzech parametrów modalnych, tj. czstotliwo drga własnych. Porównanie tego parametru z poszczególnych analiz zestawiono w tabeli 4. Skróty uyte w tabeli 4 oznaczaj kolejno: EAM eksperymentalna analiza modalna, TAM teoretyczna analiza modalna. Tabela 4. Zestawienie wyników z obu analiz modalnych TAM EAM Rónica Posta 1 279,86 279,463 0,14% Posta 2 751,64 752,122 0,06% Posta , ,607 1,06% Na podstawie wyników przedstawionych w tabeli 4 mona zauway, e rónica jest niewielka i tylko w przypadku jednej postaci drga jej warto przekracza granic 1%. Na rysunkach poniej przedstawiono równie zestawienie poszczególnych postaci drga własnych z obu metod modalnych. 152

11 Studies & Proceedings of Polish Association for Knowledge Management Nr 79, 2016 Rysunek 12. Pierwsza posta drga własnych Rysunek 13. Druga posta drga własnych Rysunek 14. Trzecia posta drga własnych Zaprezentowane powyej porównanie dwóch sporód trzech parametrów modalnych tj.: czstotliwoci drga własnych oraz poszczególnych postaci drga pokazuje, e istnieje pomidzy wynikami bardzo due podobiestwo. 153

12 Michał Liss, Bogdan ółtowski, Marcin Łukasiewicz, Tomasz Kałaczyski, Joanna Wilczarska Analiza modalna prostego elementu konstrukcyjnego w ujciu teoretycznym i eksperymentalnym 3. Podsumowanie Przeprowadzone badania modalne miały na celu porównanie wyników uzyskanych z teoretycznej i eksperymentalnej analizy modalnej. Do realizacji tych bada wykorzystano bardzo prosty element w postaci kształtownika zamknitego, aby maksymalnie zmniejszy moliwo zaistnienia błdów pomiarowych bd te obliczeniowych w przypadku nakładania siatki elementów skoczonych. Pomimo tego rónica w wynikach zaistniała, chocia jego poziom był bardzo znikomy i nie przekraczał w wikszoci wartoci 1%. Tego typu sytuacja pozwala uwiadomi sobie, e w przypadku bardziej złoonych elementów, a nawet całych konstrukcji mechanicznych uzyskanie zbienoci w wynikach pomidzy tymi dwoma metodami jest bardzo trudne, nie mniej jednak w przypadku starannego odwzorowania warunków rzeczywistych w programach CAD jest to jak najbardziej moliwe. Najwikszych ograniczeniem w przypadku programów CAD s biblioteki na podstawie, których dobiera si materiał o właciwociach zblionych do tych, które s badane w rzeczywistoci. W przypadku bardziej złoonych konstrukcji do tych problemów dojdzie równie dokładno, z jak zostanie nałoona siatka MES oraz dobór warunków brzegowych. Modelowanie elementów konstrukcyjnych w programach CAD oraz moliwo przeprowadzania w nich skomplikowanych analiz ma w głównej mierze zmniejszy koszty, z którymi zazwyczaj wi si badania dowiadczalne realizowane na przygotowanych prototypach. Nie spowoduj one jednak całkowitego zaniechania prowadzenia eksperymentów dowiadczalnych na prototypach, ale dziki dokładnemu odwzorowaniu rzeczywistego modelu i warunków, w jakich ma pracowa mona sprawi, e finalny obiekt zdecydowanie szybciej uzyska swój optymalny kształt i cechy konstrukcyjne. Co wicej modele stworzone w programach CAD mog posłuy te do weryfikacji modeli rzeczywistych opartych na pomiarach zrealizowanych na rzeczywistych obiektach. Bibliografia [1] Idziak P., Kowalski K., Analiza porównawcza wybranych rodowisk CAD wykorzystywanych w obliczeniach elementów konstrukcyjnych maszyn elektrycznych, Pozna University of Technology Academic Journals, No 72, s , [2] Kpczak N., Pawłowski W., Teoretyczna i eksperymentalna analiza modalna korpusu obrabiarki, Mechanik, Nr 8 9, s , [3] Kpczak N., Pawłowski W., Teoretyczne badania właciwoci dynamicznych łó obrabiarki wykonanych z eliwa i hybrydowego połczenia eliwa z odlewem mineralnym, Mechanik, Nr 8 9, s , [4] Nowak B., Modelowanie dynamiki układu ko implant. Badania numeryczne i eksperymentalne, Praca doktorska, UKW, Bydgoszcz, [5] Pawłowski W., Bojanowski S., Teoretyczna analiza modalna zespołu wrzeciennika przedmiotu szlifierki do otworów, Mechanik, Nr 11, s , [6] Rusiski E., Czmochowski J., Pietrusiak D., Problemy identyfikacji modeli modalnych stalowych ustrojów nonych, Eksploatacja i Niezawodno, Vol. 14, No 1, s , [7] Sitek K., Syta S., Badania stanowiskowe i diagnostyka, WKiŁ, Warszawa, [8] Uhl T., Komputerowo wspomagana identyfikacja modeli konstrukcji mechanicznych, WNT, Kraków, [9] ółtowski B., Badania dynamiki maszyn, Wydawnictwo MAKAR, Bydgoszcz, [10] ółtowski M., Operacyjna analiza modalna w badanich konstrukcji budowlanych. Bydgoszcz 2012, Wydawnictwo UTP w Bydgoszczy, ISBN

13 Studies & Proceedings of Polish Association for Knowledge Management Nr 79, 2016 COMPARISON OF MODAL ANALYSIS METHOD ON THE EXAMPLE OF SIMPLE CONSTRUCTION ELEMENT IN THEORY AND EXPERIMENTAL Summary Concerns relating to the accurate representation real model with virtual model created in CAD programs could have a significant effect on the results obtained from the analyzes of dynamic on these models. This article presents the results related the performed dynamic analysis, based on the theoretical modal analysis implemented in Autodesk Inventor and experimental modal analysis conducted on the real object. Keywords: theoretical modal analysis, experimental modal analysis, FEM analysis Michał Liss Bogdan ółtowski Marcin Łukasiewicz Tomasz Kałaczyski Joanna Wilczarska Zakład Pojazdów i Diagnostyki, Instytut Eksploatacji Maszyn i Transportu Wydział Inynierii Mechanicznej Uniwersytet Technologiczno-Przyrodniczy w Bydgoszczy ul. Kaliskiego 7, Bydgoszcz michal.liss@utp.edu.pl bogzol@utp.edu.pl marcin.lukasiewicz@utp.edu.pl tomasz.kalaczynski@utp.edu.pl joanna.wilczarska@utp.edu.pl 155