TRANSCOMP XIV INTERNATIONAL CONFERENCE COMPUTER SYSTEMS AIDED SCIENCE, INDUSTRY AND TRANSPORT Marcin GAJEWSKI 1 Sanisław JEMIOŁO 2 Konsrukcje murowe, sany graniczne, elemeny kohezyjne, meoda elemenów skończonych właściwości efekywne elemenów murowych O ZASTOSOWANIU ELEMENTÓW KOHEZYJNYCH W ANALIZIE ELEMENTÓW KONSTRUKCJI MUROWYCH W arykule prezenowane są rozwiązania wybranych zadań brzegowych doyczących konsrukcji murowych przy uwzględnieniu spręŝyso-kruchych właściwości inerfejsu jaki sanowi zaprawa w murze. Maeriał cegły jes modelowany jako spręŝysy. Rozwiązano zadania na komórkach elemenarnych muru oraz zagadnienie brzegowe zginania części muru. Do rozwiązania wszyskich zagadnień sosowany jes program ABAQUS ze sformułowaniem inerfejsu przez elemeny kohezyjne. Zakłada się warunki sanu granicznego jako kwadraowe funkcje składowych wekora napręŝenia albo wekora odkszałcenia w inerfejsie. Po przekroczeniu sanu granicznego przyjęo moŝliwość degradacji właściwości spręŝysych inerfejsu w sformułowaniu przemieszczeniowym uwzględniając liniowe równanie ewolucji. AN APPLICATION OF COHESIVE ELEMENTS IN MASONRY ANALYSIS In he paper soluions of some boundary-value problems for masonry are presened aking ino accoun special elasic-brile properies of morar. Maerial for brick modeling is assumed o be elasic. Some example asks are solved for an elemenary cell and for bended masonry beam. Soluion of all asks are obained using ABAQUS sofware wih maerial inerface formulaed via cohesive elemens. The limi funcions are posulaed in quadraic form depending on sress or srain vecor componens. In pos-criical sae he degradaion of morar elasic properies is aken ino accoun in displacemen formulaion wih linear evoluion funcion. 1. WSTĘP Przedsawione w referacie symulacje numeryczne są prezenowane w ramach programu badawczego doyczącego MES i modelowania konsyuywnego w analizie zniszczenia konsrukcji murowych prowadzonego przez auorów. Jej celem jes rozpoznanie 1 Poliechnika Warszawska, Wydział InŜynierii Lądowej, 00-637 Warszawa, al.armii Ludowej 16, el: + 48 22 234-51-34, e-mail: m.gajewski@il.pw.edu.pl 2 Poliechnika Warszawska, Wydział InŜynierii Lądowej, 00-637 Warszawa, al.armii Ludowej 16, el: + 48 22 234-51-34, e-mail: s.jemiolo@il.pw.edu.pl
850 Marcin GAJEWSKI, Sanisław JEMIOŁO moŝliwości adapacji na porzeby programu badawczego zaawansowanych modeli eoreycznych zaprogramowanych w sysemie ABAQUS [1-3]. Chodzi u głównie o zadanie budowy modeli makroskopowych na podsawie echnik zw. homogenizacji numerycznej, kóra nabiera osanio szczególnego znaczenia w analizie konsrukcji murowych, por. np. [4]. Rozwiązania zadań na komórkach elemenarnych w zamierzeniu mają sanowić bazę do wyznaczenia paramerów maeriałowych nieliniowych, anizoropowych relacji konsyuywnych modeli konynualnych. Elemeny murowe są obecnie modelowane jako niejednorodne maeriały ororopowe, por. np. [4] i lieraurę am cyowaną. 2. MODELE KONSTYTUTYWNE MATERIAŁÓW Maeriał cegły jes modelowany jako izoropowy i spręŝysy. Relacja konsyuywna ma wedy nasępującą posać: σ = E 1 1 2 1 2 ν ν ν ν + r + ε ε I, (1) ( )( ) ( ) ( ) gdzie E jes modułem Younga, a ν sałą Poissona, zaś σ i ε są ensorami drugiego rzędu odpowiednio napręŝenia i odkszałcenia. Tensor I jes ensorem jednoskowym. Maeriał zaprawy w ej pracy jes modelowany jako spręŝyso-kruchy, por. [1-3]. Do momenu osiągnięcia sanu kryycznego inerfejs modelowany jes zw. elemenami kohezyjnymi i ma anizoropowe własności spręŝyse opisane nasępującą relacją: = Kε ˆ (2) gdzie jes wekorem napręŝenia w inerfejsie ( = σn ), K naomias jes ensorem drugiego rzędu charakeryzującym szywność inerfejsu, zaś ˆε jes wekorem odkszałceń w inerfejsie określanym jako δ n δ s δ εˆ = ε nen + ε ses + εe = en + es + e. (3) l l l W relacji (3), zbiór wekorów { } i 0 0 0 e, gdzie i = n, s, sanowi oronormalną bazę wokorową w inerfejsie. Przez n oznaczono kierunek normalny, a s i oznaczają dwa prosopadłe do siebie kierunki syczne. Dodakowo δ i są przemieszczeniami w inerfejsie, a l 0 sanowi grubość elemenu (warswy) kohezyjnej. W ogólności reprezenacja ensora K w przyjęej bazie moŝe mieć nasępującą posać: Knn Kns Kn K Kns Kss K s. (4) Kn Ks K Kryerium uszkodzenia przyjmuje się w posaci funkcji kwadraowej, w kórej wysępują rzy składowe wekora napręŝenia,
O ZASTOSOWANIU ELEMENTÓW KOHEZYJNYCH 851 2 2 2 n s + + = 1 n s albo rzy składowe wekora odkszałcenia w inerfejsie:, (5) 2 2 2 ε ε ε ε ε ε n s + + = 1 n s. (6) W warunku (5), wielkości i oznaczają maksymalne warości składowych wekora napręŝenia wyznaczone odpowiednio w eście rozciągania w kierunku n i ścinania w kierunku s i. W relacji (6) wysępują z kolei maksymalne warości składowej wekora odkszałcenia w inerfejsie ε wyznaczone w analogicznych esach doświadczalnych. i Rys.1. Degradacja właściwości spręŝysych inerfejsu po wysąpieniu uszkodzenia Po zainicjowaniu uszkodzenia zakłada się degradację własności spręŝysych inerfejsu określaną przez skalarny paramer D, zgodnie z zaleŝnością: ( 1 D) =, (7) gdzie oznacza wekor napręŝenia wyliczony z relacji (2) ak, jakby nie nasąpiło uszkodzenie. Paramer D zmienia się zgodnie z przyjęym w niniejszej pracy liniowym modelem ewolucji w posaci: 0 ( ) f ( ) f m m m D = δ δ δ δ δ δ 0 m m m, (8) a inerpreacja wysępujących w (8) paramerów jes przedsawiona na rys. 1. Wszyskie wysępujące w (8) przemieszczenia mają inerpreację zw. przemieszczeń efekywnych wyznaczonych zgodnie ze wzorem:
852 Marcin GAJEWSKI, Sanisław JEMIOŁO 2 2 2 m n s δ = δ + δ + δ (9) W równaniu ewolucji (8) δ m oznacza maksymalną warość efekywnego przemieszczenia w inerfejsie osiągnięą w całej hisorii procesu degradacji maeriału. 3. SYMULACJE NUMERYCZNE 3.1 Zadania na komórkach elemenarnych Zgodnie z wynikami eorii homogenizacji, [5], w przypadku danego układu murowego do analizy moŝna wybrać zw. komórkę elemenarną, por. rys.2 i rys.5. Komórki elemenarne muru są modelowane jako elemeny płaskie (PSN). ZałoŜono wymiar sandardowej cegły jako: 25x12x6.5 [cm] (w płaszczyźnie modelu 25x6.5[cm]) oraz grubość spoiny równą 1.0[cm]. Obszar cegieł jes modelowany elemenami CPS4R, a obszar zaprawy elemenami CPS4R i elemenami kohezyjnymi COH2D4. W przypadku cegły w relacji konsyuywnej (1) przyjęo E =20[GPa] i ν =0.15. Spoina jes modelowana zgodnie z opisem zamieszczonym w pk.2 i w relacji (2) składowe reprezenacji ensora szywności K przyjęo jako: K =2[GPa], K =1.6[GPa] i nn ss K =1.6[GPa]. Pozosałe składowe K są zerowe. Oznacza o, Ŝe maeriał inerfejsu jes maeriałem ororopowym. Warunek graniczny przyjęo w formie relacji (6) podsawiając odpowiednio: ε =0.001, ε n podsawiając s =0.002 i ε =0.002. Degradację uwzględniono zgodnie z modelem (8) f δ m =0.1[mm]. Warość parameru (10[mm]) oraz danych do warunku granicznego ε i. a) b) 0 δ m wynika z relacji (9), grubości spoiny Rys.2. Siaka MES: a) regularna, b) po zasosowaniu algorymu adapacyjnego z widocznym podziałem na podobszary modelujące cegły i zaprawę w przypadku komórki elemenarnej
O ZASTOSOWANIU ELEMENTÓW KOHEZYJNYCH 853 Rys.3. Uśredniona siła w funkcji przemieszczenia krawędzi w esach ścinania przeprowadzonych na komórce elemenarnej Rozwiązano na komórkach elemenarnych czery zadania brzegowe: dwa zadania ścinania i dwa zadania rozciągania w róŝnych kierunkach. We wszyskich zadaniach deformację wymuszano zakładając odpowiednie przemieszczeniowe warunki brzegowe. Schemaycznie deformacje e zamieszczono na rys.3 i 4, obok wykresów uśrednionych sił w funkcji odpowiedniego przemieszczenia. Porównując wykresy zamieszczone na rys. 3 i 4 widać wyraźną anizoropię zw. efekywnych właściwości mechanicznych komórki elemenarnej. O ile w przypadku ścinania róŝnica między maksymalnymi warościami sił wynosi zaledwie kilka procen, o w przypadku rozciągania jes bliska 150%. Dodakowo zauwaŝamy, znaczne róŝnice w warościach szywności elemenu murowego w zaleŝności od kierunku rozciągania oraz sposobu realizacji ścinania, co jes charakerysyczne dla maeriałów ororopowych. Rys.4. Uśredniona siła w funkcji przemieszczenia krawędzi w esach rozciągania przeprowadzonych na komórce elemenarnej 3.2 Przykład zadania brzegowego Przeprowadzono symulację zginania elemenu murowego o długości pięciu sandardowych cegieł powiązanych warswą zaprawy o grubości 1[cm] (j. 5x25[cm]+5x1[cm]) i wysokości dziesięciu warsw cegieł ułoŝonych na płask, równieŝ połączonych warswą zaprawy o grubości 1[cm] (j. 10x6.5[cm]+10x1[cm]). Sposób
854 Marcin GAJEWSKI, Sanisław JEMIOŁO ułoŝenia cegieł w murze, siakę MES oraz przyjęe przemieszczeniowe warunki brzegowe zaprezenowano na rys.5. W ym przypadku dane maeriałowe przyjęo ak jak dla komórek elemenarnych, z ą ylko róŝnicą, ze zadanie rozwiązano raz z kryerium granicznym w posaci (6), zaś drugi raz z kryerium w posaci (5) podsawiając odpowiednio: =1.0[MPa]. n =0.5[MPa], s =1.0[MPa] i Rys.5. Siaka MES z widocznym podziałem na podobszary modelujące cegły i zaprawę Siaka MES składa się z 8400 elemenów ypu CPS4R i COH2D4. Elemen CPS4R jes czerowęzłowym elemenem płaskiego sanu napręŝenia o liniowych funkcjach kszału, zaś elemen COH2D4 jes dwuwymiarowym, czerowęzłowym elemenem ypu kohezyjnego. Po grubości warswy zaprawy w murze przyjęo jeden elemen ypu kohezyjnego, zaś kaŝda cegła jes modelowana 138 elemenami (23x6). Przemieszczeniowe warunki brzegowe modelujące podparcie muru przyjęo na dolnej krawędzi ak jak na rys.5. Przy lewej zewnęrznej krawędzi odebrano moŝliwość przesuwu w kierunku poziomym i pionowym, zaś po prawej sronie ylko w kierunku pionowym. Jednocześnie na górnej krawędzi wymuszono przemieszczenie krawędzi jednej z cegieł. Rys.6. Wykres warswicowy funkcji wysępującej w warunku (5), j. akywność warunku granicznego. Kolor czerwony oznacza przekroczenie warunku granicznego przy b u =-1.5[mm] 2
O ZASTOSOWANIU ELEMENTÓW KOHEZYJNYCH 855 Rys.7. Wykres warswicowy napręŝeń zasępczych Hubera-Misesa w przypadku zadania z warunkiem granicznym w posaci funkcji (5) przy u2b =-1.5[mm] Rys.8. Wykres warswicowy napręŝeń zasępczych Hubera-Misesa w przypadku zadania z warunkiem granicznym w posaci funkcji (6) przy u2b =-2.0[mm] Rys.9. Wypadkowa siła (na jednoskę grubości) w funkcji przemieszczenia w przypadku zadania z warunkiem granicznym w posaci funkcji (5) i funkcji (6)
856 Marcin GAJEWSKI, Sanisław JEMIOŁO 4. WNIOSKI Doświadczenia zdobye podczas symulacji numerycznej z zasosowaniem sysemu MES ABAQUS z elemenami skończonymi ypu kohezyjnego (o relacjach konsyuywnych podanych w pk.2) wskazują na moŝliwość wykorzysania zaproponowanego w pracy modelu elemenów murowych w dwóch zasadniczo róŝnych meodach oceny szywności i wyrzymałości konsrukcji murowych. W meodzie pierwszej elemeny murowe modelowane są mikrosrukuralnie jako cegły i zaprawa o określonych wyidealizowanych właściwościach mechanicznych. W pracy wykazano, Ŝe isone jes modelowanie zaprawy jako ororopowego maeriału spręŝyso-kruchego z degradacją i zw. mięknięciem. Naomias najprosszą realizacją ego celu jes zasosowanie modelu inerfejsu oraz zw. elemenów kohezyjnych. Uzyskane wyniki numeryczne wskazują na jakościową ich zgodność z badaniami doświadczalnymi. Zagadnieniem owarym jes walidacja zaproponowanego modelu. Dodakowo, efekem zasosowania ych wyidealizowanych modeli w zadaniach na komórkach elemenarnych muru wskazują, Ŝe efekywne właściwości muru na poziomie modelu makroskopowego powinny być modelowane eorią spręŝyso-plasyczności, w kórej dodakowo uwzględnione są właściwości degradacyjne maeriału. Podane, odpowiednio uśrednione wyniki esów numerycznych z zasosowaniem modelu elemenarnych komórek, wydzielonych z periodycznego elemenu murowego, mogą być inerpreowane jako wyniki zadania numerycznej homogenizacji i zasosowane do wyznaczenia paramerów makroskopowych modeli konynualnych sosowanych np. w pracy [4]. Zagadnienie o powinno być celem dalszych badań. Podziękowania Praca jes finansowana ze środków na naukę w laach 2008 2011 jako własny projek badawczy Miniserswa Nauki i Szkolnicwa WyŜszego nr N N506 396435. 5. BIBLIOGRAFIA [1] ABAQUS Analysis User s Manual, Volume III: Maerials, Version 6.7, Dassaul Sysèmes, 2007. [2] ABAQUS/CAE User s Manual, Version 6.7, Dassaul Sysèmes, 2007. [3] ABAQUS Theory Manual, Version 6.7, Dassaul Sysèmes, 2007. [4] Lourenco P., Zucchini, Milani G., Tralli A., Homogenisaion Approaches for Srucural Analysis of Masonry Buildings. In Proc. SAHC, New Delhi 2006, Vol. 1., p.59-75