Zadae p (X p (X ( ( π 6 6 e 6 X m ( π 6 6 e 6 ( X C e m 6 X, gdze staªa C e zale»y od statystyk X (X,, X 6, a m jest w ksze od zera Zatem p (X/p (X jest emalej c fukcj statystyk T (X 6 X ªatwo pokaza,»e przy H zachodz T (X N(; 6, zatem, 5 P H (T (X > k P(U > k 4, gdze U N(;, st d k/4, 645 Nech teraz H ozacza hpotez zerow bor c pod uwag opsa zale»o± zmeych, jest ODP P H (T (X > k Przy H statystyka T (X ma oczyw±ce rozkªad ormaly, bo wtedy dla,, 6 jest X N(; oraz dla,, 5 zachodz zatem E H T (X oraz, 6 ( X 5 V ar H T (X V ar H + Cov(X ; X + +, Cov H ( X, X + + 6 5 +, 5 + + 3, a w c przy H jest T (X N(; 3, st d (przy U N(; oraz k 4, 645 zachodz ODP P H (T (X > k P(U > k 3 Φ(, 88, Zadae To zadae rozw»emy w szczególo±c Zauwa»my,»e dla odpowedz s stote ró»e Oblczmy P(N P(X Y < X + X 64 x f X (x e x 3y e 4y e z dzdydx x y x y e 6y dydx 8 7 x f Y (y Teraz podstawaj c kolejo do odpowedz rówo± zachodz dla ODP A y x f X (zdzdydx LKU, 3
Zadae 3 Obszar krytyczy testu jest postac K {X : Λ(X < k}, gdze Λ(X sup θ p θ (X sup θ> p θ (X Oczyw±ce lczk jest rówy p θ (X, szukaj c supremum maowka rozw»my rówae d dθ p θ(x d ( dθ θ (θ X Rozw zaem jest θ X > jest to maksmum, zatem supremum jest os gae (bo szukamy go a przedzale (; + St d Λ(X X X X 4 X 4 X ( X Nech teraz Y X, zatem Λ(Y 4Y ( Y Dla t (; θ zachodz P θ (Y < t P θ ( t < X < t t θ + x θ dx + st d dla t (; θ jest f Y,θ (t d ( t dt θ t θ Zatem dla k (, (bo dla θ jest Λ(Y (; t θ t θ, P θ (Λ(Y < k P θ (4Y ( Y < k θ x θ dx t θ t θ, Rozw»my teraz erówo± Y ( Y k <, oblczamy delt oraz perwastk, którym s y + a, y a, a k, przy k (, delta jest w ksza od zera, oraz y (/;, y (; /, bo a (; /, poadto wspóªczyk przy Y jest ujemy, zatem zatem, 8, P θ (Λ(Y k < P θ (Y (; y (y ;,5 a,5+a,5 a f Y, (tdt +,5+a f Y, (tdt,5+a,5 a f Y, (tdt, ( tdt + a ( a (, 5 + a + (, 5 a, powy»sze rówae jest w stoce rówaem lowym, którego rozw zaem jest a, 4, zatem y, 9, y,, a zbór krytyczy jest postac K {y > : y <, lub y >, 9} Teraz ODP P θ4 (Y K P θ4 (Y (; / (9/; 4, f Y,4 (tdt + 4,9 f Y,4 (tdt,9, ( tdt, 65 8 LKU, 3
Zadae 4 Zmea losowa Uma rozkªad c gªy oraz U R, zatem dla u R zachodz Zatem P(U < u P(l(X/Y > u P(X > Y e u f Y (y u R, odpowed¹ B jest prawdªowa e y(+e u ye u f X (xdxdy + e u f U (u d ( du + e u e u ( + e u, e y ye u e x dxdy Zadae 5 Nech Y max{x,, X }, wtedy oczyw±ce f Y (y ( y dla y (, oraz Zatem Jest ech teraz wtedy E(M N X z, N zp(y < z + E(Y Y > z P(Y > z ODP E(M N X z + e z z + + ( (! f(x z ( y ydy E(M N X z, N P(N + + + z e ( + (z e z,! x + (! x +!( +, d + dx f(x x x! xex, + z (! + + (wej±ce z ró»czkowaem pod sum jest jak ajbardzej uzasadoe zatem f(x x ye y dy xe x e x +, (z! 3 LKU, 3
st d ODP e ( (ez + f( e(z Zadae 6 N UD(; 3/4 zatem EN /3 V arn 8/9 Dla,, jest EI, 5, EI /3, EX, EX 5, V arx, E(X I, E(X I 5/3, V ar(x I /3, E(X ( + I 3, E(X ( + I 35/3, V ar(x ( + I 8/3 Teraz korzystaj c ze wzoru a waracj rozkªadu zªo»oego oblczamy V ars N V arn (EX + EN V arx 38 9, V arz N V arn (E(I X + EN V ar(x I 4 3, V ar(z N + S N V arn (E(X ( + I + EN V ar(x ( + I 88 9 Fale ze wzoru a waracj sumy zmeych losowych jest ODP Cov(S N, Z N (V ar(s N + Z N V ars N V arz N Zadae 7 ˆX + E(X + X,, X oczyw±ce E(X + θ /θ Teraz E(X + θf θ X,,X (θdθ, 9 9 f θ (θf X,,X f θ X,,X (θ θ(θ f θ (θf 6 β4 θ 3 e βθ θ e θ X X,,X θ(θdθ f θ (θf, X,,X θ(θdθ oczyw±ce maowk e zale»y od θ, zatem θ X,, X ma rozkªad Gamma, a kokrete odczytuj c z powy»szego wzoru parametry, jest θ X,, X Γ( + 4; β + X Zatem θ ˆX +4 ( +4e θ(β+ + β + X X dθ β + X g(θdθ, θ Γ( + 4 + 3 gdze g to g sto± rozkªadu Γ( + 3, β + X, zatem ˆX + β + + 3 Warukowo, wzgl dem θ, jest X θ Γ(; θ, st d X ODP V ar ˆX + ( + 3 V ar( EV ar X ( X θ ( + V are X θ ( + 3 E θ + V ar E θ θ + E ( + 3 θ (E θ β ( + 3 8( + 3, 4 LKU, 3
bo θ Γ(4, β ªatwo oblczy,»e E θ β/3 oraz E θ β /6 Zadae 8 S aσ σ (X X ( σ X + X X X ± X σ (X X + ( σ (X X U + V, ( gdze U σ (X X χ, V σ (X X χ oraz zmee losowe U V s ezale»e Fakt,»e U ma rozkªad χ jest oczywsty, V ma rozkªad χ, poewa» oraz X N(µ; σ, X N(µ; σ, E(X X, zatem V ar(x X σ + σ (X X N(; σ, j Cov(X, X j σ + σ σ σ, ( V σ (X X χ Dodatkowo, zmee losowe U oraz X s oczyw±ce ezale»e, zatem zmee losowe U oraz X s ezale»e, st d wka ezale»o± zmeych losowych U V Obªó»my teraz rówae U +, 5V warto±c oczekwa, st d S aσ E(U + V + E S aσ ES aσ, by statystyka S byªa eobc»oym estymatorem parametru σ mus by ES σ, podstawaj c to do powy»szego rówaa otrzymujemy,»e a (, 5 Rozpszmy teraz bo E S σ, zatem ( S ODP ER E σ S V ar σ, ODP V ar S σ a V ar(u + V ( (, 5 + 4 (4 3 ( 5 LKU, 3
Zadae 9 L(Y, b ( π Y e (l Y bx, l L(Y, b C + b x l Y b x, gdze staªa C e zale»y od parametru b, rozw zujemy d l L(Y, b db x l Y b 4, st d ˆb, 5 x l Y jest to maksmum, zatem ( ĝ exp x l Y, ale przy ustaloym b, zachodz (dla,, kolejo l Y N(bx ;, x l Y N(x b; x oraz ale x l Y E N(b;, zatem ĝ LN(b;, st d ODP E b ĝ g(b e b+,5 e b e b ( e Zadae Nech zmee losowe X, X, X 3 ozaczaj umer rzutu w którym po raz perwszy a odpowedej ko±c (,, 3 wypadªa jedyka, te zmee losowe s ezale»e maj rozkªady geometrycze okre±loe a zborze lczb aturalych bez zera z parametrem sukcesu p /6 (czyl wrzucee jedyk parametrem oczekwaa q p 5/6 (wrzucee ej cyfry» jedyka, zatem ODP P(X 3, dla,, 3 ( 3 ( P(X 3 6 + 5 6 ( 5 6 + 3, 75 6 6 6 LKU, 3