Mtemtik II Ing. Rdek Fučík, Ph.D. WikiSkriptum verze: 25. říjn 209
Obsh Integrce rcionálních funkcí 4 2 Zobecněný Riemnnův integrál 5 2. Definice........................................ 5 2.2 Kritéri konvergence................................. 5 2.3 Výpočet zobecněného integrálu........................... 6 3 Kuželosečky 7 3. Krtézský systém souřdnic v R 2.......................... 7 3.2 Kružnice........................................ 9 3.3 Elips......................................... 9 3.4 Hyperbol....................................... 0 3.5 Prbol........................................ 4 Polární souřdnice 2 4. Definice........................................ 2 4.2 Symetrie v polárních souřdnicích.......................... 3 4.3 Příkldy křivek v polárních souřdnicích...................... 3 4.4 Výpočet plochy v polárních souřdnicích...................... 5 4.5 Vzdálenost v polárních souřdnicích......................... 5 5 Křivky dné prmetricky 6 5. Definice........................................ 6 5.2 Tečny ke křivce dné prmetricky......................... 7 5.3 Ploch v křivce dné prmetricky......................... 8 5.4 Délk křivky dné prmetricky........................... 8 5.5 Objem rotující křivky dné prmetricky...................... 8 5.6 Povrch rotující křivky dné prmetricky...................... 9 6 Supremum infimum 9 7 Posloupnosti reálných čísel 20 7. Definice........................................ 20 7.2 Limit posloupnosti.................................. 2 7.3 Limes superior limes inferior............................ 2 7.4 Počítání limit..................................... 22 7.5 Číslo e......................................... 23 7.6 Důležité příkldy................................... 25 8 Nekonečné řdy 25 8. Definice........................................ 25 8.2 Konvergence řd................................... 26 8.2. Konvergence řd s nezápornými členy.................... 26 8.2.2 Absolutní konvergence............................ 28 8.2.3 Alternující řdy................................ 28 9 Tylorův polynom Tylorov řd 29 9. Tylorův polynom................................... 29 9.2 Tylorov řd.................................... 3 2
0 Mocninné Řdy 3 0. Konvergence...................................... 3 0.2 Derivování mocninných řd............................. 32 0.3 Integrce mocninných řd.............................. 32 0.4 Vlstnosti mocninných řd.............................. 32 Reference 32 3
Integrce rcionálních funkcí Definice. (Rcionální funkce) Rcionální funkcí nzýváme funkci f(x) = p(x), kde p q jsou polynomy. q(x) Poznámk. Chceme spočítt p(x) dx dx umíme-li spočítt q(x) Vět.2 (Rovnost polynomů) Dv polynomy p(x) = n k=0 k = b k pro všechn k = 0,,..., n., (x ) k 2x+b dx, dx. (x 2 +bx+c) k (x 2 +bx+c) k k x k q(x) = m b k x k se n R rovnjí právě tehdy, když n = m Definice.3 (Ireducibilní polynom nd R) Polynom p nzýváme ireducibilním nd R pokud nemá žádný reálný kořen. k=0 Poznámk. Polynom (x 2 + bx + c) k je ireducibilní nd R, právě když b 2 4c < 0. Postup.4 (Postup integrce rcionální funkce pomocí rozkldu n prciální zlomky) Postup integrce rcionální funkce p(x) dx, kde st p < st q. q(x). Fktorizce polynomu q n ireducibilní polynomy nd R: q(x) = k l (x i ) n i (x 2 + b i x + c i ) m i i= i= 2. Rozložení p(x) q(x) n prciální zlomky podle následujících prvidel: () Fktor typu (x ) n ve jmenovteli vede n prciální zlomky A x + A 2 (x ) 2 + + A n (x ) n. (b) Fktor typu (x 2 + bx + c) m ve jmenovteli vede n prciální zlomky B x + C x 2 + bx + c + B 2x + C 2 (x 2 + bx + c) 2 + + B mx + C m (x 2 + bx + c) m. 3. Neznámé koeficienty (viz A i, B i C i ) v čittelích všech prciálních zlomků je nutné spočítt pomocí zpětného sloučení prciálních zlomků n společný jmenovtel. 4. Porovnáním výsledného polynomu v čitteli pomocí věty.2 s původním polynomem p(x) podle koeficientů u jednotlivých mocnin x k dostneme soustvu lineárních rovnic. 5. Řešením soustvy lineárních rovnic dostneme rozkld rcionální funkce n prciální zlomky. 6. Postupná integrce jednotlivých prciálních zlomků. 4
2 Zobecněný Riemnnův integrál 2. Definice Poznámk. Pro spojitou funkci f n intervlu [, b] jsme v zimním semestru definovli určitý (vlstní) Riemnnův integrál. V této kpitole budeme pro tento integrál používt symbol R Definice 2. (Kritický bod) Bod R {+ } { } nzveme kritickým bodem integrálu = + nebo = nebo / D f. f(x)dx, kde b R, jestliže Definice 2.2 (Zobecněný nevlstní Riemnnův integrál) ( ) x Bud < b +. Necht pro funkci f pltí, že ( x [, b)) R f(t)dt, resp. ( ) x ( x (, b]) R f(t)dt. Existuje-li limit lim R f(t)dt, resp. lim R b f(t)dt, nzýváme x x b x + x tuto limitu zobecněným nebo nevlstním (v přípdě b = +, resp. = ) Riemnnovým integrálem, který znčíme integrál konverguje. V opčném přípdě integrál diverguje. f(t)dt. Dále říkáme, že pokud je tto limit konečná, Definice 2.3 Bud funkce f spojitá n intervlu [, b] kromě bodu c (, b) necht lim f(x) = +. x c Řekneme, že nevlstní integrál 2.2 Kritéri konvergence Lemm 2.4 (Referenční integrály) 0 + dx konverguje pro p < diverguje pro p. x p Důkz. x p dx konverguje pro p > diverguje pro p. 0 ) 0 je pro p > 0 kritický bod. [ x = lim dt lim x 0+ p x 0+ t = p x b) + je kritický bod. + x p = x lim dt x + t = p f konverguje, právě když konvergují integrály p tp ] x = p lim x 0+ [ ] lim ln t = + p = x 0+ x lim x + [ p tp ] x = p + lim x + [ ] x lim ln t = + p = x + 5 p xp = p xp = c f c f. p < p + p > + p < p p >.
Vět 2.5 (Srovnávcí kritérium konvergence) Bud b jediným kritickým bodem integrálů 0 f(x) g(x) pro x (, b). Potom. g konverguje f konverguje, f x g. Necht R x f R g pro x [, b) 2. f diverguje g diverguje. x Důkz. Oznčme integrály jkožto funkce horní meze F (x) = R kde sndno nhlédneme, že 0 F (x) < G(x) pro x (, b). x f(t)dt G(x) = R g(t)dt,. Ukážeme, že lim F (x) existuje je konečná. Funkce F je spojitá nerostoucí funkce, x b protože je definovná jko funkce horní meze integrálu z nezáporné funkce f. Odtud plyne, že limit lim F (x) existuje to bud konečná nebo nekonečná. Nekonečná být nemůže, x b neb dle předpokldu lim G(x) konverguje. x b 2. f diverguje, proto lim F (x) = +. Z nerovnosti F (x) < G(x) limitního přechodu x b G(x) = +. lim x b plyne lim x b Vět 2.6 (Podílové kritérium konvergence) Bud b jediným kritickým bodem integrálů f x g. Necht R x f R g pro x [, b) f(x) f(x) 0 g(x) 0 pro x (, b). Necht existuje limit lim = c R {+ }. x b g(x) Potom pltí:. Pokud 0 < c < +, pk f konverguje g konverguje. 2. Pokud c > 0, pk 3. Pokud c < +, pk g diverguje g konverguje f diverguje. f konverguje. 2.3 Výpočet zobecněného integrálu Vět 2.7 (Newtonov formule) x Bud < b +. Necht b R f(t)dt pro x [, b), resp. R f(t)dt pro x (, b]. x Necht k funkci f existuje primitivní funkce F n intervlu (, b). Pokud existuje konečná limit lim F (x), resp. lim F (x), pk integrál b f(t)dt konverguje pltí x + x b f(t)dt = lim F (x) lim F (x). x b x + 6
Vět 2.8 (Metod per prtes) Bud < b +. Necht pro funkce fg f g pltí: x x ( x [, b)) R f(t)g (t)dt R f (t)g(t)dt, resp. ( x (, b]) R f(t)g (t)dt R f (t)g(t)dt, necht existují jsou konečné limity lim f(x)g(x), resp. lim f(x)g(x). x + x b Pokud existuje lespoň jeden z integrálů pltí: Vět 2.9 (Metod substituce) Bud b jediný kritický bod integrálu x f(t)g (t)dt x f (t)g(t)dt, potom existuje i druhý f (t)g(t)dt = lim f(x)g(x) lim f(x)g(x) f(t)g (t)dt. x b x +. f je spojitá v intervlu (, b), f necht pro funkce f ϕ pltí: 2. ϕ je ostře monotonní má spojitou derivci v intervlu [α, β). 3. ϕ([α, β)) = [, b) tk, že = ϕ(α) b = lim ξ β ϕ(ξ). Potom pltí: f(t)dt = β f (ϕ(t)) ϕ (t)dt. α 3 Kuželosečky 3. Krtézský systém souřdnic v R 2 Poznámk. Krtézský systém souřdnic (O, x, y). Posunutí (přechod) do systému (O, x, y ), kde O = [x 0, y 0 ] trnsformcemi x = x 0 + x, y = y 0 + y. Definice 3. (Vzdálenost bodů) Vzdálenost dvou bodů A = [x, y ] B = [x 2, y 2 ]: Definice 3.2 (Vzdálenost bodu přímky) Vzdálenost bodu A = [x A, y A ] přímky p: d(a, B) = (x x 2 ) 2 + (y y 2 ) 2. d(p, A) = min d(a, B). B p 7
Vět 3.3 (Vzdálenost přímky od počátku) Vzdálenost přímky p : x + by + c = 0 od počátku O = [0, 0] je dán výrzem d(p, O) = c 2 + b 2. Důkz. Vzdálenost počátku O od přímky p se relizuje n kolmici. Sestrojíme proto kolmici q k přímce p, která prochází počátkem změříme vzdálenost bodu A průniku přímek p q od O. Připomeňme, že koeficienty b tvoří normálový (kolmý) vektor k přímce p. Proto přímku q hledáme ve tvru q : bx y + d = 0 neb vektor (b, ) je kolmý n (, b). Nyní stčí určit koeficient d podle podmínky O q, odkud d = 0. Dlším krokem je nlezení průsečíku A = [x A, y A ] přímek p q. Řešením rovnic dostneme souřdnice průsečíku x A + by A + c = 0 bx A y A = 0. x A = c 2 + b, y 2 A = bc 2 + b. 2 Nkonec spočítáme vzdálenost bodu A od počátku O d(p, O) = d(o, A) = 2 c 2 + b 2 c 2 2 + b 22 = c 2 + b 2. Důsledek 3.4 (Vzdálenost přímky od bodu) Vzdálenost přímky p : x + by + c = 0 od bodu B = [x B, y B ] je dán výrzem d(p, B) = x B + by B + c 2 + b 2. Důkz. Použijeme výsledek Věty 3.3, pro který posuneme počátek pomocné soustvy souřdné (O, x, y ) do bodu B, tj. počátek O má v původní souřdné soustvě souřdnice O = B = [x B, y B ]. Trnsformční vzthy posunutí (O, x, y) (O, x, y ) jsou x = x B + x, y = y B + y. Přímk p má tedy v čárkovné soustvě rovnici p : (x B + x ) + b(y B + y ) + c = 0, tj. p : x + by + x B + by B + c = 0. }{{} ozn. c Podle Věty 3.3 je vzdálenost počátku O od přímky p (vyjádřené v čárkovné soustvě) d(o, p) = c 2 + b 2 = x B + by B + c 2 + b 2. 8
3 2 hyperbol prbol kružnice elips 2 3 4 5 x 2 3 3.2 Kružnice Definice 3.5 (Kružnice) Kružnice se středem v bodě S o poloměru r > 0 K = {A : d(a, S) = r}. Poznámk. Necht S = [x 0, y 0 ] bod A = [x, y]. Pk A K když d(a, S) = r, tj. 3.3 Elips (x x 0 ) 2 + (y y 0 ) 2 = r 2. Definice 3.6 (Elips) Elips s ohnisky F F 2 délkou hlvní poloosy E = {A : d(a, F ) + d(a, F 2 ) = 2}, kde střed S se nchází v polovině úsečky F F 2 2 > d(f, F 2 ) 0. Poznámk. Necht S = [0, 0], F = [ e, 0], F 2 = [e, 0], tj. hlvní poloos je ve směru osy x. Číslo e nzýváme excentricit (výstřednost). Rovnici všech bodů A = [x, y] E dostneme z definiční rovnice d(a, F ) + d(a, F 2 ) = 2 pomocí lgebrických mnipulcí ve tvru x 2 2 + y2 b 2 =, kde mezi koeficienty, b e pltí z Pythgorovy věty e 2 + b 2 = 2. Koeficient b se nzývá vedlejší poloos (b < ).Vrcholy elipsy se ncházejí v bodech V,2 = [x 0 ±, y 0 ], V 3,4 = [x 0, y 0 ± b]. Anlogicky lze odvodit rovnici pro elipsu s hlvní poloosou ve směru osy y. 9
Vět 3.7 (Rovnice elipsy) Rovnice elipsy se středem v bodě S = [x 0, y 0 ], excentricitou e hlvní poloosou ve směru osy x (x x 0 ) 2 2 + (y y 0) 2 b 2 =. Rovnice elipsy se středem v bodě S = [x 0, y 0 ], excentricitou e hlvní poloosou ve směru osy y (x x 0 ) 2 b 2 + (y y 0) 2 2 =. Pro prmetry, b e pltí e 2 + b 2 = 2. Důkz. Plyne z definice předchozí poznámky. Vrcholy V,2 = [x 0 ±, y 0 ], V 3,4 = [x 0, y 0 ± b]. V prvním přípdě, F,2 = [x 0 ± e, y 0 ]. V druhém pk F,2 = [x 0, y 0 ± e]. 3.4 Hyperbol Definice 3.8 (Hyperbol) Hyperbol s ohnisky F F 2 délkou reálné poloosy > 0 { } H = A : d(a, F ) d(a, F 2 ) = 2, kde střed S se nchází v polovině úsečky F F 2 2 < d(f, F 2 ). Poznámk. Necht S = [0, 0], F = [ e, 0], F 2 = [e, 0] (e excentricit), tj. reálná poloos je ve směru osy x. Rovnici všech bodů A = [x, y] H odvodíme z definiční rovnice d(a, F ) d(a, F 2 ) = 2, kterou je též možné zpst ve tvru d(a, F ) d(a, F 2 ) = ±2, který vyjdřuje obě větve hyperboly (pro x > 0 i x < 0). Po doszení z definici vzdálenosti bodů jednu z odmocnin převedeme n druhou strnu rovnice (x + e)2 + y 2 (x e) 2 + y 2 = ±2 umocníme n druhou (x + e) 2 + y 2 = (x e) 2 + y 2 ± 4 (x e) 2 + y 2 + 4 2. Tuto rovnici uprvíme umocníme n druhou x 2 (e 2 2 ) 2 y 2 = 2 (e 2 2 ). Dle předpokldu je 0 < 2 < d(f, F 2 ) = 2e, proto < e můžeme zvést prmetr b 2 = e 2 2, který nzveme imginární poloosou. Celkem rovnici hyperboly zpisujeme ve tvru x 2 2 y2 b 2 =. Vrcholy hyperboly se ncházejí v bodech V,2 = [±, 0]. Anlogicky lze odvodit rovnici pro hyperbolu s reálnou poloosou ve směru osy y. 0
Vět 3.9 (Rovnice hyperboly) Rovnice hyperboly se středem v bodě S = [x 0, y 0 ], excentricitou e reálnou poloosou ve směru osy x (x x 0 ) 2 (y y 0) 2 =. 2 b 2 Rovnice hyperboly se středem v bodě S = [x 0, y 0 ], excentricitou e reálnou poloosou ve směru osy y (x x 0) 2 + (y y 0) 2 =. b 2 2 Pro prmetry, b e pltí e 2 = 2 + b 2. Důkz. Plyne z definice předchozí poznámky. V prvním přípdě, F,2 = [x 0 ± e, y 0 ] V,2 = [x 0 ±, y 0 ]. V druhém pk F,2 = [x 0, y 0 ± e] V,2 = [x 0, y 0 ± ]. Vět 3.0 (Asymptoty hyperboly) Hyperbol o rovnici (x x 0 ) 2 (y y 0) 2 = 2 b 2 má v ± symptoty y = y 0 ± b (x x 0). Důkz. Z rovnice hyperboly umíme vyjádřit dv funkční předpisy b 2 f,2 (x) = y 0 ± (x x 0) 2 b 2, 2 které popisují horní (y > y 0 ) spodní (y < y 0 ) část grfu hyperboly. Sndno nhlédneme, že b 2 lim x (x x 0) 2 b 2 b 2 (x x 0) = 0. 3.5 Prbol Definice 3. (Prbol) Prbol s ohniskem F řídící přímkou p P = {A : d(a, F ) = d(a, p)}. Vrchol prboly V se nchází v polovině vzdálenosti d(f, p) od ohnisk F n normále k řídící přímce procházející ohniskem F. Poznámk. Necht V = [0, 0], F = [0, e], p : y = e e > 0, tj. prbol je otevřen v kldném směru osy y. Rovnici všech bodů A = [x, y] P dostneme z definiční rovnice d(a, F ) = d(a, p), tj. x2 + (y e) 2 = (y + e) 2, odkud pomocí lgebrických mnipulcí dostneme rovnici prboly ve tvru x 2 = 4ey. Anlogicky lze odvodit rovnici pro prbolu otevřenou v kldném směru osy x: y 2 = 4ex. Pokud e < 0, je prbol otevřen v záporném směru os.
Vět 3.2 (Rovnice prboly) Prbol s vrcholem v bodě V = [x 0, y 0 ] excentricitou e položená v kldném (e > 0) nebo záporném (e < 0) směru osy x má rovnici (y y 0 ) 2 = 4e(x x 0 ). Prbol s vrcholem v bodě V = [x 0, y 0 ] excentricitou e položená v kldném (e > 0) nebo záporném (e < 0) směru osy y má rovnici (x x 0 ) 2 = 4e(y y 0 ). 4 Polární souřdnice 4. Definice Poznámk. Krtézské souřdnice bodu znčíme v této kpitole indexem k, npř. A = [x, y] k ; nově definovné polární souřdnice pk indexem p, npř. A = [r, ϕ] p. Definice 4. (Polární souřdnice) Bod [r, ϕ] p v polárních souřdnicích leží ve vzdálenosti r od pólu [0, 0] k n polopřímce svírjící s polární osou úhel ϕ, pokud r > 0; úhel ϕ + π, pokud r < 0 nebo libovolný úhel, pokud r = 0. Poznámk. Zákldní vlstnosti polárních souřdnic:. Nejednoznčnost [r, ϕ] p = [r, ϕ + 2kπ] p pro k Z. 2. Počátek (=pól) [0, 0] k = [0, ϕ] p pro ϕ R. 3. [r, ϕ + π] p = [ r, ϕ] p. Vět 4.2 (Vzth polárních krtézských souřdnic) Bod [r, ϕ] p v polárních souřdnicích je bod [x, y] k v krtézských souřdnicích, když pltí x = r cos ϕ, y = r sin ϕ. Důkz.. r = 0: [0, 0] k = [0, ϕ] p pro ϕ R proto obě rovnosti pltí. 2. r > 0: x = r cos ϕ, y = r sin ϕ udávjí polohu bodu n kružnici, tj. x 2 + y 2 = r 2. 3. r < 0: [r, ϕ] p = [ r, ϕ + π] p, přičemž r > 0 můžeme pro tuto volbu použít předchozí, již dokázný, bod: x = r cos(ϕ + π) = r(cos ϕ cos π sin ϕ sin π) = r cos ϕ, y = r sin(ϕ + π) = r(sin ϕ cos π + sin ϕ cos π) = r sin ϕ. Důsledek 4.3 (Inverzní vzth polárních krtézských souřdnic) Pro x 0 pltí ϕ = rctg y x r2 = x 2 + y 2. Pro y 0 pltí ϕ = rccotg x y r2 = x 2 + y 2. Pro x = 0 y = 0 je ϕ R r = 0. 2
4.2 Symetrie v polárních souřdnicích Definice 4.4 (Symetrie v polárních souřdnicích) Řekneme, že křivk L je symetrická podle osy x, pltí-li [r, ϕ] p L [r, ϕ + 2kπ] p L pro ϕ k Z; osy y, pltí-li [r, π ϕ] p L [r, ϕ + 2kπ] p L pro ϕ k Z; pólu O (počátku), pltí-li [ r, ϕ] p L [r, ϕ + 2kπ] p L pro ϕ k Z. 4.3 Příkldy křivek v polárních souřdnicích Archimedov spirál {[r, ϕ] p : r = ϕ, ϕ 0} {[r, ϕ] p : r = 2 cos ϕ} Krdioid (srdcovk) r = + cos(ϕ) Krdioid (srdcovk) r = + sin(ϕ) 3
Krdioid (srdcovk) r = cos(ϕ) Krdioid (srdcovk) r = sin(ϕ) Ulit r = + 2 sin(ϕ) Ulit r = + 4 sin(ϕ) Ulit r = + 8 sin(ϕ) Ulit r = + 4 cos(ϕ) 4
{[r, ϕ] p : r = cos(2ϕ)} {[r ϕ ] p : r 2 = cos 2ϕ} 4.4 Výpočet plochy v polárních souřdnicích Vět 4.5 (Výpočet plochy) Mějme spojitou funkci r = ρ(ϕ), která n [α, β] nemění znmení. Potom ploch ve výseči od α β do β je A = (ρ(ϕ)) 2 dϕ. 2 α Důkz. Necht bez újmy n obecnosti (BÚNO) je r 0 n [α, β]. Uvžujme rozdělení intervlu [α, β] oznčme σ = {α = ϕ 0 < ϕ < < ϕ n < ϕ n = β} m k = min{r(ϕ) : ϕ [ϕ k, ϕ k ]}, M k = mx{r(ϕ) : ϕ [ϕ k, ϕ k ]}. Potom obshy A k plošky {[r, ϕ] p : ϕ [ϕ k, ϕ k ] 0 r r(ϕ)} se djí k odhdnout dolní horní kruhovou výsečí 2 m2 k(ϕ k ϕ k ) A k 2 M 2 k (ϕ k ϕ k ). Tto nerovnost ovšem pltí pro všechn rozdělení σ, proto celkovou plochu A = A k lze podle k β Riemnnovy definice určitého integrálu spočítt vzorcem A = r 2 (ϕ)dϕ. 2 Vět 4.6 Mějme spojité funkce ρ (ϕ) ρ 2 (ϕ) pro ϕ [α, β]. Potom ploch ve výseči od α do β mezi β těmito funkcemi je A = (ρ 2 (ϕ)) 2 (ρ 2 (ϕ)) 2 dϕ. α 4.5 Vzdálenost v polárních souřdnicích Vět 4.7 (Cosinová vět) Vzdálenost dvou bodů P = [r, ϕ ] p P 2 = [r 2, ϕ 2 ] p je: d(p, P 2 ) 2 = r 2 + r 2 2 2r r 2 cos(ϕ 2 ϕ ). 5 α
Důkz. Vyjdeme z definice vzdálenosti dvou bodů P = [x, y ] k P 2 = [x 2, y 2 ] k v krtézských souřdnicích přejdeme do souřdnic polárních pomocí Věty 4.2 d(p, P 2 ) 2 = (x x 2 ) 2 + (y y 2 ) 2 = r 2 cos 2 ϕ 2r r 2 cos ϕ cos ϕ 2 + r 2 2 cos 2 ϕ 2 + r 2 sin 2 ϕ 2r r 2 sin ϕ sin ϕ 2 + r 2 2 sin 2 ϕ 2 = r 2 + r 2 2 2r r 2 cos ϕ cos ϕ 2 2r r 2 sin ϕ sin ϕ 2 = r 2 + r 2 2 2r r 2 cos(ϕ ϕ 2 ) 5 Křivky dné prmetricky 5. Definice Definice 5. (Křivk dná prmetricky) Necht x(t) y(t) jsou funkce diferencovtelné n (α, β) spojité n [α, β]. Pk množinu bodů nzvýváme křivkou dnou prmetricky. {[x, y] R 2 : x = x(t), y = y(t), t [α, β]}, Descrtův list {[x, y] k : x 3 + y 3 = xy}. Asteroid {[x, y] k : x 2 3 + y 2 3 = 2 3 } 6
Cykloid {[x, y] k : x(t) = (t sin t), y(t) = ( cos t), t 0} 5.2 Tečny ke křivce dné prmetricky Vět 5.2 (Rovnice tečny) Mějme křivku {[x(t), y(t)] : t [α, β]}. Necht ẋ(t) ẏ(t) existují n (α, β) necht je lespoň jedn z derivcí ẋ(t 0 ) ẏ(t 0 ) nenulová. Pk rovnice tečny ke křivce v bodě [x(t 0 ), y(t 0 )] je ẏ(t 0 )(x x(t 0 )) = ẋ(t 0 )(y y(t 0 )). Důkz.. Necht ẋ(t 0 ) 0: Sestrojíme sečnu s procházející bodem [x(t 0 ), y(t 0 )] nějkým blízkým bodem [x(t 0 + h), y(t 0 + h)] (h > 0 mlé) pomocí limitního přechodu h 0 získáme rovnci tečny t : y = kx + q. Směrnice k s tkové sečny má rovnici k s (h) = y(t 0 + h) y(t 0 ) x(t 0 + h) x(t 0 ). Provedeme-li limitní přechod h 0, dostneme směrnici tečny k v bodě [x(t 0 ), y(t 0 )]: y(t 0 + h) y(t 0 ) k = lim k s (h) = lim h 0 h 0 x(t 0 + h) x(t 0 ) = lim y(t 0 + h) y(t 0 ) h h 0 x(t 0 + h) x(t 0 ) h = ẏ(t 0) ẋ(t 0 ) Koeficient q vypočítáme po doszení bodu [x(t 0 ), y(t 0 )] do rovnice tečny Odtud dostáváme tvrzení věty. q = y ( t 0 ) kx(t 0 ) = y(t 0 ) ẏ(t 0) ẋ(t 0 ) x(t 0). 2. Je-li ẋ(t 0 ) = 0, pk x(t) = x(t 0 ) podle předpokldů je nutně ẏ(t 0 ) 0. Dostáváme tedy vertikální tečnu o rovnici x = x(t 0 ). 7
5.3 Ploch v křivce dné prmetricky Vět 5.3 (Ploch v křivce) Necht {[x(t), y(t)] : t [α, β]} je křivk dná prmetricky necht x(t) je prostá, x (t) spojitá y(t) 0 pro t [α, β]. Potom ploch vymezená křivkou osou x je dán vzorcem A = β α y(t)ẋ(t)dt. Důkz. Protože x = x(t) je prostá funkce (přeznčme ji pro přehlednost jko X(t)), použijeme inverzní trnsformci t = X (x) křivku vyjádříme jko funkční předpis Ploch pod grfem funkce f je f(x) = y(t) = y(x (x)). A = f(x)dx, kde α = X () β = X (b). Dále zpětně provedeme substituci x = X(t) dostneme tvrzení věty. 5.4 Délk křivky dné prmetricky Vět 5.4 (Délk prmetrické křivky) Necht ẋ ẏ jsou spojité funkce n (α, β). Délk křivky dné prmetricky je dán vzorcem L = Vět 5.5 (Délk křivky v polárních souřdnicích) Délk křivky v polárních souřdnicích L = β α β α ẋ2 (t) + ẏ 2 (t)dt. r2 (ϕ) + ṙ 2 (ϕ)dϕ. Důkz. Ve Větě 5.4 přejdeme do polárních souřdnic vzthy pro které pltí x(ϕ) = r(ϕ) cos ϕ, y(ϕ) = r(ϕ) sin ϕ, ẋ 2 + ẏ 2 = r 2 + ṙ 2. 5.5 Objem rotující křivky dné prmetricky Vět 5.6 (Objem křivky rotující okolo osy x) Necht {[x(t), y(t)] : t [α, β]} je křivk dná prmetricky necht x(t) je prostá, ẋ(t) spojitá y(t) 0 pro t [α, β]. Potom objem křivky dné prmetricky rotující okolo osy x je dán vzorcem β V = π y 2 (t)ẋ(t)dt. α 8
Vět 5.7 (Objem křivky rotující okolo osy y) Necht {[x(t), y(t)] : t [α, β]} je křivk dná prmetricky necht y(t) je prostá, ẏ(t) spojitá x(t) 0 pro t [α, β]. Potom objem křivky dné prmetricky rotující okolo osy y je dán vzorcem β V = π x 2 (t)ẏ(t)dt. 5.6 Povrch rotující křivky dné prmetricky α Vět 5.8 (Povrch křivky rotující okolo osy x) Necht {[x(t), y(t)] : t [α, β]} je křivk dná prmetricky necht x(t), y(t) jsou prosté, ẋ(t), ẏ(t) spojité y(t) 0 pro t [α, β]. Potom povrch křivky dné prmetricky rotující okolo osy x je dán vzorcem β P = 2π y(t) ẋ 2 (t) + ẏ 2 (t)dt. α Vět 5.9 (Povrch křivky rotující okolo osy y) Necht {[x(t), y(t)] : t [α, β]} je křivk dná prmetricky necht x(t), y(t) jsou prosté, ẋ(t), ẏ(t) spojité x(t) 0 pro t [α, β]. Potom povrch křivky dné prmetricky rotující okolo osy y je dán vzorcem β P = 2π x(t) ẋ 2 (t) + ẏ 2 (t)dt. α 6 Supremum infimum Definice 6. (Spočetná množin) Řekneme, že množin M je spočetná právě tehdy, když existuje funkce f : N M, která je prostá n, tj. f(n) = M. Definice 6.2 (Supremum) Nejmenší horní závor množiny M se nzývá supremum M znčí sup M. Definice 6.3 (Infimum) Největší dolní závor množiny M se nzývá infimum M znčí inf M. Vět 6.4 (O existenci suprem infim) Kždá neprázdná shor, resp. zdol omezená množin M R má své supremum, resp. infimum. Vět 6.5 (O blízkosti suprem k M) Bud s = sup M. Pk ( ε > 0)( x M)(s ε < x s). Důkz. Nerovnost x s plyne rovnou z definice suprem neb s je horní závor. Nerovnost s ε < x dokážeme sporem. Necht ε > 0 tk, že x s ε x. To je rovnou spor s tím, že s je nejmenší horní závor přitom s ε je ještě menší než s. Vět 6.6 (O blízkosti infim k M) Bud i = inf M. Pk ( ε > 0)( x M)(i x < i + ε). Důkz. Důkz se provede podobně jko v předchozí větě. 9
Vět 6.7 (O supremu) Bud M neprázdná shor omezená množin. Potom existuje právě jedno číslo s tkové, že pltí:. vlstnost suprem : ( x M)(x s). 2. vlstnost suprem : ( s R)(s < s)( x M)(s < x). Vět 6.8 (O infimu) Bud M neprázdná zdol omezená množin. Potom existuje právě jedno číslo i tkové, že pltí:. vlstnost infim : ( x M)(x i). 2. vlstnost infim : ( i R)(i > i)( x M)(i > x). 7 Posloupnosti reálných čísel 7. Definice Definice 7. (Číselná posloupnost) Posloupnost reálných čísel je funkce : N R. Hodnot posloupnosti pro dné n N se nzývá člen posloupnosti je možné jej znčit stejně jko hodnotu funkce v bodě, tj. (n). Obvykle všk budeme používt znčení n. Definice 7.2 (Monotonie posloupnosti) Řekneme, že posloupnost { n } je. ostře rostoucí n < n+ pro n N, 2. rostoucí (neklesjící) n n+ pro n N, 3. ostře klesjící n > n+ pro n N, 4. klesjící (nerostoucí) n n+ pro n N. Definice 7.3 (Omezenost posloupnosti) Řekneme, že posloupnost { n } je. omezená shor ( K R)( n K) pro n N, 2. omezená zdol ( K R)( n K) pro n N, 3. omezená ( K > 0)( n K) pro n N. Poznámk. Vlstnosti funkce f : R + R se djí použít i n posloupnost n = f(n), n N. Pokud npř. funkce f ostře klesá, pk i posloupnost f(n) ostře klesá. Pozor, obráceně to nepltí. Npř. posloupnost n = sin π je klesjící, le funkce f(x) = sin π není monotonní. n+ x 20
7.2 Limit posloupnosti Definice 7.4 (Limit posloupnosti) lim n = l ( ε > 0)( n 0 N)( n > n 0 )( n l < ε) lim n = + ( α > 0)( n 0 N)( n > n 0 )( n > α) lim n = ( α > 0)( n 0 N)( n > n 0 )( n < α) Vět 7.5 (O jednoznčnosti limity) lim n = l lim n = m l = m. Důkz. Důkz provedeme sporem podobně jko v přípdě důkzu jednoznčnosti limity v prvním semestru. Sporem: l m zvolme ε = l m > 0. Pk pltí 2 0 < ε = 2 l m = 2 l n + n m 2 l n + 2 m n Z definice lim n = l, resp. lim n = m pltí, že n, resp. n 2 tk, že l n < ε pro n > n, resp. m n < ε pro n > n 2. Zvolme n 0 = mx{n, n 2 }, pk A to je spor. 0 < ε 2 l n + 2 m n < 2 ε + 2 ε = ε. Definice 7.6 (Konvergence posloupnosti) Posloupnost mjící konečnou limitu se nzývá konvergentní, v opčném přípdě divergentní. Vět 7.7 Kždá konvergentní posloupnost je omezená. Důkz. Necht n l. Je-li l = 0, pk pro libovolné ε > 0 existuje z definice limity tkové n 0, že n < ε pro n > n 0. Omezující konstntu K > 0 pk stčí zvolit jko K = mx{ε,, 2,..., n0, n0 }. V přípdě, že l 0, použijeme pomocnou posloupnost b n = n l, pro kterou pltí b n 0 tudíž použijemen předchozí výsledek důkzu. Důsledek 7.8 Kždá neomezená posloupnost diverguje. Vět 7.9 (Supremum / infimum jko limit posloupnosti) Omezená neklesjící, resp. nerostoucí posloupnost konverguje k nejmenší horní, resp. největší dolní závoře. 7.3 Limes superior limes inferior Definice 7.0 (Vybrná posloupnost) Řekneme, že posloupnost {b n } je vybrná z posloupnosti { n } právě tehdy, když existuje ostře rostoucí posloupnost indexů {k n } N, lim k n = +, tková, že b n = kn pro n N. 2
Definice 7. (Hromdná hodnot posloupnosti) Bod R {+, } nzveme hromdnou hodnotou posloupnosti { n } právě tehdy, když existuje posloupnost { kn } vybrná z { n }, pro kterou lim k n =. Vět 7.2 Kždá posloupnost má hromdnou hodnotu, přičemž množin všech hromdných hodnot má svůj největší i nejmenší prvek (připouštíme i ± ). Definice 7.3 (Limes superior) Největší hromdnou hodnotu posloupnosti { n } nzýváme limes superior znčime lim sup n. Definice 7.4 (Limes inferior) Nejmenší hromdnou hodnotu posloupnosti { n } nzýváme limes inferior znčime lim inf n. Vět 7.5 Pro kždou reálnou posloupnost { n } pltí 7.4 Počítání limit Vět 7.6 (Počítání limit) Necht n l, b n m α R. Pk pltí n + b n l + m, α n αl, n b n lm, n b n l m, lim n = l lim sup n = lim inf n = l. mjí-li výrzy n prvých strnách smysl (nejsou IND). Vět 7.7 n l ( n l) 0 n l 0. Vět 7.8 (O sevřené posloupnosti - sendvičová) Necht ( n 0 N)( n > n 0 )( n b n c n ). Pokud lim n = l lim c n = l, pk Důkz. Důkz se provede podoně jk u sendvičové věty v zimním semestru. lim b n = l. Důsledek 7.9 ( n 0 N)( n > n 0 )( b n c n )(c n 0) b n 0. Vět 7.20 Bud c n c ( n N)(c n D f ), kde funkce f je spojitá v bodě c. Potom lim f(c n) = f(c). Důkz. Ze spojitosti funkce f v bodě c víme, že pro nějké ε > 0 existuje δ > 0 tk, že x c < δ f(x) f(c) < ε. Zároveň z definice limity c n c nlezneme pro dné δ > 0 tkové n 0 N, že n > n 0 je c n c < δ. Proto pro n > n 0 pltí f(c n ) f(c) < ε, což bylo dokázti. 22
Definice 7.2 (Hromdný bod množiny) Necht M je podmnožin reálných čísel. Bod nzveme hromdným bodem množiny M (znčíme M ), pokud pltí ( ε > 0)( x M)( x < ε) Vět 7.22 (Heine) Bud f reálná funkce (D f ), tj. je hromdným bodem D f. Pk pltí lim f(x) = l lim f(x n) = l pro {x n } D f : x n x n x Důkz. Důkz ekvivlence provedeme ve dvou krocích.. : Předpokládáme, že lim x f(x) = l, tj. ( ε > 0)( δ > 0)( x D f \ {})( x < δ f(x) l < ε) chceme ukázt, že pro dné ε > 0 existuje n 0 tkové, že n > n 0 pltí f(x n ) l < ε. Zřejmě tedy stčí zvolit n 0 tk, by n > n 0 bylo x n < δ. 2. : Sporem. Předpokládejme, že lim f(x n) = l lim x f(x) = l, tj. ( ε > 0)( δ > 0)( x D f \ {})( x < δ f(x) l ε). Oznčme pomocnou množinu M = {x D f : f(x) l ε}. Ujsněme si, že M, nebot ( δ > 0)( x)( x < δ f(x) l ε) (proto M ). Nyní zvolme nějkou posloupnost {x n } tkovou, že n N pltí: x n D f \ {}, x n x n M (to lze, neb je hromdným bodem M). Podle předpokldu pltí pro tkto zvolenou posloupnost {x n }, že lim n f(x n ) = l, což je le spor s konstrukcí množiny M. Vět 7.23 (Cuchyho vzorec) Bud { n } posloupnost kldných reálných čísel necht existuje konečná limit lim existuje lim n n pltí lim n n+ n = lim. n Vět 7.24 (Stolzův vzorec) Bud te { n } {b n } posloupnosti tkové, že b n+ > b n > 0 pro všechn n N Necht existuje lim n+ n b n+ b n. Potom existuje lim n bn pltí n n+ n lim = lim. b n b n+ b n n+ n. Potom lim b n = +. 7.5 Číslo e Vět 7.25 Pro n N pltí ( + n) n ( e + n) n+, přičemž posloupnost ( + n) n ( ostře roste k e posloupnost + n+ n) ostře klesá k e: ( + n) n ( = e, lim + n+ = e. n) lim 23
Důkz. Při důkzu vyjdeme z definice obecné mocniny použijeme definici přirozeného logritmu ln x =, kde t > 0. x dt t Pro n N t [, + ] n + t. n Nyní tuto nerovnost zintegrujeme přes intervl [, + ] n + n + dt n + n t dt + n dt, po úprvě dostneme (s využitím definice přirozeného logritmu) ( n + ln + ) n n. Tto nerovnost je klíčem k důkzu věty, neb po vložení do rgumentu exponenciální funkce dostáváme ( e n+ + ) e n, n odkud ( e + ) n+ n ( e + n) n. Pomocí sendvičové věty nkonec dokážeme, že limitou obou posloupností je e: e e ( + + n e, n) n resp. ( e + n) +n ( + ) e e. n Důkz monotonie je obtížnější proto jej vynecháme. Vět 7.26 Pro všechn x R pltí ( lim + x n = e n) x. Důkz. Důkz provedeme přímo pomocí funkce ln. Pro pevné x R uprvme výrz ( ln + x ) n ( = n ln + x ) = x ln ( ) + x n ln() n n oznčme h = x. Zřejmě h 0 pro n + v limitním přechodu dostneme n Celkem odkud již plyne tvrzení věty. ln( + h) ln() x lim = x (ln z) (z=) } h 0 {{ h = x } = x. derivce ln z lim ( ln + x ) n = x, n 24 x n
7.6 Důležité příkldy Lemm 7.27 Necht x <, pk x n 0. Důkz. Vyjdeme z nerovnosti ukážeme, že x n 0, tj. dle definice limity x n x n x n, ( ε > 0)( n 0 N)( n > n 0 )( x n < ε). Hledáme tedy tkové n 0, by pro dné ε n > n 0 pltilo x < ε n. Protože ε n x <, tkové n 0 lze vždy njít. Ze sendvičové věty o limitě sevřené posloupnosti pk již plyne důkz. Lemm 7.28 x R pltí xn n! 0. Důkz. Pro libovolné k N tkové, že k > x n > k pltí k n n! = kk k! k } k {{ + } < k k + 2 }{{} <... Ze sendvičové věty tedy plyne tvrzení věty k n 2 }{{} < k k } n {{ } n < k k+ k! < }{{} nezávisí n n n 0. 0 < x n n! < kn n! < kk+ k! n 0. Lemm 7.29 α > 0 pltí n α 0. Důkz. Pro dné α pltí, že p N tkové, že p < α. Pk 0 < n α = ( ) α n ( ) p 0 n nebot f(x) = x p je spojitá v 0. 8 Nekonečné řdy 8. Definice Definice 8. (Nekonečná řd) Necht { n } je číselná posloupnost. Posloupnost {s n } definovnou jko n-tý částečný součet členů posloupnosti s n = n k nzveme nekonečnou číselnou řdou vytvořenou z posloupnosti k= { n } znčíme + n. Existuje-li limit lim s n = s, pk ji nzýváme součtem nekonečné n= řdy. Je-li s R, resp. s = ±, resp. limit lim s n neexistuje, pk říkáme, že nekonečná řd konverguje, resp. diverguje, resp. osciluje (nebo též diverguje). 25
Vět 8.2 (Geometrická řd) x < x x n = x () x n diverguje. (2) Důkz. Tvrzení plyne z vlstností limity konečné geometrické řdy: lim k=0 lim xn po provedení limitního přechodu v součtu n x k x n = lim x. Vět 8.3 Jestliže + n= n =, + b n = b bud α R, pk + (α n + b n ) = α + b n= 8.2 Konvergence řd Vět 8.4 (Nutná podmínk konvergence) n= n= n konverguje lim n = 0. Důkz. Necht řd konverguje, tj. posloupnost částečných součtů má konečnou limitu s n l. Z definice částečných součtů lze psát n = s n s n pro n = 2, 3,.... Potom lim n = lim s n lim s n = l l = 0. Důsledek 8.5 n 0 n n= diverguje 8.2. Konvergence řd s nezápornými členy Vět 8.6 Řd s nezápornými členy konverguje právě tehdy, když je posloupnost částečných součtů omezená. Důkz.. : Řd konverguje, tj. posloupnost {s n} konverguje proto je omezená (viz Vět 7.7). 2. : Posloupnost {s n } neklesá, neb předpokládáme nezáporné členy n. Proto limit s n je bud konečná nebo nekonečná. Nekonečná být ovšem nemůže, neb je {s n } dle předpokldu omezená. 26
Vět 8.7 (Integrální kritérium) Necht je funkce f kldná, spojitá klesjící funkce n intervlu [, + ). Pk n= f(n) konverguje + f(x)dx konverguje Důkz. Z předpokládných vlstností funkce f pltí nerovnost k k f(x)dx f(k) k+ k f(x)dx, kterou vysčítáním přes k = 2..n limitním přechodu n + uprvíme n + f(x)dx k=2 f(k) + 2 f(x)dx. Odtud již pomocí zákldního srovnávcího kritéri (Vět 2.5) plyne tvrzení věty. Vět 8.8 (Zákldní srovnávcí kritérium) Necht pro všechn n N pltí 0 n b n. Pk n= n= n diverguje b n konverguje b n n= n n= diverguje konverguje Vět 8.9 (Limitní srovnávcí kritérium) Necht + n + b n jsou řdy s nezápornými členy. Jestliže existuje limit L = lim n b n, potom pltí: n= n= 0 < L < + : L < + : L > 0 : n= n= n= n konverguje b n konverguje b n diverguje n= n= n= b n konverguje (3) n konverguje (4) n diverguje (5) Vět 8.0 (Cuchyho odmocninové kritérium) Bud + n řd s nezápornými členy. Necht existuje limit L = lim n n. Pk pltí: n=+ n= L < L > n= n= 27 n konverguje (6) n diverguje (7)
Vět 8. (d Alembertovo podílové kritérium) Bud + n řd s kldnými členy. Necht existuje limit L = n= lim n+ n. Pk pltí: L < L > 8.2.2 Absolutní konvergence n= n= n konverguje (8) n diverguje (9) Definice 8.2 (Absolutní konvergence) Pokud konverguje řd + n, říkáme, že řd + n konverguje bsolutně. n= Poznámk. Konvergentním řdám, které nekonvergují bsolutně říkáme nebsolutně konvergentní. Vět 8.3 Jestliže řd + n= Důkz. Vyjdeme z nerovnosti kterou uprvíme n n= n konverguje, pk konverguje i řd + n. n n n, n= 0 n + n 2 n. Ze srovnávcího kritéri dostávme tvrzení věty, nebot n= n = n= n + n }{{} n }{{}. K ze srov. krit. K dle předp. Důsledek 8.4 Kždá bsolutně konvergentní řd je konvergentní. Vět 8.5 (Riemnn 867) Absolutně konvergentní řdy dávjí po přerovnání stejný součet. Nebsolutně konvergentní řdy lze přeuspořádt tk, by jejich součet bylo libovolné reálné číslo. 8.2.3 Alternující řdy Definice 8.6 (Alternující řd) Řdu + ( ) n+ b n, kde b n > 0 pro n N nzýváme lternujicí řdou. n= Vět 8.7 (Leibnitzovo kritérium) Necht {b n } je klesjící posloupnost kldných čísel, tj. 0 < b n+ b n pro n N. Pk pltí: n= ( ) n+ b n konverguje lim b n = 0. 28
Důkz.. : Přímo nutná podmínk konvergence. 2. : Budeme zkoumt posloupnost částečných součtů to nejprve sudé pk liché členy. Všechny sudé členy posloupnosti {s n } tvoří rostoucí posloupnost, nebot s 2n = s 2n b 2n = s 2n 2 + b 2n b }{{ 2n s } 2n 2. 0 Všechny liché členy posloupnosti {s n } tvoří nopk klesjící posloupnost, protože s 2n+ = s 2n + b 2n+ = s 2n + b 2n+ b }{{ 2n s } 2n. 0 Posloupnost {s 2n+ } je nvíc zdol omezená 0 proto existuje konečná limit kterou oznčme l. Stejnou limitu má i rotoucí posloupnost sudých členů s 2n = s 2n b 2n l 0 = l lim s 2n+, protože obě posloupnosti pokrývjí všechny prvky posloupnosti {s n }, pltí s n l. Vět 8.8 (Odhd součtu lternující řdy) Necht {b n } je klesjící posloupnost kldných čísel tkovou, že b n 0 bud s R součet lternující řdy s = + ( ) n+ b n. Potom pltí n= s 2n < s < s 2n+ n N nvíc n-tý částečný součet s n proximuje s s přesností b n+, tj. s s n < b n+ pro n N. Důkz. Využijeme výsledků předchozího důkzu s 2n+2 = s 2n + b 2n+ b 2n+2 s 2n roste k s s 2n+ = s 2n b 2n + b 2n+ s 2n klesá k s, odkud s 2n s s 2n+ = s 2n + b n+ s s 2n b 2n+ s 2n+ b 2n+2 = s 2n+2 s s 2n+ s s 2n+ b 2n+2. 9 Tylorův polynom Tylorov řd 9. Tylorův polynom Vět 9. Necht funkce f má v bodě konečnou derivci řádu n, n N. Pk existuje právě jeden polynom T n (x) stupně nejvýše n tkový, že pltí T n (k) () = f (k) () pro všechn k = 0,, 2,..., n. Tento polynom má tvr n f (k) () T n (x) = (x ) k. k! k=0 29
Definice 9.2 (Tylorův polynom) Polynom T n z věty 9. se nzývá n-tý Tylorův polynom funkce f v bodě. Definice 9.3 (Zbytek Tylorov polynomu) Zbytek Tylorov polynomu je definován pro všechn x D f : R n (x) = f(x) T n (x). Vět 9.4 (Tylorov o zbytku) Necht f má spojitou derivci řádu n + n intervlu [, x] (nebo [x, ]) pro nějké x D f. Potom tj. R n (x) = n! f(x) = T n (x) + R n (x) = n k=0 x f (n+) (t)(x t) n dt, f (k) () (x ) k + x f (n+) (t)(x t) n dt k! n! Důkz. Důkz provedeme přímo. Aplikujeme metodu per prtes n integrál (pro k ) x f (k+) (t)(x t) k dt = per prtes k! = k! odkud vyjádříme člen v Tylorově polynomu (pro k ) f (k) () (x ) k = k! který dosdíme přímo do definice zbytku R n (x) R n (x) = f(x) T n (x) = f(x) = f(x) f() = f(x) f() [ ] x (x t) k f (k) x (t) + f (k) (t)(x t) k dt, (k )! x f (k) (t)(x t) k dt x f (k+) (t)(x t) k dt, (k )! k! n k= n = f(x) f() 0! k=0 x n k=0 x (k )! f (k) k! ()(x )k = f(x) f() f (k) (t)(x t) k dt k! x f (k+) (t)(x t) k dt + k! f () (t)(x t) 0 dt + n! x n k= k! x x n k= f (n+) (t)(x t) n dt f (k) k! ()(x )k = f (k+) (t)(x t) k dt f (k+) (t)(x t) k dt x = f (n+) (t)(x t) n dt. n! Vět 9.5 (Odhd zbytku) ( ) x R n (x) mx f n+ n+ (t). t I (n + )! 30
Důkz. R n (x) = n! x f (n+) (t)(x t) n dt n! x ( ) x f (n+) (t) x t n dt mx f (n+) n+ (t). I (n + )! 9.2 Tylorov řd Definice 9.6 (Tylorov řd) Necht f je nekonečně diferencovtelná v bodě D f (tj. má konečné derivce všech řádů v bodě ) necht pro x I pltí, že lim R n(x) = 0. Pk lze x I zkonstruovt nekonečnou řdu f (k) () f(x) = (x ) k, k! k=0 kterou nzýváme Tylorovou řdou funkce f v bodě. Množinu I nzýváme oborem konvergence Tylorovy (mocninné) řdy. Poznámk. Důležité rozvoje funkcí do Tylorovy (mocninné) řdy:. e x = + 2. sin(x) = + n! xn x R. 3. cos(x) = + 4. ln( + x) = + ( ) n (2n+)! x2n+ x R. ( ) n (2n)! x2n x R. n= ( ) n+ n x n x (, ]. 0 Mocninné Řdy 0. Konvergence Definice 0. (Mocninná řd) Bud { n } posloupnost reálných čísel x 0 R. Řd + řdou se středem v bodě x 0. Řekneme, že mocninná řd + n (x x 0 ) n se nzývá mocninnou n (x x 0 ) n konverguje n množině I, jestliže pro kždé z I je číselná řd + n (z x 0 ) n konvergentní. Množině I pk říkáme obor konvergence mocninné řdy. Vět 0.2 Jestliže + n (x x 0 ) n konverguje v bodě x 0 + z, z 0, pk konverguje bsolutně pro kždé x (x 0 z, x 0 + z ), tj. x x 0 < z. Nopk, jestliže řd + n (x x 0 ) n diverguje v bodě 3
x 0 + y, pk pro kždé x (, x 0 y ) (x 0 + y, + ), tj. x x 0 > y, řd + n (x x 0 ) n diverguje. Vět 0.3 (O poloměru konvergence) Pro kždou mocninnou řdu + n (x ) n existuje právě jedno r, 0 r + tk, že řd. Konverguje bsolutně pro všechn x tková, že x < r 2. Diverguje pro všechn x tková, že x > r. Definice 0.4 (Poloměr konvergence) Symbol r z Věty 0.3 nzýváme poloměrem konvergence mocninné řdy se středem v bodě. Vět 0.5 (Cuchy-Hdmrd) Poloměr konvergence mocninné řdy + resp. r = 0 pokud lim sup 0.2 Derivování mocninných řd n (x ) n se spočítá vzorcem r = n lim sup n, n n = +, resp. r = +, pokud lim sup Vět 0.6 (Derivce mocninné řdy) Jestliže + n (x ) n konverguje n ( r, + r), pk tké konverguje n ( r, + r). 0.3 Integrce mocninných řd ( + ) d n (x ) n = n n (x ) n dx n= n n = 0 Vět 0.7 (Integrce mocninných řd) Necht f(x) = + n (x x 0 ) n konverguje n (x 0 r, x 0 + r). Pk g(x) = + konverguje n ( r, + r) pltí, že f = g + C, tj. + n (x ) n n dx = n + (x )n+ + C. 0.4 Vlstnosti mocninných řd Vět 0.8 (Abelov) n (x )n+ n+ Necht f je součtová funkce mocninné řdy f(x) = + n (x ) n, která konverguje v bodě r, resp. + r, kde r je její poloměr konvergence. Pokud je f spojitá v r zprv, resp. + r zlev, pk mocninná řd v tomto bodě konverguje k f( r), resp. f( + r). Vět 0.9 V oboru konvergence je mocninná řd Tylorovou řdou své součtové funkce. 32
Reference [] E. Dontová, Mtemtik I, Vydvtelství ČVUT, 999 [2] E. Dontová, Mtemtik II, Vydvtelství ČVUT, 996 [3] V. Jrník, Diferenciální počet I, ČSAV, 955 [4] S. L. Sls, E. Hille, Clculus, One Vrible John Wiley nd Sons, 990 (6th edition), ISBN 0-47-5749-6 33