WYKŁADY. Matematyka. dla studentów I roku Farmacji WUM. dr Justyna Kurkowiak

Podobne dokumenty
FUNKCJE I RÓWNANIA KWADRATOWE. Lekcja 78. Pojęcie i wykres funkcji kwadratowej str

FUNKCJA KWADRATOWA. Wykresem funkcji kwadratowej jest parabola o wierzchołku w punkcie W = (p, q), gdzie

Lekcja 2. Pojęcie równania kwadratowego. Str Teoria 1. Równaniem wielomianowym nazywamy równanie postaci: n

. Funkcja ta maleje dla ( ) Zadanie 1 str. 180 b) i c) Zadanie 2 str. 180 a) i b)

Funkcja kwadratowa. f(x) = ax 2 + bx + c = a

Ostatnia aktualizacja: 30 stycznia 2015 r.

Pojęcia, wymagania i przykładowe zadania na egzamin poprawkowy dla klas II w roku szkolnym 2016/2017 w Zespole Szkół Ekonomicznych w Zielonej Górze

Funkcja kwadratowa. f(x) = ax 2 + bx + c,

ZADANIE 1. ZADANIE 2 Wyznacz wzór funkcji f (x) = 2x 2 + bx + c w postaci kanonicznej wiedzac, że jej miejsca zerowe sa niami równania x 3 = ZADANIE 3

1) 2) 3) 5) 6) 7) 8) 9) 10) 11) 12) 13) 14) 15) 16) 17) 18) 19) 20) 21) 22) 23) 24) 25)

Kurs ZDAJ MATURĘ Z MATEMATYKI MODUŁ 6 Teoria funkcje cz. 2

III. Funkcje rzeczywiste

Funkcje Andrzej Musielak 1. Funkcje

NAJWIEKSZY INTERNETOWY ZBIÓR ZADAŃ Z MATEMATYKI FUNKCJE KWADRATOWE PARAMETRY

Egzamin ustny z matematyki semestr II Zakres wymaganych wiadomości i umiejętności

Kształcenie w zakresie podstawowym. Klasa 2

3) Naszkicuj wykres funkcji y=-xdo kwadratu+2x+1 i napisz równanie osi symetrii jej wykresu.

ZAGADNIENIA NA EGZAMIN POPRAWKOWY Z MATEMATYKI W KLASIE II TECHNIKUM.

Zakres materiału obowiązujący do egzaminu poprawkowego z matematyki klasa 1 d LO

Funkcje wymierne. Funkcja homograficzna. Równania i nierówności wymierne.

FUNKCJA KWADRATOWA. 1. Definicje i przydatne wzory. lub trójmianem kwadratowym nazywamy funkcję postaci: f(x) = ax 2 + bx + c

Projekt Era inżyniera pewna lokata na przyszłość jest współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego

FUNKCJE ELEMENTARNE I ICH WŁASNOŚCI

Projekt Era inżyniera pewna lokata na przyszłość jest współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego

Otrzymaliśmy w ten sposób ograniczenie na wartości parametru m.

WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI DLA KLASY DRUGIEJ LICEUM OGÓLNOKSZTAŁCĄCEGO ZAKRES PODSTAWOWY

FUNKCJA LINIOWA. A) B) C) D) Wskaż, dla którego funkcja liniowa określona wzorem jest stała. A) B) C) D)

3. FUNKCJA LINIOWA. gdzie ; ół,.

Funkcja liniowa - podsumowanie

FUNKCJA KWADRATOWA. Zad 1 Przedstaw funkcję kwadratową w postaci ogólnej. Postać ogólna funkcji kwadratowej to: y = ax + bx + c;(

MATeMAtyka klasa II poziom rozszerzony

Funkcja liniowa -zadania. Funkcja liniowa jest to funkcja postaci y = ax + b dla x R gdzie a, b R oraz

WYMAGANIA EDUKACYJNE NIEZBĘDNE DO OTRZYMANIA PRZEZ UCZNIA POSZCZEGÓLNYCH ŚRÓDROCZNYCH I ROCZNYCH OCEN KLASYFIKACYJNYCH Z MATEMATYKI

FUNKCJA LINIOWA, RÓWNANIA I UKŁADY RÓWNAŃ LINIOWYCH

WYMAGANIA EDUKACYJNE NA POSZCZEGÓLNE OCENY. (zakres podstawowy) klasa 2

PLAN WYNIKOWY DLA KLASY DRUGIEJ POZIOM PODSTAWOWY I ROZSZERZONY. I. Proste na płaszczyźnie (15 godz.)

Na rysunku przedstawiony jest wykres funkcji f(x) określonej dla x [-7, 8].

Funkcje IV. Wymagania egzaminacyjne:

Wykład 5. Informatyka Stosowana. 6 listopada Informatyka Stosowana Wykład 5 6 listopada / 28

Zagadnienia na egzamin poprawkowy z matematyki - klasa I 1. Liczby rzeczywiste

K P K P R K P R D K P R D W

Matematyka licea ogólnokształcące, technika

Funkcja f jest ograniczona, jeśli jest ona ograniczona z

x+h=10 zatem h=10-x gdzie x>0 i h>0

Propozycja szczegółowego rozkładu materiału dla 4-letniego technikum, zakres podstawowy. Klasa I (60 h)

a =, gdzie A(x 1, y 1 ),

PLAN WYNIKOWY (zakres podstawowy) klasa 2. rok szkolny 2015/2016

Repetytorium z matematyki ćwiczenia

Zad. 8(3pkt) Na podstawie definicji wykaż, że funkcja y=

Wymagania edukacyjne z matematyki w klasie III A LP

( ) Arkusz I Zadanie 1. Wartość bezwzględna Rozwiąż równanie. Naszkicujmy wykresy funkcji f ( x) = x + 3 oraz g ( x) 2x

M10. Własności funkcji liniowej

I. Funkcja kwadratowa

Przedmiotowe Ocenianie Z Matematyki Liceum Ogólnokształcące obowiązuje w roku szkolnym 2016 / 2017

Projekt Era inżyniera pewna lokata na przyszłość jest współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego

WIELOMIANY. Poziom podstawowy

Dział I FUNKCJE I ICH WŁASNOŚCI

ZAKRES PODSTAWOWY. Proponowany rozkład materiału kl. I (100 h)

Przygotowanie do poprawki klasa 1li

Literatura podstawowa

ZAGADNIENIA PROGRAMOWE I WYMAGANIA EDUKACYJNE DO TESTU PRZYROSTU KOMPETENCJI Z MATEMATYKI DLA UCZNIA KLASY II

Skrypt 12. Funkcja kwadratowa:

Zadanie 3 Oblicz jeżeli wiadomo, że liczby 8 2,, 1, , tworzą ciąg arytmetyczny. Wyznacz różnicę ciągu. Rozwiązanie:

Funkcje elementarne. Ksenia Hladysz Własności 2. 3 Zadania 5

1 + x 1 x 1 + x + 1 x. dla x 0.. Korzystając z otrzymanego wykresu wyznaczyć funkcję g(m) wyrażającą liczbę pierwiastków równania.

Propozycje rozwiązań zadań z matematyki - matura rozszerzona

Pochodna funkcji c.d.-wykład 5 ( ) Funkcja logistyczna

I. Funkcja kwadratowa

Wymagania edukacyjne z matematyki

Przedmiotowe Ocenianie Z Matematyki - Technikum. obowiązuje w roku szkolnym 2016 / 2017

KLASA II TECHNIKUM POZIOM PODSTAWOWY PROPOZYCJA POZIOMÓW WYMAGAŃ

Zajęcia nr. 5: Funkcja liniowa

FUNKCJE. Kurs ZDAJ MATURĘ Z MATEMATYKI MODUŁ 5 Teoria funkcje cz.1. Definicja funkcji i wiadomości podstawowe

Funkcje elementarne. Matematyka 1

W. Krysicki, L.Włodarski, Analiza matematyczna w zadaniach cz. 1 i cz. 2. Pomocnicze symbole. Spójniki logiczne: Symbole kwantyfikatorów:

Funkcje wymierne. Jerzy Rutkowski. Działania dodawania i mnożenia funkcji wymiernych określa się wzorami: g h + k l g h k.

Propozycja szczegółowego rozkładu materiału dla 4-letniego technikum, zakres podstawowy i rozszerzony. Klasa I (90 h)

ROZKŁAD MATERIAŁU DO II KLASY LICEUM (ZAKRES ROZSZERZONY) A WYMAGANIA PODSTAWY PROGRAMOWEJ.

Indukcja matematyczna

10 zadań związanych z granicą i pochodną funkcji.

MINIMUM PROGRAMOWE DLA SŁUCHACZY CKU NR 1

Treści programowe. Matematyka 1. Efekty kształcenia. Literatura. Warunki zaliczenia. Ogólne własności funkcji. Definicja 1. Funkcje elementarne.

FUNKCJE. Rozwiązywanie zadań Ćw. 1-3 a) b) str Ćw. 5 i 6 str. 141 dodatkowo podaj przeciwdziedzinę.

Troszkę przypomnienia

MATEMATYKA WYKAZ UMIEJĘTNOŚCI WYMAGANYCH NA POSZCZEGÓLNE OCENY DLA KLASY PIERWSZEJ

x a 1, podając założenia, przy jakich jest ono wykonywalne. x a 1 = x a 2 ( a 1) = x 1 = 1 x.

Zajęcia nr 1 (1h) Dwumian Newtona. Indukcja. Zajęcia nr 2 i 3 (4h) Trygonometria

MATeMAtyka zakres rozszerzony

Treści programowe. Matematyka. Literatura. Warunki zaliczenia. Funkcje elementarne. Katarzyna Trąbka-Więcław

Wymagania edukacyjne matematyka klasa 1 zakres podstawowy 1. LICZBY RZECZYWISTE

Funkcja jednej zmiennej - przykładowe rozwiązania 1. Badając przebieg zmienności funkcji postępujemy według poniższego schematu:

Scenariusz lekcji 1. Informacje wst pne: 2. Program nauczania: 3. Temat zaj 4. Integracja: 5. Cele lekcji: Ucze potrafi:

MATEMATYKA WYKAZ UMIEJĘTNOŚCI WYMAGANYCH NA POSZCZEGÓLNE OCENY DLA KLASY DRUGIEJ

Zakres Dopuszczający Dostateczny Dobry Bardzo dobry

. c) do jej wykresu należą punkty A ( 3,2 3 3) oraz

Wartość bezwzględna. Funkcja wymierna.

Funkcje i ich własności. Energetyka, sem.1 (2017/2018) Matematyka #3: Funkcje 1 / 43

MATeMAtyka zakres podstawowy

ZBIÓR ZADAŃ. Matematyczne ABC maturzysty na poziomie podstawowym

Następnie przypominamy (dla części studentów wprowadzamy) podstawowe pojęcia opisujące funkcje na poziomie rysunków i objaśnień.

Transkrypt:

WYKŁADY Matematyka dla studentów I roku Farmacji WUM dr Justyna Kurkowiak 209-0-0

WARUNKI ZALICZENIA Matematyka (I semestr) W semestrze można zdobyć 00 punktów. PUNKTACJA Kolokwium I Kolokwium II Kartkówki 0 35 pkt 0 35 pkt 0 30 pkt RAZEM: 0 00 pkt Uwaga. Przedmiot zalicza uzyskanie minimum 60% możliwych do zdobycia punktów. Uwaga 2. Kolokwiów i kartkówek poprawiać nie można. Uwaga 3. Dla osób, które nie uzyskają zaliczenia w trakcie semestru/sesji zostanie wyznaczony termin w sesji poprawkowej z całości materiału. SKALA OCEN ZALICZENIA PRZEDMIOTU OCENA Przedmiot nie zaliczony LICZBA PUNKTÓW 0 59,5 3 60 67,5 3½ 68 75,5 4 76 83,5 4½ 84 9,5 5 92 00

Funkcje elementarne Funkcja liniowa y 2 tgα = a = y y 2 x 2 x α y x x 2 Jaki jest współczynnik kierunkowy prostej przechodzącej przez punkty A(; 3) oraz B( ; 5)? O czym mówi współczynnik kierunkowy prostej? y = ax + b a > 0, funkcja rosnąca a < 0, funkcja malejaca y = ax + b a > a Im większa wartość a tym funkcja jest bardziej stroma szybciej rośnie/maleje a szybkość zmian 2

Przykłady funkcji liniowej w przyrodzie: Zależność między temperatura w skali Celsjusza T C a temperaturą w skali Kelwina T K : T K = T C + 273,5 Zależność między temperatura w skali Farenheita T F a temperaturą w skali Celsjusza T C : T F =,8 T C + 32 Zależność między stężeniem substancji czynnej we krwi (dla określonego typu podania) a czasem: C = 00 0t dla t 0; 8 INTERPRETCJA WSPÓŁCZYNNIKÓW PROSTEJ O czym mówi współczynnik kierunkowy a? Jak zmieni się wartość zmiennej y, jeśli wartość zmiennej x zmieni się o jedną jednostkę y = ax + b x x+ y = a(x + ) + b y = ax + b + a O czym mówi wyraz wolny b? Jeśli zmienną niezależną jest np. czas, to wówczas b jest to wartość początkowa zmiennej zależnej (np. stężenia). Przykład. Przypuśćmy, że larwy pewnego gatunku owadów zwiększają swoją masę liniowo od t = 0 do t = 48 godzin. Larwy początkowo ważące 8 gramów po 48 godzinach ważyły 2 gramów. Znajdź funkcję opisującą zmianę wagi larwy w ustalonym przedziale. Mamy dwa punkty (0;8) oraz (48;2) zatem b = 8, natomiast a = 2 8 48 0 = 2. Zatem y = t + 8 dla t 0; 8 2 co godzinę larwa przybiera 2 g na początku larwa ważyła 8g https://przychodnia.pl/karmienie_piersia/zlobek_praca_siatki_centylowe/ 3

Funkcja liniowa pojawia się w farmakokinetyce w procesach tzw. zerowego rzędu (szybkość zmian stężenia jest stała): infuzja leków ze stałą szybkością, większość procesów enzymatycznych. Przykład 2. Jak z wykresu funkcji oczytać/ jak obliczyć biologiczny okres półtrwania t? Tzn. 2 czas po jakim stężenie leku spadnie o połowę? ZNACZENIE FUNKCJI LINIOWEJ tangens kąta nachylenia stycznej do wykresu funkcji f(t) w chwili t określa szybkość procesu w chwili t. C(t) tgα = szybkość zmiany stężenia w chwili t α t t UWAGA: w praktyce będziemy tangens nachylenia stycznej liczyć używając pochodnej. 4

Funkcja kwadratowa Postać ogólna y = ax 2 + bx + c, a 0. a > 0 a < 0 gałęzie ku górze gałęzie ku dołowi > 0 dwa miejsca zerowe y = a(x x )(x x 2 ) Wyróżnik trójmianu = b 2 4ac = 0 jedno miejsce zerowe Postać iloczynowa y = a(x x 0 ) 2 < 0 brak miejsc zerowych nie istnieje x = b b +, x 2a 2 = 2a x 0 = b 2a Postać kanoniczna y = a(x x w ) 2 + y w Przykład 3 x w = b 2a, y w = f(x w ) = 4a. Podane funkcje sprowadź do postaci kanonicznej i podaj współrzędne wierzchołka: y = x 2 + 2x 3 y = 3x 2 6x + 2. Znajdź rozwiązania: x 2 + 2x 3 = 0 3x 2 6x + = 0 5

Przykład 4 Zmieszano 5 moli etanolu i 8 moli kwasu octowego. Jakie będą liczby moli poszczególnych reagentów w stanie równowagi, jeżeli stała stężeniowa reakcji estryfikacji k = 4? CH 3 COOH + C 2 H 5 OH CH 3 COOC 2 H 5 + H 2 O początkowa liczba moli Liczba moli po reakcji CH 3 COOH C 2 H 5 OH CH 3 COOC 2 H 5 H 2 O 8 5 0 0 8 x 5 x x x k = x x (8 x)(5 x) 4 = x 2 (8 x)(5 x) 4(8 x)(5 x) = x 2 3x 2 52x + 60 = 0 x = 40 3 x 2 = 4 Pierwsze rozwiązanie odrzucamy (oznaczałoby to ujemne wartości substratów). UWAGA Najczęściej równania tego typu mają niecałkowitą deltę. 4 = ( + x) (5 + x) ( x)( x) 3x 2 4x = 0 x = x 2 = 4 4 3 6 4 + 4 3 6 KALKULATOR: MODE EQN wprowadzamy a, b, c otrzymujemy pierwiastki 6

Funkcje wielomianowe Wielomianem n-tego stopnia nazywamy funkcję: W(x) = a n x n + a n x n + + a x + a 0 ; a n 0 Jak wyglądają funkcje f(x) = x n? y = x 2 y = x 4 y = x 8 y = x 3 y = x 5 y = x 9 7

Przykłady funkcji wielomianowych: 8

Rozwiązywanie nierówności wielomianowych: Przedstawiamy wielomian w najprostszej postaci iloczynowej (tylko składniki liniowe i/lub nierozkładalne kwadratowe); Rysujemy graficzną wersję siatki znaków; Odczytujemy rozwiązanie Przykład 5 (x )(x + 2)(x 3)(x + 5) > 0 x ( ; 5) ( 2; ) (3; ) -5-2 3 (x ) 2 (x + 2)(x 3)(x + 5) 0-5 -2 3 x 5; 2 {} 3; ) (x ) 4 (x + 2) 7 (x 3)(x + 5) 2 < 0-5 -2 3 x ( 2; ) (; 3) ( x)(x + 2)(x 3)(x + 5) 0-5 -2 3 x 5; 2 ; 3 9

( x) 2 (x + 2)(x 3)(x + 5) 0-5 -2 3 x ( ; 5 2; 3 Funkcja homograficzna y = ax + b cx + d ad bc 0 Założenie wyklucza przypadek kiedy funkcje z licznika i mianownika byłyby proporcjonalne i skróciłyby się do stałej. Funkcja ma dwie asymtoty: Pionowa x = d c ; Pozioma x = a c ; W zagadnieniach praktycznych w naukach farmaceutycznych oś OX jest zwykle osią czasu, a zatem rozważamy tylko część wykresu dla t 0. Przykład 6 Zmiany stężenia substancji czynnej przebiegają zgodnie z równaniem, tzw. reakcja drugiego rzędu: C C 0 = kt, k stała eliminacji, C 0 steżenie początkowe 0

Funkcja hiperboliczna pojawia się w: niektórych procesach wiązania leków z białkiem w surowicy; eliminacji przeciwciał po immunizacji; procesy uwalniania substancji czynnej z tabletek o przedłużonym działaniu otrzymywanych metodą powlekania. LINEARYZACJA FUNKCJI HOMOGRAFICZNEJ (dla t 0) Przykład 7 Rozkład pewnej substancji w temperaturze 35 C zachodzi według reakcji drugiego rzędu. W odstępach czasu od 0 do 373 min. mierzono stężenie reagującej substancji [ mol dm3] i uzyskano zależność: C =,582 + 0,003t. Naszkicuj wykres C = f(t) oraz C = f(t). C 0,632 0,37 Jakie jest stężenie początkowe C 0? Dla t=0 wartość C 0 =,582 zatem C 0 = 0,632. Jaka jest jest wartość stężenia dla t = 373? C 373 =,582 + 0,003 373, zatem C 373 = 2,70, czyli C 373 =0,370. HIPERBOLA C 2,70 373 t =,582 + 0,003t C y =,582 + 0,003t,582 t = 0 C =,582 t = 373 C = 2,70 373 t PROSTA

Jak z rysunku odczytać stałą szybkość eliminacji? tangens nachylenia postaci zlinearyzowanej Jak z rysunku odczytać biologiczny okres półtrwania? Jak znaleźć wzór na biologiczny okres półtrwania? C = kt C 0 C = + kt = + kt = kt t C 0 C = 0 C 0 2 C 0 2 2 2 kc 0 Funkcja wykładnicza y = a x, a > 0 UWAGA: Funkcja nie ma miejsc zerowych. Przyjmuje zawsze wartości dodatnie. Przykład 8 Zmiana stężenia (aktywności) penicyliny bez stabilizatorów, w temperaturze pokojowej w zależności od czasu przechowywania (w tygodniach). C [mol/l] 0,072 0 20 30 t 2

Rysowanie wykresów funkcji Jeżeli wykres funkcji y = 2 x odbijemy symetrycznie względem osi OY, to jaką funkcję otrzymamy? Dodatnie x staje się ujemne, ujemne x staje się dodatnie, czyli x zmienia znak: y = 2 x = ( 2 ) x Przesuwanie wykresów funkcji: y = a u =[p;q] x y = a x p + q Przykład 9 Jak narysować wykres funkcji? y = ( 2 )x+ 2 y = ( 2 )x u =[ ; 2] y = ( 2 )x+ 2 y = 3 3 x symetria względem osi OX u =[0;3] x x y = 3 y = 3 y = 3 x + 3 3

Przykład 0 Liczba bakterii pewnej kultury podwaja się każdego dnia. Zakładając, że na początku było 00 bakterii, napisz równanie opisujace liczbę bakterii (N) po t dniach. t = 0 > N = 00 t = > N = 200 = 2 00 t = 2 > N = 400 = 2 2 00 Ogólnie: N = 2 t 00 t = 3 > N = 600 = 2 2 2 00 Jak wygląda równanie, jeśli populacja podwaja się co 4 dni? t = 0 > N = 00 t = 4 > N = 200 = 2 00 t = 8 > N = 400 = 2 2 00 t = 2 > N = 600 = 2 3 00 Liczba Eulera ZAPIS e 2,782 e x = exp (x) Ogólnie: N = 2 t 4 00 Przykłady funkcji wykładniczych o podstawie e: Równanie Arheniusa k = A exp ( E a R T ) Zmiany stężenia leku we krwi po podaniu jednorazowej dawki dożylnie C = C 0 e kt Rozwiązywanie równań i nierówności wykładniczych: Jeśli a x = a y, to x = y Jeśli a x < a y i a >, to x < y Jeśli a x < a y i 0 < a <, to x > y Przykład 4 2x = 4 42x = 4 2x = x = 0 ( 3 2 )x2 < ( 4 )x ( )x2 3 < ( 2 2 )2x x 2 3 > 2x (x 3)(x + ) > 0 exp { 2x 2x } > exp {2x } > exp{0} > 0 (2x )(x + ) > 0 x+ x+ x+ 4