Podstawy elektromagnetyzmu Wykład 3 Elektrostatyka, cz. 1
Prawo Coulomba F=k q 1 q 2 r 2 1 q1 q 2 Notka historyczna: 1767: John Priestley - sugestia 1771: Henry Cavendish - eksperyment 1785: Charles Augustin de Coulomb - publikacja k= 1 4 0 =c 2 0 4 =c2 10 7 k=8.988 10 9 0 =8.854 10 12 A B q 2 q 1 C q 2 q 2 q 1 q 1 Podstawy elektromagnetyzmu, Wykład 3, slajd 2
Pole elektryczne od pojedynczego ładunku q Q Q q F F=k Q r 2 1 Q q q=q E E E E= F q Definiujemy pole jako siłę działającą na jednostkowy ładunek. (Stacjonarny I punktowy) E od pojedynczego (punktowego) ładunku Q: E= 1 4 0 Q r 2 1 r E=lim q 0 F q Podstawy elektromagnetyzmu, Wykład 3, slajd 3
Pole elektryczne od wielu ładunków Q 1 F 2 F F 1 =k Q 1 r i 2 1 Q 1 q q=q E 1 E q E F 1 F 2 =k Q 2 r i 2 1 Q 2 q q=q E 2 Q 2 F=k q i Q i r i 2 1 Q i q=q E E E generowane przez n punktowych ładunków Q 1...Q n : E= 1 n 4 i=1 0 Q i r i 2 1 r i Podstawy elektromagnetyzmu, Wykład 3, slajd 4
Dipol elektryczny z E=E + E +Q Q d 2 d 2 θ P(r,z) =atan z r E r We współrzędnych walcowych E + = k Q r + 2 [ E = k Q r 2 [ r r +, r r, z d /2 ] r + r + = r 2 z d /2 ] r r = r 2 z d 2 z d 2 2 2 Far Dalekie (r >>d) (r >>d) field pole of dipole dipola in we spherical współrzędnych coordinates: sferycznych: Moment dipola p = d Q E= d Q [2cos,sin ] 4 0 Podstawy elektromagnetyzmu, Wykład 3, slajd 5
Ciągły rozkład ładunku dl......... k= 1 4 π ε 0 Liniowy E E= L k τ r 2 1 r dl Objętościowy...... dv... E= V k ρ r 2 1 r dv Powierzchniowy...... ds...... E E= S E k r 2 1 r ds Podstawy elektromagnetyzmu, Wykład 3, slajd 6
Prawo Gaussa S S D d s= Q Q j Q i S E d s= Q 0 D= Q k E= 0 Podstawy elektromagnetyzmu, Wykład 3, slajd 7
Zastosowanie prawa Gaussa Powierzchnia Gaussa sfera o środku w ładunku Możemy wykorzystać prawo Gaussa do wyznaczenia Rozkładu pola o ile symetria rozkładu ładunków powoduje symetrię rozkładu pola taką, że całka może być sprowadzona do iloczynu stałej wartości D i pewnej liczby (powierzchni). Q r S D d s=q Symetria: D ma tylko jedną składową (prostopadłą do S), Która jest stała na pow. sfery. 4 r 2 D=Q D= Q 4 r 2 E= Q 4 0 r 2 Podstawy elektromagnetyzmu, Wykład 3, slajd 8
Przykład: pole naładowanej objętościowo kuli Powierzchnia Gaussa sfera o środku w środku kuli. ρ r S D d s=q 4 r 2 D=Q D= Q 4 r 2 E= Q 4 0 r 2 Symetria: D ma tylko jedną składową (prostopadłą do sfery), stałą na pow. sfery. Wniosek: zewnętrzny obserwator nie rozróżnia źródła pola to może być ładunek punktowy albo dowolny obiekt (kula, powierzchnia) o symetrycznie rozmieszczonym ładunku Podstawy elektromagnetyzmu, Wykład 3, slajd 9
Przykład: pole naładowanej nici Źródło: nieskończenie długa nić naładowana ład. o gęstości τ [C/m] T S D d s=q=h S D d s= W D d s T D d s B Dd s= = W D d s 0 0= W =2 r h D h =2 r h D B d S Powierzchnia Gaussa cylinder o promieniu r i wysokości h D= 2 r Podstawy elektromagnetyzmu, Wykład 3, slajd 10
Przykład : pole naładowanego cylindra Źródło nieskończeniue długi cylinder o promieniu R naładowany ładunkiem o gęstości ρ [C/m 3 ] T S D d s=q= R 2 h S D d s= W D d s T D d s B Dd s= = W D d s 0 0= W =2 r h D R 2 h =2 r h D B d S Powierzchnia Gaussa cylinder o promieniu r i wysokości h D= R2 2r = ' 2 r '= R 2 Podstawy elektromagnetyzmu, Wykład 3, slajd 11
Elektryczność i materia Izolatory (dielektryki) Przewodniki Ujemne i dodatnie ładunki są związane w cząsteczki (lub atomy) Ujemne i dodatnie ładunki mogą się rozdzielać tworząc ruchomy ładunek. Podstawy elektromagnetyzmu, Wykład 3, slajd 12
Dielektryki: polaryzacja E=0 E 0 E p Podstawy elektromagnetyzmu, Wykład 3, slajd 13
Dielektryki: polaryzacja P=lim v 0 p i v E p D= 0 E P D= E = r 0 = 1 0 r 1,150 Podatność elektryczna Conjugated Sprzężone polymers polimery up do to 10 10 5 5 Podstawy elektromagnetyzmu, Wykład 3, slajd 14
E=0 Indukcja elektryczna w przewodnikach E 0 E ind =E Całkowite pole e przewodniku jest równe zero! Podstawy elektromagnetyzmu, Wykład 3, slajd 15
E 0 Zjawisko indukcji w przewodnikach D= J= d d t D= E J= E E ind =E E = d E d t E d E d t =0 E d E d t =0 E=E 0 e t, = Dla miedzi (ε=8.885e-12, σ=57e6) τ=0.155e-18 s Podstawy elektromagnetyzmu, Wykład 3, slajd 16
Warunki ciągłości pola 2 E 2, D 2 E 1, D 1 1 Lokalny układ współrzędnych 2 n E 2, D 2 t E 1, D 1 1 Podstawy elektromagnetyzmu, Wykład 3, slajd 17
Warunki graniczne dla D S D d s= Q n D 2 =[ D 2t, D 2n ] S D d s= top D 2n ds side2 D 2t ds side1 D 1t ds bottom D 1n ds D 1 =[ D 1t, D 1n ] t 2 1 side2 D 2t ds=0 side1 D 1t ds=0 S D d s= top D 2n ds bottom D 1n ds r 2 D 2n D 1n Q r 2 D 2n D 1n = Podstawy elektromagnetyzmu, Wykład 3, slajd 18
Warunki graniczne dla E L E d l=0 n E 2 =[E 2t, E 2n ] E 1 =[ E 1t, E 1n ] t 2 1 L E d l= top E 2t dt bottom E 1t dt right2 E 2n dn right1 E 1n dn left1 E 1n dn left2 E 2n dn L E d l= top E 2t dt bottom E 1t dt=0 E 2t E 1t =0 Podstawy elektromagnetyzmu, Wykład 3, slajd 19
Wracamy do równań Maxwella H=J D t E= B t D= B=0 D= E J= E B= H B t =0, D t =0 Tylko pole elektryczne, niezmienne w czasie. Interesują nas zjawiska w otoczeniu ładunków nieruchomych lub poruszających się bardzo wolno. Możemy zastąpić wektor polem skalarnym!! E= φ H =J E=0 D= B=0 D= E J= E B= H Podstawy elektromagnetyzmu, Wykład 3, slajd 20
Skalarny potencjał elektryczny E= Potencjał możemy wyliczyć jako całkę liniową wektora E: P = ref gdzie ref to punkt, w którym φ = 0. P E d l A L1 E d L= L2 Ed L= B A L 1 L 2 Napięcie B Q Coulomb Potencjał Coulomba potential r Praca w polu E dw =F dl=q E dl Energia potencjalna W = L F d L=q L E d L=q U AB r =k Q r Podstawy elektromagnetyzmu, Wykład 3, slajd 21
Równania Laplace'a i Poissone'a E=0 D= E D= Matematyla: Laplasjan (operator Laplace'a) W różnych UW Kartezjański Walcowy Sferyczny = 2 = 2 f = 2 f x 2 2 f y 2 2 f z 2 2 f = 1 r 2 f = 1 r 2 r r f r 1 2 f r 2 2 f 2 z 2 f r r2 r 1 r 2 sin sin f 1 2 f r 2 sin 2 2 E= D= H =J = =const B=0 = =0 =0 Równanie Poissone'a Równanie Laplace'a Laplasjan to suma pochodnych cząstkowych i dlatego równania typu L lub P nazywamy cząstkowymi równaniami różniczkowymi. Podstawy elektromagnetyzmu, Wykład 3, slajd 22
Rozwiązywanie CRR? Q 2 = = Równanie opisujące (Poissona) opisuje zachowanie pola w danym punkcie. Pozwala opisać relację pomiędzy polem w sąsiednich punktach, ale nie umożliwia wyznaczenia wartości pola, jeśli nie znamy wszystkich źródeł.. Jeśli ograniczamy analizę do obszaru Ω, to musimy określić na Γ pewne warunki dla φ lub jego pochodnych. Ω obszar zainteresowania Γ brzeg Ω Q,ρ,σ,τ źródła zewnętrzne Podstawy elektromagnetyzmu, Wykład 3, slajd 23
Zagadnienia brzegowe Zagadnienie brzegowe = równanie opisujące + warunki brzegowe n 3 1 2 = n 2 = 1 2 3 Rodzaje warunków brzegowych (wybór): 1) Dirichleta (1-go rodzaju) : 2) Neumanna (2-go rodzaju): 3) Robina (3-go rodzaju): =u on 1 n =q on 2 a b n =v on 3 Podstawy elektromagnetyzmu, Wykład 3, slajd 24
Przykład: pole naładowanego cylindra Źródło nieskończenie długi cylinder o promieniu R naładowany ładunkiem o gęstości ρ [C/m 3 ] r r =? 1 r 1 r ( r r d φ 1(r) ) d r = ρ r<r ε 0 ( r r d φ 1(r) ) =0 r R d r Po dwukrotnym całkowaniu 1 r = r 2 A 4 1 ln r B 1 r R 0 2 r = A 2 ln r B 2 r R Na osi cylindra potencjał pow. mieć skończoną wart. (r=0): A 1 =0, 1 r = r 2 B 4 1 r R 0 Podstawy elektromagnetyzmu, Wykład 3, slajd 25
r Podstawy elektromagnetyzmu, Wykład 3, slajd 26 Przykład: pole naładowanego cylindra (c.d.) Źródło nieskończenie długi cylinder o promieniu R naładowany ładunkiem o gęstości ρ [C/m 3 ] r =? Wygodniej, gdy potencjał jest ciągły: 1 r = 2 r r=r R 2 B 4 1 = A 2 ln R B 2 0 B 2 =B 1 R 2 A 4 2 ln R 0 Indukcja elektryczna D musi być ciągła: d 1 r d 0 = 2 r d r 0 d r 2 R= 0 A 2 R r=r A 2= R2 2 0 Eliminujemy B 2 : 2 r = R2 2 0 ln R r B 1 R2 4 0 r R
r Podstawy elektromagnetyzmu, Wykład 3, slajd 27 Przykład: pole naładowanego cylindra (c.d.) Źródło nieskończenie długi cylinder o promieniu R naładowany ładunkiem o gęstości ρ [C/m 3 ] r =? Wybór potencjału odniesienia: 1 r = r 2 B 4 1 r R 0 2 r = R2 ln R 2 0 r B R2 1 r R 4 0 Wygodnie byłoby przyjąć, że potencjał zanika w nieskończoności czyli φ( )=0, ale nie jest to możliwe, gdyż ln( ) =. Innym szczególnym miejscem jest zewnętrzna pow. cylindra r= R Zadając otrzymamy 1 R = 2 R =0 B 1 = R2 4 1 r = R2 4 0 1 r 2 R 2 r R 2 r = R2 2 0 ln R r r R