Polechna Poznańa Inyu onrucj Budowlanych WYZNACZANIE CHARAERYSY DYNAMICZNYCH RAM Z ŁUMIAMI MAXWELLA Opracowane wyonał prof. dr hab. nż. Roan Lewandow Oblczena opane w y opracowanu wyonal udenc udów opna: nż. Agneza aca nż. aarzyna aczare nż. Magdalena owalowa nż. Paweł Gur nż. oaz Roza nż. Cypran Dzecchowcz S r o n a
. Wprowadzene łu drgań naluje ę na różnego rodzaju onrucjach by znejzyć apludy drgań wywołane obcążena dynaczny. W procee projeowana łuów ona je właścwa ocena uów jae ożna oczewać po ch wprowadzenu. Użyeczny ara uożlwający ego ypu ocenę ą bezwyarowe wpółczynn łuena. Wraz z częośca drgań wobodnych poaca drgań ą o podawowe charaeryy ażdego uładu drgającego. Charaeryy e wyznacza ę rozwązując proble drgań wobodnych rozparywanego uładu; w y przypadu onrucj raowej z wbudowany łua drgań. Rozwązane ego zadana prowadza ę do rozwązana odpowedno zdefnowanego probleu włanego. W przypadu onrucj bez łuów drgań wyznaczane charaeryy dynacznych (częośc poac drgań) prowadza ę do rozwązana powzechne znanego lnowego probleu włanego. Proble jedna opluje ę wedy edy ay do czynena z onrucją z wbudowany łua drgań. Wedy należy w ope onrucj uwzględnć ły łuena óre poja ę w race analzy drgań wobodnych onrucj bez łuów drgań. Podobne ja w przypadu onrucj bez łuów drgań zagadnene analzy drgań wobodnych onrucj z łua drgań aże prowadza ę do rozwązana pewnego probleu włanego. Pod względe aeayczny wponany proble włany je jedna bardzej złożony rudnejzy do rozwązana. W pracy oawa ę la ożlwych forułowań prowadzących do różnych pod względe aeayczny probleów włanych oraz opano eodę rozwązana najbardzej złożonego (pod względe aeayczny) probleu włanego.. Równana ruchu ray z łua Maxwella. Równana opujące zachowane łua Maxwella Pod pojęce łu Maxwella rozue ę w ej pracy łu lepo-prężyy opywany za poocą reologcznego odelu Maxwella poazanego cheayczne na Ry.. u c j u Ry. Schea odelu reologcznego Maxwella Model en łada z zeregowo połączonej prężyny łua. Szywność prężyny oznaczono ybole d a wpółczynn łuena łua ybole c. Przeezczena S r o n a
lewego prawego ońca odelu oznaczono odpowedno ybola j () () a łę noralną panującą w łuu ybole u (). Ponado w odelu łua wyróżna ę aże przeezczene punu w óry prężyna łączy ę z łue. Przeezczene o nazywa ę przeezczene lub zenną wewnęrzną oznacza ę je ybole d (). Słę w łuu ożna oblczyć na dwa pooby wyorzyując równana onyuywne prężyny łua. Można węc napać: u ( ) ( ( ) ( )) u ( ) c ( & ( ) & ( )) () d gdze za poocą ndeów podreślono że odpowedn wzór napano wyorzyując odpowedno równane onyuywne prężyny łua. Ponado u zachodzć oczywa równość u ( ) u ( ) z órej wyna naępujące równane: c & ( ) c & ( )) ( ) ( ). () j d Równana () napane dla wzych łuów uezczonych na rae worzą uład równań zapany acerzowo jao równana (8). Jeżel rozwązana równań () () ają poać: u( ) e u ( ) e j ( ) e j d ( ) e d () o po podawenu ych rozwązań do () () orzyuje ę: u ) ( ) u c ) c ( c ). () ( d Z (.) wyna że ( j d j d j d d d c j j ν () c ν gdze ν / c a po podawenu () do (.) orzyuje ę u ( ) ( j ) ν. (). Równana ruchu ray z łua Maxwella Rozparzy raę płaą raowaną jao uład prężyy. Na rae ą zanalowane łu lepo-prężye. Model Maxwella je użyy do opu wponanych łuów. Schea przyładowej ray z łua Maxwella poazano na ry. a. S r o n a
Ry. Schea przyładowej ray z łua drgań Równana ruchu ego ypu uładów ożna acerzowo zapać w naępujący poób: M & ( ) C & ( ) C & ( ) ( ) ( ) P ( ) (7) C & ( ) C & ( ) ( ) ( ) (8) gdze ybole M oznaczono acerz a acerze bloowe C C C C worzą acerz łuena uładu raa łu a acerze bloowe acerz zywnośc uładu raa łu. Sybola ( ) ( ) oznaczono odpowedno n- eleenowy weor przeezczeń ray -eleenowy weor przeezczeń wewnęrznych łuów a ybole P () oznaczono weor ł wyuzających. Przeezczena wewnęrzne łua zoały oówone w poprzedn podpunce. ropa oznacza różnczowane względe czau. Szczegóły zwązane z wyprowadzene równań (7) (8) ożna znaleźć w pracach [ ]. Po wprowadzenu oznaczeń: ( ) P ( ) M C C ( ) P( ) M ( ) C C C (9) ożna równana ruchu zapać w poac jednego równana acerzowego M & ( ) C& ( ) ( ) P( ). () Zwraca ę uwagę na o że w () acerz M je ooblwa. S r o n a
Równane ruchu rozparywanego uładu ożna zapać jezcze naczej. Uuńy yślowo łu z uładu. łu e oddzaływają ła u () (..) na raę w poób poazany na ry. c. Z ł oddzaływana łuów worzy ę weor () poazany na ry. b. Równane ruchu rozparywanego uładu ożna węc zapać w poac: gdze ybola M M & ( ) C & ( ) ( ) P ( ) ( ) () C oznaczono odpowedno acerz a ray acerz łuena ray oraz acerz zywnośc ray bez łuów. Ponado weor () je weore przeezczeń ray. Weor () ożna wyrazć za poocą przeezczeń onrucj. Zoane o wyonane w naępny podpunce... Wyznaczane charaeryy dynacznych uładu raa łu Charaeryya dynaczny nazyway częośc drgań wobodnych bezwyarowe wpółczynn łuena poac drgań. Wyznacza ę je rozwązując równane drgań wobodnych (zn. załadając że P () ). Możlwe ą dwa pooby rozwązana poawonego zagadnena; jedno prowadzące do wadraowego probleu włanego druge prowadzące do lnowego probleu włanego. W perwzej olejnośc zoane oówony poób prowadzący do wadraowego probleu włanego. Rozwązane uładu równań (7) (8) (w órych podawono P () ) załada ę o poac: ( ) e ) e (. () Po podawenu () do (7) (8) orzyuje ę ponżzy uład równań algebracznych: ( M C ) ( C ) () ( C ) ( C ). () Równana () () defnują wadraowy proble włany w óry je waroścą właną a weory worzą weor włany. Jeżel łuene uładu ne je zby duże o rozwązane powyżzego probleu włanego je n warośc włanych óre będą lczba zepolony para przężony oraz rzeczywych warośc włanych. y warośco włany owarzyzą zepolone para przężone weory włane (owarzyzone z zepolony warośca włany) rzeczywe weory włane (owarzyzone z rzeczywy warośca włany). Ponado rzeczywe warośc włane ą lczba ujeny podobne ja częśc rzeczywe zepolonych warośc włanych. Je a dlaego S r o n a
że ylo wedy funcje () opujące drgana wobodne rozparywanego uładu ą funcja alejący aypoyczne do zera a ja o oberwuje w rzeczywośc. Rozwązane wadraowego probleu włanego je rudnejze nż rozwązane lnowego probleu włanego. Wobec ego w welu przypadach orzynejze je prowadzene zagadnena do rozwązana lnowego probleu włanego. Wyaga o wprowadzena oncepcj zw. weora anu. W perwzej olejnośc do równań (7) (8) dołącza ę równane o poac: M & ( ) M & ( ) () a naępne zapuje ę równana (7) (8) () w naępujący poób (podawając uprzedno P () ): C M C M C C & && & ( ) ( ) ( ) M & ( ) ( ). () ( ) Naępne wprowadza ę weor anu z () zdefnowany w naępujący poób: ( ) z ( ) & ( ). (7) ( ) Po uwzględnenu że & & z &( ) [ ( ) ( ) ( )] wprowadzenu oznaczeń A M ożna równane () przepać w poac: Rozwązane równana (9) załada ę w poac: C M C B M (8) C C B z& ( ) Az( ). (9) z( ) e z. () Po podawenu () do równana (9) orzyuje ę ponżzy lnowy proble włany ( A B) z. () Warośc włane wadraowego probleu włanego danego równana () () ą denyczne z warośca włany probleu lnowego (). Weory włane obu probleów włanych ą zwązane zależnoścą (parz aże [ ]): S r o n a
z. () rzec poób wyprowadzana równań z órych ożna oblczyć charaeryy dynaczne uładu raa łu orzya z równań ruchu zapanych w poac (). Rozwązane ego równana przyjuje ę w poac: ( ) e ) e Po podawenu P () funcj () do równana () orzyuje ę: (. () ( M C ). () Należy eraz weor wyrazć za poocą weora. W celu uprozczena rozważań rozparzy przypade ray z neończene zywny rygla na órej wbudowano łu w poób poazany na ry. a. łu ą połączone z onrucją za poocą neodzałcalnych zarzałów. Rozparzy przypade w óry na rae je ylo jeden łu oznaczony nuere óry za pośredncwe zarzału je połączony z rygla o nuerach j j (porównaj ry..c). Oznaczy ybole weor ł wzajenego oddzaływana ray łua o nuerze. Można wyazać (porównaj []) że weor en da ę przedawć w poac: e u () gdze e je zero-jedynowy weore aloacj rozparywanego łua. W oawany przypadu e [... e j e j... en e ]. Ponado zależność () ożna zapać w naępujący poób: Po podawenu () do () ay u ( ) ( j j ) e. () ν ν L G ( ) L ν (7) gdze L e e je acerzą aloacj łua o nuerze. Jeżel na rae zaonowano łuów o a równanu () ożna nadać poać: 7 S r o n a G ( ) L G ( ) L (8) v
( M C G ( ) v ). (9) Równane (9) je nelnowy problee włany. Możlwe ą węc rzy forułowana rozważanego probleu. Perwze podejśce prowadz do wadraowego probleu włanego opanego równana () (). Wyar ego probleu je równy n. Druge forułowane prowadz do lnowego probleu włanego o wyarze n a węc one węzego od wyaru probleu włanego wynającego ze forułowana perwzego. rzece forułowane prowadz do nelnowego probleu włanego o wyarze n najnejzy z wzych uaj rozważanych. Nelnowy proble włany (9) je jednocześne najrudnejzy do rozwązana. Po wyznaczenu warośc włanych ożna oblczyć częośc drgań wobodnych bezwyarowe wpółczynn łuena. Welośc e oblcza ę ylo na podawe zepolonych warośc włanych (parz [ ]). Jeżel zepoloną warość właną przedawy w poac: µ η gdze je jednoą urojoną o częość drgań ray z łua ω bezwyarowy wpółczynn łuena γ oblcza ę ze wzorów: µ η γ µ / ω ω. (). Meoda rozwązana nelnowego probleu włanego opanego równane (9) W pracy zoał opany pewen poób rozwązana nelnowego probleu włanego. Spoób en uożlwa wyznaczane ylo jednej zepolonej warośc włanej owarzyzonego z ną weora włanego. y nenej lurone zaoowane ej eody uożlwa wyznaczene lu zepolonych warośc włanych owarzyzonych z n weorów włanych. Przed przyąpene do opu eody proble włany opany równane (9) zoane zapany w poac: gdze a ponado () () ( ) M C G ( ). () Proble włany rozwązuje ę eodą wyazującą pewne podobeńwo do dobrze znanej eody weorów erowanych uożlwającej wyznaczane podawowej warośc włanej lnowego probleu włanego. v 8 S r o n a
Wponana eoda rozwązana równana () je eodą eracyjną. Załada ę że pozuujey wybranej warośc włanej owarzyzonego z ną weora włanego. Załaday równeż że znane je r-e przyblżene rozwązana oznaczone ybola r oraz r (dolny nde oznacza eraz nuer przyblżena rozwązana). Szuay lepzego przyblżena. Jao przyblżene począowe przyjuje ę odpowedną częość ω poać drgań a onrucj bez łuów drgań. Welośc e wyznacza ę rozwązując lnowy proble włany o poac: ( ω M ) a. () Wobec ego a a ω przy czy weor a norujey a by wybrany eleen ego weora był równy. Nowe przyblżene weora włanego wyznacza ę rozwązując równane algebraczne o poac: gdze ( ) ( r ) ~ r r () r ( ) M C G ( ) v G ( ) ν ( ν ) ( ν ) ν. () Zauważy że acerz ) je zazwyczaj zepolona podobne ja weor prawych ron ( r równana () wobec ego weor newadoych ~ r je równeż weore zepolony. Weor en norujey w en poób by en a eleen co w weorze a był równy. Norowane o odbywa ę zgodne z ponżzy wzore: ~ ~ ( r ) r r / l () ( ) gdze ~ r l je eleene weora ~ r o a ay nuerze co ayalny eleen weora a. W rezulace orzyuje ę nowe przyblżene pozuwanego weora włanego. Nowe przyblżene warośc włanej wyznacza ę wyorzyując oncepcję lorazu Raylegha rozzerzoną na przypade nelnowego probleu włanego ypu (9). Nech ˆ będze weore przężony z pozuwany weore włany. Warość włana weor włany pełnają równane (9). Mnożyy o równane leworonne przez rezulace orzyuje ę równane:. W 9 S r o n a
df f ( ) c G ( ) (7) gdze (..) M c C ˆ ˆ ˆ ˆ v. (8) Zauważy że wpółczynn wyępujące w równanu (7) ą lczba rzeczywy. Równane (7) je nelnowe ze względu na ożna je rozwązać eodą Newona. Wyagałoby o jedna dodaowego proceu eracyjnego. Poneważ jedna chodz ne o doładne rozwązane ego równana a o uzyane lepzego przyblżena warośc włanej ogranczay ę do poprawena rozwązana przez wyonane jednej eracj wyonanej a ja w eodze Newona. Zauważy że doładne warośc wpółczynnów wyępujących w y równanu ne ą znane poneważ dyponujey ylo przyblżena weorów ˆ. Jeżel r je oan przyblżene pozuwanej warośc włanej ( przyblżene rozwązana równana (7)) o nowe przyblżene orzyuje ę (zgodne z eodą Newona) ze wzoru: gdze f ( ) df d r r r (9) r df d dg dg ( ) ν c. () d d ( ν ) Po przeprowadzenu powyżzych oblczeń dyponujey nowy przyblżena zarówno weora włanego ja warośc włanej. Należy eraz prawdzć czy nowe przyblżene je rozwązane probleu włanego (9). Najczęścej wyaga ę pełnena naępujących warunów: r r < ε r r r < r ε () gdze ybol oznacza norę euldeową weora a ε ε o założone doładnośc oblczeń. W oblczenach opanych w ej pracy rozwązane probleu włanego pełna aże nerówność: r r rr < r ε () S r o n a
gdze r r r r ( M C G ( ) ) je weore rez ja orzyuje ę po r v r podawenu r-ego przyblżena rozwązana do równana (9) a ε założoną doładnoścą oblczeń.. Wyn przyładowych oblczeń.. Raa dwuondygnacyjna z jedny łue (oblczena wyonał nż. C Dzecchowcz) Perwzy przyład doyczy ray z neodzałcalny rygla z łue zanalowany na ondygnacj. Schea rozparywanego uładu poazano na ry. Przyjęo naępujące dane do oblczeń: g N/ N/ 8 N/ c 7 N/. c Ry. Schea ray dwuondygnacyjnej z łue drgań Częośc drgań wobodnych ray bez łua wynozą: ω 9 rad/ ω 87 rad/ a owarzyzone z n poac drgań: [.;] [;.]. W rozparywany przypadu (ponęo nde dla uprozczena zapu):! G ( ) /( ν ) ( ) G( [ ] M C v G( ) ν ( ν ). W perwzej olejnośc rozwązano lnowy proble włany (). W oawany przypadu ay: M 8 8 ν. 8 8 a jao warośc włane z rozwązana lnowego probleu włanego orzyano: S r o n a
.79.99& (.79.99& *..&.7.& ).7.& Zgodne z wcześnejzy ualana orzyano czery zepolone para przężone warośc włane jedną ujeną warość właną rzeczywą. Częśc rzeczywe zepolonych warośc włanych ą równeż ujene. Na podawe zepolonych warośc włanych orzyano: ω 9 rad/ ω 99 rad/ oraz γ γ 9. Ponado jao rozwązane wponanego probleu włanego orzyano ponżze weory włane:.. 79. 7.. 9. 98. 887....... 79. 889.. 9. 77.... 79... 7... 79. 9. 98. 889.. 887.. 9. 77.......8..88..79..8. Weory włane owarzyzone z zepolony warośca włany ą aże zepolone para przężone. Weor owarzyzony z rzeczywą waroścą właną je weore rzeczywy. Rozwązano równeż nelnowy proble włany (9) za poocą eody opanej w rozdzale. W perwzej olejnośc wyznaczono perwzą warość właną. Na począu proceu eracyjnego zerzającego do wyznaczena ej warośc włanej ay: ω 9 a [[; ] ν G ( ) 87 9. Przyjęo że proce eracyjny zoane zaończony jeżel zoaną pełnone nerównośc () () a ε ε ε. Dane przyjęe do oblczeń na począu olejnych eracj wyn (nowe przyblżena weora włanego warośc włanej) zeawono w abel. S r o n a
abela Raa dwuondygnacyjna z łue przebeg eracyjnego oblczana Nr eracj (dane) (dane) () (wyn) (wyn) 9.&.& 7. 9.9 9.&..7887.7&.887..&.777& 87.989 88.8&..7887.7&.887..&.777&.88.9878&..&.79879.987&.88.89&..&.9.99&.89.898&.9..&.98& Nr.88.9878& 8.99 9.87&..&.79879.987& 8.9.79&.88.89& 9.9.97&..&.9.99&.79.788& 8. 8.&.89.898&.9..&.98&.9.77999&.9.78&.89.89&..&.9.998& Oane przyblżene pełna warun eracj je perwzy rozwązane nelnowego probleu włanego. Warun zbeżnośc ego proceu były pełnone po eracjach. W naępnej olejnośc wyznaczono oawaną eodą parę (druge rozwązane nelnowego probleu). Jao warośc począowe proceu eracyjnego przyjęo eraz: 87 [ ; ]. Przebeg proceu eracyjnego poazano w abel. abela Raa dwuondygnacyjna z łue przebeg eracyjnego oblczana eracj (dane) (dane) () (wyn) (wyn) 97..8&.87&..8&..898.8&.7889..&.&..898.8&.7889 878.9.&.8&..&.9777.& 7.9 999.8&..&.9.79&.9777.8&.9 78.8 89.&.87&.9..&.79& 7.98.&..&..&.9.87&..&. 8..78&.97.8&.&..7989&..&.989.&.97.8&..&.989.97.787&.88&.9.&..98&..&.988.&.9.88&..&.988..778&.87&.9.&.887.7&..&.988.&.9.87& 7..&.988.77.8&.87&.9.&.9.7&..&.988.& Foralne warun zbeżnośc zoały pełnone po wyonanu eracj. W abel poazano wyn 7 eracj a oane przyblżene je pozuwany rozwązane. Porównana rozwązań orzyanych za poocą obu eod doonano w abel. Wdać że oba rozwązana zgadzają ę z doładnoścą do cyfr znaczących. abela Porównane rozwązań Warość włana Rozwązane lnowego probleu włanego Rozwązane nelnowego probleu włanego -7999-9998 -7. -988 S r o n a
.. Raa czeroondygnacyjna z dwoa łua drgań Drug przyład doyczy ray czeroondygnacyjnej z różne rozezczony łua drgań. Oblczena wyonano dla różnych zeawów danych do oblczeń. Dane nr raa z łua uezczony odpowedno na ondygnacj Oblczena wyonała nż. Agneza aca Przyjęo naępujące dane do oblczeń: ay ropów ( ) zywnośc ondygnacj ( ) /. Dane opujące łu ą naępujące: c c N/ N/. łu nr znajduje ę na ondygnacj a łu nr na ondygnacj. Częośc drgań wobodnych ray bez łuów drgań wynozą: ω rad/ ω 7 rad/ ω 87 rad/ ω 77 rad/. Weory włane (poace drgań) ą naępujące: 7 7 7 a a 7 a a. 879 879 879 7 7 Wyznaczono charaeryy dynaczne ray z łua drgań rozwązując lnowy proble włany (). W oawany przypadu [ ] [ d d ]. Bloowe acerze worzące acerze A B ają poać: M c C c c c C C C. c c Rozwązane lnowego probleu włanego ą ponżze waroc włane: S r o n a
989 987 8 7 8 97 9778 9 989 987 8 7 7 8 97 9778 9 8 9 98 9 7888. Rozwazano równeż nelnowy proble włany opany nelnowy równane (9). Macerze nne welośc defnujące en proble ają eraz poać: M C ν G ( ) v G ( ) v G ( ) v ν G ( ) ν G ( ) ν. ν. ν c c Za poocą wcześnej opanej eracyjnej eody rozwązana nelnowego probleu włanego (9) wyznaczono ylo jedną zepoloną warość właną. Ponżej podano wybrane eleeny proceu eracyjnego lurujące eodę oblczeń. Przyblżene począowe (eraz dolne ndey oznaczaja nuer eracj a ne nuer warośc weora włanego).. 7 Weor ne je doładne perwza poacą drgań a ylo jej przyblżene. Ieracja nr Nowe przyblżene weora włanego (po unorowanu) S r o n a
9 979 87 7 Wpółczynn w równanu (7) dane wzora (8) 79 c 8 8 9897 a nowe przyblżene warośc włanej 9. Ieracja nr Nowe przyblżene weora włanego (po unorowanu) 87 887 8 Wpółczynn w równanu (7) dane wzora (8) c 889 9 9 8 a nowe przyblżene warośc włanej 987 97. Ieracja nr Nowe przyblżene weora włanego (po unorowanu) 88 9 7 77. 88 89 Wpółczynn w równanu (7) dane wzora (8) 78 c 87 7 88 87 8 a nowe przyblżene warośc włanej 988 9897. Ieracja nr Nowe przyblżene weora włanego (po unorowanu) 97 7 887 9 Wpółczynn w równanu (7) dane wzora (8) 8 c 879 7 8 8 7 7 S r o n a
a nowe przyblżene warośc włanej 989 987. Ieracja nr Nowe przyblżene weora włanego (po unorowanu) 98 8 89 887 9 Wpółczynn w równanu (7) dane wzora (8) c 879 7 8 97 7 a nowe przyblżene warośc włanej 9897 987. Ieracja nr Nowe przyblżene weora włanego (po unorowanu) 98 9 888 9 Wpółczynn w równanu (7) dane wzora (8) 9 c 87 87 8 7 a nowe przyblżene warośc włanej 989 987. Oane przyblżene pełna warun eracj je uważane za pozuwane rozwązane nelnowego probleu włanego (ą jezcze nne rozwązana). Porównane wynów: ) rozwązane uzyane z lnowego probleu włanego 989 987 ) rozwązane uzyane za poocą eody eracyjnej 989 987 Wdać że orzyano denyczne rozwązane. Po podawenu powyżzego wynu do () orzyuje ę: ω 98 rad/ γ 87. Oawana eodą eracyjną ne udało ę jedna wyznaczyć rzeczywych warośc włanych. Wylczone na podawe rozwązań lnowego probleu włanego charaeryy dynaczne ray z łua drgań ą naępujące: ω 98 rad/ γ 87 ω 9 rad/ γ 9 ; ω 99 rad/ γ 8 ω 978 rad/ γ 7. 7 S r o n a
Bezwyarowe wpółczynn łuena ą ne węze nż co oznacza że rozparywany uład je ułade nezby lne łuony. Dane nr raa z łua uezczony odpowedno na ondygnacj Oblczena wyonały nż. Magdalena owalowa nż. aarzyna aczare Schea rozparywanego uładu przedawono na ponżzy ryunu. Ry. Schea ray czeroondygnacyjnej z łua drgań Przyjęo naępujące dane opujące raę: g N/. Paraery łuów wynozą: c c 7 N/ N/. łu nr znajduje ę na ondygnacj a łu nr na ondygnacj (porównaj ry. ). Częośc drgań wobodnych ray bez łuów drgań wynozą: ω 9 rad/ ω rad/ ω 7 rad/ ω 78 rad/. Wyznaczono charaeryy dynaczne ray z łua drgań rozwązując lnowy proble włany (). W oawany przypadu [ ] [ d d ]. Bloowe acerze worzące acerze A B ają poać: M 8 S r o n a
c C c c c C C C c. c Rozwązane lnowego probleu włanego ą ponżze waroc włane: 88 98 7 9 8 8 8 88 98 7 9 7 8 8 8 8 9. Oblczone na podawe zepolonych warośc włanych częośc bezwyarowe wpółczynn łuena ą równe: ω 988 rad/ γ 97 ω rad/ γ 8 ; ω 9 rad/ γ ω 8 rad/ γ. Z powyżzych oblczeń wyna że rozparywany uład je nezby lne łuony. Rozwązano równeż nelnowy proble włany opany nelnowy równane (9). Macerze nne welośc defnujące en proble ają eraz poać: M C ν ν G ( ) v G ( ) v G ( ) v G ( ) ν G ( ) ν ν. ν. c c 9 S r o n a
Poneważ w oawany przypadu ν ν ν ν ν ν c c c węc ożna napać G ( ) G ( ) G ( ) G ( ) v G( ) v. Za poocą opanej wczenej eracyjnej eody rozwązana nelnowego probleu włanego (9) wyznaczono czery zepolone warośc włane. W abel podano wyn olejnych eracj. Wdać że w przypadach wyarczyły eracje do wyznaczena rozwazana a w jedny przypadu należało wyonać eracj ( warość włana). Z porównana waroc włanych bedących rozwązana lnowego nelnowego probleu włanego wyna ze orzyano bardzo zblżone wyn. Różnce ą wyne przyjęca nejzej doładnośc w oblczenach wyonywanych eodą eracyjną. Dane nr raa z łua uezczony odpowedno na ondygnacj Oblczena wyonal nż. Paweł GMUR nż. oaz Roza Przyjęo naępujące dane do oblczeń: ) dane doyczące ray: g N/ N/ ) dane doyczące łuów: c 97 N/ c c N/ N/ N/. łu nr znajduje ę na ondygnacj łu na ondygnacj a łu nr na ondygnacj. Częośc drgań wobodnych ray bez łuów ą równe: ω 87 rad/ ω rad/ rad/ ω 8 ω 8 rad/. Orzyano naępujące poac drgań: 77 9 8789 7 8 9 87 7 8 9 87 ( 7 8 9 ) 7 8. 88 7 Wyznaczono charaeryy dynaczne ray z łua drgań rozwązując lnowy proble włany (). W oawany przypadu [ ] [ d d d ]. Bloowe acerze worzące acerze A B ają poać: S r o n a
abela Raa czeroondygnacyjna dane nr przebeg proceu eracyjnego Ieracja Warość włana Weor włany 7 - -879 9 7 78 7 - - 879 879-7 - - 9-89 8 87-87 7-99 -88-8 -79-99 -8 8 98 9798 88 87- -- -9- -9-9 8 87 9-9 -9-8 9-9- 7-998- -9 88-8 -97 - - 7 88 7 989 8 87- -79- -7- -9-9 77 9-9 -87 8 9-9- 7 7-9 -9 87-8 -77-7 - 7 88 989 89 87 87- -7- -7- -9-9 8 8 9-8 7-99 -7 7 7 -- 7-7 7-8 7-99 -- 8 S r o n a
M c C c c c c C C C c c. c c Rozwązane lnowego probleu włanego ą ponżze warośc włane: 89 7 98 9988 88 89 89 7 98 7 9988 88 89 8 9 7 7 9. Oblczone na podawe zepolonych warośc włanych częośc bezwyarowe wpółczynn łuena ą równe: ω rad/ γ ω 8 rad/ γ ; ω 7 rad/ γ 77 ω rad/ γ. Z powyżzych oblczeń wyna że rozparywany uład je średno łuony. Rozwązano równeż nelnowy proble włany opany nelnowy równane (9). Macerze nne welośc defnujące en proble ają eraz poać: M C S r o n a
ν ν ν G ( ) v G ( ) v G ( ) v G ( ) v G ( ) G ( ) G ( ) ν ν ν c ν. ν ν. c c Za poocą opanej wcześnej eracyjnej eody rozwązana nelnowego probleu włanego (9) wyznaczono czery zepolone warośc włane. olejne przyblżena perwzej warośc włanej drugego weora włanego zeawono ponżej (nde dolny oznacza eraz nuer przyblżena lub/ eracj): 9 87 ; : ; 7 8 87 779& 777 & 977 77 : 7 8 899 9987& 7877 & 77 8 & 897 7 8 89 98 & 7877 & 77 8 & 89 9 ( 7 8. 89 98 & Warun eracj zoały pełnone w rzecej eracj wobec ego perwza warość włana weor włany 7877 & 77 8 & 89 9 7 8. 89 98 & eraz nde dolny oznacza nuer warośc weora włanego. olejne przyblżena drugej waroc włanej zeawono ponżej (nde dolny oznacza eraz nuer przyblżena lub/ eracj): S r o n a
77 7 8 87 88 997 8 & 8 7 & 98 98 7 8 78 87 & 7 789 & 89 77 & 9 9 7 8 8 8 & 8897 78 & 878 778 & 7 987 7 8 ( 88 7977 & 889 8 & 878 778 & 79 98 7 8. ) 88 797 & 888 8 & W czwarej eracj zoały pełnone warun zbeżnośc eracj wobec ego druga warość włana drug weor włany wynozą: 878 778 & 79 98 7 8. 88 797 & 888 8 & eraz nde dolny oznacza nuer warośc włanej. olejne przyblżena rzecej waroc włanej zeawono ponżej (nde dolny oznacza eraz nuer przyblżena lub/ eracj): 8 7 8 787 88 & 7 8 & 897 8 7 8 97 & 9 & 7 & 797 99877 7 8 & 8 79 & 899 787 & 7 9987 7 8 ( 97 & S r o n a
8 7 & 8 7 & 9987 7 8. ) 7 97 & W czwarej eracj zoały pełnone warun zbeżnośc eracj wobec ego rzeca warość włana rzec weor włany wynozą: 8 7 & 8 7 & 9987 7 8. ( 7 97 & eraz nde dolny oznacza nuer warośc włanej. olejne przyblżena czwarej warośc włanej zeawono ponżej (nde dolny oznacza eraz nuer przyblżena lub/ eracj): 8789 8 7 8 7 89 8 & 9 7 8 97 9 & 989 8 & 87 9 & 8787 88 7 8 7 89 & 9 78 & 8787 988 & 879 8888 7 8. ( 78 7 & 7 88 & W rzecej eracj zoały pełnone warun zbeżnośc eracj wobec ego czwara warość włana czwary weor włany wynozą: 8787 988 & 879 8888 7 8. ) 78 7 & 7 88 & eraz nde dolny oznacza nuer warośc włanej. Z porównana rozwązań lnowego nelnowego probleu włanego wyna że orzyane warośc weory włane ą denyczne.. Uwag ońcowe W pracy oówono dwe eody wyznaczana charaeryy dynacznych ra płach z wbudowany łua lepo-prężyy. Model Maxwella połużył do opu łuów. S r o n a
Perwza z ych eod prowadza rozparywane zagadnene do rozwązana lnowego probleu włanego. W y forułowanu wyar probleu włanego wyno ( n ) (n ) gdze n o lczba opn wobody dynacznej onrucj a je lczba łuów. Druge forułowane prowadz do nelnowego probleu włanego órego wyar wyno ( n n) je znaczne nejzy o wyaru lnowego probleu włanego. Meody rozwązana nelnowego probleu włanego ą ało znane. W pracy oówono jedną z ych eod. Je o eoda eracyjna. Na przyładach poazano algory poępowana wyazano zbeżność proceu eracyjnego dla onrucj łabo lub średno łuonych.. Leraura [] R. Lewandow Dynaa onrucj budowlanych Wydawncwo Polechn Poznańej Poznań. [] R. Lewandow Reducja drgań onrucj budowlanych PWN Warzawa. S r o n a