Górctwo Geożyera Rok 3 Zeszyt 4 007 Tomasz Nedoba* OCENA ZAWARTOŚCI POPIOŁU W POKŁADACH WĘGLA ZA POMOCĄ NIEPARAMETRYCZNYCH METOD STATYSTYCZNYCH**. Wprowadzee W procese przeróbk węgla ezwykle ważym problemem jest dokłade oszacowae parametrów (p. zawartośc popołu, wlgotośc, mąższośc tp.) w badaej part węgla. Aby tego dokoać, ależy jak ajdokładej określć rozkład badaej cechy (czyl gęstość rozkładu, dystrybuatę). Węgel wchodzący jako adawa do procesu przeróbczego jest zazwyczaj meszaą węgl pochodzących z różych pokładów daej kopal. Każdy pokład charakteryzuje sę odmeym cecham geeruje róże typy rozkładów badaych parametrów. Tak węc rozkład prawdopodobeństwa badaej zmeej w całej populacj (part węgla) ależy traktować jako meszaę rozkładów badaej cechy w poszczególych frakcjach [0, ]. W artykule oszacowao zawartość popołu w węglu a przykładze jedej z kopalń. W celu określea gęstośc rozkładu zmeej losowej, którą jest zawartość popołu, zastosowao eparametrycze metody aproksymacj, tj. metodę jądrową oraz metodę Fourera.. Rozkład zawartośc popołu w węglu jako meszaa rozkładów Na przykładze kopal Y (stejącej w rzeczywstośc) wyróżoo 6 pokładów węgla, z których każdy charakteryzuje sę ym wartoścam teresujących as welkośc. Do przeróbk trafa węgel będący meszaą węgl z wszystkch pokładów. Zawartość popołu w węglu będącym adawą będze węc zróżcowaa zależy od tego z jakego pokładu pochodz daa parta węgla. Rozważmy każdy z 6 pokładów, z których pochodz wydobyway węgel. * Wydzał Górctwa Geożyer, Akadema Górczo-Hutcza, Kraków ** Artykuł powstał w ramach pracy statutowej r..00.38 39
Określmy, że: X zawartość popołu w węglu pochodzącym z -tego pokładu, gdze =,..., 6. X zawartość popołu w węglu wydobywaym w zakładze Y. Przyjmjmy, że rozkład zmeej losowej X jest meszaą rozkładów zmeych losowych X,..., X 6, czyl ogóla postać dystrybuaty zmeej X jest rówa: 6 p F F x =, gęstość rozkładu zmeej X zadaa jest wzorem: 6 f x = p f x = gdze: f (x) gęstość rozkładu zmeej X, p procetowy udzał -tej frakcj w populacj geeralej. TABELA Przykładowe zestawea procetowych udzałów węgla z sześcu pokładów w adawe trafającej do przerobu Numer -tego pokładu Pokład Pokład Pokład 3 Pokład 4 Pokład 5 Pokład 6 Średa zawartość popołu w węglu, % Średe odchylee stadardowe σ 3 5 4 5,,5 3 4,3 3,5,9 M 0 0 0,5 0 0 0,5 M 0,5 0,5 0 0 0 0 M3 0 0,5 0,5 0 0 0 M4 0, 0,5 0, 0, 0, 0, M5 0, 0, 0,5 0, 0, 0, M6 0, 0, 0, 0, 0, 0, M7 0 0,5 0,6 0 0,5 0 M8 0 0,3 0,7 0 0 0 M9 0, 0, 0,65 0 0,05 0 W tabel podao przykładowe zestawea (Mk, k =,..., 9) udzałów procetowych węgla w adawe trafającej do przerobu oraz przykładowe rozkłady zmeej losowej X 40
w adawe przy założeu log-ormalośc rozkładów zmeych losowych X (,..., 6). Dae te pochodzą z stejącej kopal węgla B a Górym Śląsku. Jeżel założymy, że rozkład zawartośc popołu w poszczególych pokładach jest rozkładem logarytmczo-ormalym o parametrach (m, σ ), czyl: ( l xm ) σ f = e dla x > 0 xσ π () to fukcja gęstośc zmeej losowej X (czyl zawartośc popołu w badaej part węgla) zadaa jest wzorem: oraz 6 = σ ( l xm ) σ f x = p e () π x Dla zmeej losowej o rozkładze logarytmczo-ormalym zachodzą wzory: E X = e σ +m σ + m σ = V X e e. Stosując metodę mometów do wyzaczea estymatorów ezaych parametrów rozkładu, otrzymujemy: s + x m = l x l (3) x s + x σ = l dla,,..., 6 (4) x Uwzględając wartośc zawarte w tabel, moża zapsać, że fukcja gęstośc zmeej X (czyl zawartośc popołu w adawe) ma postać ( l x,55) ( l x,47) ( l x,688) 0,056 0,03 0,078 p e + p e + p3 e 0,67 π 0, π 0,97 π f = ( l x,594) ( l x,444) ( l x,7) 0,8 0,63 0,036 + p4 e + p5 e + p6 e 0,3 π 0,86 π 0,7 π (5) 4
TABELA Zestawee wartośc oczekwaych oraz waracj dla poszczególych pokładów węgla w kopal B Nr pokładu m σ Pokład I,55 0,08 Pokład II,47 0,05 Pokład III,688 0,039 Pokład IV,594 0,09 Pokład V,444 0,086 Pokład VI,7 0,063 Przebeg tej fukcj dla różych udzałów Mk lustruje rysuek. Rys.. Przykładowe fukcje gęstośc mesza rozkładów zawartośc popołu w węglu Wdać węc, że wykowe fukcje gęstośc dla zawartośc popołu w węglu różą sę zacząco postacą w zależośc, jak jest udzał procetowy poszczególych pokładów węgla w adawe. Co węcej, krzywa gęstośc zawartośc popołu w adawe e mus być krzywą gęstośc rozkładu log-ormalego, a postać wzoru opsującego tę krzywą e jest postacą dotyczącą typu rozkładu zmeej losowej opsaego w lteraturze. 4
3. Estymacja jądrowa Estymatorem jądrowym gęstośc f(x) rozkładu zmeej losowej X azywa sę fukcję fˆ x x x = K h h (6) gdze fukcja K(x), zwaa jądrem, jest fukcją eujemą, spełającą waruek [] K dx = (7) atomast h > 0 jest parametrem zwaym szerokoścą pasma; (x,..., x ) ozacza realzację próbk losowej. Przedstawoo wyk estymacj opartej a [5]: jądrze Epaechkova 3 x dla 5 x K = 4 5 5 dla x > 5 0 (8) jądrze Gaussa exp x, x R π (9) Doboru wartośc szerokośc pasma h dokouje sę [3, 6] astępująco: dla jądra Epaechkova 5 h =, 056 s (0) opt dla jądra Gaussa 5 h =, 066 s () opt gdze: lczebość próbk losowej, s = x x s estymator odchylea stadardowego podstawe tej próbk. oblczoy a 43
Stosując estymację jądrową przy użycu jądra Epaechkova, otrzymao astępujące fukcje gęstośc zawartośc popołu w węglu a poszczególych pokładach (f (x) fukcja gęstośc dla -tego pokładu): = ( ) f x,996 00,4 x x, D = = ( ) f x f3 x 6, 708 8000 x x, D = ( ) D f4 x,56 37,8 x x, = ( ) f5 x, 458 378 x x, D = ( ) f6 x, 795 338,89 x x, D gdze D = { x x h x h + } ; 5, 5. Używając w estymacj jądrowej jądra Gaussa, otrzymao astępujące estymatory gęstośc zawartośc popołu dla poszczególych pokładów: ( ) x x 0,0008, 375, g = e ( ) x x 0,000 3,99, g = g3 = e ( ) x x 0,004, 735, g4 = e ( ) x x 0,007, 376, g5 = e ( ) x x 0,0003 3, 35, g6 = e 44
4. Estymacja gęstośc metodą Fourera Jedą z bardzej zaych metod owoczesej teor eparametryczej estymacj fukcj gęstośc zmeej losowej jest aproksymacja przy użycu szeregu Fourera [, 4]. Nech ϕ x jest cągem ortoormalym a przedzale [0, ] gdze { j } cąg fukcj ϕ j = dla j = 0 cos π jx dla j =,,... () Jeżel zmea losowa przyjmuje wartośc z przedzału [a, b], to poprzez trasformację lową zamea sę te przedzał a [0, ]. Zamaę zmeych dokouje sę według poższego wzoru a X ' = X ba ba (3) Estymatorem gęstośc metodą Fourera jest fukcja f = Q ϕ (4) J j j j = 0 J gdze J azywa sę parametrem obcęca. Estymatoram współczyków Fourera Q j są Qˆ = ϕ ( x ) (5) j j gdze x,..., x ozacza -elemetową realzację próbk losowej. Za estymator parametru obcęca J przyjmuje sę ˆ ˆ Q J = arg m ˆ J 0 Qj 0 J J j = 0 (6) dla którego arg m ( a ) 0 J J s przyjmuje wartośc rówe deksow s ajmejszego elemetu spośród (a 0,..., a J ), atomast J ozacza część całkowtą lczby (4 + 0,5l ). 45
Stosując metodę Fourera, otrzymao astępujące estymatory fukcj gęstośc: = ( π + π ) h x 0,04cos x 0,6486cos x, = + ( π + π ) h x 0, 785cos x, 0650 cos x, = ( π + π ) h3 x 0,4574cos x 0,5036cos x, h4 x = 0,90cos π x, = + ( π π ) h5 x 0,640 cos x 0, 4893cos x, = ( π + π π ) h6 x 0, 4760cos x 0,693cos x 0,7000cos3 x. Do ocey mary dopasowaa zastosowae zostae średe odchylee resztowe, oblczoe według wzoru s r = ( F( x ) ˆ F ) = (7) gdze: ˆF dystrybuata rozkładu uzyskaa przez estymację, F dystrybuata emprycza, lczba pomarów. Wyk dla stosowaych metod, jak dla rozkładu logarytmczo-ormalego przedstawa tabela 3. TABELA 3 Zestawee wyków odchyleń resztowych dla zastosowaych metod aproksymacj Pokład Log-orm Epaechkov Gauss Fourer I 0,0594 0,0809 0,0800 0,0487 II 0,0576 0,64 0,63 0,04 III 0,0506 0,047 0,0466 0,0636 IV 0,0840 0,073 0,070 0,0548 V 0,05 0,0647 0,0637 0,035 VI 0,0659 0,0608 0,060 0,0490 46
Grafczą prezetację otrzymaych dystrybuat przedstawoo a rysuku. Rys.. Zestawee aproksymat dystrybuat zawartośc popołu w węglu uzyskaych różym metodam dla węgla z pokładu I Dla wększośc pokładów ajlepsze przyblżee staow fukcja gęstośc uzyskaa metodą Fourera, atomast dla pokładu trzecego ajlepszy wyk daje metoda Gaussa. Aalzując błędy, moża stwerdzć, że dopasowae rozkłady logarytmczo-ormale w ektórych przypadkach dają lepsze wyk ż rozkłady uzyskae metodam jądrowym, co potwerdza celowość określaa rozkładu zawartośc popołu w węglu jako rozkładu logarytmczo-ormalego. Na podstawe otrzymaych wyków, ajlepszą aproksymację fukcj gęstośc zawartośc popołu w węglu w adawe będze staowć meszaa fukcj gęstośc dla poszczególych pokładów, dla których wartość s r jest ajmejsza, czyl fˆ x = p f x (8) 0 0 gdze f 0 (x) ozacza estymator gęstośc w -tym pokładze, dla którego wartość s r jest ajmejsza [7 9]. 47
Przykładowe porówae dystrybuat mesza rozkładów otrzymaych różym metodam zaprezetowao a rysuku 3. Rys. 3. Porówae dystrybuat otrzymaych dla różych typów aproksymacj a przykładze meszay rozkładów M5 TABELA 4 Zestawee wartośc prawdopodobeństwa, że zawartość popołu w adawe węgla P X < 5% e przekracza 5% ( ) Typ meszay Log-orm Epaechkov Gauss Fourer ˆF 0 MI 0,564 0,4704 0,47 0,5504 0,5338 MII 0,976 0,896 0,836 0,9089 0,9089 MIII 0,757 0,7055 0,7096 0,774 0,7577 MIV 0,858 0,7496 0,75 0,848 0,835 MV 0,659 0,5939 0,5968 0,644 0,677 MVI 0,7383 0,660 0,664 0,6887 0,68 MVII 0,6734 0,663 0,6304 0,6685 0,6488 MVIII 0,670 0,676 0,639 0,6839 0,6608 MIX 0,675 0,649 0,690 0,676 0,6547 48
Tabela 4 przedstawa prawdopodobeństwa tego, że zawartość popołu w węglu w adawe e przekracza 5% dla przykładowych mesza podaych w tabel, przy założeu, że dla wszystkch pokładów fukcje gęstośc były wyzaczae tą samą metodą jak dla fukcj gęstośc, będącej meszaą optymalych estymatorów a daym pokładze. Oblczoe prawdopodobeństwa różą sę w zależośc od rodzaju meszay. Dla rozkładu logarytmczo-ormalego przyjmują ajwększe wartośc, ale trzeba wząć pod uwagę, że rozkład te e był optymale dopasoway do rzeczywstego rozkładu ajbardzej prawdopodobe wartośc przedstawa ostata koluma. Wartośc tych prawdopodobeństw moża wykorzystać przy ocee ryzyka ekoomczego przy podejmowau decyzj determujących jakość oferowaego węgla. Błęde oszacowae jego parametrów może prowadzć do wymerych strat fasowych, jak róweż obżyć wartość produktu. 5. Wosk Na podstawe przeprowadzoych badań moża sformułować astępujące wosk: ) rozkład zawartośc popołu w adawe węgla ależy rozpatrywać jako meszaę rozkładów tej cechy w poszczególych pokładach; ) zastosowae eparametryczych metod estymacj pozwala precyzyjej określć fukcję gęstośc ż w przypadku założea, że rozkład badaej cechy ależy do rodzy rozkładów zadaych z góry (p. rozkład logarytmczo-ormaly); 3) w poszczególych pokładach e zawsze ta sama metoda daje ajlepszy, możlwy efekt, dlatego celowe jest zastosowae fukcj gęstośc meszay optymalych estymatorów dla poszczególych frakcj; 4) metody eparametryczej estymacj pozwalają dokładej określć prawdopodobeństwo ryzyka ekoomczego, zwązaego z założeem określoej jakośc węgla. LITERATURA [] Chetsov N.N.: Evaluato of a ukow dstrbuto desty from observatos. Sovet Math. Dokl. 3, 96, 59 56 [] Efromovch S.: Noparametrc curve estmato. New York, Sprger-Verlag 999 [3] Efro B.: Noparametrc stadard errors ad cofdece tervals. Caad. J. Statst., 9, 98 [4] Efro B., Tbshra R.J.: Usg specally desged expoetal famles for desty estmato. A. Statst. 4, 996, 43 46 [5] Epaechkov V.K.: No-parametrc estmato of a multvarate probablty desty. Theory Prob. Appl., 4, 969 [6] Gajek L., Kałuszka M.: Woskowae statystycze. Warszawa, WNT 000 [7] Martyak J.: Nepewość wyków ozaczaa właścwośc produktu zarstego w badaach wyrywkowych. Gospodarka Surowcam Meralym, 0,, 004 [8] Nedoba T.: The utlzato of o classcal statstcal methods the raw materals qualty estmato the estmato of ecoomcal rsk. 8th Coferece o Evromet ad Meral Processg, Part II, VŚB-TU Ostrava, 004, 9 37 49
[9] Nedoba T., Tumdajsk T.: The approxmato of gra composto curves by o-parametrc statstcal methods. XXIII Iteratoal Meral Processg Cogress, vol., Stambuł, 006, 03 09 [0] Tora B., Tumdajsk T.: Wpływ błędów opróbowaa a dokładość blasów składków materałów uzaroych. Gospodarka Surowcam Meralym, 5, zeszyt specjaly, 999 [] Tumdajsk T.: Stochastycza aalza własośc materałów uzaroych procesów ch rozdzału. Kraków, Wydawctwo AGH 997 50