PRACOWNA FZYCZNA DLA UCZNÓW WAHADŁA SPRZĘŻONE W ćwiczeniu badać będziemy drgania dwóch wahadeł sprzężonych za pomocą sprężyny. Wahadła są jednakowe (mają ten sam moment bezwładności, tę samą masę m i tę samą odległość r środka ciężkości od osi obrotu i są sprzężone sprężyną o współczynniku k. Sprężyna w położeniu równowagi nie jest napięta, a jej punkty przyczepienia do wahadeł leżą w odległości a od osi obrotu, tej samej dla obu wahadeł. Drgania każdego z wahadeł jest opisywane przez własne wychylenie oznaczone przez φ i = A i cos(ω i t, gdzie A i są amplitudami drgań każdego z wahadeł, a ω i są ich częstościami drgań. Podczas wykonywania doświadczenia wygodnie jest mierzyć okres drgań wahadła T = π ω. Aby wyznaczyć go najdokładniej należy zmierzyć na przykład czas pełnych dziesięciu drgań i na tej podstawie wyznaczyć okres i częstość drgań wahadła. Planowanie pomiarów Kluczowym elementem do poprawnego przeprowadzenia doświadczenia jest równość okresów drgań obu wahadeł, dlatego przed wykonaniem pierwszych pomiarów musimy zadbać o zachowanie ich synchroniczności przynajmniej przez czas, jaki zamierzamy poświęcić pojedynczemu pomiarowi wielkości. W tym celu uruchommy oba wahadła, niesprzężone, wychylając je w tę samą stronę i zwalniając jednocześnie, bez prędkości początkowej. Obserwujmy ich ruch przez czas odpowiadający kilkudziesięciu ich okresów, zwracając uwagę na synchroniczność ich ruchu. W razie potrzeby dokonajmy niezbędnych regulacji nakrętką na wahadle. Siłę sprzężenia możemy regulować wybierając odległości a punktu zamocowania sprężyny do wahadła od osi obrotu. Zamocowanie to możemy przesuwać wzdłuż prętów wahadeł pamiętajmy o umieszczeniu zamocowań obu końców sprężyny w tej samej odległości od osi obrotu wahadła. Jeśli odległość a będzie duża, to przy ściskaniu sprężyna może się wygiąć w łuk, a więc niezgodnie z przyjętym w równaniach modelem. Duża wartość parametru a spowoduje, że okres dudnień był mały, a to utrudni nam to zarówno pomiar okresu drgań szybkich jak i dudnień. Z drugiej strony, jeśli wartość parametru a będzie zbyt mała, to okres dudnień będzie wyjątkowo długi i ze względu na występujące straty energii, ruch układu ustanie nim wykonamy pomiar. Tak dobierzmy punkt przyczepienia sprężyny do wahadła, aby w trakcie jednego okresu dudnienia wystąpiło kilka do kilkunastu drgań szybkich. Wynikiem tego postępowania będzie oszacowanie czasu t, jaki zamierzamy spędzić na pojedynczym pomiarze zaplanowanej liczby dudnień. 1
Teraz wróćmy do rozprzęgniętych wahadeł i ponownie uruchommy je, wychylając w tę samą stronę i zwalniając jednocześnie, bez prędkości początkowej. Obserwujmy ruch wahadeł przez oszacowany czas t, zwracając uwagę na synchroniczność i dokonując, w razie potrzeby, stosownych regulacji. W przypadku drgań pojedynczego wahadła częstość jego drgań jest równa ω = mgr. Aby wyznaczyć odległość środka masy wahadła od osi obrotu (r należy zrównoważyć wahadło ułożone w poziomej pozycji na pryzmatycznym ostrzu (patrz rysunek. Wahadła należy w tym celu zdjąć ostrożnie z łożysk, a po pomiarze ułożyć precyzyjnie ponownie w łożyskach. masa wahadła (m odległość od osi obrotu (r odległość punktu zamocowania sprężyny od osi obrotu (a Drganie własne drgania w fazie. Wychylając oba wahadła o ten sam kąt w tę samą stronę i zwalniając je jednocześnie, bez nadawania im prędkości początkowej, uzyskujemy zsynchronizowany, zgodny w fazie ruch obu wahadeł: φ i = A i cos(ω 1 t z częstością ω 1 = mgr. Czyli wahadła drgają tak jakby nie były one połączone sprężyną i drgały jedynie pod wpływem siły ciężkości. Mierząc okres wahadeł drgających w fazie możemy wyznaczyć moment bezwładności wahadła. wahadła (T1i (T1 drgań (ω 1 = π T 1 Moment bezwładności ( = mgr ω 1
Drganie własne drgania w przeciwfazie. Wychylając oba wahadła o ten sam kąt, ale w przeciwną stronę i zwalniając je jednocześnie, bez nadawania im prędkości początkowej, uzyskujemy synchroniczny ruch, w którym wahadła drgają w przeciwfazie: φ i = ±A i cos(ω t z częstością ω = ω 1 + ka. Czyli wahadła drgają z częstością większą niż gdyby nie były one połączone sprężyną i drgały jedynie pod wpływem siły ciężkości. Mierząc okres wahadeł drgających w fazie możemy wyznaczyć współczynnik sprężyny sprzęgającej oba wahadła. Teoretycznie nie ma znaczenia, czy wahadła są zbliżone do siebie, czy też oddalone, wygodniej jest jednak zrealizować pierwszy przypadek. Zbliżamy wahadła ku sobie, co powoduje skurczenie sprężyny. Ponieważ ma ona tendencję do wyginania się w łuk, należy na tyle zbliżyć wahadła, aby wygięcie to nie wystąpiło, w przeciwnym razie zmienia się współczynnik. Związujemy nitką końce zsuniętych wahadeł. W równowadze oba nieruchome wahadła będą symetrycznie wychylone ku sobie. Po przepaleniu nitki obserwujemy dowolne z wahadeł i mierzymy okres T. wahadła (Ti (T drgań (ω = π T Współczynnik (ω a ω 1 (k = Dudnienia. Uruchamiamy wahadła tak, ze jedno z nich, np. pierwsze, jest wychylone o pewien kąt, w dowolną stronę, a drugie utrzymujemy w położeniu równowagi i oba zwalniamy jednocześnie, bez nadawania im prędkości początkowych. Obserwujemy zjawisko periodycznej zmiany amplitudy drgań nazywane dudnieniami. Drgania każdego z wahadeł można przedstawić w postaci: φ i = A i (t cos(ω s t, gdzie A i (t = A i cos(ω d t oraz ω s = ω +ω 1 i ω d = ω ω 1. Czyli amplituda Ai(t szybkich drgań z okresem Ts modulowana jest wolnozmiennym w czasie, harmonicznym drganiam z okresem Td. Pomiar okresu Ts: liczymy tu drgania jednego z wahadeł nie zważając na to, że odbywają się one ze zmienną amplitudą. Ze względu na warunki doświadczenia nie zawsze można mierzyć czas trwania dużej liczby drgań bez obawy popełnienia większego błędu może się bowiem zdarzyć, 3
że wahadło zatrzyma się w trakcie pomiaru. W układzie zrealizowanym w Pracowni wahadło zatrzymuje się co kilka lub kilkanaście drgań w zależności od położenia punktu zaczepienia sprężyny. W trakcie jednego pomiaru mierzymy czas trwania np. 5 drgań. Pomiar powtarzamy ok. 10 razy. Pomiar okresu Td dudnień: znów obserwujemy ruch dowolnego wahadła. Należy pamiętać, że od jednego zatrzymania się wahadła do ponownego mija tylko pół okresu. Wygodnie jest rozpocząć pomiar, gdy wahadło zatrzymuje się. W trakcie jednego pomiaru mierzymy czas np. 5 okresów. Ze względu na błąd spowodowany trudnością ustalenia momentu zatrzymania się wahadła, pomiary powtarzamy większą niż dotychczas liczbę razy, np. 0. wahadła (Tsi (Ts drgań (ω s = π T s Częstość drgań obliczona na podstawie poprzednich pomiarów (ω s = ω +ω 1 Okres dudnień wahadła (Tdi Średni okres dudnień (Td dudnień (ω d = π T d Częstość dudnień obliczona na podstawie poprzednich pomiarów (ω d = ω ω 1 Zastanów się, jakie są błędy Twoich pomiarów. Czy otrzymane wyniki są zgodne ze sobą? 4
Porównanie wyznaczonego współczynnika sprężyny z wartością otrzymaną z prawa Hooke a. W celu uzyskania oceny współczynnika odwołujemy się do prawa Hooke a, k = F Δx Współczynnik wyznaczamy mierząc przyrost długości sprężyny pod wpływem znanego obciążenia. Siła rozciągająca (Fi Wydłużenie sprężyny ( xi Współczynnik (ki Średni współczynnik (k Czy otrzymane wyniki są zgodne ze sobą? 5