Určitý integrál Aplikovná mtemtik I Dn Říhová Mendelu Brno Obsh Zákldní úloh integrálního počtu Definice určitého integrálu 3 Vlstnosti určitého integrálu 4 Výpočet určitého integrálu 5 Geometrické plikce určitého integrálu 6 Nevlstní integrál Vlivem meze Vlivem funkce Bernhrd Riemnn
Zákldní úloh integrálního počtu Njít obsh rovinného obrzce ohrničeného osou, přímkmi, b grfem nezáporné spojité funkce f() definovné n intervlu, b. f() S b Obsh tkového obrzce lze přibližně určit pomocí součtu obshů obdélníků: Intervl, b rozděĺıme děĺıcími bod,,..., n n n podintervlů, kždý podintervl i, i bude tvořit zákldnu obdélník. V kždém podintervlu zvoĺıme libovolný reprezentnt ξ i sestrojíme obdélník, jehož výšk je rovn hodnotě funkce f v bodě ξ i, tj. f(ξ i ). n 3 Sečteme obsh všech tkto získných obdélníků: f(ξ i )( i i ). Obsh obrzce se rovná limitě součtu obshů obdélníků, jestliže se délk záklden obdélníků bĺıží k nule počet obdélníků se bĺıží nekonečnu. Tuto limitu nzveme určitý integrál. i Definice (dělení intervlu) Dělením intervlu, b rozumíme množinu bodů D {,,,..., n } tkovou, že < < < < n b. Definice (integrální součet) Necht f je funkce ohrničená n intervlu I, b D {,,,..., n } je dělení intervlu I. V kždém děĺıcím intervlu zvolme libovolné číslo ξ,, ξ,,..., ξ n n, n. Množinu těchto čísel R {ξ, ξ,..., ξ n } nzýváme výběr reprezentntů dělení D. Potom součet n σ(f, D, R) f(ξ i )( i i ) se nzývá integrální součet funkce f, příslušný dělení D výběru reprezentntů R. Pro jednoduchost úvh budeme předpokládt, že délk všech podintervlů i i i jsou stejné. i
Integrální součet ξ ξ ξ 3 ξ 4 ξ 5 ξ 6 ξ 7 ξ 8 3 4 5 6 7 8 b σ(f, D, R) f(ξ )( ) + f(ξ )( ) + f(ξ 3 )( 3 ) + f(ξ 4 )( 4 3 )+ +f(ξ 5 )( 5 4 ) + f(ξ 6 )( 6 5 ) + f(ξ 7 )( 7 6 ) + f(ξ 8 )( 8 7 ) 8 8 f(ξ i )( i i ) f(ξ i ) i i i Integrální součet (jemnější dělení) ξ ξ ξ 3 ξ i ξ n 3 i i n n b σ(f, D, R) f(ξ )( ) + f(ξ )( ) + + f(ξ n )( n n ) n n f(ξ i )( i i ) f(ξ i ) i i i
Poznámk (geometrický význm integrálního součtu) Pro funkci f, která je n intervlu, b nezáporná ohrničená, předstvuje součin f(ξ i )( i i ) obsh obdélník o zákldně délk i i i výšce f(ξ i ). Potom integrální součet σ(f, D, R) n f(ξ i ) i i je roven součtu obshů tkových obdélníků. Čím bude dělení intervlu jemnější počet dílků n větší, tím bude integrální součet lépe proimovt plochu uvžovného obrzce. Definice určitého integrálu Definice (určitý integrál) Necht funkce f je ohrničená n intervlu, b. Řekneme, že funkce f je (Riemnnovsk) integrovtelná n intervlu, b, jestliže eistuje limit integrálních součtů funkce f lim σ(f, D n, R n ) lim n n n f(ξ i ) i. Hodnot této limit se nzývá (Riemnnův) určitý integrál funkce f n intervlu, b znčí se f() d. i Číslo se nzývá dolní mez, číslo b horní mez integrálu. Intervl, b integrční obor, funkce f integrnd. Horní dolní mez nzýváme společně integrční meze.
Poznámk (geometrický význm určitého integrálu) Pro nezápornou spojitou funkci f n intervlu, b předstvuje f() d z geometrického hledisk obsh rovinného obrzce ohrničeného grfem funkce f(), osou přímkmi, b. f() S b Poznámk (neurčitý určitý integrál) Pojm neurčitý určitý integrál se zásdně liší: Neurčitý integrál je funkce (přesně množin funkcí). Určitý integrál je číslo. Neurčitý určitý integrál vjdřují kždý něco jiného, přesto mezi nimi eistuje vzájemný vzth, který umožňuje počítt určitý integrál pomocí integrálu neurčitého. Tímto vzthem bude Newton-Leibnizov formule. Vět (postčující podmínk pro integrovtelnost) Funkce f je n intervlu, b integrovtelná v Riemnnově smslu, splňuje-li lespoň jednu z podmínek: je spojitá n, b, je monotonní n, b, 3 je ohrničená n, b má zde konečný počet bodů nespojitosti.
Vlstnosti určitého integrálu Vět (vlstnosti určitého integrálu) Necht f g jsou funkce integrovtelné n intervlu, b necht c R. Pk pltí [f() ± g()] d cf() d c f() d f() d ± g() d Vět (ditivit vzhledem k mezím) Necht f je funkce integrovtelná n intervlu, b. Bud c (, b) libovolné. Pk je funkce f integrovtelná n intervlech, c c, b pltí: f() d c f() d + c f() d. f() c b
Poznámk (výměn mezí určitého integrálu) Předpokládli jsme, že pro meze, b pltí nerovnost < b. Definici určitého integrálu rozšíříme i n přípd: > b, potom b, potom f() d f() d. b f() d, Obrácení mezí znmená u určitého integrálu změnu znménk. Výpočet určitého integrálu Vět (Newton - Leibnizov formule) Necht funkce f je integrovtelná n intervlu, b. Necht funkce F je primitivní funkce k funkci f spojitá n intervlu, b. Pk pltí f() d [F ()] b F (b) F (). Vět dává návod, jk počítt určitý integrál pomocí neurčitého integrálu. Njdeme primitivní funkci F k f, tj. vpočteme neurčitý integrál. Do primitivní funkce F dosdíme horní dolní mez integrálu určitého získné hodnot odečteme.
Příkld (výpočet určitého integrálu) [ ( 3 + ) d 3 + 7 6 π sin d [ cos ] π ] ( 8 3 + 4 ) ( 3 + ) cos π ( cos ) ( ) 3 d + [ ln + ] ln ln ln Metod per prtes pro určitý integrál Vět (metod per prtes pro určitý integrál) Necht funkce u, v mjí n intervlu, b spojité derivce. Pk pltí u ()v() d [ u()v() ] b u()v () d. Příkld (metod per prtes pro určitý integrál) π sin d v v u sin u cos ( π cos π + cos ) + [ sin ] π [ cos ] π π cos d π + (sin π sin ) π
Substituční metod pro určitý integrál Vět (substituční metod pro určitý integrál) Necht funkce f je spojitá n intervlu, b necht funkce ϕ má spojitou derivci ϕ n intervlu α, β. Dále předpokládejme, že ϕ() b pro α, β. Pk pltí β α f [ ϕ() ] ϕ () d ϕ(β) ϕ(α) f(t) dt. Uvedený vzorec lze použít zlev doprv (. substituční metod) nebo zprv dolev (. substituční metod). t ϕ() Substituci provádíme podle schémtu dt ϕ () d α t ϕ(α) β t ϕ(β) Je nutné určit nové meze integrálu (trnsformovt meze). Stré meze α, β jsou pro původní proměnnou, nové meze ϕ(α), ϕ(β) jsou pro novou proměnnou t. Výhodou je, že po substituci se nemusíme vrcet k původní proměnné. Příkld (substituční metod pro určitý integrál - trnsformce mezí) π t sin sin 3 dt cos d cos d t sin π t sin π [ t t 3 4 dt 4 ] 4 4 t t d + d t dt t t + t dt 4 t ( ) dt [ t ln + t ] + t [ ( ln 3) ( ln ) ] ( + ln ) + ln 4 3 9
Příkld (bez trnsformce mezí - pomocí neurčitého integrálu) π [ ] sin 3 cos d t sin t dt cos d t 3 4 dt sin4 + c 4 4 [ sin sin 3 4 ] π cos d sin4 π sin4 4 4 4 4 4 d + t t d t dt [ t ln + t ] ( ln + ) + c 4 d + [ ln + ] 4 ( + ln ) + ln 4 3 9 ( t + t dt ) + t [( ln 3) ( ln )] dt Geometrické plikce určitého integrálu Obsh rovinného obrzce I Obsh obrzce pod křivkou f() Je-li funkce f je nezáporná spojitá n intervlu, b, pk obsh S rovinného obrzce ohrničeného grfem funkce f(), osou přímkmi, b je roven: S f() d f() f() f() S S S b b b
Poznámk (obsh rovinného obrzce) Pokud je funkce f n intervlu, b pouze spojitá je zde nekldná nebo mění v tomto intervlu znménko, je obsh S příslušného obrzce roven: S f() d f() + + c d b S c f() d + d c f() d + d f() d Obsh rovinného obrzce II Obsh obrzce mezi dvěm křivkmi f() g() Jsou-li f g jsou spojité funkce tkové, že f() g() n intervlu, b, pk obsh S rovinné oblsti ohrničené grf funkcí f() shor, g() zdol přímkmi b je roven: S [f() g()] d f() f() f() S g() b S g() b S b g()
Příkld (č. obsh obrzce) Vpočtěte obsh obrzce ohrničeného křivkou + 4 osmi souřdnic. + 4 4 S 4 + 4 d [( + 4) 3 3 ] 4 3 [ ( + 4) 3 ] 4 3 ( 4 3 ) 6 3 Příkld (č. obsh obrzce) Vpočtěte obsh obrzce ohrničeného funkcí sin osou n intervlu, π. sin π π S π sin d π sin d + π π sin d [ [ cos ]π + π cos ] π ( cos π + cos ) + cos π + cos π + + + 4
Příkld (č. 3 obsh obrzce) Vpočtěte obsh obrzce ohrničeného křivkmi,, 3. [ ] 3 + [ln ] 3 ( 4 ) průsečík: + ( ), (nevhovuje) S S + S ( ) d + ( ) 3 d + ln ln + ln Příkld (č. 4 obsh obrzce) Vpočtěte obsh obrzce ohrničeného křivkmi e, e. e S e ( e e ) d [ e ( e )] [ e + e ] ( e + e ) ( e + e ) e + e
Příkld (č. 5 obsh obrzce) Vpočtěte obsh obrzce ohrničeného křivkmi + 4. průsečík: + 4 + 4 ] 4 [ 3 3 + 5 4 ( 64 ) 4 6 3 4, 4 S 4 4 5 + 4 ( )( 4) ( + 4 ) ( ) d ( + 5 4) d ( 43 3 + 5 ) 4 4 4 ( 3 + 5 ) 4 ( 3 + 5 ) 4 9 Geometrické plikce určitého integrálu Objem rotčního těles I Objem rotčního těles, které vznikne rotcí obrzce pod křivkou f() Necht f je nezáporná spojitá funkce n intervlu, b. Objem V rotčního těles, které vznikne rotcí rovinného obrzce ohrničeného grfem funkce f() shor, osou zdol přímkmi, b ze strn kolem os, je roven: V π f () d f() f() b z b
Objem rotčního těles II Objem rotčního těles, které vznikne rotcí obrzce mezi dvěm křivkmi Necht f g jsou nezáporné spojité funkce f() g() n intervlu, b. Objem V rotčního těles, které vznikne rotcí rovinného obrzce ohrničeného grf funkcí shor f(), zdol g() ze strn přímkmi b kolem os, je roven: V π [ f () g () ] d f() g() b z f() g() b Příkld (č. objem rotčního těles) Vpočtěte objem koule o poloměru r. Koule vznikne rotcí vznčeného půlkruhu kolem os. kružnice se středem v počátku o poloměru r: r + r r r hrniční horní půlkružnice: + r V π π r r [(r 3 r3 3 ( r ) d π r ) r )] ( r 3 + r3 π 3 ( r ) d π ) (r 3 r3 4 3 3 πr3 ] r [r 3 3 r
Příkld (č. objem rotčního těles) Vpočtěte objem těles vzniklého rotcí obrzce ohrničeného křivkmi, ( ) kolem os. z ( ) průsečík: ( ) +, ( ) ( V π ) ( ) 4 ( d π + 4 ( ) 4) d ] [ ( π [ 3 3 + 5 ( )5 π 5 5 3 + ) ( ( 5 ) )] 5 5 3 π Příkld (č. 3 objem rotčního těles) Vpočtěte objem těles vzniklého rotcí obrzce ohrničeného křivkmi sin, cos, kolem os. sin π 4 π π cos z - π 4 π 4 ( V π cos sin ) d π π (sin π ) sin π ( ) π cos d π [sin ] π 4
Nevlstní integrál Při definici Riemnnov určitého integrálu předpokldů: integrční intervl, b bl konečný, funkce f bl n uvedeném intervlu ohrničená. f() d se vcházelo ze dvou V přípdě, že některý z těchto předpokldů není splněn, mluvíme o nevlstních integrálech. Definice (nevlstní integrál) Integrál nebo f() d nzýváme nevlstní, pokud lespoň jedn z integrčních mezí, b je ± funkce f není n intervlu, b ohrničená. Bod, ve kterých funkce f není ohrničená, nevlstní bod ± nzýváme singulární bod. I. Nevlstní integrál vlivem meze horní mez je nevlstní f() t f() d lim f() d t dolní mez je nevlstní t f() f() d lim f() d t t t b
Poznámk (konvergence divergence nevlstního integrálu) Říkáme, že nevlstní integrál konverguje, pokud je příslušná limit vlstní (tj. konečné číslo), diverguje, pokud limit neeistuje nebo je ±. Příkld (nevlstní integrál vlivem meze) Vpočtěte d. Funkce je pro, ) spojitá, ted t [ d lim d lim ] t lim ( t ) t t +. t Nevlstní integrál tudíž konverguje. Vpočtěte + d. Funkce je spojitá n R, ted + + d lim t t + d lim ( ( rctg t) π ) π t. Nevlstní integrál rovněž konverguje. lim [rctg t ] t 3 obě meze jsou nevlstní f() c Integrční intervl musíme rozdělit n dv intervl tk, b v kždém bl pouze jeden singulární bod: f() d c f() d + f() d, c kde c je libovolné reálné číslo. Dný nevlstní integrál pk konverguje, kdž konvergují ob nevlstní integrál n prvé strně.
Příkld (nevlstní integrál vlivem meze) Vpočtěte + + 5 d. Funkce + + 5 + + 5 d lim t lim t lim t je spojitá n R (D 4 < ). t ( + ) + 4 [ rctg + ] u t ( rctg rctg t + (rctg ( π ) ) + Nevlstní integrál konverguje. + + 5 d + d + lim u [ + lim u ( + ) + 4 d ] u + + 5 d rctg + ) + ( lim rctg u + rctg ) u ) π 4 + π 4 π ( π rctg Poznámk Pro funkci f spojitou n R pltí f() d lim F () lim F (), kde F je funkce primitivní k funkci f n R. Příkld (nevlstní integrál - obě nevlstní meze) e d lim e lim e. Nevlstní integrál diverguje.
II. Nevlstní integrál vlivem funkce funkce neohrničená v dolní mezi funkce neohrničená v horní mezi f() f() b b f() d lim f() d t + t t f() d lim f() d t b Příkld 3 Vpočtěte 3 d. Funkce je spojitá n intervlu, 3), 3 v bodě 3 je neohrničená, ted 3 t d lim d lim 3 t 3 3 [ln t 3 3 ]t lim (ln t 3 ln 3 ) ln 3. t 3 Nevlstní integrál tudíž diverguje. Vpočtěte Funkce d. není spojitá v bodě, proto d lim t + t d lim t + t ( ) d [ ] lim lim ( ) t + t t ( ). t + Nevlstní integrál konverguje.
3 funkce není ohrničená ve vnitřním bodě integrčního intervlu f() c b Integrční intervl rozděĺıme n dv intervl, kždý pouze s jedním singulárním bodem c f() d f() d + f() d c Nevlstní integrál pk konverguje, jestliže konvergují ob integrál n prvé strně. Příkld Vpočtěte + d. Funkce není spojitá v bodě, který je vnitřním bodem + integrčního intervlu,. Ted + d + d + + d t lim t + d + lim u + u + d ( + + d d ) d ln + + c + + lim t t + d lim [ ln + ] t t lim (t ln t + ( ln + )) + + + ln t lim u + u + d lim [ ln + ] u + u lim u + ( ln + (u ln u + )) ln + Ob integrál divergují, proto nevlstní integrál tké diverguje.
Poznámk (geometrický význm nevlstních integrálů) Z geometrického hledisk pro nezápornou funkci předstvují nevlstní integrál obsh ploch, která je neohrničená. V přípdě, že nevlstní integrál je konvergentní, má dná ploch konečně velký obsh, divergentní, nemá dná ploch konečně velký obsh, tj. nelze ji změřit.