ROZWIĄZANIE PRANDTLA dla klina gruntu w granicznym stanie naprężenia 1. Założenia i dane Modelem gruntu jest ośrodek Coulomba: 1) niespoisty (c =, ϕ > ) i nieważki (γ = ), ) w płaskim stanie odkształcenia, 3) zalegający w postaci nieskończonego klina opisanego kątami: ε (do poziomu) β (do pionu), 4) spełniający w każdym punkcie klina równania równowagi statycznej, 5) spełniający w każdym punkcie klina warunek stanu granicznego ( uplastycznienie ), czyli w naprężeniach stycznych i normalnych τ = σ tgϕ, 6) obciążony równomiernie na krawędziach: = const pod kątem α o do normalnej, -ϕ < α o < ϕ 1 = const pod kątem δ do normalnej, -ϕ < δ < ϕ, przy czym zakładamy, że > 1. Szczegóły przedstawiono na rys.1. ω z x ρ + δ αo ε + A β 1 + Rys.1. Prezentacja zagadnienia. omentarz: zaskakujące, ale pewne problemy stwarza tutaj kąt tarcia wewnętrznego ϕ. W tym zagadnieniu jest to kąt tarcia wewnętrznego w założonym płaskim stanie odkształcenia, a więc dla dosyć specyficznie narzuconej powierzchni ścięcia; ten kąt można (a właściwie wręcz należy) wyznaczyć po prostu w aparacie bezpośredniego ścinania (aparacie skrzynkowym) z uniemożliwionym przemieszczeniem w jednym kierunku. Inaczej mówiąc, w zagadnieniu Prandtla ignoruje się naprężenie (główne) σ w kierunku prostopadłym do rozpatrywanej płaszczyzny, które występuje w warunku stanu granicznego w dowolnym przypadku 3D (punkty reprezentujące naprężenia leżą na nieskończonym ostrosłupie Coulomba-Mohra). Oznacza to, że kąt ϕ wyznaczany w trójosiówce może być inny niż kąt ϕ wyznaczany w aparacie skrzynkowym - i rzeczywiście tak jest, ten pierwszy jest zwykle kilka stopni większy. Warto o tym pamiętać, nie tylko w kontekście rozwiązania Prandtla. + 1
. Ważne uwagi Jedna z liczb albo 1 jest znana, natomiast druga jest do wyznaczenia. W modelu sprężystym oba obciążenia mogłyby być dowolne, tutaj są one powiązane warunkiem uplastycznienia, analogicznie jak naprężenie okólne i osiowe w trójosiówce w stanie plastycznego płynięcia próbki. Wszystkie pozostałe parametry muszą być znane, kąty dodatnie mają zwrot przeciwny do ruchu wskazówek zegara, naprężenia ściskające są dodatnie. Równaniami równowagi statycznej są równania różniczkowe cząstkowe: σ, + τ, = γ = σx, x + τ, z = Warunkiem stanu granicznego jest równanie algebraiczne: z z x (1) ( σ + σ ) sin ϕ ( σz σ x ) + 4 τ = z x () Poza kilkoma prostymi przypadkami (np. parcia gruntu wg Coulomba), nie udaje się rozwiązać równań (1),() drogą analityczną tym bardziej dla γ >. Można to jednak zrobić w sposób przybliżony metodami numerycznymi, tzw. metodą charakterystyk. Wynika z tych rozwiązań w szczególności, że zadanie jest sformułowane nieprawidłowo (!). Wolno bowiem przyjąć, że jest znane i stałe wzdłuż krawędzi A, ale wcale nie wiadomo, dlaczego szukane 1 na krawędzi miałoby wyjść również stałe. Obliczenia numeryczne wykazują, że obciążenie to jest trochę zmienne wzdłuż tej krawędzi klina: ma wartość asymptotyczną 1, ale stopniowo trochę maleje przy zbliżaniu się do naroża. Poszukiwanie stałej wartości 1 wzdłuż całej krawędzi klina jest więc tylko postępowaniem przybliżonym. 3. Założenie Prandtla Założenie, że poszukiwane 1 = const na całej krawędzi ma znacznie szerszy kontekst. Prandtl wprowadził walcowy (biegunowy) układ współrzędnych D z odległością ρ od naroża oraz z kątem ω liczonym do pionu, rys.1. Nie wchodząc w szczegóły: równania (1) zawierają wówczas przetransformowane składowe naprężenia σ ρ, σ ω, τ ρω zamiast σ z, σ x, τ ; odpowiednio pochodne cząstkowe w nowych zmiennych / ρ oraz / ω zamiast / z oraz / x. Podstawowym uproszczeniem Prandtla jest założenie, że wszystkie składowe naprężenia w całym klinie nie zależą od promienia ρ. Tak jest już z założenia wzdłuż krawędzi A,, bo to też są (skrajne) promienie. Jest to do przyjęcia również dla kątów ω pośrednich, zawartych między krawędziami klina. W takim razie, w klinie pozostaje wyłącznie zależność naprężeń od jednej zmiennej kąta ω. A zatem układ równań różniczkowych cząstkowych (1),() przekształca się w układ równań różniczkowych zwyczajnych, bo znikają wszystkie pochodne / ρ a zostają jedynie / ω. Jest to zagadnienie znacznie prostsze do rozwiązania co wcale nie znaczy jednak, że jest proste.
4. Rozwiązanie Prandtla Z podobieństwa (jednokładności) wszystkich kół Mohra, stycznych do obwiedni τ = σ tgϕ, można się spodziewać, że 1 jest proporcjonalne do i rzeczywiście, rozwiązaniem otrzymanym przez Prandtla jest: 1 a a jest współczynnikiem parcia gruntu wg Prandtla. Definiujemy ważny parametr Θ zwany kątem wachlarza Prandtla: = (3) Θ = ω αo + α o ωδ + δ + + ε β (4) gdzie ω αo obliczamy z równania: sin(ω αo) = sin(α o)/sin(ϕ) ω δ obliczamy z równania: sin(ω δ) = sin(δ)/sin(ϕ) Jeśli Θ (zazwyczaj tak jest), to: Jeśli Θ, to: gdzie a cosδ sin ϕ cosωδ a = exp{ Θ tgϕ} (5a) cosα + sin ϕ cosω cosδ sin ϕ cosωδ = cosα + sin ϕ cosω o o αo αo kąt n obliczamy z równania: sin(n) = sin(ϕ) sin(m), przy czym m = π/ + Θ. cos(n) sin ϕ cos(m) cos(n) + sin ϕ cos(m) 5. Interpretacja kinematyczna Stanowi granicznemu towarzyszy płaszczyzna ścięcia (poślizgu) pod kątem π/4 ± ϕ/ względem naprężeń głównych σ i. W klinie te kierunki główne σ i są jednak zmienne i lokalne poślizgi w sąsiednich punktach składają się na linie o dosyć złożonym kształcie, rys.. (5a) A 1 Aw w Rys.. Linie poślizgu 3
Występują dwie rodziny prostoliniowych równoległych linii poślizgu (ścięcia): klin odporu AA W klin parcia W oraz strefa przejściowa wa w zwana wachlarzem Prandtla (promienie z naroża oraz spirale logarytmiczne), która w sposób ciągły i gładki (ciągłe styczne) łączy te dwie rodziny z sąsiadujących klinów. Wartość kąta wa w wynosi Θ, czyli kąt Θ jest rozwartością wachlarza Prandtla. Dla przypadku Θ, wachlarz Prandtla fizycznie nie występuje, linie poślizgu są w całości liniami prostymi, przechodzącymi z klina odporu do klina parcia. Te kliny, w pewnym sensie, przenikają się. Ponieważ lokalne ścięcie (uplastycznienie) jest zakładane w każdym punkcie klina, więc narysowane powyżej linie poślizgu de facto występują nieskończenie gęsto. 4
6. Przykłady zastosowań Przykład 1: Zgodność z teorią Coulomba dla parcia czynnego. W tym przypadku ε =, β =, α o =, δ =. lin gruntu jest ćwiartką dolną płaszczyzny, tj. x >, z >. Zatem również ω αo =, ω δ = i w końcu we wzorze (4) jest Θ =. Znane jest, a szukane jest 1, przy czym 1 < i zachodzi stan graniczny, czyli 1 oznacza dokładnie parcie czynne gruntu e a na gładką, pionową ścianę. ezpośrednie podstawienie do (5) potwierdza, że: 1 sin ϕ = 1+ sin ϕ 1 = a, co pokrywa się ze wzorem Coulomba: e a = a (γ z + ) = a. π/4+ϕ/ Zwykły klin parcia czynnego wg Coulomba składa się tutaj z klina parcia przy ścianie i klina odporu przy powierzchni, ale w sumie dają one jeden trójkąt. Wachlarz Prandtla nie występuje, redukuje się do jednej linii o zerowej grubości. 5
Przykład : W teorii Prandtla odpór bardzo łatwo wynika z parcia Dotychczas zakładano, że zadane jest, a szukane jest 1, przy czym 1 <, oraz że cały klin jest poddawany ścinaniu ( uplastyczniony ). W domyśle: jest przyłożonym obciążeniem gruntu, a 1 jest mniejszym od niego parciem gruntu na ścianę, która ma możliwość przemieszczeń od gruntu (parcie gruntu na ścianę zmaleje, bo zaczyna on pracować na ścinanie). Nic nie stoi na przeszkodzi, aby odwrócić sytuację: zadane jest 1, a szukane jest, przy czym jak poprzednio 1 <, oraz że cały klin jest poddawany ścinaniu ( uplastyczniony ). W domyśle: 1 jest przyłożonym obciążeniem gruntu, a jest większym od niego odporem gruntu na ścianę, która ma możliwość przemieszczeń do gruntu (parcie gruntu na ścianę wzrośnie, bo trzeba pokonać opór gruntu na ścinanie). A zatem od razu z (3) otrzymuje się = (3*) lub po prostu 1 a 1 = 1 p gdzie p = Zachodzi więc (jak i u Coulomba): p a = 1, co nie jest prawdziwe u Ponceleta i Mullera-reslaua (też PN-83/-31). W odróżnieniu od teorii Rankine a, Coulomba, czy Ponceleta, odpór i parcie są u Prandtla właściwie tym samym przypadkiem, problem tylko jak obrócić klin gruntu (co jest znane, a co szukane). Dobrze koresponduje to z doświadczeniem, bo ścięcie (poślizg) w próbce jest jednym zjawiskiem fizycznym i jedno jest graniczne koło Mohra. Czy nazwać to stanem czynnym, czy stanem biernym, decyduje dla σ 1 > σ 3 : σ z = σ 1 oraz σ x = σ 3 ten przypadek oznacza parcie σ x = σ 1 oraz σ z = σ 3 ten przypadek oznacza odpór. a 6
Przykład 3: Z klinem ważkim są kłopoty (prawie) nie do pokonania Ciężar własny γ > wyklucza dopuszczalność założenia Prandtla z pkt.3, bo naprężenia rosłyby z głębokością (kierunek pionowy jest jednym z promieni ρ), więc metoda sypie się. 1) Jeśli obciążenia zewnętrzne lub 1 są bardzo duże w stosunku do obciążeń od ciężaru własnego γ > (np. cienka warstwa gruntu lub niska ściana oporowa), to całkowite pominięcie ciężaru własnego mogłoby być czasem dopuszczalne. ) Zwykle jednak tak nie jest, a wtedy wpływ γ > szacuje się inną metodą (dla = ) i dodaje do wpływu z rozwiązania Prandtla. Takim szacowaniem może być również całkowanie rozwiązania Prandtla dla = const, co jest przedstawione poniżej. h A d d d Niech będzie ε =. Jeśli za stałe obciążenie (pionowe) przyjąć d = γ dz i przyłożyć je na pewnej głębokości wewnątrz klina A, to poniżej tego poziomu wystąpi w przybliżeniu parcie na ścianę d 1 = d a wg wzoru (3). Potem należy wysumować działanie wszystkich takich pasków d w całym zakresie wysokości. Można uznać to za przybliżenie bezpieczne, bo w rzeczywistości d nie są stałe na danym poziomie trochę maleją przy ścianie (część obciążeń pionowych przeniósł już odcinek ściany leżący powyżej rozpatrywanego paska). A zatem d 1 jest (lekko) zawyżone. W warunkach Coulomba jest to oczywiście metoda ścisła, bo gładka pionowa ściana nie przenosi żadnych sił pionowych i schodząc na niższe poziomy mamy rzeczywiście stałe obciążenia os warstewek d = γ dz. Jest więc w przybliżeniu (raczej dla kątów β nachylenia ściany bliskich zeru): h a d = a γ dz = a γ h = aγ γ l (wykres po trójkącie), 1 gdzie przyjęto zmienną l jako długość odcinka, a także a γ = a cosβ. Dygresja: Takie dodawanie rozwiązań w ramach stanów granicznych, czy ogólniej plastyczności, wymaga ostrożności w odróżnieniu od np. liniowej sprężystości. Na ogół bowiem zasada superpozycji tutaj nie zachodzi. Jeśli klocek o ciężarze N1 leży na poziomej szorstkiej powierzchni o współczynniku tarcia µ, a siła T1 = µ N1 przesuwa go ruchem jednostajnym w prawo, to jest to stan graniczny (poślizg). Oczywiście, siła T = µ N1 będzie tak samo przesuwała w lewo (poślizg) klocek o ciężarze N1. Jeśli skleić ze sobą takie dwa klocki (ciężar N1) i przyłożyć obie siły poziome, to nie spowoduje to stanu granicznego, ponieważ T = T1 + T =. Suma stanów granicznych nie jest tutaj stanem granicznym. W przypadku, gdy obie siły działają w tę samą stronę, suma stanów granicznych jest stanem granicznym, bo: T = µ N, jeśli T = T1 + T, N = N1, przy czym tutaj T1 = µ N1, T = µ N1. ardziej serio: to samo przenosi się na naprężenia, jeśli kierunki główne są identyczne (oba σ1 są równoległe i oba σ3 są równoległe wzajemnie do siebie - nie dotyczy σ1 równoległego do σ3 oraz σ3 równoległego do σ1, tj. rotacji o 9 o dlaczego?). 7
Przykład 4: Nośność ławy fundamentowej R k Nie od razu to widać, ale powszechnie stosowany normowy wzór na nośność ławy R k [knm] np. w Eurokodzie EC-7.1, wynika z rozwiązania Prandtla dla klina w płaskim stanie przemieszczenia. Wyprowadza się go w wersji dla naprężeń, czyli dla f = R k /, tj.: f = c N c + 1 N + 1 γ N γ 1. Zakładamy, że c =. Jeśli tak nie jest, to N c łatwo otrzymać z tzw. zasady odpowiadających stanów naprężeń (następny wykład), N c = ctgϕ (N D 1). Uwzględnienie c > następuje w sposób ścisły i ten wpływ się sumuje.. Zakładamy, że γ =. Przypadek γ > można uwzględnić wyłącznie metodami przybliżonymi, co zasygnalizowano w poprzednim przykładzie. Sumowanie tego wpływu jest tylko przybliżone (różne źródła mogą zatem przyjmować np. różną postać współczynnika N γ). 3. Trzeba wykazać, że f = 1 N, czyli wyznaczyć N. Obciążenie f przedłuża się do nieskończoności, bo o nośności ławy decyduje i tak strona przeciwna, gdzie 1 jest mniejsze (minimalna głębokość zagłębienia fundamentu D min). W tym przypadku znane są: 1 = γ D D min, ε =, β = -π/, α o =, δ =. Zatem również ω αo =, ω δ = i w końcu we wzorze (4) jest Θ = (-π/) = π/ >. Oczywiście szukamy = f > 1. lin Prandtla jest wyprostowany i tworzy półpłaszczyznę A o poziomej krawędzi. 1 A w A w 1 Na podstawie (3*) z Przykładu otrzymuje się po prostu N = p = = 1+ sin ϕ N D = exp{ π tgϕ}, na podstawie (5a) dla Θ >. 1 sin ϕ a 8