WRAŻLIWOŚĆ MODELU O STRUKTURZE UPROSZCZONEJ SPADKÓW PODCIŚNIENIA W KOLEKTORZE APARATU UDOJOWEGO

Poblemy Inżynieii Rolniczej n 2/2010 Maia Majkowka 1), Adam Kupczyk 2) Szkoła Główna Gopodatwa Wiejkiego w Wazawie 1) Wydział Zatoowań Infomatyki i Matematyki 2) Wydział Inżynieii Podukcji WRAŻLIWOŚĆ MODELU O STRUKTURZE UPROSZCZONEJ SPADKÓW PODCIŚNIENIA W KOLEKTORZE APARATU UDOJOWEGO Stezczenie Matematyczny model padków podciśnienia w potaci ównania Benoulliego, w któym pzyjęto pędkość wznozenia wobodnego pęcheza jako tałą, zotał wykozytany do analizy wpływu zmian watości paametów modelu na watości padków podciśnienia, któe ten model opiuje. Analiza ważliwości tanu modelu pozwala pzewidzieć wpływ wybanych zmian kontukcyjnych apaatu udojowego na padki podciśnienia wytępujące w czaie podnozenia miezaniny mleka i powietza. Słowa kluczowe: padki podciśnienia, kolekto apaatu udojowego, ównanie Benoulliego, analiza ważliwości Wtęp Spadki podciśnienia w kolektoze apaatu udojowego związane z podnozeniem miezaniny mleka i powietza na żądaną wyokość i odległość ą jedną z pzyczyn pojawiania ię pzepływów powotnych, częto o dużej dynamice. Pzepływy powotne miezaniny mleka i powietza powodują chooby tzyka [Szlachta 2001]. Należy tak dobać paamety pacy apaatu udojowego, aby padki podciśnienia były możliwie najmniejze. Spadki podciśnienia dobze opiuje model zapiany ównaniem Benoulliego na wyokość taconą dla pzepływów dwufazowych [Walden 1968; Kupczyk 1999]. Majkowka [2007] w wojej pacy pzedtawiła upozczoną tuktuę modelu padków podciśnienia. Na podtawie analizy ważliwości tego modelu można utalić wpływ zmian paametów modelu na watości padków podciśnienia, a tym amym pzewidzieć wpływ zmian kontukcyjnych apaatu udojowego na watości padków podciśnienia [Wiezbicki 1977]. Celem pacy było wkazanie możliwości wykozytania opiu matematycznego do utalenia wpływu zmian paametów kontukcyjnych apaatu udojowego na watości padków podciśnienia w kolektoze. 91

Maia Majkowka, Adam Kupczyk Metodyka pacy W pacy Majkowkiej [2007] padki podciśnienia ą zapiane funkcją uwikłaną w ównaniu, któego lewa tona ma potać wielomianu czwatego topnia: w 4 3 2 x4 (v) ( Δ pkol) + wx3(v) ( Δpkol) + wx2(v) ( Δpkol) + wx1(v) ( Δp kol) + ww(v ) = 0 (1) W ównaniu tym wekto v = (Qp, D, H, ldpm, p, ζ, λ, ρm, ρp,qm ) odpowiada natępującym paametom apaatu udojowego: D śednica długiego pzewodu mlecznego [m], H wyokość wznozenia [m], l dpm długość pzewodu mlecznego [m], p ciśnienie obocze [kpa], ζ wpółczynnik tat lokalnych, λ wpółczynnik taty liniowej zależny od chopowatości względnej pzewodu oaz liczby Re, ρ m, ρ p gętość mleka i powietza [kg m 3 ], Q m, Q p tumień mleka [kg min 1 ] i powietza [m 3 h 1 ]. Badając ważliwość modelu, analizujemy fizyczny obiekt, jeśli tylko model matematyczny badanego zjawika dobze je opiuje. Niech zmienna x opiuje tan modelu (padek podciśnienia w kolektoze Δp kol ), zaś A jet wektoem paametów, A = (ζ, λ). Jeśli zmienią ię paamety wektoa A (od A do A + ΔA ), to tan modelu zmieni ię od x do (x + + Δx + o( A )). Równanie modelu padków pełnia założenia twiedzenia o funkcji uwikłanej. Dla zmiennych wejściowych U = (Q p, D, H, l dpm, p, Q m ) należących do obzau Ω, gdzie: 0, 1< Q p < 1; 0, 008 < D< 0, 02; 0, 4< H < 2, 0; 0, 7< l dpm < 2, 4 Ω = (2) 48 < p < 60; 0, 5< Q m < 12 ównanie (1) ma piewiatki zeczywite. Wielomian W(Δp kol ) = W(x) (wytępujący po lewej tonie ównania) w każdym punkcie jet funkcją klay C 1. Pochodne czątkowe: Wx WA ( x,u,a ) ( U, A ) W x, = (3) x W(x,U, A ) (x, U, A ) = (4) A 92

Ważliwość modelu o tuktuze upozczonej... zotały obliczone analitycznie. Zbadano numeycznie, że w obzaze Ω i dla padków obewowanych w zeczywitości, czyli dla x (0,50 000) [Pa], watości pochodnej (3) wielomianu W(x) po x nie zeują ię. W utalonym punkcie obzau B 0 = [x 0, A 0, U 0 ] pochodna funkcji okeślającej jawną potać zmiennej x względem paametów wchodzących w kład wektoa A jet wyażona wzoem: x( x0,u0,a0 ) W( x0,u0,a0 ) W( x0,u0,a ) = : 0 (5) Ai Ai x Różniczka Δx padków jet wyażona jako iloczyn kalany: Δx x( x0,u0,a0 ) W( x0,u0,a0 ) W( x0,u0,a0 ) = o ΔA = : o ΔA (6) Ai Ai x Model padków podciśnienia i towazyzony z nim model ważliwości pzedtawiono chematem blokowym (y. 1). A U W ( Δp,A,U ) W ( x,a, U ) = 0 kol = x ΔA Wx ( x, A,U )Δx + WA ( x, A,U )ΔA = 0 Δx Źódło: opacowanie włane na podtawie publikacji Wiezbickiego [1977]. Souce: own elaboation baed on publication by Wiezbicki [1977]. Ry. 1. Model padków i towazyzony z nim model ważliwości Fig. 1. Model of the dop and aociated model of enitivity Równanie (6) daje możliwość badania ważliwości modelu padków o upozczonej tuktuze względem dowolnych zakłóceń wpowadzanych do paametów (a także zmiennych wejściowych). Jet ono wygodnym nazędziem ymulacji zmian padków, któe ą natęptwem zmian wejścia modelu padków [Wiezbicki 1977]. Kozytając z ównania (5), można śledzić watości pochodnych czątkowych padków podciśnienia będących funkcją wektoa v = (Q,D,H,l, p,ζ, λ, ρ, ρ,q ). p dpm m p Wykozytując wzó (6), wykonano analizę ważliwości modelu padków podciśnienia. Watość óżniczki Δx(U 0, A 0, ρ m, ρ p ) odnieiono do watości padków x(u 0, A 0, ρ m, ρ p ) i wyażono w pocentach. Znak óżniczki wkazuje na kieunek zmian, jej watość bezwzględna świadczy o ile wpływu zmiany paametu A i na zmiany watości x w punkcie (U 0, A 0, ρ m, ρ p ). Pzeanalizo- m 93

Maia Majkowka, Adam Kupczyk wano zmiany paametów wynozące 10%. Analiza wyników, pzedtawiona w dalzej części pacy, dotyczy wyażenia: Δx 100 % x Ważliwość modelu zbadano dla punktów ze zbiou ozwiązań dopuzczalnych Ω. Wyniki analizy ważliwości padków podciśnienia Wykey na yunku 2 pzedtawiają watości względne óżniczek wyażone w pocentach. Odpowiadają one watościom obliczonym dla eii punktów P 0i podanych w legendzie. Punkt w legendzie jet jednoznacznie okeślony ymbolem,, lub ٧ oaz indekem. Watość óżniczki (y. 2) jet obliczona w punktach o indekie i. Stumień may mleka Q m dla fazy doju właściwego jet wielkością zadaną. W paktyce nie jet to watość tała. Analogiczne obliczenia wykonano uwzględniając óżne tumienie may mleka. Zmiana Q m nie zmienia ogólnych wnioków dotyczących ważliwości modelu na zmiany paametów. Wnioki te fomułowano natępująco: 1. W pzypadku więkzej wyokości podnozenia cieczy model jet mniej ważliwy na zmiany paametów (y. 2 ). Jeżeli wyokość podnozenia miezaniny cieczy i powietza wynoi ok. 0,2 m, to ważliwość modelu na 10-pocentową zmianę paametów ζ oaz λ wynoi ponad 5%. Zwiękzenie wyokości powoduje, że ważliwość modelu wynoi ok. 3%. Jet to związane z niemal liniowym wzotem padków podciśnienia waz ze wzotem wyokości [Majkowka 2007]. 2. Zwiękzenie śednicy D zmniejza ważliwość modelu na zmianę paametów (y. 2 ). Gdy śednica długiego pzewodu mlecznego wynoi 0,014 m, ważliwość modelu wynoi ok. 6%. 3. Zmniejzenie tumienia powietza zmniejza ważliwość modelu na zmianę paametów (y. 2 ). Pzebieg padków podciśnienia w funkcji tumienia powietza wpuzczanego (y. 3 ) wkazuje na itnienie tumienia Q p = Q pi *, pzy któym padek jet minimalny (na wykeie ok. 15 kpa). Wokół tego punktu ważliwość modelu jet ok. 3% (y. 2 ). 4. Ciśnienie obocze w zaadzie nie wpływa na ważliwość modelu na zmiany paametów ζ oaz λ (y. 2٧). Na podtawie analizy pochodnych czątkowych funkcji x(u, A, ρ m, ρ p ) po zmiennych, któe ą elementami wektoa U, można ocenić zależność padków podciśnienia od wybanej zmiennej. Na yunku 4 pzedtawiono pochodną w punktach P 0 i. x(u,a,ρm,ρp ) Qp 94

Ważliwość modelu o tuktuze upozczonej... 5.5 Różniczka/padek podciśnienia dla P0i [%] Diffeential/vacuum [ozniczka / padek podcinienia] peue dop dla fo P oi P0i [%] [%] 5 4.5 4 3.5 3 2.5 2 1.5 1 0 5 10 15 20 25 30 padek Spadek podciśnienia podcinienia [kpa] [kpa] Vacuum peue dop [kpa] Źódło: wyniki włane. Souce: own eult. Ry. 2. Watość względna óżniczki obliczona w punktach ( P 0 i, ΔP 0 i ), gdzie: ΔP 0 i = = (0, 0, 0, 0, 0, 0,003, 0,05) Fig. 2. Relative value of the diffeential calculated at point (P 0i, P 0i ), whee P 0i = (0, 0, 0, 0, 0, 0, 0.003, 0.05) Legenda do yunków 2, 3, 4: P 0 i = ( Q pi, D i, H i, l dpmi, p i, ζ, λ ), gdzie Q m = 10 kg min 1, l dpm = H i + 0,3 m P 0 i = [ Q pi ; 0,018; 1,9; 2,2; 49,3; 0,5; 0,03] Q pi = 0,2 + 0,1(i 1) [m 3 h 1 ], i = 1,..., 9 P 0 i = [0,4; D i ; 1,9; 2,2; 49,3; 0,5; 0,03] D i = 0,014 + 0,001(i 1) [m], i = 1,..., 9 P 0 i = [0,4; 0,018; H i ; l dpmi ; 49,3; 0,5; 0,03] H i = 0,2 + 0,2(i 1) [m], i = 1,..., 10 ٧ P 0 i = [0,4; 0,018; 1,9; 2,2; p i ; 0,5; 0,03] p = 49 + 1(i 1) [kpa], i = 1,..., 10 i 95

Maia Majkowka, Adam Kupczyk 30 Różniczka/padek podciśnienia dla P0i [kpa] Diffeential/vacuum padek podcinienia peue w punkcie dop P fo P0i oi [kpa] [kpa] 25 20 15 10 5 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Indeky indeky i punktów punktow podanych w legendzie Indice i of point given in legend Źódło: wyniki włane. Souce: own eult. Ry. 3. Watości padków podciśnienia obliczone w punktach P 0i, opianych w legendzie Fig. 3. Value of vacuum peue dop calculated at point P 0i, decibed in legend Na podtawie wykeów na yunku 4 można wyciągnąć natępujące wnioki: tumień powietza wpuzczanego do kolektoa najbadziej wpływa na padki podciśnienia w komoze mlecznej kolektoa, gdy śednica długiego pzewodu mlecznego jet najmniejza (wyke: ), nie twiedzono wpływu tumienia powietza wpuzczanego do kolektoa na watości padków podciśnienia pzy óżnych watościach ciśnienia oboczego (wyke: ٧), (niemal tała watość pochodnej). Wnioki Pzedtawione na yunku 2 watości óżniczek padków dotyczą punktów P 0i = (Q pi, D i, H i, l dpmi, p i, ζ, λ) dla Q m = 10 kg min 1. W całym obzaze Ω 5 chaakte zależności jet podobny. Można fomułować wnioek, że zmiana wpółczynnika tat lokalnych ζ i opoów liniowych λ w długim pzewodzie mlecznym mniej wpływa na padki podciśnienia, jeśli ię zatouje mniejzy tumień powietza wpuzczanego Q p oaz więkzą śednicę D. Zmiana ciśnienia oboczego nie zmienia ważliwości modelu na zmiany wpółczynnika tat lokalnych i zmiany wpółczynnika opoów liniowych. 96

Ważliwość modelu o tuktuze upozczonej... 6 x 104 Watość pochodnej w punkcie P0i [kpa h m 1 ] Deivative value at point P0i [kpa h m 1 ] watoc pochodnej w punkcie P oi [kpa h/m 3 ] 5 4 3 2 1 0-1 -2-3 -4 0 5 10 15 20 25 30 padek Spadek podcinienia podciśnienia [kpa] Vacuum peue dop [kpa] Źódło: wyniki włane. Souce: own eult. Ry. 4. Watość pochodnej czątkowej padków podciśnienia (U 0, A 0, ρ m, ρ p ) po tumieniu powietza wpuzczanego, obliczanej w punktach P 0i, opianych w legendzie Fig. 4. Patial deivative value of vacuum peue dop (U 0, A 0, P m, P p ) afte inlet ai team, calculated fo point P 0i, decibed in legend Analiza pochodnych czątkowych po zmiennych wejściowych (Q p, D, H, l dpm, p ) (wpółzędnych wektoa U ) funkcji Δp kol = x(u, A, ρ m, ρ p ) w dowolnie wybanych punktach obzau ozwiązań dopuzczalnych Ω 5, umożliwia komplekową ocenę wpływu pozczególnych zmiennych na watość modelowaną Δp kol oaz pozwala fomułować natępujące wnioki: jeśli ą dowolnie utalone watości H, D, p to itnieje watość Q p = Q p *, pzy któej funkcja Δp kol oiąga ektemum Δp* kol = x(q p *, D, H, l dpm, p, A, ρ m, ρ p, Q m ) [Kupczyk 2008; Majkowka 2008]; zmniejzanie śednicy D długiego pzewodu mlecznego pawia, że wpływ tumienia powietza wpuzczanego Q p na zmiany padków podciśnienia jet więkzy; zwiękzanie tumienia powietza wpuzczanego Q p zmniejza wpływ wyokości H na zmianę padków podciśnienia; więkzy tumień powietza wpuzczanego Q p powoduje, że wielkość śednicy D ma więkzy wpływ na zmiany padków podciśnienia; 97

Maia Majkowka, Adam Kupczyk zwiękzanie tumienia powietza wpuzczanego pawia, że długość długiego pzewodu mlecznego ma więkzy wpływ na zmiany padków podciśnienia; jeśli zwiękza ię śednica D, to zmniejza ię wpływ wyokości H na zmiany padków podciśnienia; wpływ zmian tumienia powietza wpuzczanego Q p, śednicy D i długości długiego pzewodu mlecznego l dpm na padki podciśnienia jet taki am dla óżnych watości ciśnienia oboczego p ; im więkza pędkość doju q m, tym badziej padki podciśnienia zależą od zmian wyokości podnozenia miezaniny cieczy i powietza H oaz długości l dpm ; niezależnie od pędkości doju q m zmiana ciśnienia oboczego p w niewielkim topniu zmienia watość padków podciśnienia. Bibliogafia Kupczyk A. 1999. Dokonalenie waunków doju mechanicznego ze zczególnym uwzględnieniem podciśnienia w apaacie udojowym. Rozpawa habilitacyjna. SGGW. Wazawa Majkowka M. 2007. Spadki podciśnienia w długim pzewodzie mlecznym apaatu udojowego obliczane na podtawie upozczonego ównania Benoulliego. Poblemy Inżynieii Rolniczej. N 2(56),. 77 85 Kupczyk A., Iwazko J., Majkowka M. 2008. Minimization of vacuum dop in a clute of milking unit on the bai of mathematical model. Annual Review of Agicultual Engineeing. Vol. 6(1),. 43 50 Majkowka M., Kupczyk A. 2008. Analyi of optimal value of ai team upplied in the clute. Annal of Waaw Univeity of Life Science. SGGW. Agicultue. N 52,. 51 57 Szlachta J. 2001. Rola apaatu udojowego w poceie doju mechanicznego ków. VI Międzynaodowa Konfeencja Naukowa pt. Poblemy intenyfikacji podukcji zwiezęcej z uwzględnieniem ochony śodowika i pzepiów UE. IBMER. Wazawa,. 9 22 Walden H. 1968. Mechanika cieczy i gazów. PWN. Wazawa Wiezbicki A. 1977. Modele i ważliwość układów teowania. WNT. Wazawa 98

Ważliwość modelu o tuktuze upozczonej... SENSITIVITY OF SIMPLIFIED STRUCTURE MODEL FOR THE VACUUM PRESSURE DROPS IN CLUSTER OF THE MILKING MACHINE Summay Mathematical model of the vacuum peue dop in fom of the Benoulli equation, whee the fee iing velocity of a bubble wa aumed a contant, wa ued to analye the effect of change in value of model paamete on the dop of vacuum peue being decibed by thi model. Analyi of model tate enitivity enable to foeee the impact of elected change in contuction of the milking appaatu on the dop of vacuum peue, which occu duing iing milk and ai mixtue. Key wod: vacuum peue dop, milking appaatu, clute, Benoulli equation, analyi of enitivity Recenzenci: pof. d hab. Henyk Juzka pof. d hab. Józef Szlachta Paca wpłynęła do Redakcji 24.02.2010. Ade do koepondencji: d Maia Majkowka Szkoła Główna Gopodatwa Wiejkiego Wydział Zatoowań Infomatyki i Matematyki ul. Nowouynowka 159, 02-776 Wazawa tel. 22 593-73-01; e-mail: Maia_Majkowka@ggw.pl 99