Akadema Ekonomczna w Krakowe W y d zał Za r ządzana Katedra Ekonome t r J e r zy Marzec Ekonometryczna analza efektywnośc kosztów w bankach komercyjnych Praca doktorska napsana pod kerunkem Prof. AE dra hab. Jacka Osewalskego Kraków kw eceń 000
Sps treśc: Wstęp.... Mkroekonomczne podstawy analzy efektywnośc kosztowej frm...7.. Funkcja produkcj kosztów zysku a kategore efektywnośc ekonomcznej...7.. Modelowane neefektywnośc kosztowej...6.3. Charakterystyk procesu produkcj....3. Bank jako przedsęborstwo - ujęce mkroekonomczne...3.. Model nstytucj fnansowych wg Sealeya Lndleya....3.. Czynnk produkcj produkty banku w badanach efektywnośc ekonomcznej....37.3. Funkcja kosztów w przypadku oddzałów banku komercyjnego....4 3. Elementy klasycznej estymacj model grancznych....50 3.. Podstawowe technk w przypadku danych przekrojowych....50 3.. Model efektów stałych w przypadku danych przekrojowo-czasowych....56 4. Bayesowska analza efektywnośc...60 4.. Elementy podejśca bayesowskego...60 4.. Bayesowsk stochastyczny model granczny o wspólnym rozkładze efektywnośc...6 4.3. Próbkowane Gbbsa jako numeryczna metoda wyznaczana rozkładów a posteror. 67 4.4. Specyfkacja testowane egzogencznych przyczyn neefektywnośc...7 5. Empryczna analza efektywnośc kosztowej oddzałów....78 5.. Charakterystyka danych źródłowych...78 5.. Estymacja modelu grancznej funkcj kosztu z wykorzystanem MNK...86 5.3. Estymacja bayesowkego modelu losowych efektów ndywdualnych (o zmennym rozkładze efektywność - VED)...93 5.4. Estymacja modelu bayesowkego modelu VED przypadek dwóch produktów....8 Podsumowane....35 Wykaz pozycj lteraturowych....4 Załącznk...49
Wstęp Jednym z fundamentalnych zagadneń rozważanych na grunce mkroekonom jest problem maksymalzacj zysku frmy rozważanego jako różnca mędzy osąganym przychodem a kosztem jego uzyskana. Warunkem konecznym maksymalzacj zysku jest mnmalzacja kosztu produkcj. Przedsęborstwo osąga zysk nższy od maksymalnego jeżel ne wytwarza produkcj po mnmalnym koszce czyl gdy przy danych cenach czynnków produkcj ponos koszt całkowty wytworzena określonego pozomu produkcj wększy nż wynka on z mkroekonomcznej (grancznej) funkcj kosztu. Sytuację tę określamy manem neefektywnośc kosztowej bądź neefektywnośc kosztów. Przedsęborstwo ponos koszty wększe nż nezbędne (jest neefektywne kosztowo; ang. cost neffcent) jeżel o jest neefektywne technczne tj. angażuje zbyt duże (w stosunku do wymagań technologcznych) nakłady czynnków produkcj w celu osągnęca danej welkośc produkcj lub o jest neefektywne alokacyjne tj. proporcje nakładów czynnków ne odpowadają relacj ch cen rynkowych (dla zastosowanej kombnacj nakładów krańcowe stopy substytucj ne są równe odpowednm lorazom cen czynnków). Przez efektywność kosztową bądź efektywność kosztów (ang. cost effcency) rozume sę loraz mnmalnego kosztu nezbędnego do wytworzena danej welkośc produkcj (przy danych cenach czynnków) kosztu rzeczywśce ponesonego. Analogczne pod pojęcem efektywnośc techncznej rozumemy loraz welkośc produkcj rzeczywśce wytworzonej do maksymalnej możlwej do uzyskana przy obserwowanych nakładach czynnków produkcj. Farrell w 957 roku jako perwszy teoretyczne rozważał możlwośc emprycznej analzy efektywnośc produkcj. Podstawy obecne stosowanej ekonometrycznej metodolog Powszechne przez słowo efektywność rozume sę pozytywny wynk wydajność skuteczność sprawność a w polskej termnolog ekonomcznej pojęce efektywność ekonomczna zwykle oznacza: rezultat dzałalnośc gospodarczej określony przez stosunek uzyskanego efektu do nakładu. (źródło: Słownk języka polskego pod redakcją Meczysława Szymczaka PWN Warszawa 978). W nnejszej pracy autor bardzej skłana do tłumaczena cost effcency jako efektywność kosztowa a ne efektywność kosztów bądź np. wydajność kosztów bo (po perwsze) analogczne mów sę o efektywnośc ekonomcznej techncznej oraz (po druge) termn efektywność ma - wg zaproponowanej defncj - nne znaczene nż jego potoczne słownkowe
badana efektywnośc (techncznej lub kosztowej) stworzyły w 977 roku dwa zespoły badawcze: Agner Lovell Schmdt oraz Meeusen van den Broeck którzy nezależne od sebe zaproponowal tzw. stochastyczne modele granczne (ang. stochastc fronter models). Zgodne z tą metodologą pomar efektywnośc (techncznej lub kosztowej) dokonywany jest zwykle za pomocą modelu jednorównanowego składającego sę z odpowedno wyspecyfkowanej mkroekonomcznej funkcj produkcj lub kosztów (dla logarytmów tych zmennych) oraz dwóch składnków losowych z których jeden (symetryczny względem zera) odzwercedla efekt czynnków przypadkowych błędów pomaru zaś drug (asymetryczny stałego znaku) modeluje potencjalną neefektywność. Dalszego rozwoju tej metodolog prezentowanej główne na łamach Journal of Econometrcs dokonal m. n. Stevenson [980] Ptt Lee [98] Jondrow Lovell Materov Schmdt [98] Schmdt Sckles [984] Beckers Hammond [987] Greene [980] [990] van den Broeck Koop Osewalsk Steel [994] oraz Koop Osewalsk Steel [994] [997]. Jednym z obszarów zastosowana stochastycznych model grancznych jest zagadnene efektywnośc kosztowej banków nnych nstytucj fnansowych prezentowane od połowy lat osemdzesątych w czołowej specjalstycznej lteraturze zachodnej główne na łamach Journal of Bankng and Fnance (JBF) Journal of Productvty Analyss (JPA) oraz Journal of Money Credt and Bankng (JMCB) (w 993 roku całe numery JBF JPA były pośwęcone wyłączne badanu efektywnośc nstytucj fnansowych). Dość późny rozwój tych zastosowań (w stosunku do aplkacj dla przedsęborstw z nnych branż) był spowodowany specyfcznym charakterem dzałalnośc banków który powoduje że należy z dużą ostrożnoścą podchodzć do specyfkacj grancznej funkcj kosztu. Znaczący wkład w rozwój teoretyczny podstaw tych badań mają Sealey Lndley którzy w 977 roku zaproponowal mkroekonomczny model banków ( nnych nstytucj fnansowych) oraz określl czynnk produkcj produkty bankowe umożlwając tym samym budowę grancznej funkcj kosztu dla banków. W polskej lteraturze naukowej zarówno statystyczno-ekonometrycznej jak bankowej brak jest pozycj pośwęconych aspektom metodologcznym badanom emprycznym z zakresu efektywnośc techncznej czy kosztowej banków. Warto dodać że w ostatnch paru latach ukazały sę popularyzatorske artykuły przeglądowe Rogowskego (m.n.. Bank nr styczeń 998 str. 4-7) na temat analzy efektywnośc oddzałów banku; synonmy tj. wydajność sprawność skuteczność które mają ponadto ustalone odmenne znaczena na grunce ekonom fzyk technk oraz prakseolog nauk o zarządzanu.
zob. też Rogowsk [998c] Kopczewsk [999]. Autor ten wskazał na ogromną potrzebę pomaru porównań efektywnośc ekonomcznej oddzałów co może stanowć cenne uzupełnene tradycyjnych metod analz wskaźnkowych stosowanych przez bank. Uważa on że zastosowane metod ekonometrycznych (które podejmuje autor w tej pracy) umożlw mędzy nnym obektywzację kryterów oceny oddzałów. Istnejące opracowana dotyczące analzy oceny dzałalnośc banków (a także przedsęborstw należących do jednej branży - tzw. analzy branżowe) w wększośc są sporządzane w oparcu o analzę wskaźnkową. Prezentowane metody rzadko wykorzystują formalne wnoskowane statystyczne w małym stopnu nawązują do zmatematyzowanej teor mkroekonom. Opracowana w języku polskm wskazują zatem na potrzebę opsu problemu oceny dzałalnośc banków komercyjnych językem mkroekonom z wykorzystanem zaawansowanych metod statystyczno-ekonometrycznych zgodne z tendencjam panującym w śwatowej ekonom. Głównym motywam podjęca tematu pracy są zatem: chęć przedstawena metod ekonometrycznych (główne bayesowskch) analzy efektywnośc kosztowej frm potrzeba zancjowana takch właśne badań emprycznych w polskch bankach komercyjnych w szczególnośc w celu zobektywzowana ocen dzałalnośc oddzałów. W badanach tej pracy wykorzystuje sę rzeczywste dane pochodzące z jednego z dużych polskch banków; warunkem ch udostępnena przez bank było jednak ne ujawnane tych danych an źródła ch pochodzena. Zarówno pomar efektywnośc w kontekśce stochastycznego modelu grancznego jak stosowane w tym celu metody bayesowske (które proponują rozwjają Koop Osewalsk Steel [994] [997] [999]) stanową na polskm grunce zupełne nowe podejśce do zagadnena analzy oceny dzałalnośc banków oraz ch oddzałów. Wydaje sę że metody konkurencyjne ne mają tak slnych podstaw ekonomcznych statystycznych. Przeprowadzona w tej pracy analza empryczna umożlwła pomar efektywnośc kosztowej badanych oddzałów sporządzene ch rankngu zbadane przyczyn występowana neefektywnośc. Rezultaty badań emprycznych nad efektywnoścą pomar charakterystyk technolog mogą być zatem wykorzystane w praktyce. Pomar analza efektywnośc kosztowej może stać sę narzędzem pomocnczym w zarządzanu poltyce ekonomcznej banku gdyż nformuje o skal możlwych do uzyskana oszczędnośc (możlwego zwększena zysku) przy zachowanu danej skal dzałalnośc banku. Efektywność banku stanow stotny element jego konkurencyjnośc. Prezentowana metodologa ekonometryczna może być wykorzystywana w badanach efektywnośc techncznej kosztowej nnych 3
jednorodnych grup przedsęborstw (należących do tej samej branży np. wg Europejskej Klasyfkacj Dzałalnośc). Wśród banków europejskch została przeprowadzona w 99 roku anketa dotycząca problemów które towarzyszą zjawsku obnżana sę rentownośc tamtejszych banków. Wśród czynnków ekonomcznych praktycy bankow wymenają przede wszystkm: stnene wolnych mocy produkcyjnych brak w technkach zarządzana brak efektywnego systemu bankowej rachunkowośc zarządczej nska jakość personelu nska kaptalzacja w stosunku do potrzeb (ekspansj) przerosty w zatrudnenu oraz nedostosowane do rzeczywstośc cennk za usług (zob. Groszek M. 997 Bank komercyjne wobec procesu Europejskej Integracj Walutowej Bank Kredyt 6). Są to problemy aktualne równeż w odnesenu do polskch banków komercyjnych. Podjęta w pracy metodologa pozwala loścowo scharakteryzować proces produkcyjny określć stopeń wykorzystana nakładów fnansowych dostarczyć nformacj stotnych dla potrzeb zarządzana bankem jako przedsęborstwem. Wynk empryczne tej pracy mogłyby być wykorzystane m.n. przy optymalzacj pozomu kosztu zatrudnena banku oraz w celu określena podstawowych obszarów w których można poszukwać oszczędnośc kosztowych. Głównym celem pracy jest bayesowska analza mkroekonomcznej efektywnośc kosztowej oddzałów polskego banku komercyjnego za pomocą stochastycznych model grancznych. Na cele cząstkowe składają sę:. określene czynnków produkcj produktów oddzałów badanego banku komercyjnego. konstrukcja stochastycznego modelu grancznego opsującego neefektywność kosztową 3. ops zastosowane metod bayesowskej analzy model grancznych 4. pomar ndywdualnej efektywnośc oddzałów banków na podstawe próby statystycznej 5. określene determnant zróżncowana efektywnośc kosztowej oddzałów 6. próba zbadana występowana korzyśc pełnego zakresu produkcj bądź specjalzacj ewentualnego pomaru tych korzyśc. W celu realzacj powyższych celów przyjęto klka założeń wyjścowych będących przedmotem weryfkacj. Podstawową hpotezą jest przypuszczene że stochastyczny model granczny jest dogodnym narzędzem pomaru efektywnośc kosztowej natomast podejśce bayesowske jest unwersalnym elastycznym sposobem wnoskowana o charakterystykach funkcj kosztów wskaźnkach efektywnośc umożlwającym pełne uwzględnene założeń mkroekonomcznych wstępnych nformacj. Hpotezą empryczną jest przypuszczene że można wyróżnć czynnk egzogenczne które wyjaśnają potencjalne różnce w pozomach 4
efektywnośc oddzałów. Wnoskowane bayesowske dostarcza wygodnych narzędz do weryfkacj statystycznej tej hpotezy emprycznej. Nnejsza praca ma charakter metodologczno-empryczny składa sę ze wstępu pęcu rozdzałów zakończena spsu lteratury oraz załącznków. W rozdzale perwszym zostały przedstawone mkroekonomczne podstawy analzy efektywnośc kosztowej frm. W częśc. przypomnano pojęce funkcj produkcj kosztu oraz zdefnowano termn efektywnośc kosztowej. Następne w podrozdzale. wprowadzono najprostszy jednorównanowy stochastyczny model grancznej krótkookresowej funkcj kosztu zmennego oraz zaproponowano omówono funkcję translogarytmczną jako podstawową postać analtyczną wykorzystywaną w nnejszej pracy. W częśc.3 podano podstawowe charakterystyk weloproduktowego procesu produkcj tj. elastycznośc różne defncje mar efektu skal produkcj oraz mar korzyśc pełnego zakresu bądź specjalzacj. W rozdzale drugm przedstawono mkroekonomczny model nstytucj fnansowych zaproponowany przez Sealeya Lndleya. Część. stanow przegląd lteratury śwatowej dotyczącej analzy efektywnośc kosztowej banków komercyjnych ze zwrócenem szczególnej uwag na problem defncj czynnków produkcj produktów w przypadku tych przedsęborstw. W częśc.3 autor podjął sę określena czynnków produkcj produktów w przypadku badanych oddzałów banku komercyjnego oraz specyfkacj krótkookresowej funkcj kosztu zmennego wykorzystanej w częśc emprycznej. W rozdzale trzecm przedstawono poddano krytyce podstawowe klasyczne technk estymacj model grancznych pomaru efektywnośc przede wszystkm skorygowaną metodę najmnejszych kwadratów (MNK) metodę najwększej warygodnośc (MNW) w przypadku danych przekrojowych oraz model efektów stałych estymator wewnątrzgrupowy w przypadku danych przekrojowo-czasowych. Rozdzał czwarty (a zwłaszcza część 4. 4.4) stanow przede wszystkm omówene bayesowskego stochastycznego modelu grancznego o wspólnym rozkładze efektywnośc dla losowych efektów ndywdualnych (CED) oraz jego uogólnena tj. modelu o zmennym rozkładze efektywność (VED). Wstępna część 4. przedstawa zarys bayesowskch reguł wnoskowana statystycznego. Prezentowane jest równeż (w częśc 4.3) losowane Gbbsa jako numeryczna metoda wyznaczana rozkładów a posteror dla neznanych parametrów grancznej funkcj kosztów dla wskaźnków efektywnośc. Rozdzał pąty prezentuje empryczną analzę efektywnośc kosztowej oddzałów. Część 5. pośwęcona jest prezentacj danych. Następne w częśc 5. przestawone są 5
rezultaty estymacj grancznej funkcj kosztu pomaru wskaźnków efektywnośc dla zmodyfkowanej funkcj Cobba Douglasa uzyskane na podstawe danych przekrojowych za pomocą skorygowanej MNK. Częśc 5.3 5.4 stanową ops wynków emprycznych uzyskanych dla bayesowskego modelu losowych efektów ndywdualnych (o zmennym rozkładze efektywnośc - VED) w przypadku jednego zaagregowanego produktu oraz dwóch produktów; podrozdzały te zawerają m.n. nterpretację charakterystyk procesu produkcj. Przedstawono także wynk pomaru efektywnośc oraz testowana stotnośc egzogencznych przyczyn zróżncowana efektywnośc oddzałów. Pracę zamyka podsumowane oraz załącznk zawerające uzupełnające cząstkowe wynk empryczne. Nnejsze opracowane jest efektem współpracy naukowej autora z prof. AE dr hab. Jackem Osewalskm rozpoczętej w ramach grantu KBN nr -H0B-05- a kontynuowanej w ramach grantu KBN nr -H0B-0-8. Podstawy metodologczne wstępne wynk tych badań zostały opublkowane w czasopsmach ogólnopolskch bądź były referowane na konferencjach naukowych; zob. Marzec Osewalsk [996-97] Marzec [998a 998b] [999] Osewalsk Marzec Ppeń [999] Osewalsk Marzec [998a 998b 998c]. Pragnę złożyć wyrazy serdecznego podzękowana Profesorow Jackow Osewalskemu za neocenoną pomoc zaangażowane sugeste dyskusje naukowe wnklwe uwag merytoryczne w tworzenu nnejszej pracy. 6
. Mkroekonomczne podstawy analzy efektywnośc kosztowej frm.. Funkcja produkcj kosztów zysku a kategore efektywnośc ekonomcznej. Podstawą do stworzena modelu opsującego dzałalność frmy jest określene jej celów oraz warunków ogranczających tą dzałalność a narzucanych przez otoczene. Mkroekonomczny model przedsęborstwa jako układ założeń przedstawa zachowane sę frmy która prowadz dzałalność przy pewnych ogranczenach będących efektem stnena rynku konsumentów producentów oraz dzałana przyrody. Przedsęborstwo dąży do realzacj określonych celów z których najważnejszym docelowym jest maksymalzacj zysku rozumanego jako różnca mędzy przychodem a kosztem jego uzyskana. Dążąc do tego celu przedsęborstwo określa m.n. rozmary (skalę) produkcj decyduje o jej strukturze napotykając na ogranczena ze strony przyrody technolog która wyznacza sposoby wytwarzana produkcj z dostępnych nakładów czynnków produkcj. Nech wektor Q=(Q Q G ) R G + oznacza wektor G produktów otrzymanych w wynku zaangażowana w procese produkcyjnym H czynnków produkcj których nakłady reprezentuje wektor x=(x x H ) R H +. Ogranczena technologczne są opsywane przez kombnacje nakładów wynków (produktów) czyl zbór Z={(x Q) tak że z wektora nakładów x można otrzymać wektor produktów Q}. Zbór ten obejmuje technologczne wykonywalne sposoby produkcj jest nazywany zborem możlwośc produkcyjnych lub zborem produkcyjnym (ang. producton possblty set lub technology set) opsującym możlwe wybory technologczne stojące przed frmą. Przedmotem szczególnego zanteresowana frmy jest tak element zboru produkcyjnego (plan) {x Q} który umożlwa uzyskane najwększej możlwej produkcj z danej lośc nakładów czynnków. Tak plan produkcj określa sę jako technczne (technologczne) efektywny. Maksymalzacja zysku ne stanow nadrzędnego celu dzałana szczególnego rodzaju przedsęborstw tzw. nonproft (np. przedsęborstw użytecznośc publcznej) dla których głównym celem jest mnmalzacja kosztów wytworzena określonej welkośc produkcj. 7
W analze procesu produkcj (budując model matematyczny) dla uproszczena często przyjmuje sę że frma wytwarza jeden produkt albo produkcję wyraża sę w postac agregatu merzonego w jednostkach penężnych (przy cenach stałych). W tym przypadku funkcja opsująca ten zbór {x Q} nazywana jest mkroekonomczną funkcją produkcj f(x x H ) lub granczną funkcją produkcj (ang. fronter producton functon) co formalne zapsuje sę f(x x H ) = max{q: (x x H ) V(Q)} gdze V(Q) = {x R H +: {x Q} Z} jest zborem nakładów czynnków z których można uzyskać produkcję Q. Funkcja produkcj wyraża maksymalną produkcję Q możlwą do uzyskana z danych nakładów czynnków x x H. W przypadku rozważana G produktów frmy (G ) analogonem funkcj produkcj jest funkcja transformacj T: R G+H + R taka że T(Z * )=0 gdze Z * oznacza (technologczne) efektywny plan produkcyjny. Przez efektywny plan produkcyjny rozume sę taką kombnację produktów Q Q G nakładów czynnków x x H że ne stneje nna która umożlwa wytworzene wększych welkośc produktów przy tych samych nakładach czynnków lub wytworzene tych samych welkośc produktów przy mnejszych nakładach czynnków (Varan [99]). Z własnośc zborów produkcyjnych {x Q} wynka że funkcja produkcj jest 0 nemalejąca ze względu na czynnk produkcj 0 wklęsła 3. Z hstorycznego punktu wdzena najczęścej stosowanym w badanach emprycznych funkcjam produkcj (a także funkcjam kosztu) są funkcje jednorodne stopna ν>0 (ang. homogeneous functon) Szerszą klasę stanową funkcje jednokładne 4 (ang. homothetc functon) których szczególnym przypadkem są funkcje jednorodne. W pracach teoretycznych z zakresu teor frm od początku lat sedemdzesątych a w pracach emprycznych od początku lat osemdzesątych wprowadza sę upowszechna ogólnejsze formy funkcyjne np. translogarytmczna funkcja produkcj lub kosztu. Wykorzystane tej ostatnej w analze efektywnośc kosztowej będze przedmotem szczególnego zanteresowana w nnejszej pracy. Przed frmą zorentowaną na zysk jawą sę dwa problemy decyzyjne. Dotyczą one wyboru metod wytwarzana planów produkcj. Perwszy z nch dotyczy wyboru takch nakładów czynnków ekonomczne nezbędnych do uzyskana produkcj na pozome Q które gwarantują mnmalny koszt jej wytworzena 5. Opsuje sę go za pomocą modelu 3 f: R n R jest funkcją wklęsłą gdy f(tx +(-t)x ) tf(x )+ (-t)f(x ) dla każdego x x 0 t ; Varan [99]. 4 f jest funkcją jednokładną wtedy tylko wtedy gdy f(x)=g(h(x)) gdze h( ) jest funkcją jednokładną stopna a g( ) jest monotoncznym przekształcenem g: R R; Varan [99]. 5 Jak już wspomnano mnmalzacja kosztu jest postulatem unwersalnym którym wnny sę kerować wszystke jednostk produkcyjne(w tym non-proft). 8
mnmalzacj kosztu. Natomast model maksymalzacj zysku ujmuje problem wyboru takej welkośc produkcj ( jej struktury jeśl G>) która pozwol na uzyskane maksymalnego przychodu po najnższym koszce a w efekce maksymalnego zysku. Mnmalzacja kosztów jest warunkem konecznym dla maksymalzacj zysku. Budując obydwa modele zakłada sę że frma napotyka na ogranczena rynkowe - ceny używanych czynnków wyrobów gotowych są egzogenczne określone przez rynek na którym żadna z frm ne ma pozycj domnującej - pozycj monopolsty lub zblżonej. W tym przypadku problem mnmalzacj kosztów gdy rozważa sę jeden produkt (lub produkcję wyraża sę w postac agregatu wyrażonego w jednostkach penężnych) H czynnków produkcj o ustalonych cenach w w H polega na znalezenu nakładów czynnków x x H które mnmalzują koszty całkowte (TC) wytworzena danego pozomu produkcj Q=f(x x H ) gdze f(x x H ) jest mkroekonomczną funkcją produkcj TC=(x w + + x H w H ) a Q to zadana (ustalona) welkość produkcj. Rozwązane problemu czyl mnmalny koszt całkowty nezbędny do osągnęca pożądanego pozomu produkcj Q c(w w H Q) jest funkcją cen czynnków welkośc produkcj Q. Nakłady czynnków produkcj x * (w w H Q) x * H (w w H Q) zapewnające frme mnmalny koszt całkowty równeż zależą od cen czynnków pozomu produkcj; określane jako warunkowe funkcje popytu na czynnk. Przedstawony wyżej model dotyczy sytuacj gdy frma mnmalzująca koszt mogła zmenać nakłady wszystkch czynnków produkcj. Otrzymana funkcja kosztu c(w w H Q) nazywana jest wówczas długookresową funkcją kosztu. Odzwercedla ona mnmalny koszt całkowty wytworzena danego pozomu produkcj Q przy dostosowanu wszystkch czynnków produkcj. Problem maksymalzacj zysku frmy gdy ma ona swobodę wyboru pozomu wszystkch ponoszonych nakładów (tj. w długm okrese) polega na wyborze takej skal produkcj która gwarantuje maksymalny zysk - najwększą różncę mędzy przychodem a kosztem jego uzyskana. Zapsuje sę go następująco: max Q [ p Q c( w Kw Q)] H gdze: p cena produktu (w przypadku produkcj jednoasortymentowej) lub uśrednona cena welu produktów a Q jest agregatem produkcj wyrażonym w jednostkach penężnych. O le analza długookresowa przedstawona zostane bardzo zwęźle jedyne dla przypadku jednoproduktowego (G=) to dalsze rozważana (ważnejsze dla pracy) dotyczą analzy krótkookresowej w przypadku produkcj weloasortymentowej. 9
0 Jeżel w badanym okrese zaangażowane chocaż jednego z czynnków produkcj np. H-tego ne podlega zmane wtedy mnmalny koszt wytworzena G produktów (o welkośc Q Q G ) przy zmane jedyne czynnków podlegających optymalzacj (czynnków zmennych: x x H- ) jest rozwązanem zagadnena: [ ] H H H H x x w x~ w x w x mn H + + + K K przy warunku T(Q Q G x x H- H x~ )=0 czyl [ ] mn ~ + + + H H x x H H w x w x w x H K K przy warunku T(Q Q G x x H- H x~ )=0 gdze: H x~ - zaangażowane czynnka stałego ne podlegającego optymalzacj. Koszt całkowty zaangażowana optymalnych nakładów czynnków x * x H- * zależy od cen wszystkch czynnków w w H welkośc produktów Q Q G dodatkowo nakładów czynnka stałego H x~ nos nazwę krótkookresowej funkcj kosztu całkowtego (ang. shortrun total cost). Na koszt całkowty c s (w w H Q Q G H x~ ) składa sę koszt zmenny VC = c s v(w w H- Q Q G H x~ ) równy ( ) ( ) = * ~ H H G H x Q Q w w x w K K koszt stały c s f( H x~ wh ) = H H w x~. Zatem krótkookresowa funkcja kosztu zmennego (ang. short-run varable cost) - c s v(.) - jest funkcją jedyne cen czynnków zmennych welkośc produktów oraz nakładów czynnków stałych (ne występuje w nej cena czynnka stałego). Problem maksymalzacj zysku w krótkm okrese może być zapsany następująco: ( ) ( ). ~ ~ max ~ max H H H G H s v G G H G H s G G x w x Q Q w w c Q p Q Q x Q Q w w c Q p Q Q = = = K K K K K K Powyższy zaps podkreśla fakt że warunkem konecznym maksymalzacj zysku jest mnmalzacja kosztu por. Varan [99]. Dotychczasowe rozważana można zlustrować przykładem krótkookresowej funkcj kosztu otrzymanej z funkcj produkcj typu Cobba-Douglasa. Dla uproszczena przyjęto że welkość produkcj wyraża sę poprzez Q (G=) zaangażowane zmennych czynnków produkcj wynos odpowedno x x a stałego x 3 (H=3) gdze ostatn z czynnków ne podlega optymalzacj w procese mnmalzacj kosztu. Problem ten zapsuje sę: ( ) = + + d c b x x ax Q w x x w w x x x 3 3 3 ~ ~ mn przy czym abcd>0 w w w 3 >0.
Wykorzystując metodę mnożnków Lagrange'a w celu wyznaczena ekstremum warunkowego otrzymano rozwązane - warunkowe funkcje popytu na czynnk produkcj - postac: x * (w w Q 3 x * (w w Q 3 c /( b+ c) c /( b+ c) ~ w c 3 /( b+ c) w b /( b+ c) d /( b+ c) x~ )= a ( ) ( ) Q x b/( b+ c) b/( b+ c) ~ w b 3 /( b+ c) w c /( b+ c) d /( b+ c) x~ )= a ( ) ( ) Q x Zatem na mnmalny koszt całkowty c s (w w Q x~ 3 ) składa sę koszt stały (nezależny od pozomu produkcj) c s f( x~ 3 w 3 )= x~ 3 w 3 oraz koszt zmenny c s v(w w Q x~ 3 ) równy 3 4 /( b+ ) b /( b ) c 0w w Q gdze: a c ( ) c + = c + ( ) x ~ /(b+c) 4 = -d/(b+c). ) ( ) b /( b+ c = b/(b+c) = c/(b+c) 3 = 0 c W przypadku funkcje kosztu zmennego można mówć o ogólnym efekce skal produkcj efekce skal produkcj względem czynnków zmennych. Perwszy z nch - ogólny efekt skal produkcj określa wpływ proporcjonalnych zman nakładów wszystkch czynnków na welkość produkcj a jego marą jest współczynnk efektu skal który dla przypadku omawanej funkcj kosztu typu Cobba-Douglasa wynos (- 4 )/ 3 czyl b+c+d. Natomast efekt skal produkcj względem czynnków zmennych nformuje o le procent wzrośne welkość produkcj na wskutek proporcjonalnego wzrostu nakładów jedyne czynnków zmennych; w omawanym przypadku współczynnk efektu skal wynos / 3 czyl b+c. Zatem w omawanym przypadku współczynnk ogólnego efektu może być wększy albo mnejszy od współczynnka efektu skal względem czynnków zmennych w zależnośc od znaku parametru 4 a dokładnej od sytuacj substytucj czynnków produkcj bądź ch komplementarnośc. Wyprowadzene wzoru na współczynnk ogólnego efektu skal produkcj w przypadku translogarytmcznej funkcj kosztu zmennego ne jest łatwe zatem w częśc dotyczącej emprycznej analzy produkcj będze wykorzystywany współczynnk efektu skal względem tylko czynnków zmennych. Otrzymana w tym przypadku krótkookresowa funkcja kosztu zmennego jest funkcją potęgową a warunk regularnośc ekonomcznej nakładają następujące restrykcje na parametry >0 dla = 3 4 <0. Ujemny znak parametru przy pozome zaangażowana czynnka stałego ( 4 ) wynka ze zjawska substytucj czynnków produkcj dla przyjętej funkcj produkcj (Cobba-Douglasa). Warto zauważyć ż z własnośc funkcj produkcj (nemalejąca ze względu na czynnk produkcj) wynka możlwość występowana zarówno komplementarnośc gdy jest ona stała względem jednego z czynnków jak substytucj b.
mędzy czynnkam (w przypadku slnej monotoncznośc). Prowadz to do następującego stwerdzena: jeżel funkcja produkcj z której otrzymano krótkookresową funkcję kosztu dopuszcza substytucję czynnków to elastyczność względem zaangażowana czynnka stałego dla funkcj kosztu zmennego pownna być ujemna. W przypadku funkcj produkcj dopuszczającej komplementarność czynnków np. Leontewa co prawda funkcja warunkowego popytu na zmenny czynnk produkcj ne zależy od nakładów czynnków stałych węc ne pojawą sę one jako zmenne w równanu krótkookresowej funkcj kosztu zmennego lecz dzedzna tej funkcj jest ogranczona przez nakłady czynnków stałych. Zatem w przypadku funkcj Leontewa rozwązane problemu: ( w x + wx + w ~ 3x3 ) mn{ ax bx cx ~ } x mn x przy czym abc>0 w w w 3 >0 Q = 3 prowadz do funkcj kosztu zmennego postac: c s v(w w Q) = Q(w /a + w /b) dla Q (0 c ~ x 3 ]. Zatem specyfkacja zmennych (argumentów) krótkookresowego funkcj kosztu ma podstawy w mkroekonomcznej teor frm zależy m.n. od tego czy dopuszcza sę komplementarność czynnków czy ne. Przedmotem dalszych rozważań będze właśne krótkookresowa funkcja kosztu zmennego. Własnośc tej funkcj mplkują restrykcje na parametry które pownno sę ewentualne uwzględnć przy ch estymacj. Zakłada sę że jest ona: nemalejąca ze względu na ceny czynnków zmennych (w w H- ) produkcję (Q Q G ) jednorodna (homogenczna) stopna jeden ze względu na ceny czynnków zmennych nerosnąca ze względu na nakłady czynnków stałych jeśl zakłada sę substytucyjność. Warunk regularnośc ekonomcznej wymagają aby elastycznośc funkcj kosztów względem produktów oraz cen czynnków zmennych (podlegających optymalzacj w procese mnmalzacj kosztów) były neujemne aby te ostatne sumowały sę do jednośc. Własność homogencznośc można explcte narzucć dokonując prostej operacj wydzelena kosztu każdej z cen przez jedną z nch. Narzucene globalnych warunków (na całą dzedznę funkcj kosztu) ma praktyczne znaczene poneważ zmnejsza lczbę parametrów funkcj. Narzucene pozostałych restrykcj jest trudne ne zawsze możlwe w przypadku klasycznych metod estymacj w przecweństwe do podejśca bayesowskego które poprzez rozkład a pror pozwala uwzględnć nawet nelnowe nerównoścowe restrykcj na parametry. W praktyce stosując podejśce bayesowske uwzględna sę warunk monotoncznośc funkcj kosztu jedyne lokalne tj. dla welkośc zmennych obserwowanych w próbe.
Mkroekonomczna (tzw. granczna) funkcja kosztów otrzymana jako rozwązane problemu mnmalzacj kosztów ma szeroke zastosowane w analze emprycznej kosztów frmy. Jednym z obszarów jej wykorzystana jest analza efektywnośc kosztowej frmy a w szczególnośc nstytucj fnansowych (w tym banków komercyjnych lub ch oddzałów). W badanach efektywnośc kosztowej przedmotem badana jest grupa przedsęborstw należących do jednej branży posadających dostęp do tej samej myśl techncznej (technolog). Zakłada sę że frmy te są dla sebe konkurentam zarówno na rynku czynnków produkcj jak produktów (oznacza to że pozyskują czynnk produkcj sprzedają swoje produkty po cenach kształtowanych przez rynek żadna z nch ne ma pozycj monopolstycznej lub zblżonej). Obserwuje sę że frmy - ze względu na swój potencjał - angażują różne lośc tych samych czynnków które w procese produkcj są w odmenny sposób zużywane powodując że każda z frm posada nny pozom strukturę produkcj. Zakłada sę że wszystke frmy prowadząc dzałalność nastawoną na osągnęce zysku dążą do jego maksymalzacj a stopeń wykonana tego celu jest swostych kryterum oceny przedsęborstwa. Można zatem postawć pytane która z frm rob to najlepej? Odpowedź wydaje sę być prosta: frma maksymalzuje zysk gdy wytwarza produkcję po najnższym koszce jednocześne uzyskuje maksymalny przychód z jej sprzedaży (skończone rozwązane stneje w przypadku procesu produkcj charakteryzującego sę malejącym efektem skal). W przypadku frmy w pełn maksymalzującej zysk pownny być spełnone trzy warunk: 0 dostępna technologa produkcj wykorzystywana jest w sposób najlepszy z możlwych (lczony w pewen sposób stosunek efektu produkcyjnego do ponesonych nakładów jest maksymalny) 0 struktura nakładów czynnków odpowada relacj ch cen rynkowych 3 0 skala struktura produkcj odpowada cenom produktów (warunek na strukturę ma znaczene tylko w przypadku produkcj weloasortymentowej). Istneje zatem potrzeba dokonana porównań oceny frm ze względu na przyjęte kryterum. Analza efektywnośc techncznej pozwol na zbadane w jakm stopnu spełnony jest perwszy warunek natomast analza efektywnośc kosztowej bada spełnene jednocześne dwóch perwszych warunków. Badane czy przedsęborstwo maksymalzuje zysk czyl czy spełnone są wszystke trzy warunk możlwe jest dopero w oparcu o funkcję zysku jednakże analza tego problemu wychodz poza ramy nnejszej pracy. Perwsze próby badań emprycznych ogólnej efektywnośc ekonomcznej na podstawe funkcj zysku podjęl dla banków: Berger Hancock Humphrey [993] oraz Akhaven Swamy Taubman Sngamsett [997]. 3
Analza efektywnośc kosztowej umożlwa stwerdzene czy przy danych cenach czynnków produkcj (ewentualne także danych nakładach czynnków stałych) frma ponos mnmalny koszt (całkowty lub zmenny) wytworzena określonego pozomu produkcj lub wektora produktów. Innym słowy bada sę czy dana welkość produkcj została osągnęta przy odpowednej skal strukturze nakładów tych czynnków. Jeżel ten warunek jest spełnony to frma wytwarzając optymalną welkość produkcj (gwarantującą maksymalny zysk) osąga ją przy odpowednch nakładach czynnków produkcj (po najnższym koszce). Jeżel przedsęborstwo ponos wększy koszt nż wynka on z mkroekonomcznej (grancznej) funkcj kosztu to spowodowane jest to neefektywnoścą kosztową - alokacyjną lub technczną. Termn efektywność technczna wprowadzony przez Farella [957] może być nterpretowany na dwa różne sposoby. Przedsęborstwo charakteryzuje sę efektywnoścą technczną zorentowaną na efekty (ang. output - orented techncal effcency) gdy z danych nakładów czynnków produkcj uzyskuje produkcję nższą nż wynka ona z mkroekonomcznej funkcj produkcj czyl Q/a = f(x x H ) gdze 0<a to parametr merzący stopeń odchylena n mnus obserwowanego pozomu produkcj Q od funkcj grancznej (por. np. Atknson Cornwell [994]). Przedsęborstwo charakteryzuje sę neefektywnoścą technczną zorentowaną na nakłady (ang. nput - orented techncal effcency) gdy określoną welkość produkcj Q mogłoby uzyskać redukując proporcjonalne zaangażowane wszystkch czynnków produkcj (obnżając koszt ponesonych nakładów) czyl Q=f(b x b x H ) gdze 0<b jest parametrem możlwych redukcj nakładów. W przypadku gdy funkcja produkcj jest jednorodna stopna ν (ν>0) zachodz zwązek a=b ν a zatem w przypadku szczególnym lnowej jednorodnośc oba sposoby defnowana neefektywnośc techncznej są równoważne (por. Färe Lovell [978]). Jeżel funkcja produkcj ne jest jednorodna rozróżnene obu przypadków ma stotne znaczene. Neefektywność alokacyjna polega na tym że czynnk produkcj są angażowane w neodpowednch proporcjach. Ma to mejsce gdy choć jedna z krańcowych stóp substytucj mędzy czynnkam ne odpowada lorazow ch cen rynkowych (równość ta wynka bezpośredno z warunku konecznego na stnene ekstremum funkcj zerowane sę perwszych pochodnych). Można pokazać że odchylene rzeczywśce ponesonego kosztu od grancznej funkcj kosztu jest rezultatem błędu alokacj lub neefektywnośc techncznej (zob. Marzec Osewalsk [996-97]). Rysunek przedstawa grafczną dekompozycję efektywnośc 4
kosztowej na technczną (zorentowaną na nakłady) alokacyjną (poczynone założena: jeden produkt dwa czynnk produkcj ch ceny są na ustalonym pozome). Przez X opt = (x opt x opt ) oznaczono optymalne nakłady obu czynnków produkcj które przy danych cenach czynnków gwarantują uzyskane produkcj na pozome Q obs po najnższym koszce C mn. Natomast X obs =(x obs x obs ) oznacza obserwowane nakłady przy których uzyskano produkcję Q obs ponosząc koszt C obs. Nech zokwanta {(x x ): f(x x )=Q obs f - funkcja produkcj} jest zborem takch kombnacj nakładów które są technczne nezbędne do uzyskana produkcj Q obs. Wdoczna na rysunku nefektywność technczna polega na tym że X obs leży powyżej zokwanty Q obs. Można węc tę samą produkcję Q obs uzyskać przez proporcjonalną (tj. ne zmenającą struktury) redukcję nakładów do punktu X tech obnżene kosztu do C tech. Różnca mędzy C obs C tech jest kosztem neefektywnośc techncznej. Neefektywność alokacyjna polega na tym że struktura nakładów X obs X tech ne odpowada relacj cen czynnków produkcj; produkcję Q obs można uzyskać tanej (po koszce C mn <C tech ) przez zastosowane optymalnej kombnacj X opt. Podsumowując marą efektywnośc alokacyjnej jest węc stosunek długośc odcnków OA/OB a techncznej OB/OC. Efektywność kosztowa to OA/OC = (OA/OB) (OB/OC) czyl loczyn obu mernków cząstkowych; por. Kopp Dewert [98]. Na przykład: efektywność technczna rzędu 0.8 efektywność alokacyjna rzędu 0.9 prowadz do efektywnośc kosztowej 0.7 (koszt nezbędny stanow 7% kosztu ponesonego). 5
Rysunek. Neefektywność kosztowa jej dekompozycja (założene: jeden produkt dwa czynnk produkcj a ch ceny są na ustalonym pozome). X Q obs C mn - koszt granczny Efektywność kosztowa = OA OB OB OC = OA OC C x obs B X obs x tech A X tech x opt X opt C tech C obs O x tech x obs x opt C mn X W dalszej częśc zostane przedstawony sposób modelowana neefektywnośc kosztowej za pomocą stochastycznych model grancznych które stanową alternatywne podejśce w stosunku do hstoryczne wcześnejszych metod opartych o technk programowana matematycznego... Modelowane neefektywnośc kosztowej. Empryczne badana efektywnośc ekonomcznej frm prowadz sę w oparcu o stochastyczne modele ekonometryczne bądź o modele determnstyczne. Wykorzystane tych ostatnch model wykorzystujących technkę programowana lnowego 6 w odnesenu do nstytucj fnansowych (banków komercyjnych) prezentowane jest m.n. w pracach następujących autorów: Berg Forsund Hjalmarsson Soumnen [993] Ferrer Lovell [990] Grabowsk Ragan Rezvanan [993] Hassan Grabowsk Pasurka Ragan [990] Rangan Grabowsk Aly Pasurka [988] Sherman Gold [985] oraz Rogowsk [998b 6 podstawową metodą jest tzw. DEA (Data Envelopment Analyss). 6
998c] Kopczewsk [999]. W obu podejścach model formułuje sę tak aby w sposób uproszczony lecz właścwy ujmował podstawowe założena zwązane z mkroekonomcznym opsem procesu produkcyjnego frmy. Wykorzystuje sę w nch dane pochodzące z frm należących do jednej branży - węc stosujących tę samą technologę lub przynajmnej mających swobodny do nej dostęp - przy założenu że frmy mogą nabywać czynnk produkcj po egzogenczne danych cenach. Założene to pozwala przyjąć dla każdej z frm dentyczną postać mkroekonomcznej funkcj produkcj a w konsekwencj także funkcj kosztów. W przypadku danych przekrojowo-czasowych jeżel stneją przesłank merytoryczne to dla prostoty modelu zakłada sę że technologa produkcj frm ne ulega stotnej zmane w badanym okrese czasu. Koszt granczny przy swobodnym dostępe wszystkch frm do tej samej technolog reprezentuje mnmalny koszt ponoszony przy danych cenach czynnków danym (zrealzowanym) pozome produkcj. Odchylene n plus od grancznej funkcj kosztów nterpretowane może być jako błąd pomaru który ze swej stoty może być dowolnego znaku (jest zmenną symetryczną względem zera) lub neefektywność która jest zmenną neujemną. Według metodolog ekonometrycznej problem efektywnośc (techncznej lub kosztowej) formułuje sę zwykle za pomocą modelu jednorównanowego składającego sę z odpowedno wyspecyfkowanej mkroekonomcznej funkcj produkcj lub kosztów (dla logarytmów tych zmennych) oraz dwóch składnków losowych z których jeden (symetryczny względem zera) odzwercedla efekt czynnków przypadkowych błędów pomaru zaś drug (asymetryczny stałego znaku) modeluje potencjalną neefektywność. Występowane złożonego składnka losowego defnuje modele które w lteraturze określa sę jako tzw. stochastyczne modele granczne (ang. stochastc fronter models). Zostały one zaproponowane przez dwa nezależne zespoły badawcze: Agner Lovell Schmdt [977] oraz Meeusen van den Broeck [977]. Dalszego rozwoju tej metodolog prezentowanej główne na łamach Journal of Econometrcs dokonal m. n. Stevenson [980] Ptt Lee [98] Jondrow Lovell Materov Schmdt [98] Schmdt Sckles [984] Beckers Hammond [987] Greene [980] [990] van den Broeck Koop Osewalsk Steel [994] Koop Osewalsk Steel [994] [997] oraz Fernández Osewalsk Steel [997]. Wykorzystane nektórych spośród tych model w badanu efektywnośc kosztowej banków prezentowane jest w czołowej specjalstycznej lteraturze główne na łamach Journal of Bankng and Fnance Journal of Money Credt and Bankng oraz Journal of Productvty 7
Analyss (zob. Bauer Hancock [993] Cebenoyan Cooperman Regster Hudgns [993] Ferrer Lovell [990] Kaparaks Mller Noulas [994] Kraft Trtroglu [998] oraz Mester [993]). Natomast w polskej lteraturze naukowej zarówno statystyczno-ekonometrycznej jak bankowej newele pozycj pośwęconych jest metodologcznym aspektom badanom emprycznym z zakresu efektywnośc techncznej czy kosztowej banków ( frm w ogóle). Najczęścej do porównywana banków oceny ch dzałalnośc stosuje sę tradycyjne metody taksonomczne lub analzy wskaźnkowe (np. Grabczan [995] Tarczyńsk [998] Capga Kurzak [998]). Dopero ostatno na łamach czasopsm Bank Kredyt oraz Bank ukazały sę popularyzatorske artykuły przeglądowe G. Rogowskego na temat analzy efektywnośc oddzałów banku (Rogowsk [996] [998a] [998b] [998c]). Wskazał on na ogromną potrzebę pomaru porównań efektywnośc ekonomcznej oddzałów co może stanowć cenne uzupełnene tradycyjnych metod analz wskaźnkowych stosowanych przez bank. Uważa on że zastosowane metod ekonometrycznych umożlw mędzy nnym obektywzację kryterów oceny oddzałów (Rogowsk [998a] s. 7). W przypadku danych przekrojowo-czasowych najprostszy jednorównanowy stochastyczny model grancznej krótkookresowej funkcj kosztu zmennego frmy może być sformułowany następująco (dla logarytmu kosztu): t ( xt ) + vt zt y = h + () gdze: y t - obserwowany logarytm kosztu zmennego (VC t ) -tej frmy w okrese t (= N; t= T) x t - wektor wersz zmennych egzogencznych (będących funkcjam welkośc produktów cen czynnków zmennych nakładów czynnków stałych) - wektor K+ neznanych parametrów h ( ) x t - odpowedno wyspecyfkowana granczna krótkookresowa funkcja kosztu zmennego lnowa względem parametrów. W równanu () zakłada sę o z t v t że 0 są zmennym losowym nezależnym od sebe zarówno po frmach jak po czase (z t v kl ) 0 są nezależne od regresorów przy czym: z t to zmenna o wartoścach wyłączne neujemnych (z t 0) która odzwercedla neefektywność -tej frmy w okrese t (= N; t= T). 8
v t to składnk czysto losowy o rozkładze symetrycznym wyrażający wpływ czynnków przypadkowych bądź błędów w pomarze kosztów; o wszystkch zmennych v t (= N; t= T) zakłada sę że posadają nezależne (v t v kl ) dentyczne rozkłady o zerowej wartośc oczekwanej np. rozkłady normalne tj. v t ~N(0σ v ). Składnk z t reprezentuje wzrost kosztu spowodowany neefektywnoścą technczną (zbyt dużą skala nakładów) lub alokacyjną (proporcje nakładów nezgodne są z relacją cen rynkowych czynnków). Główny problem w ekonometrycznej parametrycznej analze efektywnośc kosztowej frm sprowadza sę do estymacj neznanych parametrów stochastycznej grancznej funkcj kosztów a następne do pomaru wskaźnków neefektywnośc (bądź efektywnośc). Problemy w przypadku modelu () polegają na znalezenu takej metody estymacj która uwzględn nformacje a pror o neujemnym składnku modelującym neefektywność oraz pozwol na estymację (lub predykcję) składnków z t. Rodzaj posadanych danych - przekrojowo-czasowe (panelowe) czy tylko przekrojowe specyfkacja zmennej reprezentującej neefektywnośc są zatem podstawowym czynnkam które wnny decydować o wyborze typu modelu sposobu jego estymacj (por. np. Fernández Osewalsk Steel [997]). O z t zakłada sę m.n. że posadają nezależne rozkłady (z t z kl ) np. wykładncze ndeksowane przez parametr λ t (z t ~EXP(λ t )). Rozważa sę także przypadek dentycznych rozkładów dla z t po obu ndeksach (z t ~EXP(λ)) lub tylko po czase (z t ~EXP(λ )). Częstym założenem (przyjmowanym zwłaszcza przy małym T) jest ne tylko stałość technolog ale stałość efektywnośc frmy w czase z t =z dla t= T. Umożlwa to bardzej precyzyjny szacunek przecętnej efektywnośc każdej frmy gdyż stneje dla nej T obserwacj a ne tylko jedna. W tym przypadku zakłada sę nezależność efektywnośc po frmach czyl (z z k ) przyjmuje sę np. z ~EXP(λ) lub z ~EXP(λ ). Modele bardzej rozbudowane pozwalają na uwzględnene testowane systematycznych różnc w efektywnośc spowodowanych przez czynnk zewnętrzne. Zakłada sę w nch m.n. że składnk reprezentujące neefektywność ne mają dentycznych rozkładów dla różnych frm tzn. mają ten sam typ rozkładu lecz o różnych parametrach będących funkcją pewnych zmennych egzogencznych (por. Kumbhakar Ghosh McGuckn [99] oraz Koop Osewalsk Steel [99]. Najważnejszą cechą odróżnającą tzw. modele determnstyczne od model stochastycznych jest brak składnka czysto losowego v t. Modele determnstyczne zakładają stnene jednego składnka z t węc dopuszczają tylko odchylena n plus od grancznej 9
funkcj kosztu. To jest jedna z głównych przyczyn ostrej krytyk tego podejśca ne uwzględnającego jakchkolwek zaburzeń losowych oraz błędów pomaru które potencjalne w różnym kerunku z różną słą mogą wpływać na pozom neefektywnośc badanych frm. W modelu determnstycznym jedna netypowa obserwacja może meć znaczący wpływ na otrzymane wynk - pomar efektywnośc. Jeżel natomast w równanu () zachowa sę składnk czysto losowy v t a pomne sę składnk z t to przedstawa ono model przecętnej funkcj kosztów (average practce model) formalne odpowadający założenu pełnej efektywnośc Należy jednak zwrócć uwagę że tak wyspecyfkowane równane () ne pozwala na ujęce dekompozycj efektywnośc kosztowej na efektywność kosztową alokacyjną. Próbę dekompozycj źródeł neefektywnośc podjęl sę Atknson Cornwell [994a] [994b] oraz Kumbhakar [997] w tzw. modelu shadow cost functon będącym układem równań: odpowedno zmodyfkowanej funkcj kosztów równań warunkowego popytu na czynnk. Estymacja takego modelu w przypadku translogarytmcznej funkcj kosztu (z uwzględnenem nelnowych restrykcj) z uwag na stopeń komplkacj może stanowć obszar dalszych pogłębonych badań. Obecne w badanach emprycznych z tego zakresu najczęścej używaną formą funkcyjną jest translogarytmczna funkcja kosztów (ang. translog cost functon) określana równeż termnem gętka forma funkcyjna. Mmo że do opsu procesu produkcj została ona użyta po raz perwszy w 97 roku przez Chrstensena Jorgensona Lau (zob. także Chrstensen Jorgensona Lau [973]) to w polskej lteraturze ekonometrycznej praktyczne ne jest stosowana. Otrzymuje sę ją - dla logarytmu kosztów (lnvc) - poprzez aproksymację drugego rzędu dowolnej funkcj przynajmnej trzykrotne różnczkowalnej (druge pochodne cągłe) w otoczenu pewnego (arbtralne dobranego) punktu. Lepszą aproksymacje neznanej funkcj kosztu (aczkolwek neznaczną przy dodatkowych założenach o różnczkowalnośc) można uzyskać rozwjając w szereg Taylora ucnając go po odpowednch pochodnych rzędu wyższego nż drug. Funkcja translogarytmczna kosztu jest autonomczna w stosunku do funkcj produkcj jak dotąd ne pokazano z jakej postac funkcj produkcj otrzymuje sę ją w wynku rozwązana problemu mnmalzacj kosztu (o funkcj produkcj wadomo że ne jest funkcją jednorodną). Poneważ translogarytmczna funkcja kosztu ne jest funkcją jednorodną węc jest wrażlwa na skalowane danych. Zatem koneczne jest zwrócene uwag na fakt że w równanu () na potencjalną neefektywność kosztową składa sę neefektywność technczna zdefnowana jako zorentowana na nakłady a ne zorentowana na efekty. Rozróżnene dwóch nterpretacj neefektywnośc techncznej jest w tym przypadku stotne. 0
Translogarytmczna funkcja kosztów w przypadku krótkookresowym ma następująca postać: lnvc t + + + * = + G g = h= P p= g= P 0 H G P p= j p G g = (4) g h (6) p g (8) p j *() g lnq ln X ~ ln X ~ lnq t g t p t p t g + ln w ln Q t h ln X ~ P p= t g t j + + + *() p P p= h= G g= j g H H G H h= j h ln X ~ (5) p h (7) g j (9) h j t p + ln X ~ H h= ln Q ln w t p t g t h *(3) h ln w ln Q ln w ln w gdze o v t z t czyn sę założena dentyczne jak w równanu () wykorzystuje sę twerdzene Younga 7 celu oszczędnej parametryzacj. Ponadto: VC t - obserwowany koszt zmenny -tej frmy w okrese t (= N; t= T) Q tg - produkcja g-tego produktu (g= G) w th - cena h-tego czynnka zmennego produkcj (h= H) ~ - zaangażowane p-tego czynnka stałego (p= P). X t p Wykorzystywany często model kosztów Cobba-Douglasa stanow formalne szczególny przypadek funkcj translogarytmcznej (przy odpowednch restrykcjach na parametry których stotność można testować). W równanu () występuje duża lczba parametrów lecz można dodatkowo ogranczyć lczbę swobodnych parametrów jeżel uwzględn sę własność jednorodnośc funkcj kosztów stopna jeden ze względu na ceny zmennych czynnków t h t j t j + t h + + v produkcj. Powoduje ona następujące restrykcje na parametry równana (): H h= H H (4) g h + h= h= (9) h h *(3) h + = H j> h (5) p h (9) h j + = 0 h j= (9) j h = 0 dla p = K P; g = K G dla h = K H Warunek jednorodnośc funkcj kosztu względem cen będze automatyczne spełnony gdy koszt zmenny (VC t ) ceny w th (h= H) wydzel sę przez jedną z nch (np. w th ): t + + z t () (3) 7 wynka z nego w szczególnośc że jeżel funkcja jest -krotne różnczkowalna w pewnym punkce pochodne -go rzędu są cągłe to macerz pochodnych -go rzędu w tym punkce jest macerzą symetryczną.
ln VC wt t H * = 0 + + + + p= g= p= j p g= (6) p g (8) p j *() g ln X ~ ln X ~ ln Q t p t p t g w ln w G H (4) g h ln Qt g t h g= h= t H P P G P G + ln Q ln X ~ g P p= t j + + + *() p G g= j g ln X ~ (7) g j t p ln Q t g w ln w ln Q w ln w H *(3) h t h h= t H w ln w P H (5) ln ~ p h X t p t h p= h= t H G + t j w ln w H H (9) t h t j h j h= j h t H t H + v t + z t (4) Po dokonanu prostych operacj matematycznych model () przyjme postać równoważną: lnvc t + + + = + 0 G H g= h= P p= g= P G P p= j p G g= (4) g h (6) p g (8) p j () g ln Q ln X ~ ln X ~ ln Q t g t p t p t g + ln w ln Q t h ln X ~ P p= g t j + + + () p p= h= G g= j g ln X ~ P H H H h= G j h t p (5) p h (7) g j (9) h j + H h= ln X ~ ln Q ln w t p t g t h (3) h ln w ln w ln Q ln w t h t j t j t h + v t + z t (5) gdze nowe parametry 0 () g () p (3) h są funkcjam parametrów modelu (4) ceny w th w szczególnośc: H H H * *(3) (9) = 0 0 ln wt H + h ln wt H h j. h= h= j h W efekce lczba estymowanych parametrów funkcj kosztu w równanu (4) - z wyjątkem wyrazu wolnego - wynos K=(G+H+P-)(G+H+P+)/ (np. w przypadku gdy G=H=3 P= to K=7). W dalszej częśc zostaną opsane podstawowe charakterystyk służące do opsu procesu produkcj kosztu m.n. poprzez pomar efektu skal korzyśc produkcj w przypadku translogarytmcznej krótkookresowej funkcj kosztu zmennego.
.3. Charakterystyk procesu produkcj. Oszacowana mkroekonomczna funkcja kosztów jest cennym źródłem nformacj o badanym procese produkcj koszce produkcj zwłaszcza gdy rozważa sę wele produktów (G>). W tym przypadku funkcja transformacj jest bardzo rzadko wykorzystywana w badanach emprycznych poneważ występują problemy z jej modelowanem estymacją chocaż ostatno próby jej estymacj dokonal Fernández Koop Steel [000]. Zatem w praktyce w przypadku welu produktów wykorzystuje sę funkcję kosztu co ma teoretyczne uzasadnene poneważ w myśl zasady dualzmu funkcja kosztu sumaryzuje wszystke ekonomczne stotne aspekty technolog (procesu produkcj). Istneje jednoznaczna relacja wążąca obe funkcje; zob. Shephard [98]. Orygnalne parametry funkcj translogarytmcznej ne mają ekonomcznej nterpretacj lecz koszt krańcowy elastycznośc względem cen czynnków zmennych nakładów czynnków stałych oraz współczynnk efektu skal produkcj nosą nformacje o kształtowanu sę kosztu własnoścach procesu produkcj. Z uwag na fakt że funkcja translogarytmczna jest określona dla logarytmów zmennych elastycznośc lczy sę łatwo jako pochodne logarytmu koszu względem logarytmu zmennej. W efekce elastyczność VC W Q X ~ względem h-tej ceny (h= H) dla translogarytmcznej kosztu zmennego ( ) funkcj danej równanem (5) wyraża sę wzorem: η ~ lnvc ( ) ( wt Qt X t ) VC / w = h t + (9) h h ln w ln w t h t h + H j h = (9) h j (3) h + ln w t j G g =. (4) g h ln Q t g + P p= (5) p h ~ ln X Natomast elastyczność kosztu względem ceny H-tego czynnka produkcj wyznacza sę korzystając z własnośc jednorodnośc funkcj kosztów względem cen a manowce: η lnvc w ( ) ( t t t ) VC / w = = η( VC / w ). H t ln w Q t H ~ X H h= Elastyczność względem zaangażowana p-tego czynnka stałego (p= P) wynos: t h t p + (6) (7) 3