Agneszka Orwat-Aceańska Unwersytet Ekonomczny w Katowcach WERYFIKAJA ODPORNO-AYESOWSKIEGO MODELU ALOKAJI DLA RÓŻNYH YPÓW ROZKŁADÓW PODEJŚIE SYMULAYJNE Wprowazene Nowoczesne metoy analzy portfelowej koncentrują sę na narzęzach służących ogranczenu ryzyka estymacj zwązanym z możlwoścą ponesena straty w wynku błęów estymacj parametrów. Z punktu wzena procesu alokacj aktywów szczególne stotne są narzęza ogranczana tego ryzyka w sytuacjach obecnośc welowymarowych obserwacj ostających w próbe lub asymetrycznych rozkłaów stóp zwrotu. W nnejszej pracy alokacja aktywów jest rozumana jako obór aktywów w różnych proporcjach poprzez rozwązane zaana optymalzacj uzałów portfela celem osągnęca najwyższej oczekwanej stopy zwrotu przy założonym pozome ryzyka. Do meto służących ogranczenu ryzyka estymacj którego źrółem jest wrażlwość optymalzowanej funkcj alokacj na neznane wartośc charakterystyk portfela należą m.n. alokacja oporna ang. robust allocaton alokacja bayesowska ang. ayesan allocaton oporna alokacja bayesowska ang. robust ayesan allocaton. Iea metoy alokacj opornej jest oparta na założenu że parametry bęące charakterystykam skłaowych portfela znajują sę w otoczenach zwanych zboram nepewnośc ang. uncertanty sets. Reprezentują one tzw. profl nwestora ang. nvestor profle gyż są ozwercelenem stosunku nwestora o ryzyka estymacj. Jenym z proponowanych w lteraturze poejść jest wybór portfela w pesymstycznym scenaruszu zakłaającym że oczekwane stopy zwrotu aktywów bęą najnższe z możlwych a ryzyko najwększe. Wybór portfela opornego w sense tej metoy pozwala uzyskać możlwe najwyższą stopę zwrotu portfela przy najmnej korzystnym pozome ryzyka. Zaane alokacj Jest to efncja zgona z głównym założenem poltyk lokacyjnej funuszy emerytalnych nwestycyjnych.
Weryfkacja oporno-bayesowskego moelu alokacj 3 opornej jest zaanem maxmnowym polegającym na maksymalzacj oczekwanej stopy zwrotu la najgorszego przypaku ze wzglęu na mnmalny oczekwany zwrot portfela po warunkem że najwększe oczekwane ryzyko portfela jest ne wększe nż ustalona wartość maksymalnego opuszczalnego ryzyka portfela [Meucc 5]. Alokacja bayesowska otyczy konstrukcj portfel maksymalnego oczekwanego zwrotu przy ogranczenu na ryzyko których charakterystyk są szacowane na postawe rozkłaów a posteror oczekwanej stopy zwrotu ryzyka skłaowych portfela. Istotą analzy bayesowskej jest uwzglęnene w procese estymacj nformacj spoza próby reprezentowanej przez rozkła a pror. W poejścu alokacj bayesowskej [Meucc 5] nwestor może formułować rozkłay a pror stóp zwrotu na przykła operając sę na analze techncznej funamentalnej lub ekstrapolacj na postawe przeszłych obserwacj stóp zwrotu. Uwzglęnene oprócz nformacj z próby równeż wezy a pror otyczącej wartośc parametrów może zmnejszać błęy spowoowane szacowanem oczekwanej stopy zwrotu portfela a węc ogranczać ryzyko estymacj. rzeca z wymenonych meto jest połączenem alokacj opornej alokacj bayesowskej [Meucc 6]. Dokłany ops formalny metoolog alokacj opornej alokacj bayesowskej oporno-bayesowskej wraz ze specyfkacją zborów nepewnośc oraz przykła ch aplkacj na anych rzeczywstych polskego rynku kaptałowego można znaleźć m.n. w pracach Orwat [] Orwat-Aceańska []. W tej oraz powyższych pracach ryzyko estymacj jest utożsamane z różncą męzy wartoścam charakterystyk portfela otrzymanych przy założenu macerzy kowarancj wektora wartośc oczekwanych stóp zwrotu z rozkłau populacj oraz otrzymanych przy założenu ocen tych parametrów szacowanych na postawe próby. Wartośc charakterystyk portfela optymalzowanego przy założenu macerzy kowarancj wektora oczekwanych stóp zwrotu z rozkłau populacj są określane na potrzeby pracy manem rzeczywstych charakterystyk. Praca poejmuje ocenę przyatnośc oporno-bayesowskego moelu alokacj z nnej perspektywy nż przestawono to w poprzenej pracy autork [Orwat- -Aceańska ]. elem artykułu jest zbaane w jakm stopnu wartość rzeczywstego ryzyka portfela przekracza ustaloną wartość opuszczalnego ryzyka portfel optymalzowanych klasyczne oporne-bayesowsko oraz w przypaku których portfel przekroczena te są wększe. elem porównana wartośc rzeczywstego ryzyka portfel opuszczalnego ryzyka zastosowano metoy statystycznej symulacj la różnych typów rozkłaów populacj stóp zwrotu. Analza Zaane wyboru portfela metoą alokacj opornej jest szczególnym przypakem opornej optymalzacj ang. robust optmzaton. Estymatory punktowe charakterystyk skłaowych portfela są w tej metoolog klasycznym ocenam parametrów w tym kontekśce ne jest ona tożsama z estymacją oporną ang. robust estmaton.
4 Agneszka Orwat-Aceańska ta ma na celu ocenę przyatnośc metoy opornej alokacj bayesowskej w sytuacj gy założene że stopy zwrotu aktywów mają rozkła normalny ne jest spełnone. Porozzał perwszy zawera ops metoolog opornej alokacj bayesowskej. Etapy proceury baawczej są wymenone w porozzale rugm natomast główne charakterystyk rozkłaów wykorzystanych w analze emprycznej zameszczono w porozzale trzecm. Założena oraz wynk przeprowazonych analz emprycznych zawera porozzał czwarty.. Metoologa opornej alokacj bayesowskej harakterystyczną cechą tej metoy jest uwzglęnene tzw. proflu nwestora. Jest on reprezentowany przez: zbory nepewnośc 3 la wartośc oczekwanej macerzy kowarancj skłaowych portfela które z określonym prawopoobeństwem zawerają neznaną wartość parametru m wększe prawopoobeństwo pokryca przez zbór nepewnośc neznanej wartośc parametru tym nwestor określający to prawopoobeństwo cechuje sę wększą awersją o ryzyka estymacj anego parametru; wezę a pror 4 nwestora otyczącą przyjęca przez wartość oczekwaną oraz macerz kowarancj określonych wartośc przy czym ryzyko estymacj onos sę przee wszystkm o losowego charakteru rozważanych parametrów. aka wukerunkowa charakteryzacja proflu nwestora jest zaletą metoy opornej alokacj bayesowskej. Z jenej strony bowem zbory nepewnośc ozwercelają postawę nwestora wobec ryzyka estymacj charakterystyk skłaowych portfela z rugej strony weza a pror nwestorów pownna poprawać okłaność oszacowań parametrów. elem zapsu oporno-bayesowskego moelu alokacj przyjęto następującą notację: = K k wektor losowy wartośc oczekwanych stóp zwrotu macerz kowarancj wektora losowego stóp zwrotu R R K Rk '. Oczekwana stopa zwrotu k-skłankowego portfela x = x x K xk ze zboru opuszczalnego = { x: x x' = } ma postać x' natomast x' x jest ryzykem portfela. Przypomnjmy że klasyczne zaane alokacj zaane Markowtza maksymalzacj oczekwanej stopy zwrotu przy ogranczenu na ryzyko ma postać: 3 4 Jest to element właścwy alokacj opornej. Jest to element właścwy alokacj bayesowskej.
Weryfkacja oporno-bayesowskego moelu alokacj 5 p.w max x x' x' x v. Oporno-bayesowsk opowenk tego zaana ma postać: p.w max x max Θ mn Θ x' x' x v gze: Θ Θ są bayesowskm zboram nepewnośc parametrów natomast v jest ustaloną wartoścą maksymalnego opuszczalnego ryzyka portfela. Istneje wele możlwośc specyfkacj zborów nepewnośc 5. Jeną z propozycj spotykanych w lteraturze są elpsoy nepewnośc 6 la wartośc oczekwanej macerzy kowarancj stóp zwrotu. Inwestor może wyznaczyć wartośc estymatorów parametru położena parametru kształtu elpso oraz promene elpso na postawe szeregu czasowego stóp zwrotu. Jeśl stopy zwrotu mają welowymarowy rozkła normalny wówczas estymatory parametru położena parametru kształtu elpso oraz ch promene mają znane określone rozkłay co ułatwa ch analtyczne wyznaczene oraz nterpretację probablstyczną. Załóżmy zatem że wektor losowy stóp zwrotu R t t = K ma rozkła normalny z wartoścą oczekwaną macerzą kowarancj w skróce Rt ~ N k 7 wówczas poejśce bayesowske w alokacj opornej umożlwa naturalną specyfkację elpsoalnych zborów nepewnośc. Są one wyznaczone przez obszary w których rozkłay a posteror parametrów charakteryzują sę najwyższą gęstoścą co oznacza że śrok elpso pokrywają sę z moalnym rozkłaów a posteror tych parametrów. Oznaczmy przez 5 6 7 t= t Na przykła R.H. ütüncü M. Koeng [4] konstruują zbory nepewnośc w postac przezałów; D. Golfarb G. Iyengar [] wykorzystują przezał jako zbór nepewnośc la wektora wartośc oczekwanych natomast zbór nepewnośc la macerzy kowarancj konstruują za pomocą moel czynnkowych. Zob. A. Meucc [5; 6]. Wówczas estymator ˆ I = R ma k-wymarowy rozkła t-stuenta z stopnam swoboy parametrem położena macerzą kowarancj. Estymator ˆ I = Xt I ˆ Xt ˆ I' ma rozkła Wsharta z stopnam swoboy macerzą kowaran- t= cj.
6 Agneszka Orwat-Aceańska = { r r K r } szereg czasowy obserwacj bęący realzacją zboru { R R K R } = I wektorów losowych stóp zwrotu. Zanm przy powyższych założenach zostaną poane postace elpso nepewnośc określmy rozkłay a pror a posteror parametrów 8. W tym celu oznaczmy przez wartośc oczekwane brzegowych rozkłaów a posteror parametrów opoweno a przez parametry rozkłau a pror opoweno la. Natomast bęze loścowym opowenkem proflu nwestora bęącym zborem następujących wartośc: = { υ } 3 gze: υ lczby reprezentujące stopeń przekonana nwestora o jego subektywnej wezy otyczącej prawzwych wartośc parametrów opoweno. Im wększe wartośc υ w stosunku o tym wększe znaczene ma weza a pror w wyznaczenu rozkłau a posteror. Przy powyższych założenach oznaczenach rozkłay a pror parametrów są następujące [Meucc 6]: ~ N k ; ~ W k υ 4 υ gze: W k υ / υ oznacza rozkła Wsharta z υ stopnam swoboy macerzą kowarancj /υ. Rozkłay a posteror parametrów są natomast następujące [Meucc 6]: ~ N k ; ~ Wk υ 5 υ gze: = + ; υ = υ + ; = + ˆ 8 W praktyce rozkła a pror może być określany owolne. W przypaku mplementacj opornej alokacj bayesowskej wąże sę to z konecznoścą stosowana proceur całkowana numerycznego o oszacowana momentów rozkłau a posteror. W zwązku z tym analtyczne wyznaczene parametrów rozkłaów a posteror znaczne ułatwające stosowane metoy jest możlwe przy założenu że rozkła stóp zwrotu ma rozkła normalny.
Weryfkacja oporno-bayesowskego moelu alokacj 7 + + + = ˆ ˆ ˆ υ υ = = t t ˆ r. ayesowsk elpsoalny zbór nepewnośc parametru [Meucc 6]: } ˆ : { q S Θ = 6 gze: q kwarat promena elpsoy bęący kwantylem rzęu p rozkłau χ z k stopnam swoboy p q k χ = wartość oczekwana wektora losowego w rozkłaze a posteror parametru przy czym = S macerz kowarancj rozkłau a posteror parametru : S = υ υ 7 ayesowsk elpsoalny zbór nepewnośc la parametru [Meucc 6]: } : { Mo Mo q vech vech S Θ = 8 gze: Mo moalna macerzy kowarancj w rozkłaze a posteror parametru : Mo k + + = υ υ 9 S macerz kowarancj moalnej macerzy w rozkłaze a posteror:
8 Agneszka Orwat-Aceańska S υ 3 = D k Dk υ + k + q kwarat promena elpsoy Θ q = χ k k+ / p. Przy powyższych specyfkacjach elpso nepewnośc zaane sprowaza sę o równoważnej postac: p.w max { x' p x' x' γ γ x' x} gze: γ q = υ υ γ = v υ υ q + υ + k + υ + k + W celu otrzymana okłanego rozwązana zaana należy je przekształcć o zaana optymalzacj stożkowej rugego rzęu SOP ang. secon orer cone program 9. Spełnene założena normalnośc stóp zwrotu umożlwa bezpośreną nterpretację probablstyczną elpsoalnych zborów nepewnośc. Jeśl rozkła stóp zwrotu ne jest rozkłaem normalnym wówczas truno arbtralne obrać wartośc promen elpso mających prostą nterpretację probablstyczną. Powstają zatem pytana: Jaka jest statystyczna jakość wynków la portfel bęących rozwązanem zaana w sytuacjach gy rozkła stóp zwrotu populacj ne jest welowymarowym rozkłaem normalnym? zy przeprowazene wówczas analzy emprycznej przy specyfkacjach określonych po warunkem założena normalnośc jest naal użyteczne? zy uwzglęnene elementu bayesowskego w moelu alokacj opornej czyl wezy a pror nwestora o wartoścach parametrów ma wpływ na osetek przypaków w których rzeczywste ryzyko portfela przekracza pozom opuszczalny oraz śrene przekroczene opuszczalnego ryzyka portfel? 3. 9 Optymalzacja stożkowa jest rozajem programowana wypukłego z lnową funkcją celu zbór opuszczalnych rozwązań jest przecęcem hperpłaszczyzny rzeczywstej stożka. Wartość promena elpsoy jest wówczas oszacowana na postawe rozkłau ch-kwarat. W ten sposób określono wartość przekroczena która pokazuje o le śreno rzeczywste ryzyko portfela przekracza wartość opuszczalnego ryzyka portfela.
Weryfkacja oporno-bayesowskego moelu alokacj 9 Opowezom na powyższe pytana służy realzacja celu pracy za pomocą emprycznej analzy porównawczej wynków la portfel klasycznych opornych oporno-bayesowskch przy różnych wartoścach parametrów oraz różnych typach rozkłaów populacj stóp zwrotu.. Etapy proceury baawczej a generowane N prób lczących n stóp zwrotu z welowymarowego rozkłau o zaanych parametrach; b optymalzacja klasyczna oporno-bayesowska portfel na postawe otrzymanych prób przy założenu macerzy kowarancj wektora wartośc oczekwanych z rozkłau populacj stóp zwrotu; c analza welkośc przekroczeń opuszczalnego ryzyka portfel w zależnośc o wartośc opuszczalnego ryzyka portfel; analza rzeczywstych charakterystyk portfela w zależnośc o zman wartośc opuszczalnego ryzyka; e analza porównawcza uzyskanych wynków la portfel optymalzowanych klasyczne portfel oporno-bayesowskch. Wymenone etapy baawcze przy uwzglęnenu wybranych warantów przeprowazono la różnych typów rozkłaów stóp zwrotu. 3. Rozkłay populacj wykorzystane w analze emprycznej Oprócz rozkłau normalnego jenym z rozkłaów wykorzystanych w analze emprycznej jest uogólnony rozkła t-stuenta. Funkcja gęstośc jenowymarowego uogólnonego rozkłau t-stuenta ma postać: ν + ν + Γ λ λ r f r λ ν = + ν Γ πν gze λ są parametram opoweno położena skal ν jest lczbą stopn swoboy. Wartość oczekwana oraz warancja zmennej losowej R są postac: E R = Mo R = la ν > ν
Agneszka Orwat-Aceańska ν D R = la ν >. 3 λ ν Ocena ryzyka portfel jest także okonywana przy założenu rozkłau Gumbela który jest szczególnym przypakem rozkłau GEV ang. Generalze Extreme Value strbuton. Funkcja gęstośc rozkłau Gumbela zmennej losowej R ma postać [Gumbel 954]: z r ze f r = gze z = e λ 4 λ natomast λ są parametram opoweno położena skal. Wartość oczekwana zmennej losowej R o tym rozkłaze jest postac: E R = + λγ 5 gze γ jest stałą Eulera Mascheronego a warancja wyraża sę wzorem: π D R =. 6 λ 6 W analze emprycznej uwzglęnono równeż rozkła Laplace a charakteryzowany następującą funkcją gęstośc: f r r λ λ = e. 7 Wartość oczekwana warancja zmennej losowej R o tym rozkłaze są następujące: λ E R = 8 D R = λ. 9
Weryfkacja oporno-bayesowskego moelu alokacj 4. Wynk analzy emprycznej Na wstępe baana przyjęto założene że analzowane portfele są wuskłankowe a stopy zwrotu wóch klas aktywów są neskorelowane. Metoą statystycznej symulacj wygenerowano N prób N = 5 pochozących z populacj wuwymarowego rozkłau normalnego o następujących parametrach bazowych: = =. 4 Na postawe każej z nch okonywano optymalzacj portfel: klasycznych opornych oraz oporno-bayesowskch przeprowazając kolejne analzy. aano osetek przypaków w których rzeczywste ryzyko portfela przekraczało pozom opuszczalny ν oraz wartość przekroczena która pokazywała o le śreno rzeczywste ryzyko portfela śrene przekroczene przekroczyło wartość ν. Ops założena oraz wynk analz zawerają punkty A-. Wymenone w rozzale rugm etapy proceury baawczej przeprowazono najperw przy założenu welowymarowego rozkłau normalnego populacj stóp zwrotu o ustalonych parametrach. We wszystkch analzach przyjęto następujące założena: lczebność każej próby: n = ; prawopoobeństwo określające welkość promena elpsoy la wektora : p = ; prawopoobeństwo określające welkość promena elpsoy la macerzy : p = 5. Wszystke oblczena wykonano w programe Matlab za pomocą proceur zbuowanych przez Autorkę. Zaana optymalzacj oporno-bayesowskej przekształcono o postac SOP za pomocą formatu SeDuM [Stürm 999]. A. Analza wpływu wezy a pror nwestora o wartoścach parametrów rozkłau a pror na osetek przekroczeń śrene przekroczene opuszczalnego ryzyka portfela przy założenu że populacja stóp zwrotu ma welowymarowy rozkła normalny z wartoścą oczekwaną macerzą kowarancj. Analzy okonano la 4 przykłaowych warantów wezy a pror nwestora ozwercelającej jego oczekwana co o kształtowana sę wartośc oczekwanej stopy zwrotu ryzyka skłaowych portfela. W szczególnośc weza ta wyraża postawę nwestora wobec ryzyka skłaowych portfela. Przyjęte założena o mają charakter pogląowy służą ocene wpływu elementu bayesowskego w alokacj opornej.
Agneszka Orwat-Aceańska Warant Inwestor ne posaa wezy a pror o wartoścach parametrów. Zaane sprowaza sę wówczas o zaana alokacj opornej [Orwat ; Orwat-Aceańska ] przy założenu elpsoy nepewnośc la macerzy kowarancj element bayesowsk ne występuje tzn. = υ =. Warant Inwestor posaa wezę a pror o wartoścach parametrów okłane ozwercelającą rzeczywstość wartośc parametrów pokrywają sę z ch opowenkam w rozkłaze populacj stóp zwrotu tzn.: = = = = 4. Inwestor cechuje sę jenakże awersją o ryzyka estymacj macerzy kowarancj założene elpsoy nepewnośc la oraz nepewnoścą co o rzeczywstych wartośc. Warant 3 Inwestor posaa taką samą wezę a pror o parametrze jak w warance lecz jego weza otycząca ozwercela postawę asekuracyjną wobec ryzyka skłaowych portfela przeszacowuje je: 5 = = =. 4 Warant 4 Inwestor posaa taką samą wezę a pror o parametrze jak w warance 3 lecz jego weza otycząca ozwercela postawę optymstyczną wobec ryzyka skłaowych portfela neoszacowuje on tego ryzyka tzn.: 5 = = =. 4 Wynk uzyskane przy powyższych warantach porównano z wynkem uzyskanym la klasycznych portfel. Zależność osetka przekroczeń opuszczalnego ryzyka portfela o welkośc opuszczalnego ryzyka la warantów -4 oraz portfel klasycznych przestawa rysunek.
Weryfkacja oporno-bayesowskego moelu alokacj 3 Destek przekroczeń opuszczalnego ryzyka portfela 55 44 33 5 5 3 35 Portfele klasyczne Warant - Portfele oporne Warant - Portfele oporno-bayesowske Warant 3 - Portfele oporno-bayesowske Warant 4 - Portfele oporno-bayesowske Rys.. Zależność osetka przekroczeń opuszczalnego ryzyka portfela o welkośc opuszczalnego ryzyka portfela przy założenu że populacja stóp zwrotu ma welowymarowy rozkła normalny Wynk symulacj zestawone w postac rysunku wskazują że w poejścu alokacj opornej warant osetek przypaków w których rzeczywste ryzyko portfela przekracza pozom opuszczalny jest pona -krotne mnejszy nż w poejścu klasycznym. Osetek przekroczeń ne zależy o wartośc opuszczalnego ryzyka zarówno w przypaku portfel klasycznych jak równeż opornych. Uwzglęnene elementu bayesowskego w zaanu alokacj opornej ma już jenak stotny wpływ na osetek przekroczeń opuszczalnego ryzyka portfela. W przypaku warantu pozom ten prawe ne zależy o wartośc opuszczalnego ryzyka portfela jenak jest on -krotne mnejszy nż w przypaku portfel z warantu prawe 5-krotne mnejszy w stosunku o portfel klasycznych. Dla portfel konstruowanych przez nwestora asekuracyjnego wobec ryzyka skłaowych portfela warant 3 osetek przekroczeń wzrasta natomast o pozomu % o % wraz ze wzrostem opuszczalnego ryzyka a następne utrzymuje sę na stałym pozome takm jak w przypaku warantów 4. Optymstyczna postawa nwestora wyrażona warantem 4 etermnuje portfele oporno-bayesowske których osetek przekroczeń wraz ze wzrostem opuszczalnego ryzyka maleje o wartośc 78. Dla początkowych wartośc opuszczalnego ryzyka przekroczena te są wększe o przekroczeń przez portfele określone pozostałym warantam. Reasumując osetek przekroczeń opuszczalnego ryzyka portfel opornych oporno-bayesowskch jest zecyowane mnejszy nż w przypaku portfel klasycznych co owoz że portfele te są bezpecznejsze z tego punktu wzena. Uwzglęnene elementu bayesowskego w alokacj opornej moel oporno-bayesowsk wpływa na osetek przekroczeń opuszczalnego ryzyka portfel w stosunku o jego pozomu w poejścu klasycznym alokacj opornej.
4 Agneszka Orwat-Aceańska Ostatne wnosk są prawzwe równeż la śrenego przekroczena opuszczalnego ryzyka portfela przy założenu że populacja stóp zwrotu ma welowymarowy rozkła normalny rys.. Śrene przekroczene la portfel oporno-bayesowskch jest prawe 3-krotne mnejsze nż portfel opornych 4-krotne mnejsze nż klasycznych. 4 35 Śrene przekroczene 3 5 5 5 5 5 3 35 Portfele klasyczne Warant - Portfele oporne Warant - Portfele oporno-bayesowske Warant 3 - Portfele oporno-bayesowske Warant 4 - Portfele oporno-bayesowske Rys.. Zależność śrenego przekroczena opuszczalnego ryzyka portfela o welkośc opuszczalnego ryzyka portfela przy założenu że populacja stóp zwrotu ma welowymarowy rozkła normalny Zależy ono o zman wartośc opuszczalnego ryzyka portfela w przypaku klasycznej alokacj oraz opornej alokacj rośne ona wraz ze wzrostem opuszczalnego ryzyka portfela o pewnej wartośc a następne zaznacza sę tenencja malejąca. Analzowane zależnośc la wszystkch warantów oporno-bayesowskch mają natomast charakter rosnący.. Analza porównawcza wynków zależnośc osetka przekroczeń śrenego przekroczena opuszczalnego ryzyka portfela o wartośc opuszczalnego ryzyka portfela męzy różnym typam rozkłaów z uwzglęnenem warantów wezy a pror nwestora. W przypaku każego rozważanego warantu -4 osetek przekroczeń opuszczalnego ryzyka portfela jest najmnejszy gy populacja stóp zwrotu ma rozkła normalny. Ne ma natomast zasanczych różnc męzy pozomam osetka przekroczeń la poszczególnych pozostałych rozważanych rozkłaów. Różnca męzy pozomem osetka przekroczeń la rozkłau normalnego a pozomem osetka la grupy pozostałych rozkłaów jest śreno welkośc %. Jest to newele w porównanu z osetkem przekroczeń la wszystkch rozkłaów łączne z normalnym w przypaku portfel klasycznych rys. 3e który utrzymuje sę na pozome około 55%. Dokonując analogcznej analzy z punktu wzena śrenego przekroczena opuszczalnego ryzyka rys. 4 należy stwerzć że w analzowanych moelach
Weryfkacja oporno-bayesowskego moelu alokacj 5 oporno-bayesowskch waranty -4 ne ma zasanczych różnc męzy pozomam tej welkośc la poszczególnych rozważanych rozkłaów w tym rozkłau normalnego. Najwększe różnce w kształtowanu sę śrenego przekroczena męzy rozkłaem normalnym a pozostałym rozważanym rozkłaam zachozą w przypaku alokacj opornej rys. 4a. Wynk analzy w punkce przemawają za uznanem stosowana metoy opornej alokacj bayesowskej za naal użyteczne w przypaku rozważanych w pracy rozkłaów nnych nż normalny borąc po uwagę osetek śrene przekroczene opuszczalnego ryzyka portfela. a warant b warant Destek Osetek przekroczeń opuszczalnego ryzyka portfela 55 44 33 5 5 3 35 Osetek Destek przekroczeń opuszczalnego ryzyka portfela 55 44 33 5 5 3 35 rozkła normalny rozkła t-stuenta rozkła normalny rozkła t-stuenta rozkła Laplace'a rozkła Gumbela rozkła Laplace'a rozkła Gumbela c warant 3 warant 4 Destek Osetek przekroczeń opuszczalnego ryzyka portfela 55 44 33 5 5 3 35 Destek Osetek przekroczeń opuszczalnego ryzyka portfela 55 44 33 5 5 3 35 rozkła normalny rozkła t-stuenta rozkła normalny rozkła t-stuenta rozkła Laplace'a rozkła Gumbela rozkła Lapalce'a rozkła Gumbela e portfele klasyczne Osetek Destek przekroczeń opuszczalnego ryzyka portfela 55 44 33 5 5 3 35 rozkła nomralny rozkła t-stuenta rozkła Laplace'a rozkła Gumbela Rys. 3. Zależność osetka przekroczeń opuszczalnego ryzyka portfela o welkośc opuszczalnego ryzyka portfela przy założonych warantach la różnych rozkłaów populacj stóp zwrotu
6 Agneszka Orwat-Aceańska a warant b warant Śrene przekroczene 45 4 35 3 5 5 5 5 5 3 35 rozkła normalny rozkła t-stuenta rozkła Laplace'a rozkła Gumbela Ś rene przekroczene 4 35 3 5 5 5 5 5 3 35 rozkła normalny rozkła t-stuenta rozkła Laplace'a rozkła Gumbela c warant 3 warant 4 Śrene przekroczene 4 35 3 5 5 5 5 5 3 35 4 35 3 5 5 5 5 5 3 35 rozkła normalny rozkła t-stuenta rozkła normalny rozkła t-stuenta Śrene przekroczene rozkła Laplace'a rozkła Gumbela rozkła Laplace'a rozkła Gumbela Rys. 4. Zależność śrenego przekroczena opuszczalnego ryzyka portfela o welkośc opuszczalnego ryzyka portfela przy warantach -4 la różnych rozkłaów populacj stóp zwrotu. Analza rzeczywstych charakterystyk portfela w zależnośc o zman wartośc opuszczalnego ryzyka. Przykłaowo na rys. 5 zlustrowano wynk tej analzy la przypaku rozkłau t-stuenta w warance 3. Portfele oporno-bayesowske cechują sę mnejszą rzeczywstą stopą zwrotu rzeczywstym ryzykem nż portfele klasyczne. Fakt ten jest prawzwy równeż w przypaku pozostałych wszystkch warantów oraz pozostałych rozważanych rozkłaów populacj stóp zwrotu.
Weryfkacja oporno-bayesowskego moelu alokacj 7 "Rzeczywsta" stopa zwrotu portfela 9 8 7 6 5 4 3 3 4 "Rzeczywste" ryzyko portfela 4 35 3 5 5 3 4 Portfele klasyczne Portfele oporno-bayesowske Rys. 5. Zależność rzeczywstych charakterystyk portfel o opuszczalnego ryzyka w przypaku rozkłau t-stuenta warantu 3 W tabelach zameszczono wartośc rzeczywstych charakterystyk portfel w zależnośc o wartośc opuszczalnego ryzyka portfela la rozważanych warantów oraz rozkłaów stóp zwrotu. Wartośc rzeczywstych stóp zwrotu rzeczywstego ryzyka portfel są barzo zblżone w poszczególnych warantach - 4 oraz rozkłaach. Zależność rzeczywstej stopy zwrotu portfel o opuszczalnego ryzyka abela Dopuszczalne ryzyko Portfele rozkła normalny waranty rozkła t-stuenta waranty portfela klasyczne 3 4 3 4 485 45 44 394 467 4 44 38 469 6 64 554 56 547 573 559 563 548 574 694 644 65 643 656 65 65 645 657 4 77 78 73 7 76 74 76 7 77 8 839 78 788 786 788 79 79 787 79 3 896 839 846 845 845 846 848 848 848 36 944 89 898 899 899 89 9 9 9 Dopuszczalne ryzyko Portfele rozkła Laplace a waranty rozkła Gumbela waranty portfela klasyczne 3 4 3 4 485 48 44 38 469 49 44 386 468 6 64 56 56 548 574 559 56 548 573 694 653 65 645 658 65 65 645 657 4 77 79 76 73 77 75 74 7 78 8 839 79 789 788 79 789 79 788 79 3 896 846 848 848 847 844 848 847 847 36 944 889 9 899 9 89 899 9 9
8 Agneszka Orwat-Aceańska abela Dopuszczalne ryzyko portfela Zależność rzeczywstego ryzyka portfel o opuszczalnego ryzyka Portfele klasyczne rozkła normalny waranty rozkła t-stuenta waranty 3 4 3 4 6 86 95 3 6 3 69 6 63 444 457 47 499 48 465 46 56 39 8 86 783 843 856 86 798 85 4 45 6 7 57 89 9 7 8 858 55 53 5 536 58 55 534 553 3 34 86 893 886 887 97 9 9 97 36 3583 33 345 348 349 33 363 37 37 Dopuszczalne ryzyko Portfele rozkła Laplace a waranty rozkła Gumbela waranty portfela klasyczne 3 4 3 4 6 3 4 7 96 3 7 67 6 63 488 463 44 59 478 46 46 54 39 866 83 8 859 844 8 799 853 4 45 43 93 76 4 8 66 5 8 858 587 548 543 559 574 548 536 556 3 34 93 9 93 95 93 99 95 93 36 3583 3 377 356 364 33 357 366 36 Posumowane W artykule weryfkowano moel opornej alokacj bayesowkej la różnych typów rozkłaów za pomocą poejśca symulacyjnego. Sprowazało sę to o baana wpływu błęu estymacj na ryzyko portfela bęącego rozwązanem problemu maksymalzacj stopy zwrotu z portfela przy ogranczenu na jego warancję. W tym celu porównywano wynk la klasycznej alokacj Markowtza opornej alokacj bayesowskej. Druga z meto pozwala na uwzglęnene pozomu nepewnośc nwestora zwązanej z szacowanem charakterystyk skłaowych portfela na postawe próby oraz jego wezy a pror otyczącej kształtowana sę rzeczywstych wartośc tych charakterystyk w populacj. e wa elementy skłaające sę na tzw. profl nwestora służą ogranczenu ryzyka estymacj charakterystyk skłaowych portfela. Nnejsze opracowane jest kontynuacją pracy autork [Orwat-Aceańska ] weryfkującej oporny moel alokacj la różnych typów rozkłaów za pomocą poejśca symulacyjnego. W poprzenej pracy poano analze m.n. lczbę welkośc przekroczeń opuszczalnego ryzyka portfel oraz rzeczywstych charakterystyk portfel w zależnośc o wartośc opuszczalnego ryzyka lczebnośc poprób welkośc elpso nepewnośc la macerzy kowarancj
Weryfkacja oporno-bayesowskego moelu alokacj 9 wektora wartośc oczekwanej. Mając na wzglęze uzyskane tam wnosk w nnejszej pracy skupono uwagę na aspekce bayesowkm w moelu opornym. W szczególnośc analzowano wpływ wezy a pror nwestora na pozom przekroczeń opuszczalnego ryzyka portfela oraz kształtowane sę rzeczywstych charakterystyk portfela w zależnośc o tego ryzyka. Porównane wynków tych analz la różnych typów rozkłaów stóp zwrotu służyło ocene przyatnośc metoy w sytuacj gy rozkła stóp zwrotu populacj ne jest welowymarowym rozkłaem normalnym. W pracy pokazano że omówone poejśce oporno-bayesowske pozwala uzyskać portfele które są bezpecznejsze z punku wzena nwestora borąc po uwagę nepewność zwązaną z szacowanem ch charakterystyk na postawe próby. W szczególnośc la rozkłau normalnego osetek śrene przekroczene opuszczalnego ryzyka w zależnośc o wartośc przekroczeń opuszczalnego portfel oporno-bayesowskch są zecyowane mnejsze nż w przypaku portfel klasycznych. Ponato uwzglęnene elementu bayesowskego w alokacj opornej wpływa na zmanę osetka przekroczeń w zależnośc o wartośc opuszczalnego ryzyka portfela. W przypaku śrenego przekroczena włączene elementu bayesowskego w alokację oporną powouje natomast zmnejszene śrenego przekroczena opuszczalnego ryzyka portfela. Wnosk te są równeż prawzwe la pozostałych rozkłaów rozważanych w pracy przy czym osetek przekroczeń opuszczalnego ryzyka portfela w przypaku tych rozkłaów jest wększy śreno o % nż la rozkłau normalnego. Przemawa to jenak za uznanem metoy opornej alokacj bayesowskej za naal użyteczną w przypaku rozważanych w pracy rozkłaów nnych nż normalny borąc po uwagę osetek śrene przekroczene opuszczalnego ryzyka portfela. Portfele oporno-bayesowske cechują sę także mnejszą rzeczywstą stopą zwrotu rzeczywstym ryzykem nż portfele klasyczne. Fakt ten jest prawzwy równeż w przypaku pozostałych rozważanych rozkłaów populacj stóp zwrotu nnych nż rozkła normalny. Lteratura Golfarb D. Iyengar G. : Robust Portfolo Selecton Problem. Mathematcs of Operatons Research No. 8. Gumbel E.J. 954: Statstcal heory of Extreme Values an Some Practcal Applcatons. Apple mathematcs seres 33. U.S. Department of ommerce Natonal ureau of Stanars. Markowtz H. 95: Portfolo Selecton. Journal of Fnance No. 7. Meucc A. 5: Rsk an Asset Allocaton. Sprnger erln.
Agneszka Orwat-Aceańska Meucc A. 6: Robust ayesan Allocaton. Workng paper. Orwat A. : Oporne metoy alokacj aktywów a ocena ryzyka portfela akcj. Skuteczne nwestowane nr 66. Orwat-Aceańska A. : Oporne bayesowske metoy alokacj aktywów a ocena ryzyka portfela akcj. Moelowane Preferencj a Ryzyko. Re. rzaskalk. Wyawnctwo Unwersytetu Ekonomcznego Katowce. Orwat-Aceańska A. : Ocena ryzyka portfela w alokacj opornej przy różnych typach rozkłaów poejśce symulacyjne. Analza szeregów czasowych a statystyczny pomar ryzyka. Re. G. rzpot. Wyawnctwo Unwersytetu Ekonomcznego Katowce. Stürm J. 999: Usng SeDuM. MALA oolbox for Optmzaton Over Symmetrc ones. Optmzaton Methos an Software No. -. ütüncü R.H. Koeng M. 4: Robust Asset Allocaton. Annals of Operatons Research No. 3. VERIFIAION OF HE ROUS-AYESIAN ASSE ALLOAION MODEL FOR DIFFEREN YPES OF DISRIUION SIMULAION APPROAH Summary In the paper robust ayesan allocaton metho was verfe for fferent strbutons of returns usng smulaton approach. An mpact of estmaton error on the portfolo rsk was examne when portfolos were bult as a soluton to the problem of maxmzng expecte return wth restrctons mpose on ts varance. lasscal Markowtz approach results were compare to the robust ayesan approach. Usng smulatons t was shown that n robust ayesan metho a fracton of samples where a portfolo rsk exceee ts maxmum lmt as well as mean excess rsk were much lower than n the classc approach. Moreover extenng robust allocaton wth ayesan approach sgnfcantly affects the portfolo rskness. hs results also hols f the strbuton of returns n nonnormal although the fferences are smaller.