Geometrická nelinearita: úvod

Geometrická nelinearita: úvod Opakování: stabilita prutů (Eulerovo řešení s využitím teorie 2. řádu) Stabilita prutů Ritzovou metodou Stabilita tenkých desek 1

Geometrická nelinearita Velké deformace (průhyby, pootočení,... ) Při popisu úlohy záleží na volbě referenčního systému souřadnic: v dalším textu se bude předpokládat pevná soustava souřadnic (během řešení se neměnící) Lagrangeovská Často se zavádí jen některé nelineární aspekty: např. teorie 2. řádu vyžaduje rovnováhu na zdeformované konstrukci, ale předpokládá malé deformace (jako v lineární teorii pružnosti) 2

Opakování: Eulerovo řešení (1) F vyšetřujeme ztrátu stability prutu zatíženého osovou silou postupy lineární teorie pružnosti a statiky nestačí je třeba uvažovat splnění podmínek rovnováhy na deformované konstrukci teorie 2. řádu w(x) 3

Opakování: Eulerovo řešení (2) Moment v bodě x: F M = F w Vyjádření pomocí rovnice průhybové čáry: w = M EI = F w EI w Po úpravě a označení α 2 = F EI : w + α 2 w = 0 x w(x) L x 4

Opakování: Eulerovo řešení (3) F Rovnice: Obecné řešení: w + α 2 w = 0 w(x) L w = C 1 sin αx + C 2 cos αx x x 5

Opakování: Eulerovo řešení (4) F Obecné řešení: Okrajové podmínky (1): Pro x = 0 je w(x = 0) = 0: w = C 1 sin αx + C 2 cos αx w(x) L 0 = C 1 sin α 0 + C 2 cos α 0 C 2 = 0 x x 6

Opakování: Eulerovo řešení (5) Obecné řešení: F Okrajové podmínky (2): Pro x = L je w(x = L) = 0: w = C 1 sin αx + C 2 cos αx 0 = C 1 sin α L + 0 0 = C 1 sin α L w(x) L Pro C 1 0 musí být sin αl = 0: αl = k π... k = 1, 2, 3,... x x 7

Opakování: Eulerovo řešení (6) Obecné řešení: F w = C 1 sin αx + C 2 cos αx Po dosazení okrajových podmínek: w(x) L w = C 1 sin kπ x L x x 8

Opakování: Eulerovo řešení (7) F Dosadíme za α 2 : α 2 = F E I F = α2 EI... α L = 1 π Po úpravě a označení F cr = F w(x) L F cr = π 2EI L 2 x x Což je známá Eulerova kritická síla. 9

Ritzova metoda (1) F Aproximace průhybu: w = a 1 sin πx L Potenciální energie: 1. Π N = F u a = F EA F L, u a... zkrácení prutu dle linenární teorie (nezávisí na w) 2. Π M = F u b, u b... zkrácení v důsledku pootočení prutu x w(x) L x 10

Ritzova metoda (2) Zkrácení v důsledku pootočení prutu: du = dx dx cos ϕ Taylorův rozvoj : du Stručně: du dx dx(1 1 2 ϕ2 ) = 1 2 ϕ2 dx 1 2 (w ) 2 dx du 1 2 (w ) 2 dx dx ϕ Pro celý prut: u b = 1 2 L 0 (w ) 2 dx 11

Ritzova metoda (3) Zvolení aproximace: Derivace: w = a 1 sin πx L dx ϕ du w = a 1 π L πx cos L, π 2 w = a1 sin πxl L2 Dosazení za u b = 1 2 L0 (w ) 2 dx: u b = π2 L 2L 2 a2 1 0 πx π2 cos2 dx = l 4L a2 1 12

Ritzova metoda (4) Potenciální energie: Π e = F u b = π2 4L F a2 1 Π i = 1 2 L 0 EI(w ) 2 1 dx = 2 EIA2 π 4 1 L 4 L 0 πx π4 EI sin2 dx = L 4 L 3 a2 1 Celková potenciální energie systému: Π = Π e + Π i = ( π2 4L F + π4 4 ) EI L 3 a 2 1 (+Π N ) 13

Ritzova metoda (5) Hledání exterému (minima) potenciální energie pomocí Π a 1 = 0: Π a 1 = ( π2 4L F + π4 EI 4L 3 ) 2a 1 = 0 Za předpokladu, že a 1 0: π2 4L F + π4 EI 4L 3 = 0 A tedy (výsledek je shodný s Eulerovým řešením): F = π2 EI L 2 14

Stabilita (stěno)desek (1) x stabilitní problémy v důsledku zatížení v rovině konstrukce stěna vybočení deska z b a y Rovnice úlohy (zatížení jen ve směru x): 4 w x 4 + 4 w x 2 y 2 + 4 w y 4 = N x 2 w D x 2 15

Stabilita (stěno)desek (2) y Deska na všech okrajích prostě uložená: P 4 w x 4 + 4 w x 2 y 2 + 4 w y 4 = N x 2 w D x 2 Hledané řešení: w(x, y) = δ sin mπx nπy sin, m, n = 1, 2, 3,... a b Po dosazení: ( m 2 a 2 + n2 ) 2 b 2 = p n 2 D π 2 b 2 b a x P 16

Stabilita (stěno)desek (3) y Tedy: p = Dπ2 b 2 n 2 ( m 2 a 2 + n2 ) 2 b 2 Zbývá určit vhodná m, n. Doporučeno m = 1 (viz Šejnoha). Protože P má být minimální P N = 0: Dπ 2 b 2 ( 1 na 2 + n ) ( b 2 1 n 2 a 2 + 1 ) b 2 = 0 b a P Vyjde: n = b a x P 17

Stabilita (stěno)desek (4) y P Protože n = b a : P = 4Dπ2 a 2 = Eh3 π 2 3(1 ν 2 )a 2 Což je hodnota hledaného kritického zatížení (pozor na to, že dle výchozích předpokladů musí být n celé číslo!). b a x P 18

Stabilita (stěno)desek (5) Další možná předpokládaná průhybová plocha: Dosazením za w: 4 f y 4 2m2 π 2 2 f a 2 y 2 + Za předpokladu N x D > m2 π 2 a 2 kde α = m 2 π 2 a 2 + w = f(y) sin mπx a ( m 4 π 4 a 4 N x D bude obecné řešení: m 2 π 2 a 2 ) f = 0 f(y) = C 1 e ay + C 2 e ay + C 3 cos βy + C 4 sin βy N x D m2 π 2 a 2, β = m2 π 2 a 2 + N x m 2 π 2 Da 2 19

Stabilita (stěno)desek (6) Řešení pro desku na třech okrajích prostě podepřenou: x Okraj y = 0: Nx w = 0, Okraj y = b: m x = 0 : D ( 2 w Y 2 + ν 2 ) w x 2 = 0 b m x = 0 : D ( 2 w Y 2 + ν 2 ) w x 2 = 0 a R y = 0 : D ( 3 w y 3 + (2 ν) 3 ) w x 2 y = 0 kde R y je svislá reakce na volném okraji. y Nx 20

Stabilita (stěno)desek (7) Z okrajových podmínek pro y = 0: C 1 = C 2, 3 = 0 A dále: w = f(y) = A sinh αy + B sin βy Z okrajových podmínek pro y = b: Aα ( A ( α 2 ν m2 π 2 a 2 α 2 (2 ν) m2 π 2 a 2 ) ) ( sinh αb B β 2 + ν m2 π 2 a 2 sin βb = 0 ( cosh αb Bβ β 2 + (2 ν) m2 π 2 ) cos βb = 0 ) a 2 21

Stabilita (stěno)desek (8) Aα ( A ( α 2 ν m2 π 2 a 2 α 2 (2 ν) m2 π 2 a 2 ) ) ( sinh αb B β 2 + ν m2 π 2 a 2 sin βb = 0 ( cosh αb Bβ β 2 + (2 ν) m2 π 2 ) cos βb = 0 ) a 2 Protože je třeba, aby A 0 a B 0: β ( α 2 ν m2 π 2 a 2 ) tanh αb = α ( β 2 + ν m2 π 2 a 2 ) tanh βb Výrazy α a β obsahují N x, řešení lze najít numerickými metodami. 22

Stabilita (stěno)desek: literatura Další doporučená literatura: Harvančík J., Drahoňovský, Z.: Výpočty prútových a plošných konstrukcií, Alfa, Bratislava, 1970 Ravinger, J., Psotný, M.: Analýza konštrukcií, Nelineárne úlohy, STU, Bratislava, 2006 Šejnoha, J., Bittnarová, J.: Stabilita skořepin. Doplňkové striptum. ČVUT, Praha, 1999 23

Geometrická nelinearita a MKP (1) Velké deformace (průhyby, pootočení,... ) Při popisu úlohy záleží na volbě referenčního systému souřadnic: v dalším textu se bude předpokládat pevná soustava souřadnic (během řešení se neměnící) Lagrangeovská Často se (v literatuře) používá tenzorový zápis: tenzor matice 24

Geometrická nelinearita (2) Poměrné deformace (vč. obvykle zanedbávaných členů) ε x = u x + 1 [ ( v )2 ( w )2 ] + 2 x x ε y = v y + 1 ( ) 2 ( ) 2 u w + 2 y y ε z = w z + 1 [ ( u )2 ( v )2 ] + 2 z z γ xy = u y + v x + u v y x + v v x y + w w x y γ yz = v z + w y + v w z y + v v y z + w w y z γ zx = u z + w x + u w z x + u u z x + w w z x 25

Geometrická nelinearita (3) Délka úsečky: Po deformaci: ds 2 = dx 2 + dy 2 + dz 2. (1) ds 2 = dx 2 + dy 2 + dz 2. (2) Složky posunu bodu a do a: du = u x dx, dv = v dy, (3) y dw = w z dz. z x y ds a y b z x dx a ds y z b x 26

Geometrická nelinearita (4) Složky posunu bodu b do b určíme pomocí délky ds: dx 2 = (du + dx) 2, dy 2 = (dv + dy) 2, (4) dz 2 = (dw + dz) 2. z x y ds a y b z x dx a ds y z b x Po dosazení rovnic (5) do vztahu (2): ds 2 = dx 2 + dy 2 + dz 2 + 2 (du dx + dv dy + dw dz) + du 2 + dv 2 + dw 2. (5) 27

Geometrická nelinearita (5) Pomocí vztahů (2) a (5) zapíšeme změnu dílky z ds na ds: ds ds = du 2 + 2 du dx + dv 2 + 2 dv dy + dw 2 + 2 dw dz. (6) Dosazením z (4) pro výraz du 2 + 2 du dx získáme: du 2 ( u + 2 du dx = x dx ( u u + 2 y z + 2 )2 + ( ) 2 u y dy + dy dz + u z ( u x dx2 + u y dy2 + u z dz2 ( u )2 w dw + u u u dz dx + dx dy x x y Analogické vztahy lze získat pro ostatní členy výrazu (6). Je možné přepsat: ). ) + (7) ds ds = 2 ( ε x dx 2 + ε y dy 2 + ε z dz 2 + γ yz dy dz + γ zx dz dx + γ xy dx dy ). (8) 28

Geometrická nelinearita (6) Na základě (8) lze výraz (8) přepsat: ε x = u x + 1 [ ( v 2 x ε y = v y + 1 ( u 2 y ε z = w z + 1 [ ( u 2 z γ xy = u y + v x + u y γ yz = v z + w y + v z γ zx = u z + w x + u z )2 Viz snímek Geometrická nelinearita (1). + ) 2 + )2 ( w x ( w )2 ], ) 2, y ( v )2 ] +, (9) z v x + v v x y + w w x y, w y + v v y z + w w y z, w x + u u z x + w w z x. 29

Geometrická nelinearita (7) Typické případy geometrických nelinearit: Velká u i ε: u stavebních konstrukcí obvykle ne (letectví, hornictví) Velká u, ale ε << 1: v ε se uvažují jen lineární členy: ploché oblouky, lana, rotace ω < 1, ale ω >> ε (pozn.: γ ω), u ε jen lineární členy, u γ i další: úlohy lineární stability 30

Geometrická nelinearita (8) Geometrická nelinearita a MKP (K + K G + K H + K R ) r = F K G... obsahuje členy vzniklé z nelineárních prvků v ε: matice počátečních napětí, geometrická matice, stabilitní matice, obvykle závisí na aktuální napjatosti K H... matice počátečních deformací (vliv změny výchozího tvaru konstrukce z počátku přírůstku zatížení) K R... matice počátečních zatížení (vliz změny zatížení vlivem změny tvaru konstrukce např. povrchu na které zatížení působí) 31

Geometrická nelinearita (9) Lineární stabilita Podobné předpoklady jako u Eulerovy teorie Vychází se z (K + K G )r = F Hledá se kritické zatížení pro ztrátu stability: (K + λk G )r = 0 (analogie M = F u z Eulerova řešení) Problém (K + λk G )r = 0 je úloha o vlastních číslech matice, λ... násobiltel kritického zatížení (K G je funkcí vnitřních sil a tedy i zatížení) 32

Geometrická nelinearita (10) Odvození matice tuhosti příhradového prutu y, v u 2 2 u 1 1 v 2 v 1 1 L 2 x, u 33

Geometrická nelinearita (11) Odvození matice tuhosti příhradového prutu [ u v ] = u = Nr [ 1 x L 0 x L 0 0 1 x L 0 x L ε x = u x + 1 2 ( v x )2 ] u 1 v 1 u 2 v 2 1 y, v u 1 L 1 v 1 2 u 2 2 v 2 34

Geometrická nelinearita (12) Odvození matice tuhosti příhradového prutu ε x = u x + 1 ( v 2 x )2 Π i = E A L 2 Π i = 1 2 L ( u x + 1 ( v 2 x 0 ε xσ x dx = E A L 2 )2 ) 2 E A L 2 ε 2 x [ ( u x )2 + u x ( v x )2 ] Π i = E A L 2 ( u 2 1 2u 1 u 2 + u 2 A E 2) + 2 L (u 1 u 2 ) ( v1 2 2v 1v 2 + v2 2 ) 35

Geometrická nelinearita (13) Odvození matice tuhosti příhradového prutu Aplikací Π r = 0 a přepisem do maticové formy: (K + K G ) r = F K = A E L 1 0 1 0 0 0 0 0 1 0 1 0 0 0 0 0 K G = A E L 2 (u 2 u 1 ) 0 0 0 0 0 1 0 1 0 0 0 0 0 1 0 1 36

Geometrická nelinearita (14) Odvození matice tuhosti příhradového prutu Zřejmě platí: Tedy: L u 2 u 1, K G = N L N = AE L L N = A E L (u 2 u 1 ) 0 0 0 0 0 1 0 1 0 0 0 0 0 1 0 1 37

Metody pro řešení nelineárních úloh Iterační řešení Přírůstkové řešení (Eulerova metoda) Přírůstkově iterační metody (Newton-Raphson,...) 38

Iterační řešení (1) 1 2 3? Vhodné pro úlohy konstrukční nelinearity (příp. další - některé úlohy geom. nelinearity): Ztužidla nebo lana působící jen v tahu Jednostranné vazby modely podloží Postup: 1. Linární výpočet 2. Provedení změn v závislost na napětích a deformacích 3. Lineární výpočet změněné konstrukce 4. Pokud jsou změny (napětí, deformace) větší než stanovená mez, proces se opakuje Při větším počtu jednostranně působících prvků může být iterační proces pomalý. 39

Iterační řešení (2) 1 Jak zjišt ovat, zda se stav nezměnil (vyloučený prut by měl působit opět v tahu apod): Sledování deformací (komplikované,? nepraktické) 2 Vyloučený prut ponechat v konstrukci s velmi malou tuhostí Velmi malá tuhost: cca 1000 1 původní V případě změny stavu vrátit původní Emin hodnotu tuhosti 3 40

Iterační metoda ukázka (1) Deformovaný tvar (klasické vazby): ufem 0.2.46 Result: s_1 Set: 1: 1.000 4.390625e+02 3.841797e+02 3.292969e+02 2.744141e+02 2.195312e+02 1.646484e+02 1.097656e+02 5.488281e+01 0.000000e+00-8.919706e+01-1.783941e+02-2.675912e+02-3.567883e+02-4.459853e+02-5.351824e+02-6.243795e+02-7.135765e+02 y z x podlozka 23. 09. 2008 41

Iterační metoda ukázka (2) Deformovaný tvar (jednostranné vazby): ufem 0.2.46 CS: CART Set: 1: 1.000 3.629494e+02 3.175807e+02 2.722121e+02 2.268434e+02 1.814747e+02 1.361060e+02 9.073735e+01 4.536868e+01 0.000000e+00-1.003641e+02-2.007282e+02-3.010923e+02-4.014564e+02-5.018204e+02-6.021845e+02-7.025486e+02-8.029127e+02 y z x podlozka 23. 09. 2008 42

Přírůstkové řešení (1) F3 F2 F1 F Euler. Real. u Eulerova metoda Zatížení F se přikládá po částech F Neprovádí se iterace Postup: 1. Zatížení konstrukce zatížením F 1 2. Vyhodnocení změn v konstrukci (vyloučení prutů,...) 3. Zatížení konstrukce zatížením F 2 4. Přičtení výsledků od F 2 k předchozím 5. Vyhodnocení změn v konstrukci (vyloučení prutů,...) 6. Zatížení konstrukce zatížením F 3 7.... 8. Po dosažení F = n i=1 F i se výpočet ukončí 43

Přírůstkové řešení (2) F F3 F2 F1 Euler. Real. u Eulerova metoda Problémy: 1. V jednotlivých krocích se už neprovádí iterace 2. Přesnost řešení závisí na velikosti zatěžovacího kroku ( F i ) Metoda se v uvedené podobě prakticky nepoužívá 44

Přírůstkové řešení (3) F Formální zápis: K(u) u = F F3 F2 F1 Euler. Real. kde K je funkcí posunutí u, případně zatížení F. Jednotlivý krok výpočtu: K i (u) u i = F i u Celková deformace: u = n i=1 u i 45

Přírůstkově-iterační řešení (1) Fi Fir F Ki ui Real. g u Newtonova Raphsonova metoda Zatížení F se přikládá po částech F (krocích) Po každém přírůstku zatížení se iteruje Iterace: minimalizace vektoru nevyvážených sil g g: rozdíl mezi zatížením vypočítaným pro aktuální tuhost E i a skutečně přeseseným zatížením F i,r Stanovení g: např. určením rovnováhy ve styčnících 46

Přírůstkově-iterační řešení (2) F Newtonova Raphsonova metoda Postup: 1. Zatížení konstrukce zatížením F 1 K i (u) u i = F i Fi gj gj+1 2. Vyhodnocení změn v konstrukci (vyloučení prutů,...) 3. Výpočet vektoru nevyvážených sil g j 4. Výpočet změn deformace od g j Fir Ki,j K i,j (u) u i,j = g j Real. Ki ui u ui,j 5. Vyhodnocení změn v konstrukci (vyloučení prutů,...) 6. Výpočet vektoru nevyvážených sil g j+1 7. Výpočet změn deformace od g j+1 8. Opakování dokud g j+x není dostatečně malé... 47

Přírůstkově-iterační řešení (3) Fi Fir F gj Real. Ki Newtonova Raphsonova metoda Konstrukci zatěžujeme silami F nebo předepsanými deformacemi u Velikost kroků F i libovolná Změna matice tuhosti (uplatnění jendostr. vazeb. apod.): gj+1 Ki,j V každé iteraci V každém kroku (přírůstku zatížení) Konstantní během výpočtu Zjednodušená Newtonova Raphsonova u metoda ui ui,j 48

Přírůstkově-iterační řešení (4) Newtonova Raphsonova metoda a zjednodušená Newtonova Raphsonova metoda R R g R R F R r 0 r 1 r 2 r r 0 r 1 r2 r3 r 49

Ukázka výpočtu NRM (1) Fyzikálně nelineární výpočet zděného nosníku a oblouku 50

Ukázka výpočtu NRM (2) Fyzikálně nelineární výpočet zděného nosníku 120 100 80 Relative force 60 40 20 0 0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35 0.4 Relative displacement Smeared, micromodel Chen, homogenized 51

Ukázka výpočtu NRM (3) Fyzikálně nelineární výpočet zděného nosníku 140 "arc18chen.rtrack" using 3:5 "arc18smc.rtrack" using 3:5 120 100 Relative load 80 60 40 20 0 0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35 Relative displacement 52

Posuzování konvergence Potřebné pro ukončení iterace (např. velikost g) Nestačí sledovat jen v jednom bodě použití norem vektorů Kritérium velikosti vektoru nevyvážených sil: g F i < ε Kritérium přírůstku deformací v iteraci: u i,j u i < ε Kde ε je číslo vyjadřující požadovanou přesnost (např. ε = 0, 00001). Norma vektoru (opakování z matematiky): funkce přiřazující nenulovému vektoru kladné reálné číslo. Například Euklidovská norma vektoru u: u = n u 2 i i=1 53

Metoda délky oblouku (1) Přírůstkově iterační metoda Umožňuje vyšetřovat konstrukce po dosažení maximální únosnosti: Geometricky nelineární úlohy Porušování betonu... Výpočet je řízen na základě vztahu norem vektorů zatížení F a deformace u Varianta (vylepšení) Newtonovy Raphsonovy metody 54

Metoda délky oblouku (2) R go ( ro, or ) R Používá se silové zatížení F automatické určování velikosti násobitele zatížení v závislosti na aktuální deformaci: K r F i = λ F R ro ro r r l r F r Pokud se λ automaticky zvyšuje, je výpočet řízen přírůstky zatížení, jde tedy o Newtonovu Raphsonovu metodu. Pak ovšem může dojít k tomu, že při určité úrovni zatížení se hladina λr neprotne se zatěžovací dráhou. V další textu bude u značeno jako r a F bude R 55

Metoda délky oblouku (3) 56

R go ( ro, or ) R Wempner a Riks navrhli řízení výpočtu pomocí přírůstků délky oblouku zatěžovací dráhy s = ds. Diferenciál délky oblouku lze zapsat ve tvaru: ds = dr T dr + dλ 2 ψ 2 R T R, (10) R l K r F kde ψ je parametr určující poměr vlivu vektoru deformací r a vektoru zatížení R na řízení výpočtu. Rovnici (10) je možno přepsat do přírůstkového tvaru: ro ro r r r r a = r T r + λ 2 ψ 2 R T R l 2 = 0. (11) Oproti Newtonově Raphsonově metodě je třeba určovat navíc ještě neznámou λ. Je tedy třeba použít jak soustavy n rovnic (K r = λ R), tak rovnice (11).

Metoda délky oblouku (4) R ( ro, or ) Vektor deformací r lze rozvinout do Taylorovy řady: go R K r g g 0 + g ( ) T λ δλ + r gt δr = g 0 + R δλ K (r 0 ) δr = O.(12) R Stejně lze rozvinout do Taylorovy řady a: ro ro r r l r F a a 0 + 2 r T 0 δr + 2 λ 0 δλψ 2 R T R = 0, (13) přičemž hodnotu a 0 lze stanovit z (11) dosazením r = r 0 a δλ = δλ 0 : r a 0 = r T 0 r 0 + λ 2 0 ψ2 R T R l 2. (14) 57

Metoda délky oblouku (5) R go R ro ro r r ( ro, or ) l r R K r F r Rovnice (12) a (13) je možno přepsat do tvaru [ K R ] { δr δλ } { g0 = a 0 2 r T 0 2 λ 0 ψ 2 R T R (15) Z rovnice (15) lze v každé iteraci vypočítat změnu jak r, tak λ. Matice soustavy však v uvedené podobě zjevně není pásová a je i nesymetrická. Proto se obvykle uvedený vztah pro řešení nelineárních úloh metodou délky oblouku nepoužívá a raději se přistupuje k různým dalším úpravám, které řešení soustav rovnic (15) převede na řešení soustav rovnic se symetrickou maticí levých stran, i když to obvykle znamená složitější vícekrokový postup. výpočtu 58 }.

Metoda délky oblouku (6) R go R ro ro r r ( ro, or ) l r R K r F r Obvyklým obratem je rozdělení vektoru deformace δr na část reprezenzující deformace vyvolané nevyváženými silami, a na deformace vyvolané vnitřními silami v konstrukci: δr = K 1 g o + δλk 1 R = δr + δλ δr t. (16) Násobitel zatížení může být získán z rovnice (17): λ = λ o + δλ. (17) Velikost změny deformace během kroku výpočtu je možné obdržet z rovnice (18): r = r o + δr + δλδr t. (18) 59

Metoda délky oblouku (7) Neznámá δλ může být na základě předchozích vztahů stanovena z rovnice: R go R ( ro, or ) l R K r kde: a 1 δλ 2 + a 2 δλ + a 3 = 0, (19) a 1 = δr T δr t + ψ 2 R T R, a 2 = 2δr t ( r o + δr) + 2ψ 2 R T R, (20) a 3 = ( r o + δr) T ( r o + δr) l 2 + λ 2 oψ 2 R T R. ro ro r r r F r Tzv. sférická metoda délky oblouku K získání dvou kořenů rovnice (19) je třeba provádět ještě další zde neuvedené operace pro stanovení správného kořenu. Metoda není v některých úlohách stabilní. 60

Metoda délky oblouku (8) R ( ro, or ) Tzv. linearizovaná metoda délky oblouku : go R R K r a o δλ = 2 + r T o δr r o δr t + λ o ψ 2 R T R. (21) ro ro r r l r F Běžně využívaná v komerčních SW (ANSYS, Atena,...) Parametr ψ... vliv zatěžovacího vektoru na řízení přírůstkového výpočtu (u geometricky nelineárních úloh může být výhodné ψ = 0). r 61

Ukázka výpočtu (1) Fyzikálně nelineární výpočet stěny 1 2 162 161 160 159 158 157 156 155 154 153 152 151 150 149 148 147 146 145 144 143 142 141 140 139 138 137 136 135 134 133 132 131 130 129 128 127 126 125 124 123 122 121 120 119 118 117 116 115 114 113 112 111 110 109 108 107 106 105 104 103 102 101 100 99 98 97 96 95 94 93 92 91 90 89 88 87 86 85 84 83 82 81 80 79 78 77 76 75 74 73 72 71 70 69 68 67 66 65 64 63 62 61 60 59 58 57 56 55 54 53 52 51 50 49 48 47 46 45 44 43 42 41 40 39 38 37 36 35 34 33 32 31 30 29 28 27 26 25 24 23 22 21 20 19 18 17 16 15 14 13 12 11 10 9 8 7 6 5 4 3 20. 03. 2008 CS: CART Time: 1 ufem 0.2.30 x z y 62

Ukázka výpočtu (2) Fyzikálně nelineární výpočet stěny (pokles tuhosti) ufem 0.2.30 Result: 28 Time: 39.0000 2.000000e+10 1.750000e+10 1.500000e+10 1.250000e+10 1.000000e+10 7.500000e+09 5.000000e+09 2.500000e+09 0.000000e+00 0.000000e+00 0.000000e+00 0.000000e+00 0.000000e+00 0.000000e+00 0.000000e+00 0.000000e+00 0.000000e+00 y z x 20. 03. 2008 63

Ukázka výpočtu (3) Fyzikálně nelineární výpočet stěny (metoda délky oblouku) 1.2 1 0.8 relative load F [-] 0.6 0.4 0.2 8x4 16x8 18x9 0 0 5e-05 0.0001 0.00015 0.0002 0.00025 0.0003 vertical displacement w [m] 64