MODELOWANIE ZMIENNOŚCI CEN AKCJI MODEL ADDYTYWNY MODEL MULTIPLIKATYWNY

Modele zmienności aktywów z czasem dyskretnym / Model addytywny Przyjmijmy następujące oznaczenia: S(0) - cena początkowa akcji S(k) - cena akcji w k-tym etapie u(k), k= 0,,, n ciąg niezależnych zmiennych losowych o jednakowej wartości oczekiwanej μ oraz o tej samej wariancji równej σ. Będziemy go interpretować jako losowe fluktuacje.

Model addytywny Rozważmy model ceny aktywu postaci () S(k+) = a S(k) + u (k) Gdzie u(k) losowe fluktuacje, k=0,,,... zaś a jest pewną dodatnią liczbą rzeczywistą, decydującą o trendzie głównym. Dla a > trend główny jest wzrostowy. Znając wartości u(0),...,u(n) można wyznaczyć S(), S(),,S(n). W tym modelu cena akcji w dowolnym momencie zależy wyłącznie od ceny w momencie go poprzedzającym i od losowej fluktuacji.

Model addytywny Ze wzoru () otrzymujemy S() = as(0) + u(0), S() = as() + u() = a[as(0) + u(0)] + u()= = a S(0) + au(0) + u() S(3) = as()+u() = a [a S(0) + au(0) + u()] +u()= = a 3 S(0) + a u(0) + au() + u() Uwaga. Dla dowolnego k cena S(k) dana jest wzorem: () S(k) = a k S(0) + a k- u(0) + a k- u() + +a u(k-) + u(k-).

Model addytywny Rzeczywiście, dla k = wzór jest prawdziwy (z definicji modelu). Zakładając prawdziwość dla k, z ciągu równości : S(k+) = a S(k) + u (k)= a[a k S(0) + a k- u(0) + a k- u() + +a u(k-) + u(k-)] + u (k)= = a k+ S(0) + a k u(0) + a k- u() + +a u(k-) + au(k-) + u (k) oraz indukcji matematycznej wynika prawdziwość wzoru ()

Model addytywny. Wartość oczekiwana Wartość oczekiwana zmiennej S(k). Z elementarnych własności wartości oczekiwanej oraz z założenia E[u(k)] = μ dla każdego k mamy E[S(k)] = E( a k S(0) + a k- u(0) + a k- u() + + au(k-) + u(k-))= = a k E[S(0)] + a k- E[u(0)] + a k- E[u()] + +ae[u(k-)]+e[u(k-)] = a k S(0) + a k- μ + a k- μ + +a μ + μ E[S(k)] = a k S(0) + μ(-a k )/(-a), o ile a jest różne od albo E[S(k)] = S(0) + k μ, gdy a =

Model addytywny. Wariancja ceny Korzystając z podstawowych własności wariancji oraz założenia niezależności zmiennych losowych otrzymujemy Var [S(k)] = Var [a k S(0) + a k- u(0) + a k- u() + + u(k-)] = = Var [a k- u(0) + a k- u() + + u(k-)] = = Var [a k- u(0)] + Var[a k- u()] + +Var[u(k-)] = = (a k- ) Var [u(0)]+ (a k- ) Var [u()]+ + a Var [u(k-)] + +Var [u(k)] = = a (k-) σ + a (k-) σ + +a σ +σ = = (+a +a 4 + +a k- ) σ = σ (- a k ) / (- a ), gdy a różne od Var [S(k)] = k σ, dla a =

Model addytywny. Przykład Rozważmy 300 etapową symulację w modelu addytywnym. Cena początkowa akcji: 00 zł, a =, fluktuacje w każdym etapie są liczbami losowymi z przedziału (-5 zł, 5 zł).

3 5 37 49 6 73 85 97 09 33 45 57 69 8 93 05 7 9 4 53 65 77 89 Model addytywny. Przykłady symulacji Model addytywny; a=, fluktuacje z przedziału (-5,5) (9 symulacji) 00 50 00 50 0-50 nr etapu

3 5 37 49 6 73 85 97 09 33 45 57 69 8 93 05 7 9 4 53 65 77 89 30 Jednakowe prawdopodobieństwa wzrostu i spadku. Losowe wahanie z przedziału (0;) o przeciętnej wartości równej 0,5 70 65 60 55 50 45 40 35 30

6 3 46 6 76 9 06 36 5 66 8 96 6 4 56 7 86 Jednakowe prawdopodobieństwa wzrostu i spadku. Losowe wahanie z przedz. (0;) 00 90 80 70 60 50 40 30 0 0 0

3 5 37 49 6 73 85 97 09 33 45 57 69 8 93 05 7 9 4 53 65 77 89 Jednakowe prawdopodobieństwa wzrostu i spadku. Losowe wahanie z przedz. (0; ) Histogram częstości 00 0 90 80 9 8 70 60 50 40 30 0 0 0 7 6 5 4 3 0 4 6 8 0 4 6

3 5 37 49 6 73 85 97 09 33 45 57 69 8 93 05 7 9 4 53 65 77 89 Prawdopodobieństwo wzrostu,5 razy większe niż spadku. Losowe wahanie z przedziału (0; ) 5 05 95 85 75 65 55 45 35 5

3 5 37 49 6 73 85 97 09 33 45 57 69 8 93 05 7 9 4 53 65 77 89 Prawdopodobieństwo wzrostu,5 razy większe niż spadku. Losowe wahanie z przedziału (0; ) Wykres oczekiwanej wartości czerwona prosta 5 05 95 85 75 65 55 45 35 5

3 5 37 49 6 73 85 97 09 33 45 57 69 8 93 05 7 9 4 53 65 77 89 30 Model addytywny; a =,0 fluktuacje z przedziału (-5,5) (8 symulacji) 500 300 00 900 700 500 300 00 900 700 500 300 00-00

Model addytywny (przypadek a=). Zmienne losowe u(k) o rozkładzie dwupunktowym S(k+) = S(k) + u (k) u(k) mają rozkład dwupunktowy, k=0,,,...tzn. u(k) = σ lub u(k) = - σ, ( σ > 0 ) z jednakowymi prawdopodobieństwami S(n) = S(0) + u (0) + u () + + u (n-) S n = u (0) + u () + + u (n-) S(n) = S(0) + S n S n wyraża zmianę ceny po n etapach Wtedy: E[u (i)] = 0 Var [u (i)] = 0,5(σ-0) + 0,5(-σ-0) = σ E[S n ]= 0 Var S n = Ʃ n i= Var [u (i)] = n σ Wzór na wariancję wynika z niezależności ciągu zmiennych losowych (u(i)). Z elementarnych własności wartości oczekiwanej i wariancji otrzymujemy E[S(n)]= S(0) Var S(n) = n σ Oznaczając przez σ n odchylenie standardowe zmiennej S n, mamy σ n = σ n

Centralne twierdzenie graniczne Standaryzacja zmiennej losowej S n S * n = (S n -E(S n ))/σ n Uwzględniając poprzednie wyliczenia S * n= S n / σ n TW (CTG) Niech (X n ) będzie ciągiem niezależnych zmiennych losowych o jednakowych rozkładach (niekoniecznie dwupunktowych) oraz E X i = m, Var X i = σ dla i=,,n. S n = X + X + + X n. Wtedy (8) lim n Sn mn x P { a b} exp( ) dx n b a (9) lim n * x P { a Sn b} exp( ) dx b a

W przypadku m = 0 mamy W szczególności b a n n dx x b n S a P ) exp( } { lim 0,9545 ) exp( } { 0,687 ) exp( } { ) exp( } { lim ) exp( } { lim dx x n S n P ponadto dx x n S n P czyli dx x n S n P dx x n S P n n n n n n

Przykład Kurs kontraktu futures na WIG0 ma 600 pt. Zakładamy, że każdego dnia kurs ma taką samą szansę na wzrost co na spadek o 0 punktów. W jakim przedziale znajdzie się z prawdopodobieństwem 0,9545 kurs tego kontraktu po 30 dniach?, (po 50?, po 00?) Zastosujemy centralne twierdzenie graniczne a w szczególności wykorzystamy przybliżenie P{ n S n} Ponieważ σ = 0, n=30 mamy więc n x exp( Otrzymaliśmy przedział na zmianę ceny, zatem uwzględniając S(n) = S(0) + S n mamy P{ 0 30 S 0 30} n 0,9545 P{ 490,46 S(30) 709,54} ) dx 0,9545 0,9545

Przykład Dla 50 i 00 dni mamy odpowiednio P{ n Sn n} 0,9545 P{ 0 50 S 50 P{ 0 00 S 0 50} P{458,58 S(50) 74,4} 00 0 00} P{400,00 S(00) 800,00}

Przykład Zależność w ielkości przedziału dw óch sigm od liczby dni 3500,00 3000,00 500,00 000,00 500,00 000,00 500,00 0,00 dolny kraniec przedziału górny kraniec przedziału 0 30 50 70 90 0 30 50 70 liczba dni

Model addytywny. Uwagi Mimo swej prostoty i łatwości stosowania model addytywny nie zawsze nadaje się do stosowania go w rzeczywistości. Zmienne u(k) mogą przyjmować wartości ujemne, co oznacza, że model dopuszcza ujemne wartości cen akcji, co jest niemożliwe. Model ten nadaje się do analizy w krótkich okresach i stał się podstawą do zbudowania wielu innych modeli.

Model multiplikatywny Rozważmy model zmienności cen aktywów w którym nowa cena powstaje ze starej przez pomnożenie przez pewien losowy czynnik. (3) S(k+) = u(k)s(k) dla k = 0,,..., n. Zakładamy, że dana jest cena początkowa S(0) oraz że zmienne losowe u(k), k = 0,,...,n -, są dodatnie, mają jednakowe wartości oczekiwane oraz jednakowe wariancje.

Model multiplikatywny Logarytmując (3) stronami: ln S(k+l) = ln S(k) + ln u(k) dla k =,,...,n -. Uwaga. Uzyskana postać jest jedną z form modelu addytywnego - wartości ln S(k) są modelowane addytywnie ze stałą a = Oznaczmy w(k) = ln u(k) Losowe fluktuacje są wyrażone w formie logarytmu naturalnego z u(k). Załóżmy dalej, że ciąg {w(k)} jest ciągiem niezależnych zmiennych losowych o jednakowych rozkładach. Niech wartość oczekiwana każdej z nich wynosi μ zaś wariancja σ.

Model multiplikatywny Korzystając z modelu (3) cena aktywa w chwili k dana jest wzorem S(k) = u(k-)u(k-) u(0)s(0). Po zlogarytmowaniu obu stron ln S( k) ln S(0) k i0 ln u( i) ln S(0) k i0 w( i)

Model multiplikatywny Jeśli wszystkie zmienne w(i) mają tę samą wartość oczekiwaną μ i wariancję σ oraz są niezależne, to korzystając z własności wartości oczekiwanej i wariancji sumy niezależnych zmiennych losowych możemy zapisać: E [ln S(k)] = ln S(0) + μk Var [lns(k)] = k σ. Łatwo zauważyć, że zarówno wartość oczekiwana jak i wariancja rosną proporcjonalne do k.

Model multiplikatywny, dwumianowy Zakładamy, że w każdym okresie cena akcji może obniżyć się lub wzrosnąć, zawsze w tej samej proporcji, czyli u( k) u, d, gdzie gdzie u 0 d przy czym pierwsza z tych wartości jest przyjmowana z prawdopodobieństwem p a druga z (-p)

Drzewo cen w modelu multiplikatywnym, dwumianowym (4 etapy, S cena początkowa)

Ceny końcowe w modelu multiplikatywnym dwumianowym, n-etapowym Ze wzoru (3) wynika, że możliwe ceny końcowe muszą mieć postać S u k d n-k, gdzie k = 0,,,n. Na drzewie cenowym istnieje różnych dróg prowadzących do węzła identyfikowanego z ceną Su k d n-k, gdyż każda droga jest jednoznacznie scharakteryzowana przez n-wyrazowy ciąg (u,u,d,u,,d,u), zawierający k liter u oraz (n-k) liter d. n k

Ceny końcowe w modelu multiplikatywnym dwumianowym, n-etapowym Prawdopodobieństwo każdej takiej drogi jako koniunkcji zdarzeń niezależnych - wynosi p k (-p) n-k Zatem prawdopodobieństwo ceny końcowej Su k d n-k wynosi n k p k ( p) nk

Przykład modelu multiplikatywnego, dwumianowego zmiana współcz. zmiany prawdopodo bieństwo up 0%,0 0,5 down 5% 0,85 0,5 cena początko wa akcji 00

Drzewo cen akcji w modelu multiplikatywnym, dwumianowym (0 etapów) k 3 4 5 6 7 8 9 0 69,7 55,98 49,98 438,58 358,3 365,48 98,60 304,57 30,66, u współczynnik wzrostu 48,83 53,8 58,88 0,85 d współczynnik spadku 07,36,5 5,74 0,05 7,80 76,6 79,78 83,38 44,00 46,88 49,8 5,8 55,87 0,00,40 4,85 7,34 9,89 00,00 0,00 04,04 06, 08,4 0,4 85,00 86,70 88,43 90,0 9,0 7,5 73,70 75,7 76,67 78, 6,4 6,64 63,89 65,7 5,0 53,4 54,3 55,40 44,37 45,6 46,6 37,7 38,47 39,4 3,06 3,70 7,5 7,79 3,6 9,69

Ceny akcji w modelu multiplikatywnym, dwumianowym (0 etapów) 3 4 5 6 7 8 9 0 00 0,00 44,00 7,80 07,36 48,83 98,60 358,3 49,98 55,98 69,7 85,00 0,00,40 46,88 76,6,5 53,8 304,57 365,48 438,58 7,5 86,70 04,04 4,85 49,8 79,78 5,74 58,88 30,66 3 6,4 73,70 88,43 06, 7,34 5,8 83,38 0,05 4 5,0 6,64 75,7 90,0 08,4 9,89 55,87 5 44,37 53,4 63,89 76,67 9,0 0,4 6 37,7 45,6 54,3 65,7 78, 7 3,06 38,47 46,6 55,40 8 7,5 3,70 39,4 możliwe ceny koncowe 9 3,6 7,79 po 0 etapach 0 9,69

Ceny końcowe akcji w modelu 0-etapowym oraz prawdopodobieństwo ich uzyskania wartosć końcowa akcji prawdopodo bieństwo liczba wzrostów 0,0009766 69,7 zł 0 0 0,0097656 438,58 zł 9 0,0439453 30,66 zł 8 0,7875 0,05 zł 7 3 0,05078 55,87 zł 6 4 0,460938 0,4 zł 5 5 0,05078 78, zł 4 6 0,7875 55,40 zł 3 7 0,0439453 39,4 zł 8 0,0097656 7,79 zł 9 0,0009766 9,69 zł 0 0 liczba spadków

p-stwo Wykres p-stw a ceny końcow ej akcji 0,3000 0,500 0,000 0,500 0,000 0,0500 0,0000 - zł 00,00 zł 00,00 zł 300,00 zł 400,00 zł 500,00 zł 600,00 zł 700,00 zł cena

p-stwo Wykres p-stw a ceny końcow ej akcji skala osi X - logarytmiczna 0,3000 0,500 0,000 0,500 0,000 0,0500 0,0000,00 zł 0,00 zł 00,00 zł 000,00 zł cena

Model dwumianowy Symulacja u, d 0,9 p-stwo zwyżki 0,6 p-stwo zniżki 0,4

Model dwumianowy. Symulacja ceny dla 304 etapów. Różne prawdopodobieństwa wzrostu i spadku D E F G 5 u, 6 d 0,9 7 p-stwo zniżki 0,4 8 p-stwo zwyżki 0,6 9 0 Numer etapu LICZBA LOSOWA CENA AKCJI (symulowana) teoretyczna (oczekiwana) wartość ceny akcji JEŻELI(E5<G$7;F G$7*G$6*G4+G LOS() 4*G$6;F4*G$5) $8*G$5*G4 3 0 00,00 zł 00,00 zł 4 0,79405858 0,00 zł 0,00 zł 5 0,7057079778,00 zł 04,04 zł 6 3 0,4839575 08,90 zł 06, zł 7 4 0,4540308593 9,79 zł 08,4 zł 8 5 0,66530099 3,77 zł 0,4 zł 9 6 0,455843400 44,95 zł,6 zł 0 7 0,79054330 30,45 zł 4,87 zł 8 0,3609674757 7,4 zł 7,7 zł 9 0,945690500 9,5 zł 9,5 zł 3 0 0,074869 6,3 zł,90 zł 4 0,483338005 7,86 zł 4,34 zł

Oczekiwana wartość ceny w (n+)- szym kroku S 0 =00 (cena początkowa) ES n - oczekiwana wartość ceny po n tym krokach ES n+ = (, ES n ) 0,6 + (0,9 ES n ) 0,4 = =,0 ES n Ciąg (ES n ) jest ciągiem geometrycznym o ilorazie,0

8 55 8 09 36 63 90 7 44 7 98 Model dwumianowy. Symulacja ceny CENA AKCJI: SYMULACYJNA I TEORETYCZNA 40 000,00 zł 35 000,00 zł 30 000,00 zł 5 000,00 zł 0 000,00 zł 5 000,00 zł 0 000,00 zł 5 000,00 zł - zł

8 55 8 09 36 63 90 7 44 7 98 CENA AKCJI: SYMULACYJNA I TEORETYCZNA 60 000,00 zł 50 000,00 zł 40 000,00 zł 30 000,00 zł 0 000,00 zł 0 000,00 zł - zł

5 9 43 57 7 85 99 3 7 4 55 69 83 97 5 39 53 67 8 95 80000 60000 40000 0000 00000 80000 60000 40000 0000 0

Model dwumianowy. Rozkład prawdopodobieństwa ceny końcowej dla 304 etapów nr wiersza P$7*G$5^R4*G$6^S4 ROZKŁAD.DWUM(R4;304;G$8;FAŁSZ) p-stwo cena koncowa akcji (po 304 etapach) liczba wzrostów liczba spadków składniki wartości oczekiwanej ceny 4 3,6393E-68 383 56 579 95 95,00 304 0 0,00 zł 5 7,344E-66 33 49 747 33 45,00 303 0,00 zł 6 7,39748E-64 56 493 47 736 430,00 30 0,00 zł 7 4,96453E-6 09 858 784 35,00 30 3 0,00 zł 8,49054E-60 7 70 09 459 94,00 300 4 0,00 zł 9 9,966E-59 40 483 59 376 30,00 99 5 0,00 zł 0 3,30965E-57 4 94 069 489 70,00 98 6 0,00 zł 9,393E-56 94 04 693 8 846,60 97 7 0,00 zł,3479e-54 76 944 0 74 50,90 96 8 0,00 zł 3 5,0973E-53 6 954 99 59 78,60 95 9 0,00 zł 4,0047E-5 5 507 98 485 003,0 94 0 0,00 zł 5,7863E-50 4 4 893 94 75,30 93 0,00 zł 6,90758E-49 34 480 549 589 34,30 9 0,00 zł

PRAWDOPODOBIEŃSTWO TEORETYCZNY ROZKŁAD CENY AKCJI 0,05 0,045 0,04 0,035 0,03 0,05 0,0 0,05 0,0 0,005 0 0 50 000 00 000 50 000 00 000 50 000 300 000 350 000 400 000 450 000 500 000

PRAWDOPODOBIEŃSTWO TEORETYCZNY ROZKŁAD CENY AKCJI 0,05 0,045 0,04 0,035 0,03 0,05 0,0 0,05 0,0 0,005 0 0 0 0 00 000 0 000 00 000 000 000

0,05 0,045 0,04 0,035 0,03 0,05 0,0 0,05 0,0 0,005 0 0,00E+00,00E+06 4,00E+06 6,00E+06 8,00E+06,00E+07,0E+07,40E+07,60E+07,80E+07,00E+07,00E-0 0,05 0,045 0,04 0,035 0,03 0,05 0,0 0,05 0,0 0,005 0,00E+00,00E+0,00E+0,00E+03,00E+04,00E+05,00E+06,00E+07,00E+08