(tylko) Konspekt wyk ladu Algebra I : Pierścienie

(tylko) Konspekt wyk ladu Algebra I : Pierścienie http://duch.mimuw.edu.pl/%7eaweber v.22.1.2015 Notatki zawieraja odsy lacze do podre czników [AMcD] M. F. Atiyah, I. G. MacDonald, Introduction To Commutative Algebra (wiele wydań) [BB] A. Bia lynicki-birula, Zarys algebry, Bibl.Mat. 63, PWN, Warszawa 1987 [BT] A. Bojanowska, P. Traczyk, Algebra I (skrypt) http://www.mimuw.edu.pl/%7eaboj/algebra/algnowa13.pdf [Br] J. Browkin, Teoria cia l, Bibl.Mat.49, PWN, Warszawa 1977 [Is] I. M. Isaacs, Algebra: A Graduate Course 1 Pierścienie 1.1 Definicja pierścienia przemiennego z 1. 1.2 Jedyność jedynki, a 0 = 0 1.3 Pierścień liczb cakowitych Z i pierścień reszt z dzielenia przez m, Z m. 1.4 Niektóre elementy definicji pierścienia bywaja opuszczane (przemienność, jedynka, a nawet czasami la czność mnożenia). 1.5 Macierze kwadratowe nad ustalonym cia lem. (pierścień nieprzemienny) 1.6 Pierścień grupowy (pólgrupowy). Splot funkcji na grupie. (nieprzemienny jeśli grupa nieprzemienna) 1.7 Funkcje na przestrzeni topologicznej o nośniku zwartym C c (X). (nie ma 1 jeśli X nie jest zwarta) 1.8 Inne pierścienie bez jedynki: funkcje zbiegaja ce do 0 w nieskończoności C 0 (X), fukcje szybko gasna ce na R. 1.9 Podpierścień. Podpierścienie Q: - Z[1/p], - Z (p) 1.10 Pierścień wielomianów k[x], pierścień szeregów formalnych k[[x]], pierścień szeregów Laurenta k((x)), k[ɛ], ɛ 2 = 0 1.11 Pierścień funkcji wielomianowych na podzbiorze V K n (w przysz lości Nullstellensatz) 1.12 Pierścień liczb p-adycznych Z p Z p... Z p n+1 Z p n... Z p 2 Z p 0 1.13 Pierścienie funkcji (cia g lych, g ladkich, ograniczonych) 1.14 Elementy odwracalne, elementy nierozk ladalne. 1.15 Dzielniki zera, dziedzina = dziedzina ca lkowitości = pierścień bez dzielników zera. 1

Homomorfizmy pierścieni 1.16 Homomorfizmy pierscieni z 1, izomorfizm, homomorfizm Z w Z m oraz ewaluacja wielomianów: R[x] R, f f(a). 1.17 Ja dro homomorfizmu, idea l 1.18 Iloraz przez idea l R/I 1.19 Idea ly pierwsze, idea ly maksymalne, idea ly g lówne 1.20 Idea l g lówny (n) Z dla n N, n > 1 jest pierwszy wtedy i tylko wtedy gdy n jest liczba pierwsza. 1.21 Twierdzenie: idea l I w A jest pierwszy (odp. maksymalny) A/I jest dziedzina (cia lem). 2 Pieścienie, idea ly I maksymalny, [a] R/I nie jest odwracalny to (I, a) = I + Ra jest w lściwym idea lem a J \ I, J R, to [a] R/I jest nieodwracalny, 0 2.1 Operacje na idea lach: przecie cie, suma wste puja ca, (I J) = I + J, 2.2 Ćwiczenie: przeciwobraz, obraz idea lu? 2.3 Idea l jest niew laściwy (I = R) wtedy i tylko wtedy gdy 1 I. 2.4 Każdy idea l maksymalny jest pierwszy bo cia lo jest bez dzielników zera. 2.5 Twierdzenie: każdy idea l w laściwy jest zawarty w pewnym ideale maksymalnym. 2.6 Cia la maja wy la cznie trywialne idea l 2.7 Ćwiczenie: Każdy homomorfizm cia l do niezererowego pierścienia jest w lożeniem. 2.8 R jest cia lem wtedy i tylko wtedy gdy 0 jest idea lem maksymalnym. 2.9 R jest bez dzielników zera wtedy i tylko wtedy gdy 0 jest idea lem pierwszym. 2.10 Jeśli R zawiera tylko jeden idea l w laściwy, to R jest cia lem. 2.11 0 = 1 R = {0}. 2.12 (Uzupe lnienia) Uniwersalna w lasność ilorazu. Twierdzenie o izomorfizmie im(f) = R/kef(f). 2.13 A podpierścień R, I idea l w R (piszemy I R), wtedy I A A, A + I podierścień R, oraz A/(I A) (A + I)/I 2.14 Uniwersalna w lasność pierścienia wielomianów: każdy homomorfizm pierścieni R S można jednozniacznie przed lużyć do homomorfizmu R[x 1, x 2,..., x n ] S przy zadanych wartościach na x i. 2

2.15 Podpierścienie generowane przez podzbiór np k[x 2, y 2 ] 2.16 Idea ly generowane przez podzbiór 2.17 np (s+t 2s 2, s t) k[s, t] czy tu iloraz jest cia lem? To samo pytanie dla szeregów formalnych? 2.18 Niech S R R n be dzie stożkiem wypuk lym. Pierścień pó lgrupowy k[s], dla S = S R Z n. 2.19 Przyk lad: S R = {a(1, 1) + b( 1, 1) R 2 : a, b 0}. k[s] k[u, v, w]/(uv w 2 ) 3 Podzielność 3.1 Typy elementów: odwracalne (jedności), dzielniki zera, nilpotenty, elementy pierwsze, elementy nierozk ladalne, idempotenty a 2 = a. odwracalne elementy nie sa dzielnikami zera, elementy pierwsze sa nierozk ladalne. 3.2 Nilradyka l pierścienia n R to zbiór elementów nilpotentnych. n jest idea lem. R/n nie ma elementów nilpotentnych. 3.3 Ćwiczenie: R zawiera dok ladnie jeden idea l pierwszy wtedy i tylko wtedy, gdy każdy jego element nieodwracalny jest nilpotentny. 3.4 Ćwiczenie: Idea l Jacobsona = idea ly maksymalne. x J y R 1 xy jest odwracalny. 3.5 Jeśli a idempotent to R = ar (1 a)r oraz ar i (1 a)r sa pierścieniami. (Nie podpierścieniami, bo jedynka w ar nie jest jedynka w R. Za to rzutowanie na ar jest homomorfizmem pierścieni.) 3.6 Relacja stowarzyszenia. Podzielność to relacja porza dku na R/ (dla pierścieni bez dzielników zera). NW D(a, b) = c w jezyku relacji porza dku oznacza ([d] [a] [d] [b]) [d] [c]. 3.7 NWD. Przyk lad bez NWD: R = Z[ 3], a = 4 = 2 2 = (1 + 3)(1 3), b = 2 (1 + 3) 3.8 W Z[ 3] liczba 2 jest nierozk ladalna, ale nie jest pierwsza: 2 4 = (1 + 3)(1 3) i nie dzieli czynników. 3.9 Elementy nierozk ladalny a spe lnia a = bc to b lub c jest odwracalny. Tzn a c lub a b. 3.10 Pierścienie bez dzielników zera i z jednoznacznościa rozk ladu, w skrócie DJR, ang UFD. Np Z, k[x 1, x 2,... x n ]. Konrtprzyk lad k[x 2, x 3 ] = k[s, t]/(s 3 t 2 ), Z[ 3]. 3.11 Z i k[x] sa DJR. (Be dzie tw Gaussa: A DJR to A[x] DJR.) 3.12 R jest DJR ( ) każdy cia g idea lów g lównych (a 1 ) (a 2 ) (a 3 ) (a 4 )... stabilizuje sie. ( )=ACC=ascending chain condition 3

3.13 ( ) każdy element rozk lada sie na nierozk ladalne. 3.14 W DJR ( ) każdy nierozk ladalny element jest pierwszy, tzn idea l (a) jest pierwszy. (a bc to a wyste puje w rozk ladzie bc, wie c a b lub a c.) 3.15 ( ) i ( ) R jest DJR. 3.16 DIG = Dziedzina idea lów g lównych. Przyk lad Z, k[x]. Kontrprzyk lad: (x, y) k[x, y] nie jest g lówny. 3.17 DIGi sa DJRami: ( ) jest spe lnione, bo (a i ) = (b) i b (a i ), ( ) (a) m = (b), gdy a nierozk ladalny, to a b. (dodatkowo dostaliśmy, że (a) jest maksymalny.) 3.18 Najwie kszy wspólny dzielnik podzbioru A R w DIGu to taki element b, że (A) = (b). 3.19 Pierścienie Euklidesowe: to pierścienie z dzieleniem z reszta. Dana waluacja v : R N, taka, że v(ab) = v(a)v(b) oraz dla każdego a, b R istnieja c, r R takie, że a = bc + r i v(r) < v(b). Naogól piszemy a zamiast v(a). 3.20 Algorytm Euklidesa tak jak w Z. Najwie kszy wspólny dzielnik, jako wynik algorytmu. 3.21 Wykorzystanie algorytmu Euklidesa do przedstawienia N W D(a, b) jako ca + bd. Zastosowanie: liczenie odwrotności w Z[Z n ]. 3.22 Przyka dy: Z[ d], v(a + db) = a 2 db 2 dla d = 2, 1, 2, 3 (w tym napisie x oznacza zwy la wartość bezwzgla dna w Z). 4 Cia la, wielomiany i lokalizacja 4.1 Liczby Gaussa Z[i]. Elementy pierwsze w Z[i] to dzielniki liczby pierwszej p Z. Ponadto p jest rozk ladalna w Z[i] wtedy i tylko wtedy gdy p = a 2 + b 2. Jeśli p = 4k + 1 to p rozk ladalna (dow. (p 1)! p 1, p ((2k)!) 2 + 1 = ((2k)! + i)((2k)! i), ale p (2k)! + i wie c p nie jest elementem pierwszym.) 4.2 Jeśli f k[x] nierozk ladalny, to k[x]/(f) jest cia lem. (Bo k[x] jest DIGiem, wie c element nierozk ladalny generuje idea l maksymalny.) 4.3 Twierdzenie: f w k[x] jest nierozk ladalny k[x]/(f) jest cia lem. 4.4 Wniosek: pierścień ilorazowy k[x]/(f) jest cia lem zawieraja cym k, w którym f ma pierwiastek. 4.5 Przyk lady: C = R[x]/(x 2 + 1), F 4 = Z 2 [x]/(x 2 + x + 1), F 9 = Z 3 [x]/(x 2 + x 1), F 27 = Z 3 [x]/(x 3 x + 1). 4

4.6 Jeśli f k[x] jest nierozk ladalny stopnia n, to cia lo k[x]/(f) jako przestrzeń liniowa nad k ma wymiar n. 4.7 W ciele p n -elementowym każdy element 0 spe lnia tożsamość x pn 1 = 1, zatem wielomian x pn x rozk lada sie na p n różnych czynników liniowych (z tw Bezout). 4.8 Przyk lad p = 3, n = 2: f = x 9 x = (x 3 x)(1 + x 2 + x 4 + x 6 ). Pierwszy czynnik ma pierwiastki w F 3, drugi w F 9 F 3. Rozk ladamy dalej f = x 9 x = (x 3 x)(x 2 + 1)(x 4 + 1) 3 (x 3 x)(x 2 + 1)(x 2 + x 1)(x 2 x 1) = (x 3 x)f 1 f 2 f 3. Cia lo F 3 [x]/(f 1 ) ma 9 elementów, wie c w nim wielomian f rozk lada sie na czynniki liniowe. W szczególniości wielomian f 2 ma pierwiastek (nazwijmy go a), wie c przekszta lcenie F 3 [x] F 3 /(f 1 ), x a faktoryzuje sie przez F 3 [x] F 3 [x]/(f 2 ) F 3 [x]/(f 1 ). Przekszta lcenia cia l sa monomorfizmami, wie c licza c ilość elementów wnioskujemy F 3 [x]/(f 2 ) F 3 [x]/(f 1 ). 4.9 Przyk lad: wielomian x 16 x w F 2 faktoryzuje sie x 16 x = x(1 + x)(1 + x + x 2 )(1 + x + x 4 )(1 + x 3 + x 4 )(1 + x + x 2 + x 3 + x 4 ) 2 czynniki liniowe maja pierwiastki w F 2 (dwa pierwiastki), czynnik kwadratowy ma pierwiastki w F 4 \ F 2 (4 2=2 pierwiastki), 3 czynniki stopnia 4 maja pierwiastki w F 8 \ F 4, jest ich 2 4 2 2 = 12 = 3 4 Tak jak poprzednio wykazujemy, że F 2 [x]/(f 1 ) F 2 [x]/(f 2 ) dla f 1 i f 2 różnych czynników stopnia 4. Lokalizacja 4.10 S R system multiplikatywny a, b S ab S. Gdyby 0 S, to dalsza konstrukcja by laby poprawna ale trywialna. Wie c zak ladamy, że 0 S. Np: S = R \ I, gdzie I jest idea lem pierwszym w szczegolności S = R 0 gdy R jest bez dzielników zera S = {a n n N}, gdzie a nie jest nilpotentny. 4.11 Pierścień R S = S 1 R to zbór ilorazowy R S/, (a, s) (b, t), gdy istnieje u S taki, że uat = ubs. Klasa [(a, s)] oznaczana przez a s 4.12 Jesli R bez dzielników zera, to mozna: (a, s) (b, t) gdy at = bs. 4.13 Dla R bez dzielników zera S = R 0 cia lo R S oznaczane jest przez (R). 4.14 k(x) := (k[x]) cia lo funkcji wymiernych o wspó lczynnikach w k. 4.15 Pryzk lady lokalizacji Z: Z (p), Q, Z[1/p]. 4.16 Przekszta lcenie ι : R R S ma ja dro Z(S) = {a s S sa = 0}. (Lokalizacje można zrobić w dwóch krokach: najpierw podzielić przez Z(S), a potem użyć prostszej relacjii 4.12. 4.17 Uniwersalna w lasność: dane przekszta lcenie f : R R, takie że f(s) jest odwracalne. Wtedy istnieje dok ladnie jedno f : R S R takie, że f = fι. 5

5 Wielomiany o wspó lczynnikach w pierścieniu DJR, podzielność 5.1 X przestrzeń topologiczna T 3 1 (tzn przestrzeń Tichonowa, tzn dla dowolnego zbioru domknietego 2 i punktu poza nim istnieje funkcja zeruja ca sie na tym zbiorze i nie zeruja ca sie w danym punkcie), pierścień kie lków w x jest izomorficzny z = C(X, R)/m x 5.2 Pierścienie lokalne i lokalizacja w ideale maksymalnym zbioru domknie tego istnieje fun 5.3 Każdy wielomian dzieli sie z reszta przez (x a). g. 5.4 Ogólniej, jeśli wielomain g ma odwracalny wioda cy wspó lczynnik, to można dzielić z reszta przez 5.5 Tw Bezout f(a) = 0 to f dzieli sie przez x a. 5.6 Wniosek: Jeśli R jest nieskończonym pierścieniem bez dzielników zera, to przekszta lcenie R[x] R R (wielomian f funkcja wielomianowa Za lożenie: od tej pory do kryterium Eisensteina R DJR 5.7 Mówimy, że f = n i=0 a ix i R[x] jest prymitywny, jeśli a i nie maja wspólnych czynników, tzn NW D(a 0, a 1,..., a n ) = 1. Każdy wielomian można przedstawić jako f = a prymitywny. (a nazywane jest zawartość f.) 5.8 Każdy wielomian można przedstawić jako produkt nierozk ladalnych: elementów pierwszych z R i nierozk ladalnych wielomianów prymitywnych. Pokażemy, że to rozk lad na elementy pierwsze w R[x]. 5.9 Jeśli p R jest pierwszy w R, to jest pierwszy w R[x] (redukujemy R[x]/(p) = (R/(p))[x] nie ma dzielników zera). 5.10 Jeśli f, g R[x], f prymitywny. Niech F = (R), f g w F [x]. Wtedy f g w R[x] Dow: cg = fh dla c R, h R[x], za lóżmy, że c ma minimalna ilość czynników pierwszych. Przypuśćmy, że p c, wtedy p h (bo p f). 5.11 Lemat Gaussa: 0 f R[x] i f = gh w F [x], to f = g 0 h 0 w R[x], oraz ag = g 0, bh = h 0. (Wystarczy dla g = g 0 prymitywnego; z poprzedniego punktu.) 5.12 Jeśli f R[x] prymitywny i nierozk ladalny w R[x], to pierwszy. f nierozk ladalny w F [x] (z Gaussa) F [x] jest DIG, wie c tam f jest pierwszy: f gh f g lub f h. Podzielnośś w F [x] implikuje podzielność w R[x]. 5.13 Wniosek: f = x n + + a 0 ma pierwiastek w F [x], to ma pierwiastek w R[x]. 5.14 Wniosek: R[x] jest DJR ( ACC i nierozk ladalne sa pierwsze) 5.15 Wniosek: R[x 1, x 2,..., x n ] jest DJR. 6

5.16 Kryterium Eisensteina: za lożenia f R[x], p a n, p dzieli pozosta le wspó lczynniki wielomianu, ale p 2 a 0. Wtedy f nierozk ladalny w F [x]. po redukcji mod (p) f = ā n x n 0 w R/(p)[x]. Czynniki f = ḡ h, maja zerowe wyrazy wolne. Sta d wyraz wolny f podzielny przez p 2. Pierścienie Noetherowskie: odsy lacz [Eisenbud: Commutative Algebra with a View Toward Algebraic Geometry] 5.17 Pierścienie noetherowskie z definicji: każdy rosna cy cia g idea lów stabilizuje sie. (ACC, nie tylko dla idea lów g lównych.) 5.18 Równoważny warunek: każdy idea l jest skończenie generowany. 5.19 W pierścieniu noetherowskim każdy element można przedstawić jako iloczyn elemntów nierozk ladalnych (niekoniecznie pierwzych, np k[x 2, x 3 ] 5.20 Twierdzenie Hilberta o bazie: R noetherowski, to R[x] noetherowski. Dow. Skonstruujemy zbiór elementów, które generuja dany I. Wybieramy ciaa g f n I i pokazujemy, że dla pewnego n idea l I n = (f 1, f 2,..., f n ) = I. Wielomian f n dobieramy tak: to wielomian o najmniejszym stopniu należa cy do I \ I n 1. Idea l wioda cych wspó lczynników J = (a 1, a 2,... ) = (a 1, a 2,..., a m ). Wielomian f m+1 I \ I m ma wioda cy wspó lczynnik a m+1 = k m b ka k. Biora c kombinacje wielomianów k m b kf k x deg f m+1 deg f m dostajemy wielomian g z wioda cym wspó lczynnikiem a m+1. Wielomian f m+1 g ma niższy stopień niż f m+1 co przeczy wyborowi f m+1. 5.21 Wniosek k[x 1, x 2,..., x n ] jest noetherowski. 6 Zwia zki z geometria 6.1 Pierścień ilorazowy noetherowskiego sa noetheowskie. 6.2 Pierścienie skończenie generowane nad noetherowskim sa noetherowskie. 6.3 k dowolne cia lo, k A pierścień zawieraja cy k = k-algebra. Jeśli A jest skończenie generowany, to dla każdego idea lu maksymalnego m iloraz A/m jest cia lem zawieraja cym k i skończenie geberowana k-algebra. (Bardzo ważna uwaga bez dowodu: Wtedy A/m jest algebraicznym rozszerzeniem k.) 6.4 Tw Hilberta o zerach Nullstellensatz (cz I). Gdy k = k to idea ly maksymalne w A = k[x 1, x 2,... x n ] sa postaci (x n a n, x 1 a n,..., x n a n ) dla (a 1, a 2,..., a n ) k n {Idea ly maksymalne w A} = k n Oznaczenie: zbiór ida lów maksymalnych SpecM ax A. 6.5 Jeśli A = k[x 1, x 2,... x n ]/I, I = (f 1, f 2,..., f m ), to {Idea ly maksymalne} = X, gdzie X = {(a 1, a 2,..., a n ) k n j = 1, 2,..., m f j (a 1, a 2,..., a n ) = 0}. 7

6.6 Uwaga: do definicji zbioru X nie sa potrzebne generatory algebry A. Za chwile zdefiniujemy topologie w X. 6.7 Topologia Zariskiego w k n : zbiory domknie te = zbiory algebraiczne (tzn opisane skończonymi uk ladami równań wielomianowych). Zbiory otwarte w je zyku idea lów U(I) = {(m SpecMax A I m}, gdzie I idea l. Baza topologii U(f) = {(m SpecMax A f m}, gdzie f A. 6.8 Twierdzenie Hilberta o zerach Nullstellensatz: Dla X k n niech I(X) = {f k[x 1, x 2,..., x n ] : a X f(a) = 0} (to jest idea l) oraz dla E k[x 1, x 2,..., x n ] niech V (E) zbiór zer: V (E) = {(a 1, a 2,..., a n ) k n f E f(a 1, a 2,..., a n ) = 0}. Mamy I(V (E)) = (E), X = V (I(X)), gdzie X oznacza domknie cie w topologi Zariskiego. 6.9 Zbiory algebraiczne można rozk ladać na sk ladowe: V (xy) = V (x) V (y) suma osi, bo (xy) = (x) (y) V (x 2 y, x 2 z) = V (x 2 ) V (y, z) suma prostej y = z = 0 i podwójnej p laszczyzny, bo (x 2 y, x 2 z) = (x 2 ) (y, z) V (xy, x 2 ) = V (x) V (x 2, xy, y 2 ) suma osi i wielokrotnego punktu (ukryta sk ladowa), bo (xy, x 2 ) = (x) (x 2, xy, y 2 ) V (xy, x 2 ) = V (x) V (x 2, xy, y 3 ) inny rozk lad poprzedniego idea lu. Tez mamy (xy, x 2 ) = (x) (x 2, xy, y 3 ) 6.10 Idea l prymarny: ab I, b I to a n I dla penego n (jedyne dzielniki zera w R/I to nilpotenty). 6.11 I prymarny, wtedy I pierwszy Rozk lad idea lu w pierścieniach noetherowskich - Rozk lad prymarny [np R. Sharp: Steps in Commutative Algebra, roz. 4, Atiyah-MacDonald, roz 4] 6.12 R noetherowski, to każdy idea l dopuszcza przedstawienie I = Q i, gdzie Q i nierozk ladalny (Q i nie da sie przedstawić jako przecie cie wie kszych idea lów). 6.13 Twierdzenie: R noetherowski, każdy Q nierozk ladalny idea l jest prymarny. (tbc) Tu sa pliki z ksia żkami:... aweber/zadania/algebra/pdf/ 8

7 Rozk lad prymarny, cia la 7.1 V (I) V (J) = V (I J) = V (I J), zatem maja c przedstawienie idea lu I = Q i otrzymujemy rozk lad V (I) = V (Q i ). Jeśli idea ly Q i sa nierozk ladalne, to V (Q i ) sa zbiorami nierozk ladalnymi. Udowodnimy, że idea ly Q i sa prymarne, zatem P i = Q i sa idea lami pierwszymi. Te idea ly sa nazywane stowarzyszonymi idea lami pierwszymi (pokażemy, że dla nieskracalnych rozk ladów ass(i) nie zależy od rozk ladu). Mamy V (I) = P ass(i) V (P ). W tym rozk ladzie moga sie pojawić P P (tzn V (P ) V (P )) wie c wystarczy brać w rozk ladzie V (I) tylko minimalne idea ly stowarzyszone. 7.2 Zbiór (I : b) = {x R bx I} jest ida lem. Dla I prymarnego (I : b) = I gdy b I (I : b) = R gdy b I 7.3 Twierdzenie: R noetherowski, każdy nierozk ladalny idea l Q jest prymarny. Dow: Cia g (Q : a n ) (Q : a n+1 )... stabilizuje sie. Za lóżmy, że (Q : a n ) = (Q : a n+1 ). Dowodzimy Q = (Q + (a n )) (Q + (b)). Wtedy skoro b Q, to Q + (b) Q, wie c Q = Q + (a n ), czyli a n Q. 7.4 Niech P be dzie idea lem pierwszym. Mówimy, że Q jest idea lem P -prymarnym, jeśli P = Q. Lemat: Przecie cie idea lów P -prymarnych jest idea lem P -prymarnym. 7.5 Mówimy, że rozk lad I = Q i jest minimalny, jeśli 1) wszystkie P i = Q i sa różne, 2) dla każdego i mamy j i Q j Q i (rozk lad nieskracalny) Każdy rozk lad I na idea ly prymarne można przerobić na rozk lad minimalny. 7.6 Twierdzenie: jeśli I = Q i be dzie nieskracalnym rozk ladem na idea ly prymarne, to zbiór idea lów pierwszych Q i jest jednoznacznie wyznaczony: P = Q i dla pewnego i wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje b R taki, że P = (Q i : b). 7.7 (bez dowodu) Niech P i ass(i) be dzie minimalnym stowarzyszonym idea lem, wtedy Q i w rozk ladzie minimalnym nie zależy od rozk ladu. Cia la 7.8 Dla każdego wielomianu f K[x] istnieje cia lo L oraz w lożenie K L, takie, że f ma pierwiastek w L. W być może wie kszym ciele f rozk lada sie w L na czynniki liniowe. 9

7.9 Dane rozszerzenie cia la K L. Naste puja ce warunki sa równoważne: 1) istnieje 0 f K[x] taki, że f(a) = 0 (element a jest algebraiczny nad K) 2) dim K K[a] < 3) K[a] = K(a) (tzn podpierścień K[a] jest cia lem). 7.10 Niech a algebraiczny nad K. Naste puja ce liczby sa równe: 1) stopień wielomianu minimalnego dla a: (f jest minimalny jeśli (f) = {g K[x] g(a) = 0}) 2) dim K K[a] 7.11 Ćwiczenie: Niech a, b L K be da algebraiczne nad K. Wtedy ich suma i iloczyn sa algebraiczne nad K. 7.12 Rozszerzenie algebraiczne K L. Def: każdy element a L jest algebraiczny. 7.13 Twierdzenie: Rozszerzenie algebraiczne rozszerenia algebraicznego jest algebraiczne. Dw: K L M wystarczy za lożyć, że L = K[a 0, a 1,... a n ], M = L[b]. Wtedy dim K M = dim L M dim K L <. 8 Algebraiczne domknie cie cia la, modu ly 8.1 Niech K L. Grupa automorfizmów L sta lych na K oznaczana jest Gal(L, K). Permutuje pierwiastki wielomianów f K[x]. 8.2 Przyk lady: - K = Q, L = Q( 2), Gal(L, K) = Z 2 - K = Q, L = Q(ξ), ξ n = 1, pierwiastek pierwotny Gal(L, K) = Z n - K = k(σ 1, σ 2,..., σ n ), L = k(x 1, x 2,..., x n ), gdzie σ i to elementarna funkcja symetryczna od x i (ze wzorów Viete a), Gal(L, K) = Σ n. - Gal(Q(i, 4 2)) = D 8 - Gal(F p n, F p ) = Z n - Gal(F p, F p ) = Z 8.3 K L M. Dla podgrupy H < Gal(M, K) zbiór punktów sta lych M H jest cia lem. Dla podcia la L M zbiór elementów grupy G L sta lych na L jest podgrupa. L M G L H G M H Patrz teoria Galois. 8.4 Konstrukcja cia la algebraicznie domknie tego zawieraja cego dane: ([B-B, Elementy algebry roz 4]): bierzemy jakikolwiek cia g cia l K K 1 K 2..., taki, że każdy wielomian z K i [x] ma pierwiastek w K i+1. Wtedy K i jest algebraicznie domknie te. 8.5 Konstrukcja oszcze dniejsza: jeśli K L jest rozszerzenim algebraicznym i każdy wielomian f K[x] dodatniego stopnia rozk lada sie na czynniki liniowe w L[x], to L jest algebraicznie domknie te. Dow: Niech f L[x] be dzie wielomianiem dodatniego stopnia. Istnieje wie ksze cia lo M L, w którym f ma pierwiastek b. Niech L(b) M be dzie podcia lem M generowanym przez L i b. Wtedy 10

K L(b) jest rozszerzeniem algebraicznym (bo jest z lożeniem rozszerzeń algebraicznych). Zatem istnieje wielomian g K[x], taki, że g(b) = 0. Ale w każdy wielomian z K[x] rozk lada sie w L[x] na czynniki liniowe. Zatem b L. 8.6 Dane K K, gdzie K jest algebraicznie domknie te. Wtedy zbiór elementów algebraicznych nad K jest cia lem algebraicznie domknie tym i algebraicznym rozszerzeniem K. algebraiczne K. Jest wyznaczone jednoznacznie z dok ladnościa do izomorfizmu. 8.7 Modu ly nad pierścieniem: przyk lady wolny R n idea l (to sa dok ladnie podmodu ly R 1 ) R/I dla R = k: przestrzeń liniowa nad k dla R = Z-modu l to grupa abelowa dla R = k, k[x]-modu l to przestrzeń liniowa nad k wraz z endomorfizmem. 8.8 Operacje na modu lach suma prosta skończona = produkt skończony suma prosta nieskończona produkt nieskończony modu l ilorazowy ja dro, koja dro iloczyn tensorowy operacje zmiany pierścienia bazowego 8.9 Klasyfikacja skończenie generowanych modu lów nad pierścieniem DIG gdzie p i R element pierwszy, k i N. M R r N i=1 R/(p k i i ) (W przypadku gdy M = R/I, I = (a), p k i i z tw chińskiego o resztach mamy teze.) 8.10 Wnioski: To jest domknie cie Tw Jordana (dla R = k[x]), bo p i = (x a i ), sk ladnik wolny odpada, bo zak ladamy dim M < Tw o klasyfikacji skończenie generowanych grup abelowych (dla R = Z), bo p i to liczby pierwsze. 8.11 Dla pierścieni noetherowskich mamy rozk lad prymarnego podmodu lu w module skończenie generowanym. Jest to uogólnienie przypadku I M = R. 11