Przetwarzanie sygnałów biomedycznych Wyład II Analiza widmowa
Dostosowanie narzędzi teorii analizy widmowej do potrzeb pratycznej analizy sygnałów Rozważania analityczne przeształcenie Fouriera - w przedziale niesończonym. Sygnały są na ogół ciągłe i mogą istnieć dla wszystich t, taże mniejszych od. W pratyce rejestrowane sygnały są przyczynowe, tzn. istnieją dla t>, przy czym t reprezentuje moment rozpoczęcia zbierania danych. Zebrane próbi reprezentują sończony, a więc ograniczony w czasie fragment sygnału, tóry to sygnał w ogólności może istnieć dłużej zarówno przed rozpoczęciem ja i po zaończeniu procesu zbierania danych. Ja to sformalizować i jaie są tego onsewencje? Dostosowanie narzędzi teorii analizy widmowej do potrzeb pratycznej analizy sygnałów Ograniczenia czasu trwania analizowanego sygnału f(t) jest równoznaczne z pomnożeniem f(t) przez funcję g(t), różną od zera w przedziale <t, t +τ> i równą zeru poza tym przedziałem. Jest to operacja inherentna ażdemu zbieraniu danych, w najprostszym przypadu odpowiada mnożeniu przez ono prostoątne. t+ τ t F( ω,t ) - F( ω,t ) f(t) exp(-jωt)dt f(t)g(t) exp(-jωt)dt Oznacza to, że wyznaczamy TF nie funcji f(t), ale iloczynu f(t)g(t) F(ω)*G(ω). Wyznaczone w ten sposób widmo będzie mieć właściwości oreślone przez operacje splotu i właściwości obu widm, a więc taże przez właściwości funcji g(t), zwanej często onem lub funcją granic.
Dostosowanie narzędzi teorii analizy widmowej do potrzeb pratycznej analizy sygnałów Sygnały przetwarzane są po przejściu operacji próbowania ich widma są oresowe! Przetwarzanie cyfrowe reprezentacja dysretna zarówno w dziedzinie czasu, ja i częstotliwości. Widma sygnałów są wyznaczane dla ograniczonego zbioru puntów na osi częstotliwości, a sygnały mają ograniczony czas trwania SF czy TF?? Sygnał o sończonym czasie trwania można przedłużyć oresowo. Modyfiacje obu metod. (inne problemy np. wpływ wantyzacji i sończona długość słowa) Przeształcenie Fouriera sygnału spróbowanego i szereg Fouriera dla sygnałów dysretnych 3
Przeształcenie Fouriera sygnału spróbowanego Sygnał spróbowany ( t ores próbowania) f ( t) f ( t) δ ( t n t) f ( n t) s Przeształcenie proste: F{ fs( t)} fs ( t)exp( jωt) dt f ( n t)exp( jωn t) Stosowany jest taże zapis podreślający oresowość transformaty z oresem π jω F( e ) f ( n t)exp( jnω) gdzieωω tω/f s πf/f s, gdzie f s / t częstotliwość próbowania. Przeształcenie odwrotne: f ( m t) π π π F( e jω )exp( jmω) dω Szereg Fouriera dla sygnałów dysretnych (czyli Dysretna Transformacja Fouriera DTF) Dysponujemy próbami sygnału, a więc granice sumowania w równaniu TF stają się sończone: jω F( e ) f ( n t)exp( jnω) F( e jω ) f ( n t)exp( jnω) Współczynnii SF dla sygnałów ciągłych: T F T T / / f ( t)exp( jω t dt ) Współczynnii rozwinięcia dla sygnałów dysretnych: F t f ( n t) exp( jω ( n t)) t próbe oresowego (T) sygnału f(n), ores próbowania / t, T/ t, ωπ/tπ/( t), cała sumowanie metodą prostoątów (dt t). : F t f ( n t)exp( jω π πn ( n t)) t f ( n t)exp( j ( n t)) f ( n)exp( j ) t 4
Szereg Fouriera dla sygnałów dysretnych (czyli Dysretna Transformacja Fouriera DTF) Granice sumowania w równaniu TF są sończone: Współczynnii SF dla sygnałów ciągłych: F( e T F T jω ) T / / f ( t)exp( jω t dt f ( n t)exp( jnω) ) Cała sumowanie metodą prostoątów. Współczynnii rozwinięcia dla sygnałów dysretnych: F πn f ( n) exp( j ) przeształcenie odwrotne (rozwinięcie ) f ( n) πn F exp( j ) Szereg Fouriera dla sygnałów dysretnych (czyli Dysretna Transformacja Fouriera DTF) ajczęściej stosowana jest notacja: xn X πn exp( j ) x n πn X exp( j ) gdzie x n - ciąg próbe sygnału, X ciąg wartości DTF (współczynniów SF),,,,..., -, wprowadza się taże oznaczenie czynnia exp(jπ/) przez W nosi on nazwę czynnia rotującego W π exp( j ) X πn xn exp( j ) x W n n 5
Szereg Fouriera dla sygnałów dysretnych argument funcji wyładniczej z TF czasu ciągłego przyjmuje następującą postać: T F T T / / f ( t)exp( jω t dt ) π π jω t j n t j n t T t πn j gdzie: liczba próbe x(n), ores sygnału T, ores próbowania t/f s, T/ t, ω π/tπ/( t), f /T, momenty położeń próbe tn t. W powyższej formule znia zarówno wartość częstotliwości próbowania, ja i czasu, pozostają tylo indesy próbe sygnału i wartości DTF. a podstawie wyniu analizy widmowej sygnałów spróbowanych możemy mówić wyłącznie o stosunu sygnału do częstotliwości próbowania. Właściwości DTF I X πn xn exp( j ). Liniowość. Oresowość z oresem 3. Symetria dla rzeczywistych wartości x n X X * - 4. DTF iloczynu dwóch ciągów próbe splot DFT tych ciągów Splot dwóch ciągów z n x n *y n 5. DTF splotu ciągów iloczyn DTF tych ciągów z x * y n n n x y n Uwaga: ze względu na inherentną obecność ona prostoątnego wyni jest DTF jest splotem transformaty nieograniczonego w czasie sygnału x oraz widma tego ona. Efet tzw. przecie widma i jego onsewencje. 6
Właściwości DTF II X πn xn exp( j ) 6.Przesunięcie ciągu o n próbe: x(n-n ) X exp(-jπn /) 7.Rozdzielczość częstotliwościowa (odstęp między wartościami DTF): wartości DTF wyznaczane są w puntach f odpowiadającym rzeczywistym wartościom f,,, - (fs - częstotliwość próbowania) z odstępem (rozdzielczość częstotliwościowa) f f + f f f f s fs Odstęp czasowy między olejnymi próbami wynosi /fs, ciąg próbe poddawany DTF odpowiada odcinowi czasu T/fs, więc rozdzielczość częstotliwościowa jest odwrotnie proporcjonalna do T: ffs//t; iloczyn rozdzielczości częstotliwościowej DTF i czasu trwania sygnału jest stały i wynosi T f! Widmowa gęstość mocy W zastosowaniach pratycznych Dla sygnałów dysretnych: F T ( ω ) Φ( ω ) limt T Φ( ω ) F ( ω ) T X G / f s f s πn xn exp( j ),,...-,,,... -,,.. - WGM jest wielością rzeczywistą. Ze względu na symetrię wartości X rzeczywistych wartości x n mamy: dla G G - Kwadrat X jest symetryczny względem / i jego przedstawienie w zaresie,,.../-, tóry odpowiada zaresowi -.5 częstotliwości próbowania, jest wystarczające. Z tego powodu analizatory widma (software owe) prezentują wyni w taim właśnie przedziale ze współczynniiem. Jest to tzw. jednostronna widmowa gęstość mocy. X G / f s 7
Szeregi i przeształcenia Fouriera - podsumowanie Sygnał ciągły sończony TF - ciągła, nieoresowa Sygnał ciągły oresowy SF - dysretny, nieoresowy Sygnał dysretny (próbowany) niesończony transformata - ciągła, oresowa Sygnał dysretny (próbowany) sończony (oresowy) dysretny szereg Fouriera DFT - dysretny, oresowy Analiza widmowa sygnałów spróbowanych (dysretnych) przecie widma funcje granic uzupełnianie zerami (zero padding) 8
Analiza widmowa przecie widma TF funcji cosinus Re TF ona prostoątnego.8.6.4. -pifo pifo Moduł TF ograniczonego odcina funcji cosinus Analiza widmowa przecie widma TF sumy dwóch funcji cosinus Re TF sumy dwóch pacze funcji cosinus 9
Analiza widmowa przecie widma 6 6 4 4 5 5 5 3 5 5 5 3 cos(*pi**(t-)/3)+*sin(*pi*(t-)/4) cos(*pi*(t-)/3)+*cos(*pi*.5*(t-)/4); DTF dla 64 (na rysunu przedstawiony jest pierwiaste wadratowy modułu DTF) iewiela zmiana relacji f/f s w zmieniła wyni analizy widmowej widmo sygnału sinusoidalnego o mniejszej amplitudzie przestało być widoczne, pojawiły się prążi nieposiadające interpretacji fizycznej. Analiza widmowa przecie widma Ono prostoątne posiada listi boczne przyczyna przecieu! ωt F( ω ) rect( T)exp( jωt) dt AT sinc( ) X πn exp( j ) Moduł TF, oś rzędnych znormalizowana do AT; Położenia miejsc zerowych dla ωπ/t, ±, ±...
Analiza widmowa przecie widma DTF poddany została pewna liczba próbe sygnału cosinusoidalnego. Odległości między przejściami TF przez zero wynoszą /T, co w przypadu sygnału spróbowanego odpowiada fs/. A. Częstotliwość sygnału wynosi ff s / i masimum DTF (tóra ma obwiednię sinc(ωt/) wypada w tym puncie. Dla pozostałych f (oreślonych obo), wartości DTF są równe zeru, ponieważ olejne miejsca zerowe funcji sinc są odległe od masimum właśnie o f s /, czyli trafiają doładnie w punty na osi częstotliwości, dla tórych wyznaczamy wartości DTF. ωt F( ω ) AT sinc( ) f T/fs, /Tfs/ f s Analiza widmowa przecie widma DTF poddany została pewna liczba próbe sygnału cosinusoidalnego. Odległości między przejściami TF przez zero wynoszą /T, co w przypadu sygnału spróbowanego odpowiada fs/. ωt F( ω ) AT sinc( ) f T/fs, /Tfs/ f s B. Częstotliwość sygnału jest różna od ff s / i masimum DTF (tóra ma obwiednię sinc(ωt/) wypada w między puntami, dla tórych obliczane są wartości DTF. W onsewencji dla pozostałych f wartości DTF przybierają się różne od zera.
Analiza widmowa przecie widma Przecie może przynosić trudności interpretacyjne. DFT wyznaczana jest tylo dla wybranych wartości f oreślonych obo. Jeśli częstotliwość sygnału nie jest wielorotnością ffs/, w przypadu analizy sygnału cosinusoidalnego, zamiast pojedynczej wartości w widmie, obserwujemy wiele prążów. Jeśli sygnał zawiera ila sładowych, przecie pochodzący od sładowych silniejszych widma może masować sładowe słabsze. Mnożąc sygnał x przez odpowiednio dobraną funcję w n (ono) można zmodyfiować wyniową DTF : X f πn ( wn xn ) exp( j ) f s ta aby ograniczyć przecie. Funcja, tóra to zapewni, powinna mieć TF o nisich wartościach listów bocznych. Analiza widmowa funcje granic Funcja ona, inaczej funcja granic, powinna mieć widmo ja najbardziej zbliżone do delty Diraca, czyli soncentrowane woół pulsacji ω oraz szybo malejące do zera wraz z oddalaniem się od tej pulsacji. Oznacza to wąsi liste główny oraz nisi poziom listów bocznych. Jednoczesne spełnienie obu tych wymagań nie jest możliwe i onieczny jest ompromis np. wyższe tłumienia listów bocznych za cenę poszerzenia lista głównego. Ona czasowe mogą być między innymi tworzone poprzez sumowanie ona prostoątnego oraz ilu przesalowanych w amplitudzie i przesuniętych wzdłuż osi częstotliwości funcji cosinusoidalnych. Są to tzw. ona onstruowane, a ich tworzenie i optymalizacja parametrów polega na odpowiednim doborze współczynniów przy olejnych funcjach cosinusoidalnych.
Analiza widmowa funcje granic Funcja granic (ono) powinna dążyć do przy zbliżaniu się do granic przedziału. Od funcji tej oczeujemy istnienia wielu pochodnych na rańcach przedziału, w tórym została oreślona Ona czasowe mogą być między innymi tworzone sa poprzez sumowanie ona prostoątnego oraz ilu przesalowanych w amplitudzie i przesuniętych wzdłuż osi częstotliwości funcji cosinusoidalnych. Są to tzw. ona onstruowane. W dziedzinie częstotliwości widmo taiego ona uzysiwane jest z wyorzystaniem twierdzenia o transformacie iloczynu jao suma transformaty ona prostoątnego oraz transformat ograniczonych odcinów funcji cosinus a więc przesuniętych w częstotliwości funcji sinc, z odpowiednimi współczynniami. Analiza widmowa funcje granic Ono Hamminga: πt w( t).54 +.46cos( ) T.8.6.4 t (-T/, T/). 5 5 5 3
Analiza widmowa funcje granic πt w( t).54 +.46cos( ) T TF ona Hamminga jest sumą transformaty ona prostoątnego o amplitudzie.54 oraz TF ona prostoątnego o amplitudzie.46 przez funcję cos(ω t), ω π/t wyorzystujemy właściwości transformaty iloczynu funcji: πt F{ w( t)} F{.54 +.46 cos( )}.54T sin c( ωt / ) +.3T sin c[( ω ω ) T / ] +.3T sin c[( ω + ω ) T / ] T 5 5 4 5 3 5 3. 3. 3.3 3.4 3.5 x 4 3.5 3. 3.5 3.3 3.35 3.4 3.45 x 4 Moduły TF ona prostoątnego i ona Hamminga Analiza widmowa przecie widma 6 6 4 4 5 5 5 3 5 5 5 3 cos(*pi**(t-)/3)+*sin(*pi*(t-)/4) cos(*pi*(t-)/3)+*cos(*pi*.5*(t-)/4); DTF dla 64 (na rysunu przedstawiony jest pierwiaste wadratowy modułu DTF) 6 TF funcji II po zastosowaniu ona Hamminga 4 5 5 5 3 4
Analiza czasowo-częstotliwościowa sygnałów Dziedziny opisu sygnałów Prezentacja sygnału w dziedzinie czasu najbardziej naturalny sposób opisu sygnału ponieważ najczęściej sygnały przedstawiają przebieg zmian pewnej wielości w czasie. Kolejny sposób prezentacji sygnału w dziedzinie częstotliwości częstotliwość jest pojęciem szeroo stosowanym wszędzie tam, gdzie występują zjawisa o charaterze oresowym - wyorzystanie transformaty Fouriera X ( ω) jωt x( t) exp dt Uzysane dzięi TF widmo można interpretować jao rozład sygnału na niesończony zbiór sładowych exp(jωt), tórych loalizacja w czasie jest nieoreślona (czas trwania jest nieograniczony). TF nie zapewnia informacji o położeniu na osi czasu poszczególnych sładowych sygnału. Interesujący jest opis łączny sygnału na płaszczyźnie czas-częstotliwość. 5
Opis sygnału w dziedzinie czasu i częstotliwości Opis właściwości sygnału w dziedzinie czasu i częstotliwości wartość średnia ( średnia loalizacja) i dyspersja ( rozmycie - czas trwania, szeroość widma) sygnału w obu dziedzinach. Tratując x(t) oraz X(ω) ja rozłady prawdopodobieństwa uzysujemy: Czas ( średni ) Czas trwania Średnia częstotliwość Szeroość widma (pasmo) gdzie E jest energią sygnału t m t x x( t) dt E f m f x T X ( f ) df E E x x( t) ( x t t m ) x( t) dt E ( x B f f m ) X ( f ) df E dt < Opis sygnału w dziedzinie czasu i częstotliwości Sygnał można opisać na płaszczyźnie t-f podając jego średnie położenie (t m, f m ) oraz obszar zloalizowania głównej części energii sygnału, proporcjonalny do iloczynu T*B. Powstaje tzw. osta przedstawiająca położenie sygnału na płaszczyźnie t-f. 6
Opis sygnału w dziedzinie czasu i częstotliwości x( t) Ce α ( t tm ) exp( jπf t m ) Przyład sygnału świergot (chirp) z modulacją amplitudy sygnałem gaussowsim: Parametry: tm8 T3 f.49 B.7 (znormalizowane do fs/) Uwaga: iloczyn czasu trwania i pasma sygnału jest ograniczony od dołu T*B (nierówność Gabora Heisenberga) nie istnieje możliwość dowolnie doładnej loalizacji sygnału w dziedzinie czasu i częstotliwości jednocześnie. Opis sygnału w dziedzinie czasu i częstotliwości Kres dolny iloczyn czasu trwania i pasma sygnału T*B osiąga dla sygnałów gaussowsich postaci α ( t tm ) x( t) Ce exp( jπf ( t t m m )) sygnał x( t) C exp( α ( t t m ) ) parametry: T3 B.3 tm8 f T*B 7
Krótooresowa transformacja Fouriera spetrogram Czasowo-częstotliwościowa analiza sygnałów Sygnały spotyane w pratyce pomiarowej są często niestacjonarne, tzn. ich parametry ulegają zmianie w funcji czasu. Analiza dłuższego odcina taiego sygnału prowadzić może do utraty informacji o zmianach jego właściwości w czasie. Istnieją różne metody czasowo-częstotliwościowej reprezentacji sygnałów (np. rótooresowa transformacja Fouriera, transformacja falowa, prezentacja Wigner-Ville itd.). ajprostsze rozwiązanie tego problemu jest intuicyjne przeprowadza się analizę widmową olejnych fragmentów sygnału, dążąc do tego, by zmiany jego właściwości były w tych fragmentach zaniedbywalne. Powstaje wtedy ciąg widm chwilowych (rótooresowych transformat Fouriera), z tórych budowany jest tzw. spetrogram. Jest to przedstawiony z użyciem sali barw na płaszczyźnie czas-częstotliwość ciąg wadratów modułów TF, często w sali logarytmicznej. Ciąg wadratów modułów TF po znormalizowaniu do wartości iloczynu /Fs, gdzie długość ona danych, Fs częstotliwość próbowania, przedstawia widmową gęstością mocy. 8
Krótooresowa transformacja Fouriera Krótooresowa transformacja Fouriera (STFT short time Fourier transform) jest transformacją Fouriera przeprowadzoną dla rótiego odcina sygnału. Analizując cały sygnał otrzymujemy dla olejnych t ciąg transformat Fouriera: F ( t, f, h) j πfu x( u) h( u t) e du gdzie h(t) jest funcją ona (np. prostoątnego). STFT Właściwości : x F ( t, f, h) ( u) h( u t) exp( jπfu ) du Przesunięcie sygnału w częstotliwości y( t) x( t) exp( jπf t) Fy ( t, f, h) Fx ( t, f f, h) Przesunięcie sygnału w czasie y( t) x( t t ) Fy ( t, f, h) Fx ( t t, f, h) exp( jπft ) Ocena rozdzielczości czasowej (sygnał δ(t)) x( t) δ ( t t) Fx ( t, f, h) exp( jπft ) h( t t) Ocena rozdzielczości częstotliwościowej (sygnał exp(jπf o t)) x( t) exp( jπf t) Fx ( t, f, h) exp( jπf t) H( f f) 9
Krótooresowa transformacja Fouriera i spetrogram Z pojęciem STFT związany jest spetrogram, tóry służy do prezentacji wyniów STFT. Spetrogram zdefiniowany jest następująco: S ( t, f, h) F( t, f, h) Spetrogram jest więc ciągiem wadratów modułów widm chwilowych. Przedstawiany jest z użyciem sali barw na płaszczyźnie czas-częstotliwość, często w sali logarytmicznej. Sygnał dopplerowsi spetrogram prezentacja 3D STFT i spetrogram Dysretna STFT: m,...- (czyli DFT!!) n oreśla położenie fragmentu sygnału Ciąg wadratów modułów STFT dla olejnych n - spetrogram { F x + n n F ( n, m, h) x( ) h( n) exp( jπm( n) / ) x ( n, m, h) }
Spetrogram i widmowa gęstość mocy obliczanie Dla jednego elementu spetrogramu:. Zebrać ciąg próbe sygnału x n,,,...-. Zastosować funcję granic w n : x n h n,,,...- (ono h jest parzyste!) (ew. uzupełnić ciąg zerami FFT próbe) 3. Wyznaczyć DTF X ciągu x n h n,,,...-,,,... - (ew. ciągu uzupełnionego zerami FFT próbe) 4. Wyznaczyć wadrat modułu DTF dla,,.. /- G f s hn πn xn exp( j ) Spetrogram Spetrogram sygnału prostoątnego z modulacją częstotliwości. Sygnał prostoątny zawiera nieparzyste harmoniczne sładowej podstawowej. Przy brau modulacji pojedynczy element spetrogramu taiego sygnału ma postać: πaτ { ( )} nπτ S rectt t sin c( ) δ ( ω nω) T T W obecności modulacji zmianie ulega ω oraz wszystie harmoniczne. Widoczne suti niespełnienia tw. yquista dla harmonicznych powyżej 3.
STFT i spetrogram - przyład Sygnał wejściowy: sygnały cosinus z gaussowsą modulacją amplitudy, różniące się położeniem na osi czasu, t:.:.5; xsin(*pi*t*)+sin(*.3*pi*t*); wigausswin(5,6); yx.*win. ; z[y(:35) y(8:5)]; sygnał h(t)hamming(56) h(t)hamming(64) osta rozdzielczości Spetrogram sygnału dopplerowsiego prędości przepływu rwi Możliwości podziału płaszczyzny czas-częstotliwość wymiana rozdzielczości t-f osta rozdzielczości