Statystyka matematyczna

Statystyka matematyczna Wykład 1 Magdalena Alama-Bućko 20 lutego 2017 Magdalena Alama-Bućko Statystyka matematyczna 20 lutego 2017 1 / 21

Wykład : 10h (przez 10 tygodni po 45 minut) Ćwiczenia : 15h (45 minut zajęć / tydzień) Zaliczenie ćwiczeń : (prawdopodobnie) dwa kolokwia liczba dopuszczalnych nieobecności : 2 / semestr kontakt mailowy: mbucko@utp.edu.pl konsultacje : do ustalenia poniedziałki - WZ środa 7:30-8:15 aula 1B Auditorium Novum na Kaliskiego Magdalena Alama-Bućko Statystyka matematyczna 20 lutego 2017 2 / 21

Tematyka zajęć: Elementy rachunku prawdopodobieństwa. kombinatoryka p-stwo klasyczne niezależność zdarzeń p-stwo warunkowe schemat Bernoullego Zmienna losowa i jej rozkłady. dyskretne ciagłe Estymacja punktowa i przedziałowa parametrów rozkładów. Testowanie hipotez statystycznych. Magdalena Alama-Bućko Statystyka matematyczna 20 lutego 2017 3 / 21

Literatura Jerzy Greń, Statystyka matematyczna modele i zadania, PWN 1980 Janina Jóźwiak, Jarosław Podgórski, Statystyka od podstaw Wydawnictwo: PWE, Wydanie VI zmienione 2006 Statystyczne metody analizy danych. Red. W. Ostasiewicz. Wyd. AE Wrocław, 1999 Zarys metod statystycznych. K. Zajac, PWE 1988 Bak, Markowicz, Mojsiewicz, Wawrzyniak, Statystyka w zadaniach, część II, WNT 2001 Leitner, Zacharski, Zarys matematyki wyższej cz.iii, WNT, 1995 Magdalena Alama-Bućko Statystyka matematyczna 20 lutego 2017 4 / 21

Statystyka jest nauka zajmujac a się zbieraniem danych opisujacych zjawiska masowe (tzn. zjawiska o dużej liczebności obserwacji) i wydobywaniem informacji zawartej w tych danych. Statystykę można podzielić na dwie części: statystykę opisowa, statystykę matematyczna Statystyka opisowa zajmuje się opracowaniem zebranych informacji (danych) posługujac się głównie metodami opisowymi. Statystyka matematyczna: zajmuje się teoria, opisem i analiza zjawisk masowych (zjawisk o dużej liczebności) głównie przy użyciu metod matematycznych, a szczególnie rachunku prawdopodobieństwa. Magdalena Alama-Bućko Statystyka matematyczna 20 lutego 2017 5 / 21

Rachunek prawdopodobieństwa jest działem matematyki zajmujacym się badaniem modeli zjawisk losowych (przypadkowych). Dla każdego zdarzenia losowego należy zdefiniować: zdarzenia elementarne - (ozn. ω, czyt. omega) - pojedynczy wynik doświadczenia zbiór zdarzeń elementarnych - (ozn. Ω) - zbiór wszystkich zdarzeń elementarnych, czyli wszystko co może się wydarzyć w ramach danego doświadczenia. Magdalena Alama-Bućko Statystyka matematyczna 20 lutego 2017 6 / 21

Przykład 1 Rzucamy kostka do gry. Ω = {ω 1, ω 2, ω 3, ω 4, ω 5, ω 6 } = {1, 2, 3, 4, 5, 6} ω i - wyrzucono i- ta liczbę oczek Przykład 2 Rzucamy moneta. Ω = {ω 1, ω 2 } = {O, R} ω- wyrzucono orła albo reszkę Przykład 3 Gramy w "Dużego Lotka". - wybieramy 6 spośród 49 liczb. Ω - zbiór wszystkich możliwych wyborów 6 spośród 49 liczb. ω - jeden ustalony wybór 7 liczb. Magdalena Alama-Bućko Statystyka matematyczna 20 lutego 2017 7 / 21

Zdarzeniem losowym nazywamy dowolny podzbiór zbioru zdarzeń elementarnych. Oznaczamy je A,B,... i oczywiście sa to pozbiory Ω, czyli A Ω, B Ω. Zdarzenie losowe, które nie zawiera żadnego elementu, tzn. A = nazywamy zdarzeniem niemożliwym. Zdarzenie losowe, które zawiera wszystkie zdarzenia elementarne, tzn. A = Ω nazywamy zdarzeniem pewnym. Magdalena Alama-Bućko Statystyka matematyczna 20 lutego 2017 8 / 21

Działania na zbiorach losowych A B ( suma zbiorów) - zachodzi co najmniej jedno ze zdarzeń A i B A B ( iloczyn zbiorów) - oba zdarzenia zachodza równocześnie, tzn. zachodzi i A i B A \ B ( różnica zbiorów) - zachodzi zdarzenie A i nie zachodzi B A ( dopełnienie zbioru A) - zdarzenie przeciwne do A, które rozumiemy jako: nie zaszło zdarzenie A, tzn. A = Ω \ A. Jeżeli A B = to zbiory takie nazywamy zdarzeniami wykluczajacymi się. Magdalena Alama-Bućko Statystyka matematyczna 20 lutego 2017 9 / 21

Przykład W losowaniu 2 kart spośród talii 24 kart określamy zdarzenia: A - wylosujemy 2 karty czerwone (tzn. albo ) B - wylosujemy Damę i Króla, tzn. mamy jedna Damę spośród D, D, D, D i jednego Króla spośród K, K, K, K. Określić zdarzenia: A B - mamy 2 karty czerwone lub (damę i króla) (dużo możliwości) A B - mamy 2 karty czerwone i (damę i króla), tzn. mamy czerwona damę i czerwonego Króla, tzn. jedna damę: D, D i jednego króla : K, K. A \ B - mamy 2 karty czerwone, ale nie (Damę i Króla), tzn. mamy np. 2 czerwone Damy, 2 czerwone Króle, 1 czerwony Król i inna niż Dama czerwona karta,... B \ A - mamy Damę i Króla, ale obe karty nie sa czerwone, tzn. mamy np. D i K, D i K,... Magdalena Alama-Bućko Statystyka matematyczna 20 lutego 2017 10 / 21

Przykład - c.d. W losowaniu 2 kart spośród talii 24 kart określamy zdarzenia: A - wylosujemy 2 karty czerwone B - wylosujemy Damę i Króla Określić zdarzenia: A - nie wylosowaliśmy 2 kart czerwonych tzn. mamy mniej niż 2 karty czerwone, czyli mamy 1 czerwona (i 1 czarna) albo 0 czerwonych ( czyli 2 karty czarne). B - nie wylosowaliśmy pary Damy i Króla tzn. mamy jedna z możliwości 1 Damę + 1 kartę inna niż Król 1 Króla + 1 kartę inna niż Dama 2 karty inne niż Król i Dama. Magdalena Alama-Bućko Statystyka matematyczna 20 lutego 2017 11 / 21

Przykład 1 Rzucamy kostka do gry. Ω = {ω 1, ω 2, ω 3, ω 4, ω 5, ω 6 } = {1, 2, 3, 4, 5, 6} ω i - wyrzucono i- ta liczbę oczek A wyrzucimy parzysta liczbę oczek A = {2, 4, 6} B wyrzucimy nieparzysta liczbę oczek B = {1, 3, 5} A B = Ω oraz A B = (tzn. zdarzenia wykluczajace się) zatem A = B i B = A. C wyrzucimy co najwyżej 3 oczka: C = {1, 2, 3} Magdalena Alama-Bućko Statystyka matematyczna 20 lutego 2017 12 / 21

Prawdopodobieństwo klasyczne Ω - zbiór wszystkich zdarzeń elementarnych (tzn. wszystko co w ramach danego eksperymentu morze się zdarzyć) zbiór A ( A Ω) - zbiór zdarzeń spełniajacych "pewien" warunek Jeżeli wszystkie zdarzenia elementarne sa jednakowoprawdopodobne i zbiór Ω jest skończony, to P(A) = A Ω, gdzie oznacza ilość elementów danego zbioru, tzn. Ω - liczba wszystkich zdarzeń elementarnych A - liczba zdarzeń spełniajacych "pewien" warunek (tzw. sprzyjajacych zdarzeniu A) Magdalena Alama-Bućko Statystyka matematyczna 20 lutego 2017 13 / 21

Własności p-stwa Dla dowolnego A Ω 0 P(A) 1. P( ) = 0, P(Ω) = 1. Jeśli A, B Ω takie, że A B, to P(A) P(B). Dla zdarzeń przeciwnych A i A zachodzi P(A) + P(A) = 1. Dla dowolnych A, B Ω zachodzi P(A B) = P(A) + P(B) P(A B). Dla dowolnych A, B Ω takich że A B = zachodzi P(A B) = P(A) + P(B). Magdalena Alama-Bućko Statystyka matematyczna 20 lutego 2017 14 / 21

Przykład 1a Rzucamy kostka do gry. Obl. p-stwo wyrzucenia parzystej liczby oczek. Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6} A = {2, 4, 6} P(A) = A Ω = 3 6. Przykład 1b Rzucamy kostka do gry. Obl. p-stwo wyrzucenia parzystej liczby oczek lub liczby oczek większej niż 2. Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6} A - parzysta liczba oczek A = {2, 4, 6} B - liczba oczek większa niż 2: B = {3, 4, 5, 6} A B = {4, 6} P(A B) = P(A) + P(B) P(A B) = 3 6 + 4 6 2 6 = 5 6. Magdalena Alama-Bućko Statystyka matematyczna 20 lutego 2017 15 / 21

Elementy kombinatoryki Do wyliczeń prawdopodobieństw potrzebne będa następujace modele losowań: a) losujemy k spośród n obiektów (0 k n), ale interesuje nas wyłacznie skład a nie kolejność (uporzadkowanie) obiektów. ( ) n n! = k k! (n k)!, gdzie symbol silni definujemy następujaco Dodatkowo 0! ( = ) 1 n = n, 1 ( ) n = 1, n n! = 1 2... n ( ) n = 1. 0 Magdalena Alama-Bućko Statystyka matematyczna 20 lutego 2017 16 / 21

Przykład 1 Ilość wyborów 3-osobowej delegacji z grupy 20 osób: ( ) 20. 3 Przykład 2 Ilość wyborów 3-osobowej delegacji z grupy 20 osób (15M+5K), ale takiej by był 1 M i 2 K: ( ) ( ) 15 5. 1 2 Przykład 3 Na ile sposobów można wybrać parę do brydża z 5 osób: ( ) 5. 2 Przykład 4 Na ile sposobów można zakreślić 6 liczb spośród 49 możliwych: ( ) 49. 6 Magdalena Alama-Bućko Statystyka matematyczna 20 lutego 2017 17 / 21

b) (tzw. losowanie bez zwracania) losujemy k spośród n obiektów (0 k n), ważna jest kolejność obiektów (wylosowanych obiektów nie zwracamy) n (n 1) (n 2)... (n k + 1) = n! (n k)! c) (tzw. losowanie ze zwracaniem) losujemy k spośród n obiektów, ważna jest kolejność obiektów ale wylosowane obiekty za każdym razem zwracamy n n n... n = n k. Magdalena Alama-Bućko Statystyka matematyczna 20 lutego 2017 18 / 21

Przykład Mamy 4 kolory (biały, czarny, zielony i czerwony). Na ile sposobów można pokolorować 5 kartek: Pierwsza kartkę możemy pokolorować na 1 z 4 kolorów, 2-ga kartkę również, itd. zatem 4 4 4 4 4 = 4 5 Przykład Mamy 8 kul w różnych kolorach. Ile jest możliwości wyboru 3 kul spośród nich w taki sposób, by kolory się nie powtarzały (tzn. wylosowanej już kuli nie zwracamy) Losujemy pierwsza kulę, potem druga itd. zatem: 8 7 6 =... Magdalena Alama-Bućko Statystyka matematyczna 20 lutego 2017 19 / 21

Przykład Ile jest liczb 4-cyfrowych t.że a) sa one parzyste, b) maja cyfrę setek równa 7. Zauważmy, że ma być to liczba 4-cyfrowa, zatem cyfra tysięcy nie może być 0. a) jest parzysta: ma być parzysta, zatem cyfra jedności może być jedna spośród {0, 2, 4, 6, 8}, pozostałe - dowolne. 9 10 10 5 =... b) cyfra setek jest 7: (pozostałe - dowolne) 9 1 10 10 =... Przykład Na ile sposobów można ustawić 3-tomowa encyklopedię? Ponieważ każdy tom stoi na innej pozycji, mamy model z losowaniem bez zwracania. 3 2 1 = 3! = 6. Magdalena Alama-Bućko Statystyka matematyczna 20 lutego 2017 20 / 21

Dziękuję za uwagę! Magdalena Alama-Bućko Statystyka matematyczna 20 lutego 2017 21 / 21