Fizyka 2 Wykład 4 1 Jednowymiarowa mechanika kwantowa Rozpraszanie na potencjale Na początek rozważmy najprostszy przypadek: próg potencjału Niezależne od czasu równanie Schödingera ma postać: 2 d ( x) V ( ) ( ) 2 i x E x 2m dx gdzie i =1,2 oraz V 1 = V 0
Fizyka 2 Wykład 4 2 Rozwiązaniem tego równania jest funkcja falowa: gdzie założyliśmy, że fala nadbiegająca z lewej stron ( x = - ) ma amplitudę jednostkową. x 0 jest położeniem początkowym i określa fazę fali. W obszarze I: pęd cząstki wynosi p 2mE a w obszarze II: pęd cząstki wynosi p 2m( E V0 Przypadek: próg jest odpychający tj. V 0 > 0 oraz energia cząstki E < V 0. W przypadku klasycznym cząstka uległaby odbiciu od progu. W przypadku kwantowym natomiast pęd fali w obszarze II jest urojony: tak, że fala przepuszczana przez próg traci charakter fali harmonicznej.
Fizyka 2 Wykład 4 3 W rezultacie fala wnika do wnętrza progu potencjału na ograniczoną głębokość a gęstość prawdopodobieństwa znalezienia cząstki wewnątrz progu maleje eksponenjalnie. Na lewo od progu tworzy się fala stojąca => gęstość prawdopodobieństwa znalezienia cząstki jest funkcją oscylującą.
Fizyka 2 Wykład 4 4 Gdy energia cząstki E > V 0 cząstka przechodzi przez próg ale na lewo od niego nadal tworzy się fala stojąca. W miarę wzrostu energii efekty interferencyjne zanikają. Podobne efekty otrzymuje się gdy mamy do czynienia z uskokiem potencjału (tj. V 0 < 0) a nie progiem:
Fizyka 2 Wykład 4 5 Jeśli ustawić jedno za drugim: uskok a następnie w pewnej szerokości próg to tworzy się wtedy studnia potencjału o skończonej głębokości. Wewnątrz niej stabilne są tylko fale stojące Na zewnątrz niej rozwiązania zanikające eksponenjalnie. Obliczenia wykonuje się identycznie jak dla progu z tym, że teraz trzeba je przeprowadzić dla 3 obszarów: na lewo od studni (I), wewnątrz niej (II) oraz na prawo od niej (III). Oczywiście na granicy pomiędzy obszarami funkcje falowe i ich pierwsze pochodne muszą być ciagłe. Warunki pozwalają wyznaczyć stałe: o długość fali a właściwie liczbę falową o amplitudę
Fizyka 2 Wykład 4 6 Aby lepiej uzmysłowić sobie różnice pomiędzy mechanika klasyczną a kwantową przyjrzyjmy się propagacji paczki fal. Jeśli wartość oczekiwana energii fali (tj. średnia energia fal w paczce) E = p 2 0 /2m > V 0 to fala przejdzie przez próg ale część gęstości prawdopodobieństwa odbije się od niego.
Fizyka 2 Wykład 4 7 Gdy energia paczki jest za mała to następuje całkowite odbicie od progu i cząstka przez niego nie przejdzie. W obu wypadkach bardzo dobrze widoczne są efekty interferencyjne w trakcie odbicia paczki. Obicie zachodzi też od uskoku potencjału tj. gdy V 0 < 0.
Fizyka 2 Wykład 4 8 Elementarne problemy kwantowe Zarys metodyki postępowania Najprostszymi przypadkami jednowymiarowymi są takie, w których potencjał jest odcinkami stały. Przykład: próg i uskok potencjału już analizowaliśmy. Inne proste przykłady to: Zarys postępowania w celu znalezienia rozwiązania równania Schrödingera dla operatora energii w takich przypadkach jest następujący: 1) należy wydzielić tyle obszarów ile jest odcinków stałego potencjału. W obu przypadkach na rysunku powyżej będą to obszary I, II, III na lewo, wewnątrz i na prawo od studni (progu).
Fizyka 2 Wykład 4 9 2) Dla każdego z tych obszarów należy napisać równanie Schrödingera dla stanów stacjonarnych: 2 2m( E V i ) przy czym k 2 a V i, gdzie obszarach. i = I, II, III jest wartością potencjału w poszczególnych 3) Ogólne rozwiązanie równania Schrödingera ma postać: Z tego widać, że tam gdzie E > V i (np. wewnątrz studni) rozwiązaniem jest fala harmoniczna (czyli okresowa) tj. fala płaska bieżąca. Fala ta może się odbijać na granicach pomiędzy obszarami i wtedy tworzą się fale stojące.
Fizyka 2 Wykład 4 10 Natomiast gdy k 2 < 0 ( czyli E < V i np. wewnątrz progu) to rozwiązaniem jest funkcja hiperboliczna najczęściej malejąca eksponencjalnie z odległością. 4) Falowa i jej pierwsza pochodna jako rozwiązania równań różniczkowych muszą być ciągłe wszędzie a zatem również na granicy obszarów stałego potencjału. Warunki ciągłości na granicy tych obszarów dla funkcji falowej oraz dla jej pierwszej pochodnej przyjmują postać układu równań algebraicznych Równania te pozwalają wyznaczyć amplitudy w obszarach stałego potencjału oraz liczby falowe (długości fali) w tych obszarach. W przypadku studni potencjału: otrzyma się tyle rozwiązań ile jest nieznanych stałych (amplitudy i długości fali w poszczególnych obszarach) i szuka się warunku na istnienie rozwiązań:
Fizyka 2 Wykład 4 11 Pytamy więc: dla jakich amplitud i liczb falowych układ równań algebraicznych reprezentujący wszystkie obszary stałego potencjału jednocześnie ma znikający wyznacznik charakterystyczny? (warunek na istnienie rozwiązań układu równań algebraicznych). Wartości energii, dla których ten wyznacznik znika są energiami własnymi układu. W przypadku stopnia potencjału: zawsze otrzymuje się o jedną niewiadomą więcej niż jest równań. Oznacza to, że nie ma ograniczeń na wartości energii i jej widmo jest ciągłe. Wszystkie pozostałe stałe można wyrazić jako funkcje np. amplitudy fali podającej z -. Uwaga ogólna: Długość fali czastki zależy od jej masy więc na barierze o tej samej szerokości i wysokości różne cząstki będą się rozpraszały inaczej.
Fizyka 2 Wykład 4 12 Przykład: tunelowanie elektronu przez barierę potencjału a) część rzeczywista funkcji falowej
Fizyka 2 Wykład 4 13 b) część urojona funkcji falowej
Fizyka 2 Wykład 4 14 c) gęstość prawdopodobieństwa znalezienia cząstki w punkcie x
Fizyka 2 Wykład 4 15 Przykład: bariera 4 razy węższa a) część rzeczywista funkcji falowej
Fizyka 2 Wykład 4 16 b) część urojona funkcji falowej
Fizyka 2 Wykład 4 17 c) gęstość prawdopodobieństwa znalezienia cząstki w punkcie x
Fizyka 2 Wykład 4 18 Dla bariery potencjału oblicza się współczynniki obicia R i przezroczystości T przy czym T + R = 1 zawsze. W mechanice klasycznej: Gdy energia cząstki jest za mała aby przejść przez barierę (E < V 0 ) to T = 0 oraz R = 1. Ciekawy przypadek zachodzi wtedy gdy E > V 0 : wtedy formalnie matematyczny charakter rozwiązań równania Schrödingera jest taki sam jak dla studni (proszę to sprawdzić!!!) Prowadzi to do R 1 co jest sprzeczne z fizyką klasyczną.
Fizyka 2 Wykład 4 19 Przykład: całkiem nieintuicyjny stany wirtualne cząstki przelatującej nad szeroka barierą potencjału
Fizyka 2 Wykład 4 20 Przykład: paczka fal przechodząca przez barierę potencjału
Fizyka 2 Wykład 4 21 Przykład: bariera podwójna gdy cząstka trafi na podwójną barierę potencjału (studnia potencjału o skończonej szerokości o przenikliwych ściankach) to posiadając odpowiednia energię może przez nią tunelować:
Fizyka 2 Wykład 4 22 Odbicia fal wewnątrz studni powodują powstawanie stanów rezonansowych.
Fizyka 2 Wykład 4 23 Takie stany występują wyłącznie w bardzo wąskich zakresach energii. Na przykład, dla parametrów bariery poniżej przyjęcie energii czastki równej 1.32 ev daje niskie prawdopodobieństwo zanlezienia cząstki wewnątrz studni:
Fizyka 2 Wykład 4 24 Natomiast dla energii cząstki równej 1.36 ev jest zupełnie inaczej. Uwaga: program samoczynnie zmienia skalę na wykresie prawdopobieństwa. teraz gęstość prawdopodobieństwa wewnątrz studni jest ogromna w porównaniu z poprzednim przypadkiem.
Fizyka 2 Wykład 4 25 Zwiększając energię cząstki powyżej 1.36 ev ponownie otrzymuje się podobny wynik jak dla 1.32 ev. Przykład: stany paczki fal pomiędzy dwoma barierami są metatrwałe.
Fizyka 2 Wykład 4 26
Fizyka 2 Wykład 4 27 Stany rezonansowe są też dobrze widoczne dla paczki fal: