Macin MORAWIEC Politechnika Gdańska Kateda Automatyki Napędu Elektycznego Obseato typu M pędkości kątoej inika maszyny asynchonicznej z estymacją ezystancji stojana i inika Steszczenie W efeacie pzedstaiono metodę kokó stecz znaną z ang backstepping któą ykozystano do otzymania modelu obseatoa pędkości kątoej inika maszyny indukcyjnej klatkoej Podstaoy model maszyny ozszezono o model zmiennych któe nazano M Synteza kokó stecz ozszezonego modelu maszyny dopoadziła do postania noego obseatoa któego nazano obseatoem typu M Zależność na estymoaną pędkość kątoą okeślono na tzy óżne sposoby Sposób okeślania pędkości kątoej inika płya na łaściości statyczne i dynamiczne obseatoa typu M W obseatoze pędkości kątoej inika można dodatkoo estymoać ezystancję uzojeń stojana i inika Jakość poszczególnych estymoanych ielkości obseatoa zeyfikoano metodą symulacyjną oaz ekspeymentalną Abstact The pape pesents the method knon as backstepping hich as used to obtain the model of speed obseve of squiel cage induction machine The basic model of the machine as extended to model vaiables called M The backstepping synthesis of extended machine model has led to a ne obseve the obseve is called M-type obseve Dependence on the estimated angula speed can be detemined in thee diffeent ays These diffeent ays affect to the static and dynamic popeties of the obseve type M The oto angula speed obseve can also estimate the esistance of the stato and oto indings The quality of the estimated values ee veified by simulation and expeimental tests (The M-type obseve backstepping of induction machines ith stato and oto esistance estimation) Słoa kluczoe: obseato pędkości estymacja zmiennych stanu maszyna indukcyjna klatkoa metoda kokó stecz Keyods: speed obseve state vaiables estimation squie-cage induction machine backstepping method doi:112915/pe214619 Wstęp Nooczesne układy napędoe któe yposażono steoanie ektooe posiadają obseato zmiennych stanu i pędkości kątoej inika Estymato poinien odtazać zmienne stanu maszyny: składoe stumienia inika i pądu stojana oaz pędkość kątoą inika z nieielkimi błędami stanach dynamicznych < 3 5% oaz < 1% stanie ustalonym Metody estymacji zmiennych stanu oaz pędkości można podzielić na kilka gup (nie jest to pełna klasyfikacja) Najbadziej populanym estymatoem jest obseato zmiennych stanu opaty na koncepcji uenbegea [4] W ostatnich latach pojaiło się iele opacoań opatych na stuktuze ozszezonego obseatoa uenbegea min [4] W [4] pzedstaiono obseato z ozszezonym modelem któym za pomocą integatoó odtazano pzyjęte sygnały zakłóceń Kolejną gupą są estymatoy opate na teoii filtacji Kalmana [1] Do kolejnej gupy estymatoó można zaliczyć obseatoy np [8] opate o stuktuę ozmytą (z ang fuzzy logic) oaz sieci neuonoe Niektóe z nich stanoią stuktuę hybydoą połączenie metod adaptacyjnych z estymacją neuonoą Następną gupą estymatoó są estymatoy adaptacyjne [2] Metody adaptacyjne jak MRAS (z modelem efeencyjnym) umożliiają implementację estymatoa stosunkoo posty sposób Refeat dotyczy popozycji obseatoa zmiennych stanu i pędkości kątoej inika opatego na koncepcji adaptacyjnej za pomocą syntezy kokó stecz [3] W [3] zapoponoano ozszezenie stuktuy podstaoego estymatoa o dodatkoe ónania óżniczkoe któe po zastosoaniu metody kokó stecz pozalają na yodębnienie członó koekcyjnych Głóną zaletą obseatoa otzymanego po zastosoaniu syntezy kokó stecz jest nie tylko możliość estymacji zmiennych stanu i pędkości kątoej jako paametu ale adaptacyjna estymacja ybanych paametó modelu silnika Zmiana pędkości kątoej inika stanach dynamicznych płya na estymoane paamety modelu któe pomimo oganiczenia ich atości nie są zgodne z atościami zeczyistymi obiektu Błędy estymat pędkości kątoej inika zmiennych stanu oaz paametó modelu maszyny są spzężone jednej stuktuze estymatoa Błąd estymoanej pędkości kątoej inika pooduje odchylenie estymat ektoa stanu oaz estymat paametó modelu maszyny W sytuacji odotnej odchylenie estymat paametó maciezy stanu estymatoa spooduje zakłócenie estymacji pędkości kątoej inika i estymat ektoa stanu Spzężenie błędó estymat paametó modelu zmiennych stanu oaz pędkości kątoej inika może poadzić do niestabilności estymatoa Po eyfikacji numeycznej oaz badaniach ekspeymentalnych stiedzono że estymacja gupy paametó modelu oaz zmiennych stanu i pędkości kątoej inika jest możlia dla nieielkiego zakesu zmian pędkości kątoej inika oaz momentu obciążenia (około 2% pędkości i momentu obciążenia) Jeżeli pędkość kątoa inika będzie odtazana obseatoze pędkości i ykozystyana dodatkoym estymatoze paametó modelu to błędy poszczególnych estymat zmiennych stanu lub paametó poodują zakłócenie pocesu estymacji Bezczujnikoy układ egulacji może być tedy niestabilny W takiej sytuacji zapoponoano ykozystanie estymatoa paametó modelu obiektu z pomiaem pędkości kątoej inika za pomocą czujnika Obydie stuktuy estymatoó funkcjonują niezależnie układzie egulacji Odtazane paamety modelu należy filtoać za kilka okesó impulsoania oaz aktualizoać atości paametó obseatoze pędkości kątoej inika Stuktua układu egulacji jest pzez to badziej skomplikoana ale odpona na zmiany paametó modelu obiektu Estymoana pędkość kątoa inika poinna być ykozystana bezczujnikoym układzie egulacji ponieaż pędkość kątoa inika miezona czujnikiem pomiaoym może ulegać zakłóceniom i poodoać niestabilność układu egulacji Model matematyczny maszyny indukcyjnej klatkoej Rónania óżniczkoe modelu maszyny zapisano układzie nieuchomym (αβ) [4 6]: dis s (1) is u PRZEGĄD EEKTROTECHNICZNY ISSN 33-297 R 9 NR 6/214 97
di s (2) i u (3) R R is (4) R i (5) 1 ( i i ) T J J gdzie: i sα i sβ są składoymi ektoa pądu stojana Ψ α Ψ β są składoymi ektoa stumienia inika u sα u sβ składoe ektoa napięcia stojana ω pędkością kątoą inika R R s są ezystancjami inika i stojana m indukcyjnością głóną s indukcyjnościami skojazonymi stojana i inika Obseato pędkości kątoej inika A Estymato zmiennych stanu maszyny Postępując zgodnie z poceduą kokó stecz szczegółoo pzedstaioną [3 5 7] otzymano model matematyczny obseatoa któym pędkość kątoą inika potaktoano jako dodatkoy paamet Obseato z metody kokó stecz pzedstaiono min [3 6 7] i jest to klasyczna postać obseatoa adaptacyjnego któym pędkość kątoą okeślono za pomocą mechanizmu adaptacji Innym podejściem zapoponoanym min [4] jest ozszezenie modelu maszyny (1) (5) o noe zmienne Auto poponuje ozszezenie modelu maszyny o ónania óżniczkoe ektoa M któego składoe są okeślone następująco: (6) R M (7) R M Model matematyczny dla ektoa M otzymano óżniczkując (6) (7) pzy uzględnieniu (1) (4): (8) dm R R R M M ( is i) (9) dm R R M M ( i is ) Rozszezenie modelu matematycznego o dodatkoe da ónania pozala na zapoponoanie obseatoa zmiennych stanu któym ydzielono następujące podsystemy: podsystem pądoy (1) dis Rs R is M us v (11) di s i M u v podsystem stumienioy (12) R M i v (13) M i v podsystem M dm R (14) R R M ( M is i) vm dm R (15) R M ( M i is ) vm Zgodnie z metodą kokó stecz zapoponoaną [3] oaz ozijaną pzez autoa [6 7] składoe ektoa pądu taktoane są jako ielkości yjścioe z obseatoa natomiast v αβ jako ejścia stabilizujące Ze zględu na ozszezoną postać estymatoa każdym z podsystemó zapoponoano yodębnienie dodatkoych ielkości stabilizujących obseato W obseatoze (1) (15) można yóżnić tzy podsystemy: pądoy (1) (11) stumienioy (12) (13) oaz podsystem M (14) (15) W podsystemie pądoym ielkościami stabilizującymi są v αβ któe zostaną okeślone pzez mechanizm kokó stecz W podsystemie stumienioym ielkościami steującymi będą v ψαβ W podsystemie M ielkościami stabilizującymi są v Mαβ Zakładając ze składoe ektoa pądu stojana są miezone można okeślić następujący model błędó obseatoa: di (16) M v di (17) M v (18) M v (19) M v (2) dm R ( R M M M M ) i v M dm (21) R ( M M M M ) i v M gdzie: i is i M M M Podobnie jak [3 6 7] zastosoano metodę kokó stecz Wykozystano dodatkoe integatoy całkujące błąd składoych ektoa pądu stojana Integatoy mają postać: d (22) is d (23) i Dodając i odejmując do (22) (23) funkcje stabilizujące otzymano: d (24) is d (25) i gdzie: (26) c c Błąd pomiędzy składoymi ektoa błędu pądu stojana a ielkościami stabilizującymi okeślono następująco: (27) z i c (28) z i c Wykozystując (26) (28) zależności (24) (25) można pzekształcić do następującej postaci: 98 PRZEGĄD EEKTROTECHNICZNY ISSN 33-297 R 9 NR 6/214
(29) d z c d (3) z c Obliczając pochodne błędu z otzymano: (31) z M ci v (32) z M ci v W celu okeślenia członó stabilizujących obseato należy ybać odpoiednią funkcję apunoa Funkcję apunoa okeślono następująco: 1 V( z z M M ) ( z z 2 (33) M M ) Aby zapenić asymptotyczną stabilność należy spełnić aunek: (34) V( z z M M ) Różniczkując (33) otzymano: V c c cz cz z ( M c i v) R (35) z ( M c i ) ( v M M M M R M i vm) ( M v) M ( M M M M i vm) ( M v) Waunek (34) implikuje człony v αβ stabilizujące podsystem pądoy: (36) v c i cz (37) v c i cz oaz człony v ψαβ stabilizujące podsystem stumienioy: (38) v M (39) v M Po uzględnieniu poyższych zależności pochodną można pzekształcić do następującej fomy: R V ( M M ) M ( z vm) M ( z vm) (4) ( ) ( M M i M M i ) Z (4) można okeślić ielkości stabilizujące estymato podsystemie M: (41) vm z (42) vm z Model (1) (15) oaz zależności (29) (3) oaz (38) (39) i (41) (42) stanoią obseato typu M maszyny indukcyjnej klatkoej B Adaptacyjna metoda odtazania pędkości kątoej inika W obseatoze pędkość kątoa inika jest taktoana jako estymoany paamet ziązku z tym do funkcji apunoa należy dodać człon: 1 2 (43) V ( ) 2 któego pochodna jest okeślona zależnością: 1 (44) V ( ) Fomuła (44) pzyjmuje następującą postać: (45) ( M M i ) V 1 M ( M i ) Z (45) pędkość kątoą inika można yznaczyć następująco: (46) ( ) ( M M i s M M i s ) Pzedstaiona metoda estymacji pędkości kątoej inika jest metodą adaptacyjną Watość pędkości kątoej inika jest yznaczana adaptacyjnie na zasadzie pzestajania kolejnych podsystemó estymatoa Ze zględu na to należy ybać możliie jak najiększe zmocnienie γ >> 1 ponieaż estymatousi spoadzić błędy estymacji do zea Jeżeli zmocnienie γ < 1 to ystępują oscylacje estymoanych ielkości co może poadzić do niestabilności obseatoa Błędy zmiennych M są okeślone zależnościami: (47) R M M (48) R M M Błędy estymacji M muszą pzyjmoać atości pzy lim M dla >> gdzie τ 1 jest M 1 czasem po któym M C Nieadaptacyjna metoda odtazania pędkości kątoej inika W obseatoze typu M możlie jest odtazanie pędkości kątoej inika na kilka sposobó Poyżej pokazano metodę adaptacyjną Innym sposobem okeślenia atości pędkości kątoej inika jest metoda nieadaptacyjna Odpoiednio pzekształcając zależności (6) (7) można okeślić pędkość kątoą inika maszyny indukcyjnej klatkoej zgodnie z fomułą: M M (49) Metoda nieadaptacyjna ydaje się być lepszą metodą okeślania atości pędkości kątoej inika ponieaż nie ymagane jest całkoanie dodatkoego członu tak jak (46) oaz adaptacyjne pzestajanie obseatoa D Tzecia metoda odtazania pędkości kątoej inika Pzedstaione da sposoby okeślania atości pędkości kątoej inika można zastosoać tzecim sposobie Tzeci sposób polega na okeśleniu błędu pomiędzy pędkością yznaczaną z (49) nieadaptacyjnie a pędkością kątoą yznaczaną adaptacyjnie (46) Błąd ten poadzono do fomuły (45) oaz na noo okeślono ónanie óżniczkoe estymoanej pędkości kątoej inika Błąd estymoanych pędkości okeślono następująco: (5) gdzie: pędkość estymoana z (49) Jeżeli poyżej zdefinioany błąd pędkości uzględni się fomule (45) to tedy pzyjmuje ona postać: M ( M i) (51) 2 V 1 ( M M i ) 1 PRZEGĄD EEKTROTECHNICZNY ISSN 33-297 R 9 NR 6/214 99
Watość pędkości kątoej inika można yznaczyć z zależności: ( ) ( M M is M M is ) (52) 1 Badania ekspeymentalne Badania ekspeymentalne zealizoano na stanoisku laboatoyjnym z maszyną indukcyjną klatkoą zasilaną z pzekształtnika napięcia Podstaoe paamety maszyny pzedstaiono Tabeli 1 Pzebiegi ybanych ielkości podczas około 6 s naotu maszyny od pędkości -3 do 3 j Pzebiegi zealizoano zamkniętym układzie egulacji z obseatoem typu M któym pędkość kątoą yznaczono adaptacyjnie z zależności (46) (bak obciążenia) Na pzebiegach idoczne jest pzyklejanie się pędkości kątoej inika do osi czasu pzy pzejściu pzez punkt zeo Skutkuje to 5 j błędem pędkości kątoej inika Na ys 2 pzedstaiono pzebiegi błędó ybanych ielkości dla naotu jak na ys 1 3 x i i (53) 12 (54) x21 M[pu] i s [pu] M[pu] 1-1 1-1 1-1 1 [pu] i s [pu] [pu] [pu] -3 5-5 1-1 1 Rys 2 Pzebiegi z ekspeymentu: błędó estymat ektoa M oaz błędó ektoa pądu stojana podczas naotu od -3 do 3 j Pędkość estymoano za pomocą zależności (46) Tabela 1 P n =55 kw n n =15 ob/min U n =4 V I n =11 A Rs=55 j R =45 j m =195 j s =25 j [pu] -1 2 4 6 8 Czas [s] [pu] -1 2 4 6 8 Czas [s] Rys 1 Pzebiegi z ekspeymentu: estymoanej pędkości kątoej inika błędu pędkości estymoanych składoych ektoa stumienia inika podczas naotu od -3 do 3 j Pędkość estymoano za pomocą zależności (46) Na ys 3 i 4 pzedstaiono pzebiegi ybanych ielkości dla naotu Pędkość kątoą inika estymoano za pomocą adaptacyjnej zależności (52) Podczas pzejścia pzez zeo błąd pędkości oscyloał ganicach 1 j Ponadto nieidoczne jest zjaisko pzyklejania pędkości do osi czasu jak to miało miejsce popzednim teście Na ys 5 i 6 pzedstaiono pzebiegi ybanych ielkości dla naotu Pędkość kątoą inika estymoano za pomocą nieadaptacyjnej zależności (49) Podczas pzejścia pzez zeo błąd pędkości oscyloał ganicach 3 j Pędkość kątoa inika sposób płynny pzechodzi pzez zeo W pzepoadzonych testach zastosoano bezczujnikoy układ egulacji ze zmiennymi multiskalanymi któe zdefinioano następująco [4]: [pu] [pu] [pu] Rys 3 Pzebiegi z ekspeymentu: estymoanej pędkości kątoej inika błędu pędkości estymoanych składoych ektoa stumienia inika podczas naotu od -3 do 3 j Pędkość estymoano za pomocą zależności (52) 1 PRZEGĄD EEKTROTECHNICZNY ISSN 33-297 R 9 NR 6/214
1 M[pu] M[pu] i s [pu] M[pu] i s [pu] M[pu] -1 1-1 1-1 1 i s [pu] i s [pu] Rys 4 Pzebiegi z ekspeymentu: błędó estymat ektoa M oaz błędó ektoa pądu stojana podczas naotu od -3 do 3 j Pędkość estymoano za pomocą zależności (52) W zależności (52) ystępują paamety modelu maszyny jednakże pzy mało pecyzyjnym ich okeśleniu odtazana pędkość kątoa inika może mieć chaakte oscylacyjny Na ysunku 7 pokazano pzebiegi zmiennych multiskalanych podczas skokoej zmiany momentu obciążenia od 1 do 6 j -1 2 4 6 8 Czas [s] Rys 6 Pzebiegi z ekspeymentu: błędó estymat ektoa M oaz błędó ektoa pądu stojana podczas naotu od -3 do 3 j Pędkość estymoano za pomocą zależności (49) Estymatoy pędkości z zależności (49) i (52) ykazują podobne łaściości podczas naotu od pędkości -3 do 3 j W (52) ystępują dodatkoe człony któe poodują zmniejszenie błędu estymoanej pędkości kątoej inika podczas pzejścia pzez zeo [pu] 3 [pu] [pu] -3 3 [pu] [pu] 1 x 12 x 21 [pu] x 21 x 12 [pu] -1 1-1 2 4 6 8 Czas [s] Rys 5 Pzebiegi z ekspeymentu: estymoanej pędkości kątoej inika błędu pędkości estymoanych składoych ektoa stumienia inika podczas naotu od -3 do 3 j Pędkość estymoano za pomocą zależności (49) Rys 7 Pzebiegi estymoanej pędkości kątoej inika błędu estymaty pędkości zmiennych multiskalanych x 12 x 21 (53) (54) W 7 s zadano moment obciążenia 6 j a chili 18 s zmniejszono moment obciążenia do j Poniżej pokazano metodę estymacji ezystancji stojana oaz noą popozycję estymacji ezystancji inika Estymacja ezystancji uzojeń stojana i inika Postępując zgodnie z metodą [3 6 7] ezystancję uzojenia stojana można okeślić z następującej fomuły: (55) R s 2 ( z is zi) PRZEGĄD EEKTROTECHNICZNY ISSN 33-297 R 9 NR 6/214 11
Rezystancję uzojenia inika można natomiast okeślić pzy ykozystaniu zależności (47) (48) R _f [pu] R s_f [pu] M[pu] M[pu] Rys 8 Pzebiegi estymoanej ezystancji stojana i inika oaz błędó estymacji ektoa M (atości znamionoe Tablicy 1) ekspeyment Podnosząc do kadatu (47) (48) a następnie obustonnie sumując i pzekształcając otzymano fomułę z któej można uzyskać atość ezystancji uzojenia inika: (56) 6 55 5 5 45 4 2-2 2-2 R R s R 2 4 6 8 M M 2 x21 Czas [s] W (56) ystępuje estymoana pędkość kątoa inika Jeżeli (49) podstai się do (56) tedy poyższa fomuła ma postać: M (57) M R x21 zależną od składoych ektoa M stumienia inika oaz indukcyjności inika Na ys 8 pzedstaiono pzebiegi estymoanej ezystancji uzojeń stojana i inika oaz błędó estymacji ektoa M dla zadanej pędkości kątoej inika 5 j Estymoane paamety modelu ykazują zgodność z atościami nominalnymi Rezystancję inika estymoano za pomocą zależności (56) Podsumoanie Zapezentoany poyżej obseato pędkości kątoej inika typu M pozala na odtazanie pędkości kątoej inika na tzy óżne sposoby Metoda adaptacyjna poiązana z nieadaptacyjną jest najbadziej dokładnym sposobem okeślania atości pędkości kątoej inika We szystkich pezentoanych pzypadkach błąd odtazanej pędkości był mniejszy od 3 j stanie pzejścioym oaz od 1 j stanie ustalonym Sposób adaptacyjny jest najmniej dokładny dla zadanych małych pędkości kątoych inika gdyż pzy pzejściu pzez zeo osi czasu estymoana pędkość kątoa pzykleja się do niej Pomimo tego dla pędkości poyżej 5 j metoda adaptacyjna ykazuje nieielkie błędy odtazania pędkości Głóną zaletą obseatoa typu M jest możliość estymacji ezystancji uzojeń stojana i inika Jednakże dokładność estymacji jest zależna od błędu estymoanej pędkości oaz ektoa stumienia inika i ektoa M Błędy te mogą poadzić do dyftu estymoanych paametó i niestabilności estymatoa pędkości ITERATURA [1] Jafazadeh S ascu C Fadali MS State Estimation of Induction Moto Dives Using the Unscented Kalman Filte IEEE Tans on Industial Elect 59 (212) n11 [2] Ołoska-Koalska T Dybkoski M: Zastosoanie estymatoó typu MRAS do odtazania stumienia i pędkości inika oaz paametó uzojenia stojana bezczujnikoym napędzie indukcyjnym Pace Nauk Inst Maszyn Napędó i Pomiaó Elektycznych Polit Wocłaskiej 62 (28) [3] Kstić M Kanellakopoulos I Kokotović P: Nonlinea and Adaptive Contol Design Wiley-Intescience Publication 1995 [4] Kzemiński Z: Obseve of induction moto speed based on exact distubance model EPE PEMC 28 [5] Kabziński J: Adaptive backstepping contol of a completely unknon pemanent magnet moto Euopean Poe Electonics and Dives Association EPE 27 [6] Moaiec M: Zastosoanie obseatoa zmiennych stanu do identyfikacji paametó maszyny indukcyjnej klatkoej Pzegląd Elektotechniczny (211) n 2 [7] Moaiec M: The adaptive backstepping voltage contol of pemanent magnet synchonous moto supplied by cuent souce invete IEEE Tansactions on Industial Infomatics TII 9 (212) n2 [8] Zhou Q Shi P Xu S i H: Obseve-Based Adaptive Neual Netok Contol fo Nonlinea Stochastic Systems With Time Delay IEEE Tansactions on Neual Netoks and eaning Systems 24 (213) n1 Autozy: d inż Macin Moaiec Politechnika Gdańska Kateda Automatyki Napędu Elektycznego mmoaiec@elypggdapl 12 PRZEGĄD EEKTROTECHNICZNY ISSN 33-297 R 9 NR 6/214