Informacje pomocnicze

Funkcje wymierne. Równania i nierówno±ci wymierne Denicja. (uªamki proste) Wyra»enia postaci Informacje pomocnicze A gdzie A d e R n N (dx e) n nazywamy uªamkami prostymi pierwszego rodzaju. Wyra»enia postaci Bx C (ax 2 bx c) k gdzie B C a b c R k N oraz = b2 4ac < 0 nazywamy uªamkami prostymi drugiego rodzaju. Przypomnijmy znan ju» denicj : Denicja 2. Funkcj wymiern nazywamy funkcj f : (R \ A) R b d c ilorazem dwóch wielomianów: f(x) = P n(x) Q m (x) gdzie P n (x) jest wielomianem stopnia n a Q m (x) to wielomian stopnia m za± A to zbiór wszystkich miejsc zerowych wielomianu Q m (x). Ponadto je»eli n < m to tak funkcj nazywamy funkcj wymiern wªa±ciw. Twierdzenie. Ka»d funkcj wymiern wªa±ciw postaci: W (x) = P n(x) gdzie n < m () Q m (x) mo»na w sposób jednoznaczny rozªo»y na sum uªamków prostych pierwszego i drugiego rodzaju. Algorytm rozkªadania na uªamki proste funkcji wymiernej wªa±ciwej:. Wielomian Q(x) z mianownika wyra»enia wymiernego W (x) = P (x) Q(x) zgodnie z wªasno±ci : wielomian rzeczywisty jednej zmiennej mo»na rozªo»y na iloczyn wielomianów rzeczywistych co najwy»ej drugiego stopnia; rozkªadamy do postaci: Q(x) = q m (x e ) n (x e 2 ) n2 (x e l ) nl (x 2 b x c ) k... (x 2 b r x c r ) kr gdzie δ i = b 2 i 4c i < 0 dla i = 2... r. 2. Wspóªczynnik q m przyjmujemy»e jest równy. Mo»na tak zrobi o ile podzielimy licznik i mianownik wyra»enia W (x) przez q m.

3. Wyra»enie W (x) rozkªadamy w nast puj cy sposób na sum uªamków prostych pierwszego i drugiego rodzaju: W (x) = P (x) Q(x) = p n x n p n x n... p x p 0 (x e ) n (x e2 ) n 2 (x el ) n l (x2 b x c ) k... (x2 b r x c r ) kr = A x e A 2 (x e ) 2 A n (x e ) n... B x e l C x D x 2 b x c B 2 (x e l ) 2 B nl (x e l ) n l C 2 x D 2 (x 2 b x c ) C k x D k 2 (x 2 b x c ) k E x F E 2 x F 2 x 2 b r x c r (x 2 b r x c r ) E k r x F kr (2) 2 (x 2 b r x c r ) kr 4. Aby wyznaczy wspóªczynniki A A 2... B B 2... C D... E kr F kr nale»y sprowadzi praw stron (2) do wspólnego mianownika a nast pnie porówna licznik otrzymanego wyra»enia z wielomianem P (x) tzw. metoda wspóªczynników nieoznaczonych. Uwaga. Je»eli W (x) = P (x) oraz stopie«wielomianu P (x) jest niemniejszy od stopnia wielomianu Q(x) Q(x) to najpierw nale»y podzieli wielomian P (x) przez Q(x). Je»eli w wyniku tego dzielenia otrzymamy wielomian Z(x) oraz reszt z dzielenia R(x) to wówczas mo»emy zapisa : P (x) Q(x) = Z(x) R(x) Q(x). (3) Przykªad. Zaproponuj posta uªamków prostych dla nast puj cych wyra»e«wymiernych: a) 2x (x )(x2) = A B ; x x2 b) 2x 2 3x (x ) 2 (x2) = A x B C ; (x ) 2 x2 c) 2x (x ) 3 (x2) 2 (x)(x 2) = A x B (x ) 2 C D E F G ; (x ) 3 x2 (x2) 2 x x 2 d) 0x 2 (x 2 x5)(x2) = AxB x 2 x5 C x2 ; e) 3x 2 (x 2 2x2) 2 (x 2 3)(x 2) 2 (x ) = AxB x 2 2x2 Przykªad 2. Rozªó» na uªamki proste: CxD ExF (x 2 2x2) 2 x 2 3 a) x 3 x 2. Najpierw rozkªadamy mianownik na czynniki a nast pnie funkcj wymiern na uªamki proste: x 3 x 2 = x 2 (x ) G x 2 H (x 2) 2 I. x x 3 x = A 2 x B x C 2 x = Ax(x ) B(x ) Cx2 x 2 (x ) = (A C)x2 (A B)x B. x 2 (x ) 2

St d x 2 : 0 = A C x : 0 = A B x 0 : = B. Rozwi zuj c powstaªy ukªad mamy: B = A = C = wi c x 3 x 2 = x x 2 x. b) 2x2 3x x 3 3x2. Najpierw rozkªadamy mianownik na czynniki np. z u»yciem metody Hornera Teraz rozkªadamy na uªamki proste: Sprowadzamy do wspólnego mianownika: 2x 2 3x (x ) 2 (x 2) Porównuj c wspóªczynniki mamy: x 3 3x 2 = (x ) 2 (x 2). 2x 2 3x (x ) 2 (x 2) = A x B (x ) C 2 x 2. A(x )(x 2) B(x 2) C(x )2 (x ) 2 (x 2) (A C)x (B A 2C)x C 2A 2B =. (x ) 2 (x 2) x 2 : 2 = A C x : 3 = B A 2C x 0 : = C 2A 2B Rozwi zuj c powy»szy ukªad trzech równa«z trzema niewiadomymi mamy: A = 3 2 B = 3 3 5 5 C = 2. Wobec tego: 5 Denicja 3. Funkcj wymiern postaci: 2x 2 3x (x ) 2 (x 2) = 32 5 x 33 5 (x ) 2 2 5 x 2. f(x) = ax b gdzie ad bc oraz c 0 cx d nazywamy funkcj homograczn. Wykresem jej jest hiperbola. Dziedzin jest zbiór D f = R\{ d c } a zbirem warto±ci funkcji W f = R \ { a c }. Posiada dwie asymptoty: asymptot pionow o równaniu x = d c ; 3

asymptot poziom o równaniu y = a. c Jest monotonicznie: malej ca gdy ad bc < 0; rosn ca gdy ad bc > 0. Rysunek : funkcja homograczna Szczególnym przypadkiem funkcji homogracznej jest funkcja postaci: f(x) = a x. Jej D f = R \ {0} a W f = R \ {0}. Posiada te» dwie asymptoty: asymptot pionow o równaniu x = 0; asymptot poziom o równaniu y = 0. Dla a < 0 jest monotonicznie malej ca i jej wykres znajduje si w II i IV wiartce ukªadu wspóªrz dnych a dla a > 0 monotonicznie rosn ca i jej wykres znajduje si w I i III wiartce ukªadu wspóªrz dnych. Rysunek 2: funkcja y = a x 4

Uwaga 2. Wykresem funkcji f(x) = s q jest hiperbola któr otrzymujemy z przesuni cia x p wykresu funkcji f(x) = s o p jednostek w prawo i q jednostek do góry. x Uwaga 3. Posta f(x) = s q funkcji homogracznej nazywamy postaci kanoniczn. x p Uwaga 4. Wzór ka»dej funkcji homogracznej postaci f(x) = axb gdzie ad bc 0 i c 0 cxd mo»na zapisa w postaci f(x) = s q. x p 5

Zadania. Wyznacz dziedzin wyra»e«wymiernych a nast pnie wykonaj dziaªania. Wynik przedstaw w jak najprostszej postaci. a) 2x 5 3x b) 4x x 4 x5 x c) x x3 x2 d) 4 x 3 x 2 x 3 4x e) 2 5x f) x2 x5 (x)(x 3) x 3 x 2 3x x3 g) 3x x 2 x 2 2 x3 h) x x 2 x 6 x x 2 7x0 2 x 2 x 2 i) 5 x 2 4 x 2 x 5 k) 3x2 x5 : x2 25 x 2 3x 2. Rozwi» równania: a) 3x6 x 2 = 0 b) x 2 25 j) x2 x 6 x2 6x5 x 2 4x 5 x2 l) x2 4x3 x 2 7x6 : x 2 x 2 = 0 x 2 6x5 8x 2 = 0 d) 2x x 2 x 2 2x 3. c) x2 3x 0 = 0 x 2 6x5 x 5x e) 2 = x 2 f) 3x = 2 2x x5 x 3 4x 2 2x8 x 2 6x8 g) 4 4 x 2 x2 = 2 h) 7 x 2 4 x 2 2x i) ( x 2 ) x x = x x j) x 3 8 = 0 x 2 3x2 = ( ) ( x 2 2x4 x : x) 2 x 3. Rozwi» nierówno±ci: a) x(x3) < 0 b) x2 9 0 x 4 x 3 c) < 7 d) x2 2x 3 0 x 2 8x x 2 x 2 4 e) 7 < 0 f) 3 x 0 53x 6 5x x 2 4x3 x 2 5x 4 g) x2 x x2 x > 2 h) x x x x4 3 i) x > x. x 2 4. Zaproponuj posta uªamków prostych wyra»e«wymiernych: x3 a) b) x 2 9 (x 4)(x5) (x)(x 2)(x5) c) x 2 7 (x)(x 2)(x5) 3 d) x 2 7 (x)(x 2) 2 (x5) 5 e) x 2 7 (x )(x 2 ) f) x 2 7 (x )(x 2 )(x 2 x2) 3. 5. Rozªó» wyra»enie wymierne na uªamki proste: x 4 a) x 2 3x 4 b) x3 4x 2 9x9 x 3 3x 2 4x2 (x2) 2 (x4) 2 c) 2x2 x 4 x 3 x 2 2x d) x 2 e) 3x 2 8x3 x 3 9x 2 6x 54 dx f) 2x4 2x 2 4x 2x 3 x 6. Dla jakiej warto±ci parametru m funkcja f(x) = x2 2(m 3)x x 2 3xm2 rzeczywistej x i ma dwa ró»ne miejsca zerowe. jest okre±lona dla ka»dej liczby 7. Wyznacz warto±ci parametru m dla których równanie x 3 = m ró»nych znaków. m 4 ma dwa pierwiastki 8. Znajd¹ asymptoty oraz wspóªrz dne wierzchoªków hiperboli: a) y = 3 2 b) y = 7 x 5 x4 9. Zapisz wzór funkcji homogracznej w postaci kanonicznej oraz wyznacz asymptoty tych funkcji: a) y = 2x8 6x5 b) y = x3 2x 3 c) y = x4 5x d) y = 2x5 3x 4 6

0. Asymptot pionow wykresu funkcji f(x) 4xa xb jest prosta x = 3. a) Oblicz b i podaj równanie asymptoty poziomej wykresu funkcji f. b) Oblicz a je»eli wiadomo»e wykres funkcji f otrzymano z przesuni cia wykresu funkcji g(x) = 5 x. 7