ISSN 644-633 www.acta.media.pl Acta Sci. Pol. Architectura 5 () 6, 55 65 ZASTOSOWANIE METODY RÓNIC SOCZONYCH W MODEU UREDNIONYM PRZEWODNICTWA CIEPNEGO W PERIODYCZNYM ORODU DWUWARSTWOWYM Vazgen Bagdasaryan, Marek Chalecki Szkoa Gówna Gospodarstwa Wiejskiego w Warszawie Streszczenie. Przedmiotem rozwaa w niniejszej pracy s periodyczne kompozyty warstwowe. Zaoono, e skadniki kompozytów s jednorodne i izotropowe. W pracy skonstruowano model przewodnictwa cieplnego, w którym zamiast klasycznego równania Fouriera o niecigych i skokowo zmiennych wspóczynnikach wystpuj równania o staych wspóczynnikach. W pracy przeanalizowano zagadnienia stacjonarne bez róde ciepa. Rozwizanie numeryczne otrzymano, stosujc metod rónic skoczonych. Zbadano wpyw liczby komórek periodycznoci na dokadno wyników otrzymanych metod rónic skoczonych. Sowa kluczowe: kompozyty warstwowe, równanie Fouriera, urednianie tolerancyjne, metoda rónic skoczonych PRZEWODNICTWO CIEPNE W WARSTWOWYCH OMPOZYTACH PERIODYCZNYCH Przedmiotem pracy s niejednorodne orodki warstwowe, których skadniki s jednorodne. Rozpatrywane orodki maj struktur, w której wydzieli mona powtarzajce si elementy o wasnociach zmieniajcych si periodycznie. Wasnoci efektywne przewodników periodycznie warstwowych s wyznaczane metodami homogenizacyjnymi. W celu rozwizania zagadnienia przewodnictwa cieplnego w takich orodkach zastosowano technik uredniania tolerancyjnego. Podstawy tej metody mona znale w wielu monograach [np. Woniak i Wierzbicki, Woniak i in. 8]. Zagadnienia dotyczce przewodzenia ciepa równie omawiane byy w licznych Adres do korespondencji Corresponding author: Vazgen Bagdasaryan, Szkoa Gówna Gospodarstwa Wiejskiego, Wydzia Budownictwa i Inynierii rodowiska, Zakad Mechaniki, ul. Nowoursynowska 59, -776 Warszawa, e-mail: vazgen_bagdasaryan@sggw.pl Copyright by Wydawnictwo SGGW, Warszawa 6
56 V. Bagdasaryan, M. Chalecki pracach [np. Piwowarski 6, Michalak i in. 7, Jurczak, Bagdasaryan i Nagórko 3, Szlachetka i in. 3]. Rozwizanie zagadnienia dwuwymiarowego przewodzenia ciepa w orodku o funkcyjnej gradacji wasnoci przy uyciu metody rónic skoczonych znale mona w pracy Radzikowskiej i Wirowskiego []. onguracj rozpatrywanych w pracy orodków jest obszar. = (, ) (, ) (, 3 ). Przewodnik jest periodyczny w kierunku osi, z elementem reprezentatywnym Λ <,λ > podzielonym na czci o dugociach i, i =,, tak e + =. Przewodnik podzielony jest na n elementów reprezentatywnych, a wic na n warstw. Wprowadzono oznaczenia i i i+ i Λi λ + λ, λ + λ i i i i i i dla i =, 3, 5,..., n oraz Λi λ+ λ, λ + λ i i..., n. Wtedy Ω i =Λ i (, ) (, 3) jest i-t warstw przewodnika, i =,..., n. dla i =, 4, 6, Na rysunku przedstawiono periodyczny przewodnik dwuwarstwowy. x 3 3 λ λ Rys.. Fig.. Periodyczny kompozyt dwuwarstwowy Periodically stratied two-layered composite Zaoono, e przewodnik jest niejednorodny oraz e kada warstwa jest jednorodna. W przypadku przewodnika warstwowego wspóczynniki tensora przewodnictwa ciepa, ciepo waciwe c i gsto masy s funkcjami periodycznymi o okresie. Dla orodków izotropowych wspóczynniki tensora przewodnictwa ciepa przyjto jako kl =, dla k = l oraz kl =, dla k l, k, l =,, 3. Zaoono, e wasnoci termiczne w orodku zmieniaj si tylko w kierunku osi. I tak na przykad dla wspóczynnika przewodnictwa cieplnego: (,, x 3 ) = ( ) oraz ( x ) (, λ ) dla x (, λ ) dla (, ) = x λ λ + λ Wielkoci i i s stae. Acta Sci. Pol.
Zastosowanie metody rónic skoczonych... 57 Dla pozostaych wielkoci zachodzi analogiczna zaleno. Oznaczono przez θ = θ( x, x, x3, t), ( x, x, x3) Ω, t < to, t > temperatur, a przez f = f(,, x 3, t) wydajno róde ciepa. Równanie przewodnictwa cieplnego rozpatrywanych przewodników ma posta: cρθ θ = f (), ii Równanie przewodnictwa ciepa () jest równaniem róniczkowym liniowym o zmieniajcych si skokowo wspóczynnikach. Dla takiego opisu mona zbudowa model prostszy, w którym wspóczynniki bd stae. UREDNIONY MODE PRZEWODNICTWA CIEPNEGO PERIODYCZNYCH PRZEWODNIÓW WARSTWOWYCH Do modelowania zastosowano technik uredniania tolerancyjnego [Woniak i Wierzbicki ]. Zgodnie z t technik przyjto rozkad temperatury w postaci: θ( x, x, x, t) = ϑ( x, x, x, t) + h ( x ) ψ ( x, x, x, t) () A A 3 3 3 gdzie, A =,,..., M, ϑ jest temperatur urednion, a A s funkcjami nazwanymi uktuacjami, opisujcymi wpyw niejednorodnoci na przewodnictwo ciepa. Funkcje h A s danymi Λ-periodycznymi, oscylujcymi funkcjami ksztatu. Funkcjami poszukiwanymi s ϑ oraz A. Równania modelu dla rozkadu () byy wyprowadzane w wielu pracach [np. Woniak i in. 8, Bagdasaryan i Nagórko 3] i maj posta: cρϑ ϑ, ϑ, ϑ, h, ψ, = f 33 cρh ψ h ( ψ, + ψ, ) + ( h, ) ψ + h, ϑ, = fh 33 (3) gdzie dla dowolnej funkcji g g = g( y) dy Λ (4) Λ W przypadku przewodnika dwuwarstwowego funkcj ksztatu zaoono w postaci funkcji przedziaami liniowej: λ λ x dla x <, > λ λ λ λ λ λ λ λ λ λ λ x dla x λ, λ λ λ hx ( ) = x dla x <, > + < > (5) Architectura 5 () 6
58 V. Bagdasaryan, M. Chalecki Na rysunku przedstawiono wykresy przyjtych funkcji ksztatu przy zaoeniu: =,6 m, =,4 m, =, m..3.....4.6..3 Rys.. Fig.. Wykres funkcji ksztatu z zaznaczonymi granicami warstw Graph of shape function with marked layer boundaries W przypadku funkcji ksztatu przyjtej w postaci (5) oraz periodycznego kompozytu dwuwarstwowego, dla którego wasnoci termomechaniczne (ciepo waciwie c, wspóczynnik przewodnictwa cieplnego, gsto masy ) oznaczono ogólnie odpowiednio w pierwszej oraz drugiej warstwie, wystpujce w równaniach wielkoci urednione maj posta: φ = ηφ ' + ηφ'', φh, = φ' φ'', φh = ( ηφ ' + ηφ'' ) λ, φ' φ'' φ( h, ) = + η η (6) We wzorze (6): λ λ η =, η, η η. λ = λ + = MODE ASYMPTOTYCZNY Jeli wykorzystujc przejcie graniczne, w równaniach (3) pominie si wyrazy rzdu O( ), a dodatkowo zaoy si brak róde ciepa, to ukad równa modelowych przyjmie nastpujc posta: cρϑ ϑ, ϑ, ϑ, h, ψ, = h (, ) ψ + h, ϑ, = 33 (7) Z równania (7) wyznaczy mona amplitud uktuacji w postaci: ψ h, = ϑ, (8) h (, ) Acta Sci. Pol.
Zastosowanie metody rónic skoczonych... 59 Po podstawieniu amplitudy uktuacji do (7) otrzymano znane równanie na temperatur urednion w postaci: (9) eff cρϑ ϑ ϑ ϑ33 = gdzie przez eff oznaczono efektywny wspóczynnik przewodnictwa cieplnego: h, eff = () h (, ) Równanie (9) przyjmuje posta analogiczn do równania Fouriera (), z tym e wystpuj w nim urednione stae wspóczynniki. Jeli do równania () wstawi si warto uktuacji (8), to otrzyma si poszukiwan temperatur w postaci: h, θ(, x ξ, ξ3,) t = ϑ(, x ξ, ξ3,) t h() x ϑ,(, x ξ, ξ3,) t () h (, ) Równania (7) () przedstawiaj model przewodnictwa cieplnego przewodników warstwowych uzyskany w ramach techniki uredniania tolerancyjnego. PRZYAD ROZWIZANIA Zaoenia Niech przedmiotem rozwaa bdzie dwuwarstwowy przewodnik o konguracji odniesienia = (, ) (, ). Zaoono, e skada si on z jednorodnych i izotropowych warstw równolegych do osi. W przypadku dwuwymiarowego zagadnienia stacjonarnego przewodzenia ciepa równanie (9) na temperatur urednion ϑ przyjmuje posta: eff ϑ, + ϑ, = () gdzie eff okrelono zwizkiem (). Równanie () mona zapisa w postaci: ϑ, + κ ϑ, = (3) gdzie κ = eff Warunki brzegowe przyjto w postaci: ϑ( x,) = ϑ( x, ) =, ϑ(, x ) = f ( x ), ϑ(, x ) = f ( x ) (4) Metoda rónic skoczonych Problem opisany równaniem (3) rozwizano, stosujc metod rónic skoczonych. Rozwizania otrzymano dla przewodnika, w którym =, m, =, m. Niech rozpatrywany przewodnik bdzie zoony z dwu jednorodnych i izotropowych warstw styro- Architectura 5 () 6
6 V. Bagdasaryan, M. Chalecki pianu W ' =,4, λ =,m oraz betonu komórkowego o klasie gstoci 6 m W '' =,, λ =,4 m. Nasycenie kadej warstwy poszczególnymi materiaami jest równe η = =, η = η =, odpowiednio dla warstwy i warstwy. m λ λ 3 3 Rozwizanie otrzymano dla rónych wielkoci komórki periodycznoci :,3 m;,6 m;, m;,5 m;,4 m;,6 m. W przypadku funkcji ksztatu (5) otrzymano nastpujce wartoci urednione: W W =,54 ih, =,68 m m W eff W i ( h, ) =,44 =,9 m m (5) Po obliczeniu podstawowych wielkoci uzyskano wystpujc w równaniu (3) warto wspóczynnika κ = =,7 eff. Przyjto ponadto, e na brzegach = oraz = zadana jest temperatura w formie π y funkcji f( x) = f( x) = 4sin. Rysunek 3 przedstawia siatk MRS dla rozpatrywanego przewodnika. W lewej cz- ci pokazano warunki brzegowe, w prawej numeracj wzów przy zaoeniu, e oczko siatki jest kwadratem o boku h = n = m, i podziale na n elementów wzdu osi oraz na m elementów wzdu osi. ϑ =,,,3,n-,n,n+,,,3,n-,n,n+ ϑ=f(x) ϑ=f(x) 3, 3, 3,3 3,n- 3,n 3,n+ ϑ = m-, m-, m-,3 m-,n- m-,n m-,n+ m, m, m,3 m,n- m,n m,n+ m+, m+, m+,3 m+,n- m+,n m+,n+ Rys. 3. Fig. 3. Warunki brzegowe i siatka MRS dla rozpatrywanego przewodnika Boundary conditions and FDM mesh for the conductor under considerations Acta Sci. Pol.
Zastosowanie metody rónic skoczonych... 6 Naley zatem znale wartoci temperatury w (n + )(m + ) = mn + m + n + wzach. Warunki brzegowe daj (m + ) + (n + ) m + n wartoci, czyli niewiadomych pozostaje mn m n +. Dla punktu wewntrznego o wspórzdnych i, j (i =,..., m; j =,..., n + ) równanie (3) przeksztacono na równanie rónicowe nastpujco: ϑ + ϑ ( κ + ) ϑ + κ ϑ + κ ϑ = (6) i+, j i, j i, j i, j+ i, j Do wyznaczenia amplitudy uktuacji (8) potrzebna jest pochodna ϑ,, któr przybliono ilorazem rónicowym: ϑi+, j ϑi, j ϑ, (7) h Rozwizanie otrzymano, przyjmujc siatk kwadratow o wymiarach cm na cm, co daje m = i n =, a wic 78 równa rónicowych. Równania te rozwizano w rodowisku MATHEMATICA. Wyniki przedstawiono dla =,6 m. Rysunek 4a pokazuje rozkad temperatury urednionej z warunkami brzegowymi przyjtymi w postaci równania (4), a rysunek 4b rozkad temperatury cakowitej (, ) z uwzgldnieniem dekompozycji mikro-makro (równanie 3). Rysunek 5 przedstawia wykresy temperatury cakowitej i temperatury urednionej w przekrojach =,, =,5, =,5. a b θ Rys. 4. Fig. 4. Rozkad temperatur dla liniowej funkcji ksztatu: a temperatura uredniona, b temperatura cakowita Distribution of temperatures for linear shape function: a averaged temperature, b total temperature Na rysunkach 4b i 5 wyranie wida wpyw warstwowej struktury przewodnika na przepyw ciepa. Wpyw ten maleje wzdu osi, co wynika z równania (8). Architectura 5 () 6
6 V. Bagdasaryan, M. Chalecki 4 ϑ 3 =,5 =,5 =, 4 6 8 Rys. 5. Fig. 5. Rozkad temperatury urednionej i cakowitej w wybranych przekrojach dla liniowej funkcji ksztatu Distribution of averaged and total temperature in selected sections for linear shape function Rozwizanie cise Rozwizanie równania (3) otrzyma mona równie w postaci cisej [Zill i Wright ]. Rozwizanie to otrzymuje si metod separacji zmiennych i z zastosowaniem zasady superpozycji (rys. 6): gdzie: ϑ( x, x ) = ϑ ( x, x ) + ϑ ( x, x ) (8) κnπ κnπ nπ ϑ ( x, x ) = A cosh x + B sinh x sin x n n n= κnπ κnπ nπ ϑ ( x, x ) = C cosh x + D sinh x sin x n n n= nπ An = f( x )sin xdx nπ κnπ Bn = g( x)sin xdx Ancosh κnπ sinh Acta Sci. Pol.
Zastosowanie metody rónic skoczonych... 63 nπ Cn = F( x )sin x dx nπ κnπ Dn = G( x)sin xdx Cncosh κnπ sinh g( ) g( ) F(x) ϑ(, ) G(x) ϑ (, ) F(x) ϑ (, ) G(x) f( ) f( ) Rys. 6. Zasada superpozycji przy rozwizywaniu równania (3) [Zill i Wright ] Fig. 6. Rule of superposition by solving of equation (3) Rozwizanie cise dao wykresy niemal identyczne jak wykresy otrzymane metod rónic skoczonych, z tego powodu nie zostay one zamieszczone w pracy. ANAIZA DOADNOCI ROZWIZA PRZYBIONYCH Sprawdzono dokadno zastosowanej metody rónic skoczonych w zalenoci od liczby komórek periodycznoci, na które podzielony zosta przewodnik. Porównania dokonano, wyznaczajc najwiksze bdy wzgldne wartoci temperatury cakowitej, otrzymane metod rónic skoczonych, w stosunku do wyników cisych. Wykres zalenoci wartoci bdu wzgldnego od liczby komórek periodycznoci n przedstawia wykres (rys. 7), przy czym: MRS cise θ θ δ = max % cise (9) θ. δ.5..5 Rys. 7. Fig. 7. 3 4 Bd wzgldny (równanie 9) w zalenoci od liczby komórek Relative error (eq. 9) vs. number of periodicity cells n Architectura 5 () 6
64 V. Bagdasaryan, M. Chalecki Z wykresu na rysunku 7 wynika, e dokadno rozwizania metod rónic skoczonych ronie (tzn. bd wzgldny maleje) wraz z liczb komórek periodycznoci (przy zachowaniu tej samej siatki podziau MRS). Bd ten jest bardzo may, co oznacza, e w porównaniu z rozwizaniem cisym metoda rónic skoczonych daje zadowalajce wyniki. Rozwizanie metod rónic skoczonych mona uzna za zgodne ze cisym ju przy kilkunastu komórkach periodycznoci. Mona zatem przyj, e w przypadku rozwizywania zagadnie o nieznanych rozwizaniach cisych metoda rónic skoczonych da wystarczajco dokadne wyniki ju przy stosunkowo nieduej liczbie komórek periodycznoci. PODSUMOWANIE W klasycznym modelu przewodzenia ciepa, opisanym równaniem Fouriera na maych przedziaach okrelonoci funkcji dla rozwaanych przewodników, wystpuj wspóczynniki niecige, skokowo zmienne. Przedstawiony model, opisany równaniem na urednion temperatur, ma wspóczynniki stae. Rozwizania numeryczne otrzymano metod rónic skoczonych przy przyjciu kwadratowej siatki podziau. Metoda ta jest stosunkowo prosta oraz wygodna ze wzgldu na swobod wyboru warunków brzegowych. Wyniki otrzymano dla rónej liczby komórek periodycznoci i porównano je z rozwizaniami cisymi. Okazuje si, e metoda rónic skoczonych daje wyniki porównywalne z wynikami cisymi ju przy kilkunastu komórkach periodycznoci. Bd wzgldny wyników otrzymanych MRS-em w stosunku do wyników cisych maleje wraz ze zwikszaniem liczby komórek periodycznoci. Skonstruowany model wydaje si by wygodnym narzdziem do badania przewodnictwa ciepa w warstwowych materiaach wieloskadnikowych. PIMIENNICTWO Bagdasaryan, V., Nagórko, W. (3). Model asymptotyczny przewodnictwa cieplnego w orodkach wieloskadnikowych o funkcyjnej gradacji wasnoci materiaowych. Acta Sci. Pol., Architectura, (3), 3 5. Jurczak, T. (). Modelowanie tolerancyjne przewodzenia ciepa w materiaach periodycznie niejednorodnych. Praca doktorska. Warszawa. Michalak, B., Woniak, Cz., Woniak, M. (7). Modelling and analysis of certain functionally graded heat conductors. Arch. Appl. Mech., 77, 83 834. Piwowarski, M., 6, Przewodnictwo cieplne w orodkach periodycznie wieloskadnikowych. Praca doktorska. Czstochowa. Radzikowska, A., Wirowski, A. (). Two-dimensional heat conduction in the laminate with the functionally graded properties. Civil and Environmental Engineering reports, 8, 6 68. Szlachetka, O., Wgrowska, M., Woniak, Cz. (3). Effective heat conductivities in certain biperiodically stratied composites. Acta Sci. Pol., Architectura, (4), 5 5. Woniak, Cz., Wierzbicki, E. (). Averaging techniques in thermomechanics of composite solids. Tolerance averaging versus homogenization. Wydawnictwo Politechniki Czstochowskiej, Czstochowa. Acta Sci. Pol.
Zastosowanie metody rónic skoczonych... 65 Woniak, Cz., Michalak, B., Jdrysiak, J., red. (8). Thermomechanics of microheterogeneous solids and structures. Tolerance averaging approach. Politechnika ódzka, ód. Zill, D.G., Wright, W.S. (). Differential Equations with boundary-value problems. Brooks/ Cole Cengage earning. APPICATION OF FINITE DIFFERENCE METHOD IN AN AVERAGED MODE OF HEAT CONDUCTION IN PERIODICAY STRATIFIED TWO-AYERED MEDIUM Abstract. The subject of the paper are periodically layered composites. It is assumed that the components of the composites are homogeneous and isotropic. A model of heat conduction was constructed in which the classical Fourier equation with discontinuous and jumptype varying coefcients was substituted with an equation with constant coefcients. In the paper, stationary problems without heat sources were analysed. The numerical solution was obtained as a result of application of nite difference method. The inuence of the number of periodicity cells on the accuracy of results obtained with nite difference method was investigated. ey words: layered composites, Fourier s law, tolerance averaging, nite difference method Zaakceptowano do druku Accepted for print:.6.6 Cytowanie: Bagdasaryan, V., Chalecki, M. (6). Zastosowanie metody rónic skoczonych w modelu urednionym przewodnictwa cieplnego w periodycznym orodku dwuwarstwowym. Acta Sci. Pol. Architectura, 5 (), 55 65. Architectura 5 () 6