EFEKT BRZEGOWY W WARSTWOWEJ PRZEGRODZIE

Transkrypt

1 Architectura 1 (3) 11, 7 34 EFEKT BRZEGOWY W WARSTWOWEJ PRZEGRODZIE O PODUNEJ GRADACJI WASNOCI Olga Szlachetka, Monika Wgrowska 1 Szkoa Gówna Gospodarstwa Wiejskiego w Warszawie Streszczenie. Rozpatrzono stacjonarne, jednowymiarowe zagadnienie przewodnictwa ciepa w wielowarstwowej przegrodzie o podunej gradacji wasnoci. Zbadano wpyw efektu warstwy brzegowej na rozkad pól temperatury w wielowarstwowym laminacie. Przegroda zbudowana jest z dwóch jednorodnych, izotropowych przewodników ciepa. Sowa kluczowe: przewodnictwo ciepa, materia z funkcyjn gradacj wasnoci efektywnych WSTP Jednym z najwaniejszych zada w badaniach nad wielowarstwowymi strukturami jest okrelenie w nich rozkadu napre, odksztace czy temperatury. W pracy uwaga skupiona jest tylko na zagadnieniach termicznych. W przypadku niejednorodnych struktur warstwowych bezporednie zastosowanie równania przewodnictwa ciepa Fouriera do wyznaczania rozkadu temperatury stwarza komplikacje obliczeniowe, bowiem równanie to posiada niecige, silnie oscylujce wspóczynniki, a konieczno spenienia warunków cigoci strumienia ciepa na styku warstw prowadzi do duej liczby równa. Celowe jest wic stosowanie modeli przyblionych. Jednym z nich jest metoda modelowania asymptotycznego. Pozwala ona w prosty sposób wyznaczy przybliony rozkad pola temperatury w rozpatrywanym laminacie. Niestety wyznaczone pole temperatury nie spenia zadanych warunków brzegowych na brzegach przecinajcych uwarstwienie. Otrzymane w ramach modelu asymptotycznego rozwizanie uzupenia si o dodatkowy skadnik [Woniak 1, Szlachetka i Wgrowska 1], by otrzymane nowe przyblione rozwizanie na pole temperatury spenio warunki brzegowe. Za pomoc tego nowego rozwizania wyznaczy mona rozkad temperatury w obszarze przybrzegowym i okreli zasig wpywu warstwy brzegowej. Adres do korespondencji Correspondig author: Olga Szlachetka, Szkoa Gówna Gospodarstwa Wiejskiego w Warszawie, Wydzia Budownictwa i Inynierii rodowiska, Katedra Inynierii Budowlanej, ul. Nowoursynowska 159, -776 Warszawa, olga_szlachetka@sggw.pl

2 8 O. Szlachetka, M. Wgrowska Rozpatrywana wielowarstwowa przegroda, bdca przewodnikiem ciepa, w konguracji odniesienia zajmuje obszar: Ω (, L) (, ) R, x = ( x, x, x 3 ), x (, L), 3 x (, ), x R. Przegroda zbudowana jest z m dwuskadnikowych warstw o staej gruboci = L 1, 1. m m << Skadniki w warstwach przylegaj do siebie idealnie. Wspóczynniki przewodzenia ciepa izotropowych komponentów wchodzcych w skad przegrody oznaczono przez k i k. Schemat struktury przegrody zosta zaprezentowany na rysunku 1. Rys. 1. Fig. 1. Schemat struktury o podunej gradacji wasnoci: grubo warstwy, L, wymiary laminatu,, brzegi laminatu Scheme of FGM with longitudinal gradation: thickness, L, dimensions of the laminate,, boundaries of the laminate Na rysunku kolorem czarnym zaznaczono materia, który w pracy nazywany bdzie 1 wtrceniem. Funkcja ϕ () C ( Ω ), opisujca rozkad frakcji materiau wtrcenia, ze wzgldu na budow przegrody zaley tylko od wspórzdnej x. Przyjmuje ona wartoci z przedziau (, 1) dla kadego x [, ]. Udzia drugiego materiau (na rys. 1 oznaczonego kolorem biaym), nazywanego osnow, wynosi 1 ϕ (). Funkcja ϕ () wolno zmienia swoje wartoci w kierunku osi Ox. Taki kompozyt nazywa si struktur o funkcyjnej podunej gradacji wasnoci. Przegroda bdzie poddana jednokierunkowemu, stacjonarnemu przewodnictwu ciepa w kierunku osi Ox. METODYKA Ze wzgldu na budow przegrody nie mona w niej wyznaczy analitycznie rozkadu temperatury bezporednio ze znanego równania przewodnictwa ciepa Fouriera. Rozwizanie przyblione uzyskano, stosujc metod modelowania asymptotycznego [Thermo- Acta Sci. Pol.

3 Efekt brzegowy w warstwowej przegrodzie... 9 mechanics... 8], i zgodnie z jej procedur poszukiwane pole temperatury aproksymuje si wyraeniem bdcym sum temperatury urednionej i iloczynu uktuacyjnej funkcji ksztatu i amplitudy uktuacji: ( x) = ( x) + h ( x, x ) ( x) θ ϑ ψ (1) 1 gdzie: ϑ(), ψ () C ( ) Ω poszukiwane funkcje, nazywane odpowiednio temperatur urednion i amplitud uktuacji temperatury, dana z góry uktuacyjna funkcja ksztatu, która spenia warunek h (, ) = h ( L, ) = i jest liniow funkcj argumentu (x, x ), przy czym jej wartoci w kierunku osi zmieniaj si bardzo wolno; dodatkowo zaoono, e funkcja ta przyjmuje naprzemiennie wartoci i i na granicy materiaów. h () Pamitajc, e rozkad materiau wtrcenia wewntrz pojedynczej warstwy zmienia si bardzo wolno w kierunku osi Ox, mona przybliy prostopad do paszczyzny granicznej midzy materiaami przez o Ox. Dziki temu warunek cigoci wektora strumienia ciepa w kierunku prostopadym do uwarstwienia na interfejsach moe R M by przedstawiony w postaci q. 1 = q1 Daje to moliwo wyraenia w ramach modelu przez ϑ () : asymptotycznego nieznanego pola ( ) ( 1 )( ' '') ( ) ϕ( ) ( ) + ( ϕ( )) ϕ x x k k ψ ( x) = ϑ ( x ) () ϕ x k'' 1 x k' gdzie:. x Dla stacjonarnego jednowymiarowego zagadnienia przewodnictwa ciepa równanie na temperatur urednion w modelu asymptotycznym przyjmuje posta: ( ) ( ) < k > x ϑ x = (3) gdzie < k > jest efektywnym wspóczynnikiem przewodzenia ciepa, który wynosi: ( ) ' ϕ( ) ''( 1 ϕ( )) < k > x k x + k x (4) Równania (3) wraz z dekompozycj pola temperatury (1) reprezentuj model asymptotyczny, opisujcy stacjonarne jednokierunkowe przewodnictwo ciepa w kierunku prostopadym do osi Ox w rozpatrywanej przegrodzie o podunej gradacji wasnoci efektywnych. Architectura 1 (3) 11

4 3 O. Szlachetka, M. Wgrowska Po rozwizaniu równania (3) na ϑ () rozwizanie na poszukiwane pole temperatury dla rozpatrywanego laminatu, zgodnie z formu aproksymacyjn, mona zapisa: gdzie: () 1 ( x) ( x) = ( x) + h ( x, x ) M ( x ) ( x) θ θ ϑ ϑ ( ) M x ( 1 )( ' '') ( ) ϕ( ) ( ) + ( ϕ( )) ϕ x x k k = ϕ x k'' 1 x k' (5) (6) Z postaci otrzymanego rozwizania (5) wynika, e warunek brzegowy na brzegu: = (, L) { } R (, L) { } R =, nie jest speniony (rys. 1). Taka sama sytuacja wystpia podczas analizy stacjonarnego jednokierunkowego przewodnictwa ciepa w kierunku prostopadym do uwarstwienia w przegrodzie o poprzecznej gradacji wasnoci [Szlachetka i Wgrowska 1]. W biecej pracy problem ten zostanie rozwizany analogicznie jak w pracy Szlachetka i Wgrowska [1]. Rozwizanie na temperatur w obszarze przylegym do brzegów laminatu dla danego punktu x [Woniak 1] przyjto w postaci: ( ) ( ) () ( ) h ( x x ) ( x x ) θ x; ξ = θ x +, υ, ξ, (7) 1 3 gdzie: wspórzdna prostopada do brzegów, i skierowana do wntrza kompozytu, () 1 θ () pole temperatury uzyskane w ramach modelowania asymptotycznego, przedstawione zalenoci (5), funkcja h () znana uktuacyjna funkcja ksztatu, ϑ () poszukiwana funkcja, wolnozmienna ze wzgldu na zmienn x. Funkcj ϑ () w kadym z obszarów przylegych do odpowiednych brzegów, wyznacza si z równania otrzymanego w ramach modelu tolerancyjnego: ( h ) ( ) ( 3 ) ( ) ( ) ( 3 k x ξ υ x ξ x h k x υ x ξ x ),,,, = (8), spenia odpowied- W rówaniu (8) przyjto oznaczenie ξ. ξ Funkcja ϑ (), która wystpuje w równaniu (8), na brzegach nio warunki brzegowe: 3 3 ( x x ) = M ( x ) ( ) ( x x ) = M ( x ) ( ) υ, ξ, ϑ x ; υ, ξ, ϑ x (9) Acta Sci. Pol.

5 Efekt brzegowy w warstwowej przegrodzie Wykorzystujc rozwizanie równania (8) z warunkami brzegowymi (9), mona stwierdzi, e poszukiwane pole temperatury dla rozpatrywanego laminatu z uwzgldnieniem efektu warstwy brzegowej przyjmuje w obszarze przylegym do brzegu po- sta (1a), wtedy = x, a w obszarze przylegym do brzegu przyjmuje posta (1b), wtedy = x : ( ) ( x) ( x) h ( x, x ) M ( x ) ( x) θ ϑ ϑ = + + ( ) ( x) ( x) h ( x, x ) M ( x ) ( x) θ ϑ ϑ ( (, )) ( (, )) h x x k + h ( x, x )( M ( x ) ϑ ( x) ) exp x h x x k = + + ( (, )) ( (, )) h x x k + h ( x, x )( M ( x ) ϑ ( x) ) exp x h x x k ( ) (1a) (1b) Z postaci rozwizania (1) wynika, e efekt warstwy brzegowej zanika wraz z oddalaniem si od brzegów, do wntrza kompozytu. ANALIZA Rozpatrywany jest laminat o podunej gradacji wasnoci o gruboci L = 54 cm, wysokoci = cm i nieskoczonej dugoci w kierunku osi x 3. Skada si on z 7 dwuskadnikowych warstw o staej gruboci = cm. Wspóczynniki przewodzenia ciepa komponentów wynosz k =,45 W m 1 K 1 1 we wtrceniu oraz k = 1,7 W m 1 K w matrycy. Zgodnie z procedur modelowania asymptotycznego przyjto nastpujce 3 ϑ, x, x = 1 C, warunki brzegowe na jednowymiarow temperatur urednion: ( ) 3 3 ϑ ( 54, x, x ) = C, x (, ), x R, ϑ( ) ϑ( ) x (, 54), 3 x x,, x = x,, x = 1 + x, 9 R. Rozkad funkcji ϕ () zadano w postaci funkcji liniowej (x ) = x =. 5 Na rysunku przestawiono wykresy temperatury w pitej warstwie przegrody wyznaczone ze wzoru (5) na rónych wysokociach x. Zmienno rozkadów temperatury zwizana jest z faktem, e wraz ze zmian wspórzdnej x zmienia si zawarto materiau wtrcenia (styropianu), który jest lepszym izolatorem ciepa ni materia matrycy (beton). Ponadto krzywa 1 i krzywa 8, które zostay wykrelone odpowiednio dla x = cm i x = cm, czyli na brzegach dolnym i górnym przegrody, obrazuj sygnalizowany w rozdziale Metodyka problem niespenienia zaoonych warunków brzegowych. Architectura 1 (3) 11

6 3 O. Szlachetka, M. Wgrowska Rys.. Fig.. Rozkady pola temperatury w pitej warstwie bez uwzgldnienia efektu warstwy brzegowej dla rónych wspórzdnych x : 1 x = cm, x = 5 cm, 3 x = 5 cm, 4 x = = 1 cm, 5 x = 15 cm, 6 x = 15 cm, 7 x = 175 cm, 8 x = cm Distribution of temperature eld without consideration of boundary layer effect in the 5 th layer for different coordinates x : 1 x = cm, x = 5 cm, 3 x = 5 cm, 4 x = = 1 cm, 5 x = 15 cm, 6 x = 15 cm, 7 x = 175 cm, 8 x = cm Natomiast rozwizanie (1), uwzgldniajce efekt warstwy brzegowej, spenia warunki brzegowe na brzegach przecinajcych uwarstwienie. Mona to zaobserwowa na rysunkach 3 i 4 wykonanych dla dziesitej warstwy przegrody, na których krzywe 1 przedstawiaj wykresy temperatury odpowiednio na brzegu i. Wykres krzywych 1 jest gadki, bez oscylacji. Rys. 3. Fig. 3. Rozkady pola temperatury w dziesitej warstwie z uwzgldnieniem efektu warstwy brzegowej dla rónych odlegoci od brzegu : 1 = cm, =,5 cm, 3 = =,1 cm, 4 =, cm, 5 =,6 cm, i bez uwzgldnienia efektu warstwy brzegowej: 6 x =,6 cm; A powikszony fragment wykresu Distribution of temperature eld in 1 th layer with consideration of boundary layer effect for different distances from the edge : 1 = cm, =,5 cm, 3 =,1 cm, 4 =, cm, 5 =,6 cm, and without consideration of boundary layer effect: 6 x =,6 cm; A magnied part of the graph Acta Sci. Pol.

7 Efekt brzegowy w warstwowej przegrodzie Rys. 4. Rozkady pola temperatury w dziesitej warstwie z uwzgldnieniem efektu warstwy brzegowej dla rónych odlegoci od brzegu : 1 = cm, =,5 cm, 3 = = 1 cm, 4 = cm, 5 =,8 cm, i bez uwzgldnienia efektu warstwy brzegowej: 6 x = 197, cm; A powikszony fragment wykresu Fig. 4. Distribution of temperature eld in 1 th layer with consideration of boundary layer effect for different distances from the edge : 1 = cm, =,5 cm, 3 = = 1 cm, 4 = cm, 5 =,8 cm, and without consideration of boundary layer effect 6 x = 197, cm; A magnied part of the graph Na omawianych rysunkach znajduj si wykresy temperatury dla rónych odlegoci od poszczególnych brzegów,, oznaczone kolejno symbolami 5. Krzywe oznaczone symbolem 6 przedstawiaj wykresy temperatury w rodku kompozytu, wedug wzoru (5). Przyjto, e wpyw brzegu dochodzi do gbokoci, dla której rónica midzy rozwizaniem (5) i (1) jest w przyblieniu równa,1c, tj.,3%. Mona stwierdzi, e w pobliu brzegu zasig wpywu warstwy brzegowej dochodzi do gbokoci,6 cm, a w pobliu brzegu do gbokoci,8 cm. Wynika std, e w pobliu brzegu, gdy < 1,4, rozkad temperatury mona przyj zgodnie ze wzorem (1b), a w pobliu brzegu, gdy <,13, rozkad temperatury mona przyj zgodnie ze wzorem (1a). Po przekroczeniu granicznych wartoci i rozkad temperatury we wntrzu przegrody moe by wyznaczony ze wzoru (5). PODSUMOWANIE W wyniku zastosowania procedury modelowania tzw. efektu warstwy brzegowej otrzymane rozwizanie na temperatur spenia zadane warunki brzegowe. Wpyw efektu warstwy brzegowej zanika wraz z oddalaniem si od brzegów,. Wpyw ten utrzymuje si do gbokoci równej 1,4 gruboci pojedynczej warstwy rozwa- anego laminatu w pobliu brzegu, a w pobliu brzegu do gbokoci równej,13 gruboci pojedynczej warstwy. Oznacza to, e w odlegociach od brzegów,, wikszych ni okrelone graniczne wartoci odpowiednio i, pole temperatury moe by aproksymowane przez rozwizanie otrzymane w ramach modelowania asymptotycznego. Architectura 1 (3) 11

8 34 O. Szlachetka, M. Wgrowska Z postaci rozwizania (1) wynika, e efekt warstwy brzegowej zaley od rodzaju materiaów wchodzcych w skad przegrody (dla materiaów o zblionych wartociach wspóczynników przewodzenia ciepa wpyw ten bdzie mniejszy, ni dla materiaów charakteryzujcych si znaczn rónic midzy wartociami staych materiaowych), od budowy wewntrznej (rozkadu frakcji materiau wtrcenia), od wymiarów zewntrznych przegrody, od kierunku przewodnictwa ciepa (wzdu uwarstwienia w rozwaanym kompozycie nie wystpiby efekt brzegowy). PIMIENNICTWO Mathematical Modelling and Analysis in Continuum Mechanics of Microsrtructured Media. Professor Margaret Woniak pro Memoria, 1. Ed. Cz. Woniak et al. Wydawnictwo Politechniki lskiej, Gliwice. Szlachetka O., Wgrowska M., 1. Efekt warstwy brzegowej w warstwowej przegrodzie o poprzecznej gradacji wasnoci. Acta Scientiarum Polonorum, Architectura 9, 4, Thermomechanics of eterogeneous Solids and Structures. Tolerance Averaging Approach, 8. Ed. Cz. Woniak, B. Michalak, J. Jdrysiak. Wydawnictwo Politechniki ódzkiej, ód. Woniak Cz., 1. Asymptotic modelling and boundary-layer effect for functionally graded microlayred composites. Acta Scientiarum Polonorum, Architectura 9,, 3 9. BOUNDARY LAYER EFFECT IN LONGITUDINAL FGM WALL Summary. The stationary, one-dimensional heat conduction problem for multilayer longitudinal FGM was investigated. The inuence of the boundary layer effect on the distribution of temperature elds in longitudinal FGM was considered. The wall was built of two homogeneous, isotropic heat conductors. Key words: longitudinal FGM, heat conduction, asymptotic modelling, boundary layer effect Wyniki pracy wspónansowane ze rodków Unii Europejskiej w ramach Europejskiego Funduszu Spoecznego. Zaakceptowano do druku Accepted for print:.9.11 Acta Sci. Pol.