WYKORZYSTANIE SYSTEMU Mathematica DO ROZWIĄZYWANIA ZAGADNIEŃ PRZEWODZENIA CIEPŁA

Transkrypt

1 39/19 ARCHIWUM ODLEWNICTWA Rok 006, Rocznik 6, Nr 19 Archives of Foundry Year 006, Volume 6, Book 19 PAN - Katowice PL ISSN WYKORZYSTANIE SYSTEMU Mathematica DO ROZWIĄZYWANIA ZAGADNIEŃ PRZEWODZENIA CIEPŁA J. STRZAŁKO 1, J. GRABSKI, Katedra Systemów Produkcji, Zakład Mechaniki Analitycznej Politechnika Łódzka, Stefanowskiego 1/15, Łódź A.V. CHIGAREV 3 Katedra Mechaniki Teoretycznej BNTU, Mińsk, pr. Niezavisimosti 65 STRESZCZENIE Celem pracy jest wskazanie korzyści wynikających z zastosowania systemu Mathematica do rozwiązywania równań różniczkowych cząstkowych. W referacie przedst a- wione są możliwości wykorzystania tego programu do rozwiązywania zagadnień przewodzenia ciepła i numerycznej symulacji procesu obróbki termicznej. Prezentowane są wyniki rozwiązań równania o zmiennych współczynnikach, anizotropowych własnościach materiału, dwu- i trój-wymiarowych rozkładów temperatury w ciałach stałych. Key words: thermal field, numerical simulation, partial differential equations 1. WPROWADZENIE Wpływ temperatury oraz jej zmian na własności materiałów jest powszechnie zn a- ny; stan, struktura, naprężenia wewnętrzne, większość charakterystyk materiału są zależne 1 dr hab. inż., jstrzalk@poczta.onet.pl dr hab. inż., julgrabs@p.lodz.pl 3 prof. dr hab. inż., chigarev@rambler.ru 307

2 od temperatury, szybkości jej zmian, czasu obróbki cieplnej. Analiza pola temperatury materiału i zmiana tego pola w czasie może być prowadzona na drodze teoretycznej (analitycznej, analityczno-numerycznej, numerycznej) i doświadczalnej. Rozwiązania analityczne, bądź analityczno-numeryczno można uzyskać w przypadku ciał o prostych kształtach, natomiast dla ciał o skomplikowanych kształtach wyniki można otrzymać jedynie na podstawie metod numerycznych i doświadczalnych. Metody różnic skończonych (np. system MAGMA) i metoda elementów skończonych (kody takie jak ABAQUS, ANSYS itp.) pozwalają na numeryczne określenie pola temperatur dla ciał o dowolnych kształtach. Wymienione programy umożliwiają, między innymi, analizę przepływu ciepła pomiędzy ciałem poddanym obróbce termicznej i otoczeniem. Rozwój analitycznych metod rozwiązywania [1] jest ciągle istotny. Mimo, iż dają one efektywne rozwiązania jedynie w przypadku prostych obszarów ciał (takich jak pó ł- przestrzeń, płyta, pręt), to i takie rozwiązania mają zastosowanie praktyczne []. Rozwiązania analityczne są wykorzystywane do testowania metod numerycznych, co powoduje, że mają wpływ na doskonalenie metod numerycznych. System Mathematica jest uniwersalnym programem pozwalającym na rozwiązywanie wielu zagadnień, w tym również równań różniczkowych cząstkowych. Ostatnia we r- sja (Mathematica 5.) ma w tym zakresie dosyć rozbudowane możliwości [4, 5]. Umożliwia wyznaczenie rozwiązań równań różniczkowych cząstkowych w postaci analitycznej, a tam, gdzie nie jest to możliwe, pozwala na numeryczne rozwiązanie wielowymiarowego zaga d- nienia o zmiennych współczynnikach i anizotropowych własnościach materiału.. RÓWNANIE PRZEWODZENIA CIEPŁA Matematyczny opis przewodzenia ciepła w ciałach stałych o własnościach anizotropowych ma postać równania Fouriera-Kirchhoffa T x x x T y y y T z x z q c v T, (1) w którym: x, y, z oznaczają współczynniki przewodzenia ciepła w kierunkach osi x, y i z [W/mK], T temperaturę ciała [K]; c p ciepło właściwe materiału [J/kg K]; gęstość [kg/ m 3 ]; q v wydajność objętościową wewnętrznego źródła ciepła [W/m 3 ]; czas [s]. Analityczne rozwiązanie równania (1) jest kłopotliwe nawet w przypadku ciał o elementarnych kształtach. p 308

3 ARCHIWUM ODLEWNICTWA.1. Szczególne przypadki rozwiązań Dla ciała o izotropowych własnościach cieplnych i stałej wartości współczynnika przewodzenia ( x = y = z = =const) równanie (1) upraszcza się, a jego rozwiązania dla szeregu przypadków warunków początkowych i brzegowych można znaleźć w literaturze [1]. Przykładem takiego zadania jest jednorodna, izotropowa płyta o grubości a, ogrzewana poprzez wewnętrzne źródło ciepła o stałej wydajności q v. Równanie przewodzenia (1) sprowadza się w tym przypadku do T T q c. () v p x Dla warunków brzegowych: i warunku początkowego T ( 0, ) 0 dla 0, (3) T( a, ) T dla 0 (4) 0 T ( x,0) 0 dla x ( 0, a), (5) otrzymuje się rozwiązanie w postaci nieskończonego szeregu [1] q v x ( x, t) T q va x a n n qva ( 1) 1 ( 1) T n n nx n sin exp a a 0 T 0 n1 c p Rozkład temperatury określonej wzorem (6) jest pokazany na rys. 1a; obok (rys. 1b) jest przedstawiony wynik rozwiązania numerycznego w systemie Mathematica 5.. (6) Rys. 1. Wyniki obliczeń dla jednowymiarowego przepływu ciepła: a) rozwiązanie w postaci szeregu, b) rozwiązanie numeryczne (Mathematica 5.) Fig. 1. Results of solution of one-dimensional heat equation: a) series expansion, b) numerical solution (Mathematica 5.) 309

4 Przebiegi zmian prędkości i przyspieszenia temperatury dla rozwiązania danego wzorem (6) są pokazane na rysunku. Przedstawione wyniki odnoszą się do chwili = s. Porównane są rozwiązania otrzymane dla szeregów przy n=5 i n=10 oraz wyniki całkowania numerycznego. 310 Rys.. Wyniki rozwiązania dla jednowymiarowego przepływu ciepła: a) szereg dla n=5, b) szereg dla n=10, c) Mathematica 5. Fig.. Results of solution of one-dimensional heat equations: a) series for n=5, b) series for n=10, c) Mathematica 5. Poszczególne symbole na rys. oznaczają: T b bezwymiarowa temperatura, g Tb gradient pola temperatury, v Tb prędkość zmiany temperatury, a Tb przyspieszenie zmiany temperatury, v g prędkość zmiany gradientu temperatury, a g przyspieszenie zmiany gradientu temperatury.

5 ARCHIWUM ODLEWNICTWA 3. PRZYKŁADY NUMERYCZNEGO WYZNACZANIA POLA TEMPERATUR CIAŁA Z WYKORZYS TANIEM SYSTEMU Mathematica 5. System Mathematica 5. pozwala na znalezienie rozwiązania liniowych równań różniczkowych cząstkowych z wieloma zmiennymi niezależnymi, dla przypadków, w kt ó- rych istnieją rozwiązania w postaci funkcji analitycznych. Nieliniowe równania rozwiązywane są numerycznie [5]. Przy rozwiązywaniu równań cząstkowych istotną rolę odgrywają warunki brzeg o- we i początkowe, a spójne ich sformułowanie bywa kłopotliwe Rozwiązania dla jednowymiarowego przepływu ciepła System Mathematica 5. umożliwia rozwiązanie równania () w przypadku, gdy współczynniki przewodzenia ciepła () oraz ciepło właściwe materiału (c p ) są zależne od temperatury ciała. Zadanie sprowadza się wówczas do rozwiązania równania o postaci T ( T) x T qv c p ( T), (7) przy zadanych przebiegach (T) i c p (T). Rys. 3. Własności materiałowe c p (T), (T) [3] Fig. 3. Material properties c p (T), (T) [3] Wyniki rozwiązania równania przy zmiennych własnościach materiału (przedstawionych na rys. 3) zostały porównane (na rys. 4) z rezultatami otrzymanymi dla stałych współczynników (c p =4; =5). 311

6 Rys. 4. Wyniki numerycznego rozwiązania równania (7): a) dla stałych wartości c p i, b) dla przebiegów c p (T) i (T) pokazanych na rys. 3 Fig. 4. Numerical solution of equation (7): a) for constant c p and, b) for c p (T) and (T) from fig Rozwiązania zadania dwuwymiarowego i trójwymiarowego Przykładem dwuwymiarowego zagadnienia przewodzenia jest równanie (8) T T q c v x z T, (8) w którym temperatura jest funkcją T=T(x,z,). Wyniki numerycznego rozwiązania są przedstawione na ilustracjach (rys. 5), na których pokazane jest pole temperatur w przekroju nieskończenie długiego pręta (o wymiarach poprzecznych a a), w kolejnych chwilach (dla =0, 1,, 3 [s]). W przypadku zagadnienia trójwymiarowego, w którym temperatura jest funkcją zmiennych x,y,z oraz czasu, to jest T=T(x,y,z,), równanie określające pole temperatur ma postać T T T q x y z v c p p T. (9) Numeryczne wyniki rozwiązania zagadnienia trójwymiarowego są na rys. 6 porównane z odpowiadającym mu rozwiązaniem uzyskanym dla dwuwymiarowego zadania (rys. 5). 31

7 ARCHIWUM ODLEWNICTWA Rys. 5. Pola temperatury określone przy użyciu pakietu Mathematica 5. Fig. 5. Temperature field using Mathematica 5. package Rys. 6. Porównanie rozkładu temperatury: a) model dwuwymiarowy, b) model trójwymiarowy Fig. 6. Comparison of temperature field: a) two dimensional model, b) three dimensional model 4. PODSUMOWANIE Przedstawione rezultaty rozwiązań równań różniczkowych cząstkowych opisujących przewodzenie ciepła pokazują rosnące możliwości efektywnego rozwiązywania takich zadań przy użyciu systemu Mathematica. Otrzymane wyniki rozwiązań mogą być przydatne przy projektowaniu procesów nagrzewania i chłodzenia wyrobów poddanych obróbce cieplnej. 313

8 LITERATURA [1] Kącki E.: Równania różniczkowe cząstkowe w zagadnieniach fizyki i techniki. WNT, Warszawa 199. [] Kula P., Niedźwiedzki Z., Gawroński Z.: Analiza pól temperaturowych hartowanego materiału. Archiwum Odlewnictwa, 4/1, No. 1, (004). [3] Jasiński P.: Analiza chłodzenia elementów maszyn strumieniem gazu po nawęglaniu próżniowym. Rozprawa doktorska, Łódź 005. [4] Wolfram S.: The Mathematica Book, 4th ed. Wolfram Media / Cambridge University Press, [5] Mathematica 5. Documentation. SOLVING OF HEAT DIFFUSION PROBLEMS USING Mathematica PACKAGE SUMMARY In the note two- and three-dimensional heat equations are considered. For linear partial differential equations (PDE) a general solution exist. Other PDE can be solved for specific initial or boundary conditions. For the majority of PDE no exact solutions can be found. Mathematica package enables to find the results in the form of interpolating functions. Some solutions for the diffusion of heat in insulated rod are presented and temperature field as well as temperature gradient field are shown. Recenzował: prof. zw. dr hab. inż. Stanisław Pietrowski 314