3. Zapas stabilności układów regulacji 3.. Wprowadenie Dla scharakteryowania apasu stabilności roważymy stabilny układ regulacji o nanym schemacie blokowym: Ws () Gs () Ys () Hs () Rys. 3.. Schemat blokowy układu regulacji
Niech funkcja prejścia układu amkniętego pryjmie postać (3 warianty): G (s) T G (s) (T G (s) (T s Ku Ku s ) Ku s )(T T s s ) pry cym T T Z tych funkcji prejścia wynikają charakterystyki: ) Char. oscylacyjna o dużym preregulowaniu i dużym casie regulacji, ) Char. oscylacyjna o małym preregulowaniu i małym casie regulacji, 3) Char. inercyjna o małym casie regulacji, 4) Char. inercyjna o dużym casie regulacji.
w A w 0 t y K u A w 3 4 0 t Rys. 3.. Charakterystyki casowe ukł. dla skokowego sygnału wymusającego 3
Z pokaanych charakterystyk wynika, że nie wsystkie układy regulacji nadają się do praktycnego wykorystania, mianowicie:. Nadaje się układ o charakterystyce lub 3, mówimy, że ma on właściwy apas stabilności.. Nie nadaje się układ o charakterystyce, który ma a mały apas stabilności. 3. Nie nadaje się układ o charakterystyce 4, który ma a duży apas stabilności. 4
Wyróżniamy try podstawowe miary apasu stabilności: ) Licba tłumienia dominujących pierwiastków espolonych równania charakterystycnego, ) Zapas wmocnienia i fay w układie otwartym, 3) Amplituda reonansowa układu amkniętego. 5
3.. Licba tłumienia dominujących pierwiastków espolonych RCH Wartość kąta 66 37 Prediał licby tłumienia 0,8 0,4 Preregulowanie 5.4%.5% 6
Tabela 3. Zależność preregulowania charakterystyki skokowej od licby tłumienia cłonu drugiego rędu,% 0.0 0.0 0.30 0.40 0.50 0.60 0.70 0.80 7.9 5.7 37. 5.4 6.3 9.5 4.6.5 Gdy preregulowanie będie niedopuscalne, stosujemy dominujący podwójny pierwiastek recywisty, który powoduje, że: 7
3.3. Zapas wmocnienia i fay w układie otwartym Zapas stabilności wyrażamy a pomocą charakterystyk: amplitudowo-faowej, logarytmicnych amplitudowej i faowej, wykresu Blacka (Nicholsa). 8
3.3.. Zastosowanie charakterystyki amplitudowo-faowej a π jimh ( j ω ) G ( j ω ) - ReH ( j ω ) G ( j ω ) ω π γ ω φ r = φ ω Rys. 3.3. Fragment charakterystyki amplitudowo-faowej 9
Dla pulsacji H(j )G(j ) Kd Z rysunku 3.3 a K d Więc apas wmocnienia K d a K d K d K d dla układów stabilnych, dla układów na granicy stabilności, dla układów niestabilnych, cyli 0 K d. 0
Zapas fay (margines faowy) definiowany jest worem 80 pry cym: 0 0 0 dla układów stabilnych, dla układów na granicy stabilności, dla układów niestabilnych.
W praktyce stosuje się wartości: Kd 4 30 60 Zapas fay ma nacenie decydujące, natomiast apas wmocnienia drugorędne.
Prykład 3. Za pomocą charakterystyki amplitudowo faowej badać apas stabilności układu regulacji opisanego funkcją prejścia H(s)G(s) s(t s KK )(T s ) dla: KK T T 0.80, 0 [s], [s]. 3
Rowiąanie Funkcję prejścia w układie otwartym apisujemy w postaci H(s)G(s) l(s) m(s) gdie: l(s) = KK = 0.8, m(s) = s(t s+)(t s+) = s(0s+)(s+) = a(s)b(s)c(s), a(s) = s, b(s) = 0s+, c(s) = s+. 4
W konwencji Matlaba apisemy l = [0.8]; a = [,0]; b = [0,]; c = [,]; m = conv(conv(a,b),c); Następnie wydajemy polecenia można określić akresu pulsacji om=0.5:0.0:5; wykreślenie charakterystyki amplitudowo-faowej: nyquist(l,m,om) 5
W celu wynacenia apasu fay (opróc charakterystyki nyquista) należy wykreślić okrąg jednostkowy o środku w pocątku układu współrędnych: hold on w = linspace(0,*pi,800); x = cos(w); y = sin(w); plot(x,y) Następnie korystając funkcji ginput odcytujemy współrędne (x i y) punktu precięcia charakterystyki okręgiem: [x,y] = ginput (); Odcytane współrędne x i y wykorystujemy do oblicenia apasu fay : gama = atand(y/x) 6
Wynik diałania poleceń jest następujący: 7
Podobnie wynacamy apas stabilności modułu K (odcytujemy współrędną recywistą punktu precięcia charakterystyki osią recywistą): 0.7 0. 0.0-0. 5 [ ] -. -.0-0.9-0.8-0.7-0.6-0.5-0.4-0.3-0. -0. 0.0 Rys. 3.4. Charakterystyka amplitudowo faowa w układie otwartym 8
Otrymujemy wyniki: K d 0.7 5..39, Porównując wynik aleceniami projektowymi stwierdamy, że apas wmocnienia i apas fay są a małe. 9
3.3.. Zastosowanie charakterystyk logarytmicnych - amplitudowej i faowej Lm H( jω) G( jω) ω φ ω π ΔLm= K 0lg d lg ω ( ω) φ ω φ ω π lg ω ( ω) -π γ Rys. 3.5. Charakterystyki logarytmicne w otoceniu granicy stabilności 0
Stosowane wartości apasu wmocnienia i fay: 6dB Lm 30 60 db Ocywiście achodą ależności: Lm 0 i 0 dla układów stabilnych, Lm 0 i 0 dla układów na granicy stabilności, Lm 0 i 0 dla układów niestabilnych.
Prykład 3. Za pomocą charakterystyk logarytmicnych amplitudowej i faowej badać apas stabilności układu opisanego funkcją prejścia H(s)G(s) (T s KK )(T s )(T 3 s ) dla danych: KK T T T 3 0.30, 0.50 0.0 0.05 s, s, s.
Rowiąanie Funkcję prejścia w układie otwartym apisujemy w postaci H(s)G(s) l(s) m(s) gdie: l(s) = KK = 3, m(s) = (T s+)(t s+)(t 3 s+) = (0.50s+)(0.0s+)(0.05s+), a(s) = 0.50s+, b(s) = 0.0s+, c(s) = 0.05s+. 3
W konwencji Matlaba apisemy następująco l=[3.0]; a=[0.50,]; b=[0.0,]; c=[0.05,]; m=conv(conv(a,b),c); Polecenia tworące wykres Określenie akresu pulsacji om=:0.0:00; Charakterystyki logarytmicne amplitudowa i faowa bode(l,m,om) 4
Lm H ( j ω ) G ( j ω ) [db] 0 0-0 -0 4. 6.3 6.8 lg ω ( ω)[/s] -00-50 78-80 -00 0 Rys. 3.6. Charakterystyki logarytmicne lg ω ( ω)[/s] 5
Z charakterystyk odcytano: Lm 6.8dB 78 Lm 0lg (Kd) Stąd można oblicyć apas modułu (bewymiarowy): K d = 0 Lm 0 6
margin - funkcja Matlaba, która powala wynacyć apasy stabilności, jeżeli nana jest transmitancja otwartego układu regulacji: Funkcja Matlaba: gdie: [Kd,gamma,omega_pi,omega_fi]=margin(l,m) Kd apas modułu (bewymiarowy) gamma apas fay [] omega_pi - cęstotliwość, dla której faa = -[/s], omega_fi cęstotliwość, dla której moduł = 0 [/s]. 7
3.3.3. Uproscenie apisu funkcji prejścia układu amkniętego Układy regulacji projektowane według apasu wmocnienia i fay mają dominujące pierwiastki espolone w równaniu charakterystycnym. Można więc astosować apis uproscony G (s) T s Ku T s Wmocnienie K u można wynacyć e woru (.7) lub (.8). 8
Dla naleienia poostałych współcynników można posłużyć się wynikami badania cłonu oscylacyjnego drugiego rędu Tabela 3.. Zależność apasu fay i preregulowania od licby tłumienia cłonu drugiego rędu,,% 0.0 0.0 0.30 0.40 0.50 0.60 0.70 4 7 38 48 55 60 64 7.9 5.7 37. 5.4 6.3 9.5 4.6 Stała casowa T pry ałożeniu r T - 9
3.4. Amplituda reonansowa układu amkniętego 3.4.. Określenie parametrów reonansowych G (s) Uproscony apis funkcji prejścia T s T s W apisie widmowym G (j ) - T j T Moduł licby espolonej G (j ) M - T 4 T 30
M M r ζ ζ 0 ω r ω Rys. 3.7. Charakterystyki amplitudowo cęstotliwościowe dla różnych licb tłumienia, pry cym ζ < ζ 3
Amplitudą reonansową naywamy maksymalną wartość modułu transmitancji widmowej układu amkniętego. Pulsacją reonansową naywamy pulsację odpowiadającą amplitudie reonansowej. 3
Pulsację reonansową najdujemy warunku ekstremum Wtedy Amplituda reonansowa występuje, gdy dm d r 0 - T 0 0.707 Amplituda reonansowa wynosi M r - Najcęściej pryjmuje się. Mr.5 33
3.4.. Uproscenie apisu funkcji prejścia układu amkniętego Układy regulacji projektowane według amplitudy reonansowej mają dominujące pierwiastki espolone w równaniu charakterystycnym. Można więc astosować apis uproscony G (s) T s Ku T s Wmocnienie K u można wynacyć e woru (.7) lub (.8). 34
Dla naleienia poostałych współcynników można posłużyć się wynikami badania cłonu oscylacyjnego drugiego rędu. Tabela 3.3. Zależność amplitudy reonansowej i preregulowania od licby tłumienia cłonu drugiego rędu 0.0 0.0 0.30 0.40 0.50 0.60 0.70 M r 5.03.55.75.36.5.04.00,% 7.9 5.7 37. 5.4 6.3 9.5 4.6 Stała casowa T T - r 35
3.4.3. Wynacanie parametrów reonansowych układu amkniętego na podstawie charakterystyk w układie otwartym W () s H( s) G( s) Ys () Rys. 3.8. Schemat blokowy układu prekstałcony do postaci jednostkowym sprężeniem wrotnym Zastępcy sygnał wejściowy W (s) W(s) H(s) Funkcja prejścia układu amkniętego G (s) H(s)G(s) H(s)G(s) 36
Transmitancja widmowa układu amkniętego Postać algebraicna transmitancji widmowej układu otwartego, gdie: G (j ) H(j )G(j ) x( ),y( ) H(j )G(j ) H(j )G(j ) x( ) jy( ) - cęść recywista i urojona Wtedy G (j ) x( ) x( ) jy( ) jy( ) Moduł transmitancji M G (j ) ( ) y ( ) widmowej x( ) y ( ) x 37
Zakładając, że M jest parametrem otrymujemy po rowikłaniu następujący wór Dla M x( ) - M - M y ( ) M - M Jest to równanie okręgu o następujących parametrach (współrędne środka i promień): M - x y M M 0 rm M M - M 38
Zakładając, że M jest parametrem otrymujemy po rowikłaniu następujący wór Dla M x( ) - Jest to równanie prostej pionowej. 39
40 M Dla M M ) ( y M M ) x( Jest to równanie okręgu o następujących parametrach (współrędne środka i promień): M M x M 0 y M M M r M Zakładając, że M jest parametrem otrymujemy po rowikłaniu następujący wór
y M= M=0 M=0 M=0.0 M=6.3 - / - x M=0.6 M=4.0 M=0.5 M =.5 M=0.40 M=.6 M= M=0.63 Rys. 3.9. Nomogram Halla (krywe M lub linie stałych wartości modułu) 4
jy M=0 M=0.0 - S / - M=0.5 x M=0.6 M=.5 M=0.40 M=.6 M= M=0.63 Rys. 3.0. Wynacenie parametrów reonansowych układu amkniętego 4
Dla naleienia parametrów reonansowych układu amkniętego na podstawie charakterystyki amplitudowo-faowej w układie otwartym wykonujemy następujące operacje:. Na nomogram Halla nanosimy charakterystykę amplitudowofaową w układie otwartym.. Posukujemy okręgu stycnego do charakterystyki. 3. Wartość parametru M, dla której jeden okręgów jest stycny do charakterystyki jest posukiwaną amplitudą reonansową. 4. W punkcie stycności S możemy także naleźć pulsację reonansową. Dla punktu stycności S mamy: Mr M s ora r s 43
3.4.4. Wykorystanie nomogramu Halla w projektowaniu układów regulacji W projektowaniu układów regulacji posukuje się najcęściej efektywnego współcynnika wmocnienia regulatora. Zadanie to można rowiąać na dwa sposoby:. Metodą prób i błędów.. Zastosowanie właściwości okręgów M = const. Metoda prób i błędów Metoda polega na naleieniu charakterystyki amplitudowo-faowej w układie otwartym, stycnej o okręgu o adanej amplitudie reonansowej układu amkniętego. W tym celu mienia się efektywny współcynnik wmocnienia regulatora K e i obserwuje położenie charakterystyki amplitudowo-faowej wględem adanego kręgu. 44
jy x K e K e K e K e K e K e Pry cym K e < K e < K e Pry cym K e < K e < K e Rys. 3.0a. Ilustracja wpływu wmocnienia na położenie charakterystyki 45
Z rys. 3.0a wynikają następujące spostreżenia:. Współcynnik wmocnienia K e jest a mały.. Współcynnik wmocnienia K e jest a duży. 3. Współcynnik wmocnienia K e jest odpowiedni. Zastosowanie właściwości okręgów M = const. Okręgi M = const, budowane dla M > mają następujące właściwości wykorystywane w projektowaniu układów amkniętych na podstawie charakterystyk amplitudowofaowych w układie otwartym: 46
M > x M x s jimh( jω) G( jω) ReH( jω) G( jω) r M ψ S Rys. 3.. Ilustracja do opisu właściwości okręgów M = const x s arcsin M 47
Tabela 3.4. Wartości dla konstrukcji okręgów M = const M.0.5.0.5.30.35.40.45.50 x M -5.77-4. -3.7 -.78 -.45 -. -.04 -.9 -.80 r M 5.4 3.57.73..88.64.46.3.0, 65. 60.5 56.5 53. 50. 47.8 45.6 43.5 4.6 M.60.70.80.90.00.0.40.60.80 x M -.64 -.53 -.47 -.38 -.33 -.6 -. -.7 -.5 r M.03 0.90 0.84 0.73 0.67 0.57 0.5 0.45 0.4, 38.7 36.0 33.7 3.7 30.0 7.0 4.6.6 0.9 M 3.00 3.50 4.00 4.50 5.00 x M -. -.0 -.07 -.05 -.04 r M 0.38 0.34 0.7 0.3 0., 9.5 6.6 4.5.8.5 48
Dla prykładu weźmy pod uwagę skorygowany układ regulacji opisany po otwarciu transmitancją H( s )G( s ) s 0.6K e 5s s G ( s )K G r o ( s ) K s T s KK T s e Dla wynacenia wymaganego wmocnienia K e pryjmujemy następujące wartości projektowe M r 0.44.8 I oblicamy arcsin arcsin 5. 4 M.8 r 49
jy x Ilustracja wykorystania właściwości o- kręgów M = const 50
Następnie wykonujemy cynności:. Zakładamy wstępną wartość wmocnienia K ewstepne KK równą na prykład i wykreślamy charakterystykę amplitudowofaową w układie otwartym.. Wykreślamy prostą pod obliconym kątem 5.4 o. 3. Metodą prób konstruujemy okrąg mający środek na ujemnej osi recywistej i jednoceśnie stycny do charakterystyki i wykreślonej prostej. 4. Odcytujemy odciętą punktu stycności x s = -5.6. Aby wykreślony okrąg był recywiście okręgiem M r =.8, odcięta punktu stycności powinna wynosić x s = -. Należy więc preskalować wykres, co w konsekwencji prowadi do woru K ewymagane (K ewstepne KK x KK s ) 0.6 5.6 0.3 5