Lista 1. Petle, epsilon maszynowy, macierze, funkcje wbudowane.

Lista 1 Petle, epsilon maszynowy, macierze, funkcje wbudowane. 1. Napisz funkcje y=distance(x), która zbada jaka jest odlegªo± liczby x od najbli»szej liczby maszynowej. Za pomoca petli while dla n = 1, 2, 3,... sprawd¹ warunki x = x+ 1 2 i przerwij petle gdy warunek bedzie speªniony. Teoretycznie jest to petla n niesko«czona. Spróbuj wyja±ni dlaczego petla zostaªa przerwana. Odlegªo± liczby 1 od najbli»szej liczby maszynowej nazywamy epsilonem maszynowym. Spróbuj go policzy i porównaj ze staªa eps. Czy liczby maszynowe sa równomiernie rozªo»one? 2. Korzystajac ze wzoru Taylora i Mc Laurina oblicz e x z zadowalajaca dokªadno±cia. Przetestuj w jaki sposób Matlab oblicza warto± liczby e. Korzystajac z reszty Lagrangea oszacuj bªad jaki popeªnia Matlab dla ró»nych warto±ci x. Powtórz wiczenie dla sin(x) i cos(x). Nastepnie powtórz wiczenie dla obliczenia log(1+x). Wyja±nij dlaczego dla logarytmu trzeba bra tak du»e n. Porównaj z funkcjami wbudowanymi exp, sin, cos, log. n! mo»na obliczy za pomoca prod(1 : n). 3. Dla liczby zespolonej z = x+iy moduª obliczamy ze wzoru z = x 2 + y 2. Inaczej moduª mo»na wyrazi z = u 1 + ( v 2, u) dla u = max( x, y ). Czy to jest wzór równowa»ny? Porównaj z funkcja abs. Jednostke urojona w Matlabie zapisujemy jako i albo j. Mo»emy te» zapisa ja jako sqrt( 1). 4. Pochodna f (x) przybli»amy f (x) f(x+h) f(x) h dla odpowiednio maªych h. Napisz kolejne przybli»enia dla funkcji f(x) = x 2 dla ró»nych warto±ci h. Czy te przybli»enia sa zadowalajace? Wyja±nij dlaczego nie sa. 5. Zapoznaj sie z funkcjami wbudowanymi max i min. Dla macierzy A liczy maksymalne i odpowiednio minimalne elementy po kolumnach. Np Dla wywoªania A = [1, 2, 1; 2, 1, 0; 2, 1, 1; 3, 1, 0] funkcje zwracaja max(a) = [3, 2, 1] oraz odpowiednio min(a) = [1, 1, 0]. Napisz w Matlabie funkcje maxkol(a), która za pomoca petli liczy maximum po kolumnach (robi to samo co max). Nastepnie przetestuj która funkcja jest szybsza maxkol czy max. Zrobi mo»na np. tak: A=[1,2,1;2,3,4;1,2,2]; tic y=maxkol(a) toc a nastepnie tic y=max(a) toc Powy»szy przykªad pokazuje,»e petle mo»na u»ywa jedynie w ostateczno±ci. W szczególno±ci gdy mamy skomplikowany program trzeba wystrzega sie petli je±li to mo»liwe. 1

Lista 2 Funkcje logiczne, rysowanie prostych wykresów w R 2. Zadania 1,2,3 wykonaj na dwa sposoby: u»ywajac petli i u»ywajac symboli logicznych i operacji na macierzach. 1. Zapoznaj sie z funkcja nd i reshape. Napisz funkcje szukaj(a), która w macierzy A wyszukuje elementy niezerowe. 2. Napisz funkcje zmien(a,a,b), która w macierzy A zamienia elementy równe a w liczbe b. 3. Zapoznaj sie z funkcja cumsum(x). Przy jej pomocy oblicz ln(2) za pomoca sumy. ln(2) = 1 1 2 + 1 3 +... + ( 1)n+1 1 n. 4. Wykonaj zadanie 2 z listy 1 nie u»ywajac petli. 5. Za pomoca plot i fplot naszkicuj wykres funkcji exp(x), sin(x) i log(1 + x) i jej wielomianów Mc Laurina. 6. Za pomoca funkcji plot i fplot narysuj wykres funkcji y = sin ( 1 x) w okolicach zera. Zastanów sie dlaczego fplot dziaªa tu lepiej ni» plot. 7. Za pomoca równania parametrycznego x(t) = a cos(t), y(t) = b sin(t) narysuj elipse o póªosiach a i b. Narysuj cykloide czyli krzywa o równaniu parametrycznym x(t) = rt c cos(t), y(t) = rt c sin(t), t R dla ró»nych warto±ci r, c. Naarysuj owale Cassiniego (x 2 + y 2 ) 2 = 2b 2 (x 2 y 2 ) + a 4 b 4 dla a, b R. Przeksztaª najpierw powy»szy wzór na równanie parametryczne. 8. Narysuj na pªaszczy»nie zespolonej wszystkie pierwiastki stopnia n dla liczby zespolonej z. 2

Lista 3. Rysowanie wykresów w R 2 i R 3. 1. Napisz funkcje ortogonalizacja(u,v,w), kt a dla danych wektorów u, v, w z R 3 znajduje ukªad ortogonalny za pomoca ortogonalizacji Gramma Schmidta. Funkcja powinna przedstawi gracznie ten proces, tzn przesuna wektor v a nastepnie w tak aby±my otrzymali ukªad ortogonalny. Przesuwajac wektory u»yj funkcji pause. Przed rozpoczeciem dziaªania funkcja powinna sprawdzi czy wektory sa liniowo niezale»ne. Mo»na u»y np. funkcji det( ). W przypadku gdy wektory sa liniowo zale»ne funkcja powinna wy±wietli ostrze»enie Wektory sa liniowo zale»ne (instrukcja: warning(wektory sa liniowo zale»ne)). Odpowiednie iloczyny skalarne mo»emy zapisa jako [a, b, c] [d, e, f] lub sum([a, b, c]. [d, e, f]). 2. Napisz funkcje projekcja(x,u,v), która znajduje rzut wektora x na pªaszczyzne generowana przez u i v. Funkcja powinna przedstawi gracznie wektor wraz z jego rzutem. 3. Napisz funkcje kule(p,r), która rysuje kule w przestrzenii R 2 o promieniu r w metryce wyznaczonej przez norme (x, y) p = p x p + y p gdy p [1, ) oraz (x, y) = max( x, y ). Pamietaj»eby funkcja sprawdzaªa czy u»ytkownik wprowadza prawidªowe dane np. gdy wprowadza ujemny promie«program musi zgªosi bªad (instrukcja error(promie«nie mo»e by ujemny);). Równie» program musi zgªosi bªad gdy p / [1, ], bo wtedy nie jest norma. Nastepnie wykorzysta funkcje do narysowania kul z ró»nych norm p o wspólnym promieniu i ±rodku (0, 0). 4. Funkcja input dziaªa w nastepujacy sposób: po zapisaniu r=input('podaj r:') funkcja wy±wietli zapis Podaj r: i bedzie czekaªa a» u»ytkownik wczyta z klawiatury r. Napisz program, który znajduje miejsce zerowe funkcji f : [a, b] R w przedziale [a, b] za pomoca metody Newtona i metody bisekcji. Pamietaj o sprawdzeniu czy zaªo»enia stosowalno±ci metody sa speªnione. 5. Zapoznaj sie z funkcja inline i fcnchk. Zilustruj metode Newtona i bisekcji na przykªadzie funkcji wybranej przez u»ytkownika. 3

Lista 4. Rysowanie wykresów w R 2 i R 3. Wszystkie funkcje potrzebne do wykonania poni»szych zada«wykonaj tak aby funkcja miaªa zmienna liczbe argumentów wej±ciowych. 1. Zapoznaj sie z funkcjami stairs, bar, i hist. Za ich pomoca narysuj funkcje schodkowe. Narysuj wielokat za pomoca funkcji f ill. 2. Za pomoca funkcji fill zilustruj caªkowanie funkcji y = f(x) na przedziale [a, b] metoda trapezów: narysuj wykres funkcji y = f(x) za pomoca funkcji fplot razem z ªamana (x i, f(x i )) i = 1,.., m, przy czym siatki nie bierz zbyt gestej. Podobne zadanie wykonaj dla metody prostokatów (wynikajacej z denicji caªki Riemana) tzn. narysuj funkcje schodkowa staªa na przedziaªach [x i, x i+1 ) równej f(ξ i ), ξ i [x i 1, x i ] jest punktem po±rednim. U»yj ró»nych punktów po±rednich. 3. Zapoznaj sie z funkcja comet. Narysuj owale Cassiniego za pomoca funkcji comet. Owale Cassiniego wyra»aja sie wzorem (x 2 +y 2 ) 2 = 2b 2 (x 2 y 2 )+a 4 b 4. Gdy a = b krzywa nazywa sie lemniskata Bernouliego. U»yj wspªóªrzednych biegunowych. 4. Zapoznaj sie z funkcja plot3. Za jej pomoca narysuj krzywa dana w postaci parametrycznej x(t) = t sin(t), y(t) = t cos(t), z = t t R +. Nastepnie zmie«krzywa na x(t) = 1 t sin(t), y(t) = 1 t cos(t), z = t t R + \ {0}. Porównaj z funkcja comet3. 5. Aby narysowa wykres w funkcji z = f(x, y) R 3 potrzebne sa warto±ci funkcji w punktach wezªowych (x i, y j ) f i,j = f(x i, y j ). Napisz program rysujacy wykres funkcji f (funkcja f jest dana jako parametr funkcyjny). U»yj konstrukcji meshgrid. Sprawd¹ jak dziaªaja funkcje mesh, surface, surf, surfc. Znajd¹ jeszcze inne funkcje dziaªajace podobnie. U»yj instrukcji np. help mesh. Przetestuj program na przykªadzie sto»ka z = x 2 + y 2, kuli x 2 + y 2 + z 2 = r 2, pªaszczyzny a x + b y + c z + d = 0, z = xy. 6. Narysuj funkcje rysuj(varargin) rysujaca wykresy wszystkich funkcji z = f(x, y) jakie poda u»ytkownik. U»ytkownik podaje tyle funkcji ile chce. (a) Niech funkcja rysuje wykresy w jednym oknie gracznym (b) W ró»nych oknach gracznych (c) W jednym oknie gracznym ale na ró»nych ilustracjach. U»yj instrukcji subplot. 7. Narysuj wykres walca, sto»ka, kuli, elipsoidy, pªaszczyzny za pomoca równa«parametrycznych x = f(t, s), y = g(t, s), z = h(t, s) t, s R. 8. Napisz funkcje graf(a, b, f, g1, g2) rysujaca wykres funkcji z = f(x, y) przy ograniczeniach a x b oraz g 1 (x) y g 2 (x). 9. Narysuj wykres funkcji z = f(x, y) wycie tej (a) walcem koªowym (b) dowolnym walcem postaci F (x, y) = 0 10. Na powierzchnii sto»ka narysuj krzywa np. spirale o równaniu biegunowym r = 1 ϕ, oraz r = ϕ. 4

Lista 5. Caªkowanie numeryczne, liczby pseudolosowe i metoda Monte Carlo. 1. Sprawd¹ gracznie ile wynosi rzad metod: prostokatów, trapezów i parabol na podstawie poªo»enia punktów ( ln(h k ), ln(e(h k ))) dla h k = b a k, k = 1,..., n. E(h n ) oznacza bªad kwadratury przy kroku h n. Czy wyniki symulacji potwierdzaja tezy z wykªadu. 2. Oblicz pole koªa metoda Monte Carlo. Wylosowane punkty zaznacz na rysunku. Zaznacz innym kolorem punkty które dostana sie do ±rodka koªa i takie które dostana sie poza ±rodek koªa. 3. Metoda Monte Carlo oblicz mase belki o dªugo±ci 1 o gesto±ciach postaci ρ(x) = Kx α 1 (1 x) β 1 wykorzystujac rozkªad beta. 4. Metoda Monte Carlo oblicz objeto± bryªy ograniczonej przez powierzchnie z = x 2 + y 2 oraz z = 1. Analogicznie jak pole w R 2. 5. Spróbuj uogólni metode Monte Carlo na przypadek n - wymiarowej przestrzenii. Oblicz np. Objeto± kuli o równaniu x 2 1 + x 2 2 +... + x 2 n 1. 6. Wylosuj n niezale»nych zmiennych losowych X 1, X 2,..., X n o tym samym rozkªadzie i oblicz ich ±rednia arytmetyczna. Powtórz eksperyment N krotnie i sprawd¹ jak zachowuje sie ±rednia arytmetyczna. Sprawd¹ na gracznie czy zachodzi Prawo Wielkich Liczb i Centralne Twierdzenie Graniczne. U»yj rozkªadów: normalnego, wykªadniczego, Weibulla, gamma, beta, Poissona itp. jednostajnego 5

Lista 6. Interfejs graczny Przypomnij sobie obiekty typu: przycisk-'pushbutton', suwak-'slider',pole tekstowe- 'Text', pole edycyjne -'Edit', przeªacznik -'RadioButton'. Tworzy sie je za pomoca instrukcji: idf=gure(1);%identykator okna gracznego guzik=uicontrol(idf,'style','pushbutton','position',[?,?,?,?],'units','centimeters') kolejne parametry sa opcjonalne. W szczególno±ci jak kto± woli piksele, lepiej niech nie pisze 'Units','Centimeters' Podobnie reszta uicontrol(idf,'style','slider',...) reszta wªasno±ci jest taka sama Modykacje wªasno±ci to set(guzik,'background','y'); set(guzik,'callback','...') Pobieranie wªa±ciwo±ci np: a=get(guzik,'string'); Szczegóªy byªy na wykªadzie. 1. Stwórz interfejs graczny, w którym do pierwszego pola edycyjnego u»ytkownik wpisuje liczbe x, do nastepnego wpisz y. Bedzie te» przycisk, po naci±nieciu którego komputer liczy x + y i wynik wprowadza do trzeciego pola edycyjnego. 2. Interfejs ma trzy edycyjne i guzik: do pierwszych dwóch u»ytkownik wprowadza wspóªrzedna x ±rodka okregu do nastepnego wspóªrzedna y ±rodka a do trzeciego promie«. Naci±niecie guzika oznacza narysowanie okregu w oddzielnym oknie gracznym. 3. Powtórz zadanie co poprzednio tylko,»e zamiast pól edycyjnych u»yj suwaka. 4. Interfejs zawiera trzy suwaki, na których zaznaczamy kolejne wspóªrzedne ±rodka kuli,a w polu edycyjnym wpisujemy promie«. Wci±niecie guzika powoduje narysowanie kuli. 5. Program rysuje kreski przechodzace przez punkty (x n, y n ) : n = 1,... gdzie (x 0 = y 0 = 0). Interfejs zawiera dwa guziki z napisem rysuj i zmazuj. Poza tym zawiera pola edycyjne w których u»ytkownik wpisuje wspóªrzedne kolejnych punktów. I tak u»ytkownik wprowadza wspóªrzedne punktu (x 1, y 1 ). Po naci±nieciu guzika ªaczy punkt (x 0, y 0 ) z (x 1, y 1 ) za pomoca odcinka i rysuje ten odcinek w osobnym oknie. W n tym naci±nieciu guzika ªaczy (x n, y n ) z (x n+1, y n+1 ). Program wykonuje te polecenia dopóki u»ytkownik nie wci±nie przycisku zmazuj. Rysunek zostaje wtedy zmazany i caªa procedura zaczyna sie od nowa. 6. Interfejs zawiera przeªacznik. Jeden oznacza rozkªad jednostajny drugi normalny, a trzeci wykªadniczy. U»ytkownik wybiera jeden z rozkªadów. Wybranie rozkªadu powoduje otwarcie nowego okna z suwakami na których u»ytkownik wybiera niezbedne parametry. To okno zawiera równie» pole edycyjne w które u»ytkownik wybiera n. nastepnie komputer generuje n zmiennych losowych o wybranym rozkªadzie i liczy ±rednia artmetyczna (polecenie mean(), lub sum()./n) i wpisuje do kolejnego pola edycyjnego. Uwaga: przeªaczniki nie sa zsynchronizowane. Programista musi o to zadba. 6

Lista 7. Interpolacja i aproksymacja 1. Dla zadanych warto±ci punktów (x i, y i ), i = 1,..., n znajd¹ wielomian interpolacyjny metoda Lagrange'a i Newtona. 2. Napisz program, który znajduje wielomian interpolacyjny dla funkcji f metoda Lagrange'a i Newtona. We¹ funkcje y = sin(x) y = e x, y = 1 1+x. Jakie popeªniamy bªedy? Porównaj ze znanym oszacowaniem. Spróbuj zaobserwowa zjawisko 2 Rungego. 3. Wygªadzanie gur pªaskich. Dla dowolnego n kata o wierzchoªkach (x i, y i ) i = 1,..., n narysuj krzywa interpolacyjna: x(t) = w 1 (t), y(t) = w 2 (t), gdzie w 1 jest wielomianem interpolujacym (t i, x i ), a w 2 jest wielomianem interpolujacym (t i, y i ) i = 1,.., n, gdzie t i to wezªy na podane przez u»ytkownika. 4. Wygeneruj punkty x i = b a n i i = 1,..., n, y i = f(x i ) + ɛ i gdzie ɛ i na to niezale»ny cia zmiennych losowych o rozkªadzie jednostajnym na odcinku [ 1, 1]. Dla ró»nych funkcji f znajd¹ wielomian aproksymacyjny i interpolacyjny. 7

Lista 8. Mathematica-obliczenia numeryczne i symboliczne 1. Przeksztaªcanie wyra»e«do»adanej postaci odbywa sie za pomoca funkcji Expand,ExpandAll,Factor,Together, Apart, Cancel, Simplify. Poeksperymentuj np. z poni»szymi wyra»eniami i zorientuj sie co te funkcje robia: f 1 (x) = (x 1)(x 2)2 (x 3)(x 4) f 2 (x) = 1 x + 1 + 2 x 3 Poeksperymentuj z innymi funkcjami wymiernymi. f 3 (x) = x3 + x 2 + x 3 x 2. + x 2 2. Za pomoca odpowiednich funkcji z podpunktu 1 przetestuj poni»sze wzory: (x y)(x 2 + xy + y 3 ) = x 3 y 3 x 3 + 3x 2 y + 3xy 2 + y 3 = (x + y) 3 x 4 y 4 = (x 2 y 2 )(x 2 + y 2 ) = (x y)(x + y)(x 2 + y 2 ) = (x y)(x 3 + xy 2 + x 2 y + y 3 ) = (x y)(x + y)(x iy)(x + iy). Sprawd¹ jak reaguje funkcja Simplify. 3. Bez u»ywania funkcji Integrate (u»ywajac jedynie funkcji z pkt 1 oraz funkcji wbudowanych np. Log, Atan itp.) oblicz caªki nieoznaczone x 3 + x 2 + x 3 x 3 + x 2 + x 3 2x 3 x 2 dx + x 2 x 2 + 6x + 9 dx + x 2 + x 3 x 3 x 2 + x 1 dx Nastepnie oblicz powy»sze caªki za pomoca formuªy Integrate. 4. Oblicz pochodne czastkowe funkcji f 1 (x, y) = xe xy, f 2 (x, y) = (x + y) x2 +y, oraz 1 x tradycyjna pochodna funkcji f(x) = sin(x 2 + t)dt oraz f 4 (x) = sin(x 2 + t)dt. 0 5. Za pomoca NIntegrate oblicz numerycznie caªki oznaczone z poprzedniego zadania dla ró»nych warto±ci przedziaªów. Przetestuj równie» wzór: e x2 dx = π za pomoca caªek oznaczonych na du»ych przedziaªach. 6. Nie u»ywajac funkcji D a u»ywajac funkcji z punktu 1 oblicz pochodne funkcji: x f 1 (x) = (x 1)(x 2)(x 4)(x 5) f 2 (x) = Nastepnie u»yj funkcji D. (x 1)(x 2)(x 4)(x 5) (x 2. + 1) 7. Przetestuj znane wzory z analizy za pomoca sum sko«czonych: e x x n = n!, sin(x) = ( 1) n x2n+1 (2n + 1)!, cos(x) = n=0 n=0 wstawiajac odpowiednie warto±ci za x. wbudowanych i funkcji N Sum. n=0 ( 1) n x2n (2n)!, 1 1 x = Do obliczenia lewej strony u»yj funkcji n=0 x n 8

Lista 9 Graka, rozwiazywanie równa«, optymalizacja, aproksymacja i interpolacja 1. Rozwia» algebraicznie i numerycznie ukªady równa«nieliniowych: x 2 + y 2 z 2 = 0 x 3 xy 2 y 2 z = 1 x 4 xy + z = 2 sin(x + y 2 ) z 2 = 1 x 3 xy 2 y 2 z = 0 x 4 xy + z = 1 i poeksperymentuj te» z innymi równaniami w szczególno±ci liniowymi. 2. Rozwia» zale»no± (x, y) z równania eliminujac zmienne z: { x 2 + y 2 + z 2 2z = 0 z + 1 x 2 + y 2 = 0 { x + y 3 + z 2 2z = 0 z 1 2y 3 = 0 Poeksperymentuj te» z innymi ukªadami. Narysuj krzywe. 3. Wykonaj zadanie 3 z listy 3 w Mathematice. Nie u»ywajac petli narysuj 100 kul. Wykonaj te» zadania 3,4,5 z listy 4. 4. Na wykªadzie byªy funkcje ConstrainedMin, ConstrainedMax, LinearProgramming, FindMinimum. Znajd¹ rozwiazanie problemów optymalizacyjnych: (a) max f(x, y) (min f(x, y)) przy ograniczeniach g(x, y) ( )0 (b) minima i maksima lokalne funkcji f gdzie f(x, y) = x 2 + yx + y 3, f(x, y) = x + y 4 xy, f(x, y) = sin(xy) + cos(sin(e x )), g(x, y) = x 2 + y 2 1, g(x, y) = (x 2 + x 2 ) 2 x 2 + y 2 (c) oraz na pomoca ConstrainedMin oraz LinearProgramming problem min x + 2y + 3z + t przy ograniczeniach 3x+4y z 0, x+4y+z t 1 oraz x 4y+5z+t 0, x, y, z, t 0. 5. Wygeneruj dane x = (x 1, x 2,..., x n ) znanymi sobie sposobami np za pomoca funkcji Table oraz losowo za pomoca funkcji Random, lub Binomial: oraz policz y = 2x 2 + 5 x + 1. Nastepnie za pomoca regresji wielomianowej oblicz odpowiednie wielomiany aproksymacyjne ró»nych stopni. Narysuj to wszystko na jednym rysunku. 6. Znajd¹ wielomiany interpolacyjne znanych funkcji cos(x), sin(x), ln(x) oraz e x, a tak»e f(x) = 1 x 2 +1. 9