TERMODYNAMIKA. Zajęcia 1 ( )

Podobne dokumenty
TERMODYNAMIKA. Zajęcia 1 ( )

Wykład 12. Rozkład wielki kanoniczny i statystyki kwantowe

Fizyka statystyczna. This Book Is Generated By Wb2PDF. using

= = Budowa materii. Stany skupienia materii. Ilość materii (substancji) n - ilość moli, N liczba molekuł (atomów, cząstek), N A

Termodynamika Część 6 Związki i tożsamości termodynamiczne Potencjały termodynamiczne Warunki równowagi termodynamicznej Potencjał chemiczny

Projekt Inżynier mechanik zawód z przyszłością współfinansowany ze środków Unii Europejskiej w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego

TERMODYNAMIKA FENOMENOLOGICZNA

Wykład 14. Termodynamika gazu fotnonowego

Zadania z Fizyki Statystycznej

Fizyka statystyczna Zwyrodniały gaz Fermiego. P. F. Góra

Wykład FIZYKA I. 14. Termodynamika fenomenologiczna cz.ii. Dr hab. inż. Władysław Artur Woźniak

Termodynamika Część 3

Statystyka nieoddziaływujących gazów Bosego i Fermiego

Wykład 1 i 2. Termodynamika klasyczna, gaz doskonały

Wykład 4. Przypomnienie z poprzedniego wykładu

Podstawowe pojęcia Masa atomowa (cząsteczkowa) - to stosunek masy atomu danego pierwiastka chemicznego (cząsteczki związku chemicznego) do masy 1/12

S ścianki naczynia w jednostce czasu przekazywany

Termodynamika Część 7 Trzecia zasada termodynamiki Metody otrzymywania niskich temperatur Zjawisko Joule'a Thomsona Chłodzenie magnetyczne

1 Rachunek prawdopodobieństwa

Termodynamika. Część 11. Układ wielki kanoniczny Statystyki kwantowe Gaz fotonowy Ruchy Browna. Janusz Brzychczyk, Instytut Fizyki UJ

DRUGA ZASADA TERMODYNAMIKI

Zadania treningowe na kolokwium

DRUGA ZASADA TERMODYNAMIKI

ELEMENTY FIZYKI STATYSTYCZNEJ

Podstawy termodynamiki

Termodynamiczny opis układu

Podstawy termodynamiki

Przegląd termodynamiki II

Termodynamika. Część 4. Procesy izoparametryczne Entropia Druga zasada termodynamiki. Janusz Brzychczyk, Instytut Fizyki UJ

Wykład 1. Anna Ptaszek. 5 października Katedra Inżynierii i Aparatury Przemysłu Spożywczego. Chemia fizyczna - wykład 1. Anna Ptaszek 1 / 36

Statystyki kwantowe. P. F. Góra

Fizyka statystyczna Fenomenologia przejść fazowych. P. F. Góra

Wykład 7: Przekazywanie energii elementy termodynamiki

Elementy fizyki statystycznej

Temperatura jest wspólną własnością dwóch ciał, które pozostają ze sobą w równowadze termicznej.

ZADANIA Z FIZYKI - TERMODYNAMIKA

Jednostki podstawowe. Tuż po Wielkim Wybuchu temperatura K Teraz ok. 3K. Długość metr m

FIZYKA STATYSTYCZNA. d dp. jest sumaryczną zmianą pędu cząsteczek zachodzącą na powierzchni S w

TERMODYNAMIKA. przykłady zastosowań. I.Mańkowski I LO w Lęborku

16 Jednowymiarowy model Isinga

Wykład 8 i 9. Hipoteza ergodyczna, rozkład mikrokanoniczny, wzór Boltzmanna

Elementy termodynamiki

Wykład 3. Entropia i potencjały termodynamiczne

WŁASNOŚCI CIAŁ STAŁYCH I CIECZY

WYKŁAD 15. Gęstość stanów Zastosowanie: oscylatory kwantowe (ª bosony bezmasowe) Formalizm dla nieoddziaływujących cząstek Bosego lub Fermiego

Elementy termodynamiki i wprowadzenie do zespołów statystycznych. Katarzyna Sznajd-Weron

Krótki przegląd termodynamiki

Równowaga w układach termodynamicznych. Katarzyna Sznajd-Weron

Termodynamiczny opis przejść fazowych pierwszego rodzaju

Elementy termodynamiki

Podstawowe pojęcia 1

Temperatura, ciepło, oraz elementy kinetycznej teorii gazów

r. akad. 2005/ 2006 Jan Królikowski Fizyka IBC

Wykład FIZYKA I. 15. Termodynamika statystyczna. Dr hab. inż. Władysław Artur Woźniak

Wykład 6: Przekazywanie energii elementy termodynamiki

Termodynamika techniczna i chemiczna, 2015/16, zadania do kol. 1, zadanie nr 1 1

Termodynamika. Cel. Opis układu niezależny od jego struktury mikroskopowej Uniwersalne prawa. William Thomson 1. Baron Kelvin

Wielki rozkład kanoniczny

Wykład 6: Przekazywanie energii elementy termodynamiki

Równanie Schrödingera

FIZYKA STATYSTYCZNA. Liczne eksperymenty dowodzą, że ciała składają się z wielkiej liczby podstawowych

GAZ DOSKONAŁY. Brak oddziaływań między cząsteczkami z wyjątkiem zderzeń idealnie sprężystych.

3 Potencjały termodynamiczne i transformacja Legendre a

(1) Równanie stanu gazu doskonałego. I zasada termodynamiki: ciepło, praca.

Równowagi fazowe. Zakład Chemii Medycznej Pomorski Uniwersytet Medyczny

WYKŁAD 2 TERMODYNAMIKA. Termodynamika opiera się na czterech obserwacjach fenomenologicznych zwanych zasadami

Podstawy fizyki sezon 1 X. Elementy termodynamiki

Wielki rozkład kanoniczny

IX. MECHANIKA (FIZYKA) KWANTOWA

n p 2 i = R 2 (8.1) i=1

Układy statystyczne. Jacek Jurkowski, Fizyka Statystyczna. Instytut Fizyki

Fizyka 1 Wróbel Wojciech. w poprzednim odcinku

Atomowa budowa materii

Statystyka nieoddziaływujących gazów Bosego: kondensacja Bosego- Einsteina

Termodynamika. Energia wewnętrzna ciał

TERMODYNAMIKA Zajęcia wyrównawcze, Częstochowa, 2009/2010 Ewa Mandowska

ZADANIA Z CHEMII Efekty energetyczne reakcji chemicznej - prawo Hessa

Teoria kinetyczna gazów

Kinetyczna teoria gazów Termodynamika. dr Mikołaj Szopa Wykład

RÓWNANIE SCHRÖDINGERA NIEZALEŻNE OD CZASU

1. Kryształy jonowe omówić oddziaływania w kryształach jonowych oraz typy struktur jonowych.

Chemia fizyczna/ termodynamika, 2015/16, zadania do kol. 1, zadanie nr 1 1

1. PIERWSZA I DRUGA ZASADA TERMODYNAMIKI TERMOCHEMIA

Stany materii. Masa i rozmiary cząstek. Masa i rozmiary cząstek. m n mol. n = Gaz doskonały. N A = 6.022x10 23

Termodynamika materiałów

Zasady termodynamiki

Ciśnienie i temperatura model mikroskopowy

Fizyka statystyczna Zespół kanoniczny i wielki zespół kanoniczny Statystyki kwantowe. P. F. Góra

Pole elektrostatyczne

Stany skupienia materii

Ciało doskonale czarne absorbuje całkowicie padające promieniowanie. Parametry promieniowania ciała doskonale czarnego zależą tylko jego temperatury.

Ćwiczenia rachunkowe z termodynamiki technicznej i chemicznej Zalecane zadania kolokwium 1. (2014/15)

Szkła specjalne Przejście szkliste i jego termodynamika Wykład 5. Ryszard J. Barczyński, 2017 Materiały edukacyjne do użytku wewnętrznego

Klasyczna mechanika statystyczna Gibbsa I

Rozkłady: Kanoniczny, Wielki Kanoniczny, Izobaryczno-Izotermiczny

Termodynamika program wykładu

Co to jest model Isinga?

Spis tres ci 1. Wiadomos ci wste pne

Rzadkie gazy bozonów

Wykład 6. Klasyfikacja przemian fazowych

Transkrypt:

TERMODYNAMIKA Zajęcia 1 (2018.10.03) 1.1 Wiadomo że dla gazu doskonałego, molowa energia wewnętrzna u jest jedynie funkcją temperatury u=u(t), oraz że molowe ciepło właściwe c v jest stałe (niezależne od stanu układu). Pokaż że zmiany energii wewnętrznej gazu doskonałego można w pełni opisać jako du=n c V dt, gdzie n to ilość moli gazu, c V to molowe ciepło właściwe zaś T temperatura. Wsk: u=u(t) => du=f(t) dt, c V =const => można całkować, skorzystać z 1 zasady termodynamiki w procesie izochorycznym 1.2 Wiedząc że ciepło właściwe c v gazu doskonałego jest stałe, oblicz wyrażenie na entropię gazu doskonałego S. Odp: S=n c V ln T + nr ln V + const. Wsk: 1 zasada termodynamiki + rownanie stanu 1.3 Dwa podukłady, izolowane od otocznie ale nie między sobą mają początkowe temperatury T 1 i T 2. Objętości układów się nie zmieniają, oba podukłady mają tą samą, stałą pojemność cieplną C V, zaś T 2 >T 1. Oblicz zmianę entropii ΔS całości układu wywołaną wyrównaniem się temperatur (ponieważ układ jest izolowany, jest to produkcja entropii w nieodwracalnym procesie zrównywania się temperatur) Odp: Δ S=C V ln (T +T 1 2 )2 =C 4T 1 T V 2 ln( 1+(T T 1 2 )2 4 T 1 T 2 ) Wsk: rozważ przepływ ciepła i zmianę entropii każdego z podukładów w jego skutek

Zajęcia 2 (2018.10.10) 2.1 Gaz doskonały wykonuje pracę w przemianie izotermicznej A B w temperaturze T 1. Znając początkową i końcową objętość gazu (V A, V B ) oblicz jakie ciepło Q IN zostało dostarczone go gazu w tym procesie. Odp: Q IN =n R T 1 ln (V B /V A ) Wsk: dla gazu doskonałego u=u(t), więc du=0 bo T=const. 2.2 Gaz doskonały wykonuje pracę w procesie adiabatycznym A B. Znając molową pojemność cieplną tego gazu c V, oraz temperaturę początkową T A i końcową T B oblicz pracę wykonaną przez gaz W OUT. Odp: W OUT =n c V (T A -T B ) Wsk: dla gazu doskonałego du=nc V dt 2.3 Gaz doskonały pracuje w odwracalnym cyklu Carnota między temperaturami T 1 i T 2. Pokaż że w tym cyklu jest spełniona równość Clausiusa dq T =0, czyli Q 1 + Q 2 =0, gdzie Q 1 i Q 2 to T 1 T 2 ciepła przyjęte przez układ podczas procesów odpowiednio w tempteraturze T 1 i T 2 w każdym cyklu. Wsk: oblicz Q 1 i Q 2 w procesach albo przez zmiany entropii albo przez objętości

Zajęcia 3 (2018.10.17) Uwaga: opcje a) i b) odnoszą się do wariantów zadań zrobionych w grupie 10:15 i 12:15 3.1 Gaz van der Waalsa wykonuje pracę w przemianie izotermicznej A B w temperaturze T 1. Znając początkową i końcową objętość gazu (V A,V B ) oblicz jaką pracę W OUT wykonał. Odp. W OUT =nrt 1 ln( V nb B V A nb ( 1 )+an2 1 V B Wsk. Równanie stanu gazu van der Waalsa to ( V A) an2 p+ V ) 2 (V nb)=nrt 3.2 Gaz van der Waalsa wykonuje pracę w przemianie izotermicznej A B w temperaturze T 1. Znając początkową i końcową objętość gazu (V A,V B ) oblicz jakie ciepło Q IN zostało dostarczone do gazu. Odp. Q I N =nr T 1 ln( V B nb V A nb) Wsk. Energia wewnętrzna gazu van der Waalsa wynosi U=nc V T-an 2 /V+U 0. 3.3 Oblicz sprawność silnika cieplnego działającego w odwracalnym cyklu Carnota, gdzie czynnikiem roboczym jest gaz doskonały. Cykl działa między temperaturami T 1 i T 2 (T 2 >T 1 ). Znamy pojemności cieplne gazu c V i c p, natomiast szukaną sprawność definiujemy jako μ=w OUT /Q IN, gdzie W OUT to całkowita praca wykonywana przez cykl, zaś Q IN ciepło dostarczone do cyklu przy przemianach gdzie cykl ciepło przyjmuje. Odp. μ=1-t 1 /T 2 Wsk. Skorzystaj z zachowania energii i równości Clausiusa 3.4 Oblicz sprawność pompy cieplnej działającej w odwracalnym cyklu gdzie czynnikiem roboczym jest gaz doskonały. Znamy pojemności cieplne gazu c V i c p. Sprawność pompy cieplnej zdefiniowana jest jako μ=q OUT /W IN, gdzie Q OUT to ciepło oddane w cyklu, zaś W IN to całkowita dostarczona praca. Pompa cieplna pracuje w cyklu: a) złożonym z dwóch izochor przy objętościach V 1 i V 2 (V 2 >V 1 ) i dwóch izobar przy ciśnieniach p 1 i p 2 (p 2 >p 1 ), b) Joule a, złożonym z dwóch adiabat oraz dwóch izobar przy ciśnieniach p 1 i p 2 (p 2 >p 1 ) Odp. a) μ= c V p 2 V 2 p 1 V 1 R ( p 2 p 1 )(V 2 V 1 ) + p 2 1, b) μ= p 2 p 1 1 ( p 1 / p 2 ) (γ 1)/ γ Wsk. Skorzystaj z definicji c p a) oblicz pracę i ciepła wymieniane w odpowiednich przemianach, b) z zachowania energii przekształć sprawność na zależną tylko od ciepeł i oblicz ciepła, zależności między temperaturami mogą być policzone z równania adiabat i równania stanu 3.5 (dodatkowe) Oblicz sprawność lodówki działającej w odwracalnym cyklu gdzie czynnikiem roboczym jest gaz doskonały. Znamy pojemności cieplne gazu c V i c p. Sprawność lodówki zdefiniowana jest jako μ=q IN /W IN, gdzie Q IN to ciepło odebrane otoczeniu w cyklu, zaś W IN to całkowita dostarczona praca. Lodówka pracuje w cyklu: a) Joule a, złożonym z dwóch adiabat oraz dwóch izobar przy ciśnieniach p 1 i p 2 (p 2 >p 1 ) b) Otta, złożonym z dwóch adiabat oraz dwóch izochor przy objętościach V 1 i V 2 (V 2 >V 1 ) 1 Odp. a) μ= ( p 2 / p 1 ) (γ 1)/ γ 1, b) μ= 1 (V 2 /V 1 ) γ 1 1

Wsk. Z zachowania energii przekształć pracę w ciepła, policz ciepła przyjęte i oddane z def c x, wyraź temperatury przez ciśnienia/objętości na podstawie adiabat

Zajęcia 4 (2018.10.24) 4.1 Korzystając z tzw. podstawowego równania termodynamiki U=TS-pV+μn i transformacji Legendre a zapisz podstawowe równanie termodynamiki w formie zawierającej inny potencjał termodynamiczny oraz wyprowadź wzór na zmianę tego potencjału: a) entalpia H(S,p,n), b) energia swobodna F(T,V,n), c) energia swobodna Gibbsa G(T,p,n) Odp. a) H=TS+μn, dh=tds+vdp+μdn, b) F=pV+μn, df=-sdt-pdv+μdn, c) G=μn, dg=-sdt+vdp+μdn 4.2 Wyprowadź poniższe relacje Maxwella: a) ( dt dp ) = S, n ( dv ds ), b) p,n ( ds dv ) = T,n ( dp dt ), c) V, n ( dv dn ) = T, p ( dμ dp ) T, n Wsk. Skorzystaj z równości pochodnych mieszanych odpowiednich potencjałów termodynamicznych, odpowiedni potencjał ma te same naturalne parametry które występują w relacji 4.3 Układ termodynamiczny o stałej pojemności cieplnej C i temperaturze T 1 znajduje się w otoczeniu o temperaturze T 0 (otoczenie ma nieskończoną pojemność cieplną). a) Jaka jest maksymalna całkowita praca którą mógłby wykonać silnik używający tego układu jako źródła ciepła a otoczenia jako chłodnicy zakładając T 1 >T 0? b) Jaka jest maksymalna całkowita praca którą mogłby wykonać silnik używający tego układu jako chłodnicy, zaś otoczenia jako źródła ciepła zakładając T 0 >T 1? Odp. W MAX =C(T 1 -T 0 )-C T 0 ln (T 1 /T 0 ) (w obu przypadkach) Wsk. Silnik cieplny pracujący w odwracalnym cyklu Carnota o sprawności μ=1-t O /T I ma najwyższą możliwą sprawność (T I to temperatura grzejnicy a T O temperatura chłodnicy), licząc maksymalną możliwą pracę można rozpatrywać nieskończenie mały cykl 4.5 Pokaż jakie nierówności termodynamiczne związane ze zmianami a) V,n, b) S,n wynikają z minimalizacji energii wewnętrznej U przy ustalonym S,V,n. Napisz nierówność zawierającą wyznacznik odpowiednich pochodnych i zinterpretuj ją w mierzalnych wielkościach fizycznych.

Zajęcia 5 (2018.10.31) 5.0 (zostało z poprzednich zajęć, zmodyfikowane) Pokaż jakie nierówności termodynamiczne związane ze zmianami S,M wynikają z minimalizacji energii wewnętrznej U dla magnetyka przy ustalonym S,M,n (M to magnetyzacja, związana z intensywnym polem zewnętrznym H podobną zależnością jak objętość z ciśnieniem dw=hdm). Napisz nierówność zawierającą wyznacznik odpowiednich pochodnych i zinterpretuj ją w mierzalnych wielkościach fizycznych. Wsk. zapisz drugie pochodne U poprzez pierwsze pochodne innych wartości po obliczeniu wyznacznika, zinterpretuj pamiętając o zależności dq=tds oraz że dx/dy=1/(dy/dx) 5.1 Oblicz molowe ciepło spalania mola propenu C 3 H 6, zakładając swobodny dostęp tlenu oraz znając ciepła uwodorniania propenu C 3 H 6 +H 2 +q A C 3 H 8, spalania propanu C 3 H 8 +5O 2 +q B 3CO 2 +4H 2 O i spalania wodoru 2H 2 +O 2 2H 2 O+q C. Wsk. Dodaj stronami równania reakcji, dobierając współczynniki tak by dostać spalanie propenu C 3 H 6 +9/2 O 2 +q D 3CO 2 + 3H 2 O Odp. q D =q A +q B -q C /2 5.2 Entalpia molowa wody w temperaturze T A i ciśnieniu atmosferycznym p A wynosi h A. Oblicz entalpię wody po tym jak została przepuszczona przez reaktor atomowy (jako chłodziwo) który przeprowadził ją w płyn superkrytyczny o temperaturze T B przy ciśnieniu p B, oraz przez turbinę i chłodnicę które opuściła w postaci ciekłej w temperaturze T C i w ciśnieniu atmosferycznym p A. Załóż że znasz wszelkie własności wody, tzn. molowe ciepła właściwe w dowolnej fazie i w dowolnych warunkach (zakładając że wewnątrz każdej fazy ciepła właściwe są stałe), ciepła przemian fazowych, gęstość, masę molową itp. Wsk. Entalpia to funkcja stanu, skorzystaj z prawa Kirchoffa, nie zawsze wszystkie dane są potrzebne Odp. h C =h A +c p (T C -T A ) 5.3 Sztaba żelaza o masie m i temperaturze T 1 znajduje się pod ciśnieniem p 0. Sztaba jest podgrzewana przy ustalonym ciśnieniu. W temperaturze T 2 sztaba stopiła się. Proces podgrzewania zakończono w temperaturze T 3. Oblicz ciepło dostarczone do żelaza podczas całego procesu oraz zmianę jego entropii, znając wszelkie molowe własności żelaza (ciepła właściwe każdej z faz, molowe ciepła topnienia i wrzenia przy ciśnieniu p 0, masę molową). Wsk. Podziel proces na podgrzewanie i przemianę fazową (odbywającą się w ustalonym T 2,p 0 ) Odp. Q 13 = m [ (s c ) M p (T 2 T 1 )+q sc +c (c) p (T 3 T 1 )], Δ S 13 = m M [ c (s) p ln T 2 + q sc +c (c) T 1 T p ln T 3 2 T 1 ] 5.4 Znając kształt granicy faz woda-para wodna p CG (T) oblicz ciepło przemiany ciecz-gaz w zależności od temperatury, zakładając że para wodna jest gazem doskonałym o objętości o wiele większej niż ta sama ilość cieczy. Wsk. Skorzystaj z równania Clausiusa-Clapeyrona i równania stanu gazu doskonałego, zaniedbaj objętość cieczy Odp. q CG = dp CG dt RT 2 p CG

FIZYKA STATYSTYCZNA Zajęcia 6 (2018.11.14) 6.1. Rozważ układ N cząstek i, z których każda może mieć skwantowaną energię a) E i =0,1,2,3,, b) E i =1,2,3,. Oblicz liczbę stanów takiego układu jeżeli całkowita energia E jest ustalona. Wsk. Można rozpatrywać że mamy E kwantów, każdy może być przypisany do jednej z N cząstek kombinacja z powtórzeniami daje od razu wynik Odp. a) Δ Γ= ( N 1+E E ) = ( N 1+E N 1 ), b) Δ Γ= ( E N) E 1 = ( E 1 N 1) 6.2. Rozważ klasyczną cząstkę o masie m w 1-wymiarowym pudełku o długości L. Oblicz ilość stanów Γ(E) o energii mniejszej lub równej E, narysuj przestrzeń fazową i zaznacz dozwolone stany dla takiej cząstki. Wyznacz gęstość stanów g(e). Naturalną jednostką objętości jednowymiarowej przestrzeni fazowej jest stała Plancka h. Wsk. Przestrzeń fazowa 1-wymiarowej cząstki ma 2 wymiary: położenie (0,L) i pęd (dodani i ujemny, bo cząstka może poruszać się w obie strony). Energia cząstki to energia kinetyczna. Odp. Γ= 2 L h 2mE, d Γ(E) g(e)= de = L 2 m h E 6.3. Rozważ kwantową cząstkę o masie m w 1-wymiarowym pudełku o długości L. Oblicz liczbę stanów Γ(E) o energii mniejszej lub równej E. Wyznacz gęstość stanów g(e). Wsk. Dozwolone stany cząstki wynikają z rozwiązania równania Schrödingera dla 1-wymiarowej studni potencjału i warunków brzegowych (Ψ(0)=Ψ(L)=0): Ψ n (x)= A sin( 2mE n x ħ ) gdzie h2 E n = 8 ml 2 n2 dla n N. Odp. Γ= 2 L h 2mE, d Γ(E) g(e)= de = L 2m h E 6.4. Energia pojedynczego kwantowego oscylatora harmonicznego może być wyrażona jako ε i =(n i +1/2)ħω,gdzie n=0,1,2,. Rozważ układ N oscylatorów, których całkowita energia jest ustalona i wynosi E. Oblicz entropię i temperaturę tego układu. Wsk. Efektywnie rozkładamy E/ħω-N/2 kwantów energii (wzbudzenia oscylatorów) na N cząstek. Przy E=const. entropia wynika z ilości dostępnych stanów (objętości przestrzeni fazowej). E S =T Odp. S=k[(N+M) ln(n+m) N ln N M ln M], T = ħ ω N +M 1/ln k M stała Boltzmanna, gdzie M=E/ħω-N/2, a k to 6.5. Rozważ N nieoodziaływujących cząstek klasycznych o masie m w 3-wymiarowym pudełku o objętości V. Naturalną jednostką objętości przestrzeni fazowej jest tu h 3N (dla całego układu). Zakładając że układ ma ustaloną energię E oblicz entropię, temperaturę i ciśnienie w układzie (wyraź przez temperaturę). Wsk. N-wymiarowa kula o promieniu r dla parzystego N ma objętość π N/2 r N /(N/2)!, ΔΓ=dΓ/dE ΔE. Różniczkując entropię po energii i objętości można uzyskać 1/T i p/t (1 zasada termodynamiki). Odp. S Nk[ ln V N + 3 2 ln E N +3 2 ( ln 4 π m 3h 2 + 5 3)], T = 2 3 E kn, p=nkt/v

Zajęcia 7 (2018.11.21) 7.1. Rozważ układ składający się z dwóch niezależnych rozróżnialnych cząstek, z których każda może mieć energię 0 lub ε. Układ jest w kontakcie cieplnym z otoczeniem o temperaturze T. Oblicz energię wewnętrzną U, swobodną F i entropię S. Wsk. Wszystko bezpośrednio z definicji, zauważyć że Z 2 =Z 1 2 Odp. U=2ε 1/(e -βε +1), F=-2k B T ln (1+e -βε ), S=2k B ln (1+e -βε )+2ε/(T(e βε +1)) 7.2. Energia pojedynczego spinu magnetycznego w zewnętrznym polu magnetycznym wynosi E i =-μs i H, gdzie μ to moment magnetyczny spinu, s i =±1/2 to wartość spinu (dyskretny stan kwantowy) zaś H to pole magnetyczne w której spin się znajduje. Oblicz średnią energię U i magnetyzację M= i μs i dla układu N niezależnych spinów znajdujących się w polu zewnętrznym H i kontakcie cieplnym z otoczeniem o temperaturze T. Wsk. Niezależne cząstki Z N =Z 1N, pojedynczy spin ma tylko 2 mikrostany (s i =±1/2), porównaj U wychodzące z definicji i z sumy statystycznej Odp. U=-NμH tgh βμh, M=N tgh βμh 7.3. Energia pojedynczego kwantowego oscylatora harmonicznego może być wyrażona jako ε i =(n i +1/2)ħω,gdzie n=0,1,2,. Rozważ układ N niezależnych oscylatorów znajdujących się w kontakcie cieplnym z otoczeniem o temperaturze T. Oblicz średnią energię U i entropię S układu. N Wsk. Niezależne cząstki Z N =Z 1, U= β ln Z Odp. U=N ħ ω ( 1 2 + 1 e 1) B(, S=Nk β ħ ω βħ ω e βħ ω 1 ln(1 eβ ħ )) ω 7.4. Rozważ N nieoodziaływujących cząstek klasycznych o masie m w 3-wymiarowym pudełku o objętości V. Zakładając że układ jest w równowadze termicznej z otoczeniem o temperaturze T oblicz entropię S, energię wewnętrzną U i ciśnienie p w układzie. Wsk. Całka Gaussa + exp( x 2 )dx= π objętości można uzyskać S i p (1 zasada termodynamiki). Odp. U= 3 2 Nk B T Różniczkując energię swobodną F po temperaturze i, S=Nk b ( 5 2 +ln V N + 3 2 ln(2 mk B T ) ), p=nkt/v

Zajęcia 8 (2018.11.28) 8.1. Oblicz wielką sumę statystyczną dla gazu doskonałego w otwartym układzie o objętości V, który jest w równowadze z otoczeniem o temperaturze T i potencjale chemicznym cząsteczek gazu μ. Masa każdej cząstki to m. Wsk. Suma po wszystkich stanach w układzie otwartym to suma po N i suma po wszystkich stanach o określonym N (jak w zespole kanonicznym), + x n n=0 n! =e x, dla pojedynczej cząstki klasycznej Z 1 =V (2mk B T ) 3 / 2 Odp. Ż =exp( eβμ V ( 2m β ) 3/2) 8.2. Rozważ gaz doskonały cząstek o masie m w otwartym układzie o objętości V, który jest w równowadze z otoczeniem o temperaturze T i potencjale chemicznym cząsteczek gazu μ. Oblicz średnia liczbę moli gazu n znajdujących się w objętości układzie, średnią energię wewnętrzną U oraz ciśnienie gazu p. Wsk. Wielka suma statystyczna dla gazu doskonałego wynosi Ż =exp( eβμ V ( 2m β ) 3 /2) (8.1), z własności zespołu wielkiego kanonicznego N = 1 β μ ln Ż Odp. n= 1 N A e βμ V ( 2m β ) 3 /2, U= 3 2 N k B T, p= N k B T V, E = β ln Ż+μ N 8.3. Pokaż że rozkład prawdopodobieństwa ilości cząstek gazu doskonałego w otwartym układzie o objętości V w równowadze termodynamicznej z otoczeniem o temperaturze T i potencjale chemicznym μ jest rozkładem Poissona tzn. P(N )= e N N N N! Wsk. Prawdopodobieństwo N to suma prawdopodobieństw stanów o N cząstkach P(N )= P (Ω)d Ω. Wielka suma statystyczna Ż Δ Γ N =exp( eβμ V ( 2m β ) 3/2) (8.1), suma statystyczna 1 cząstki Z 1 =V (2mk B T ) 3 / 2, z własności zespołu N = 1 β μ ln Ż wynikają zależności między N a Ż i Z 1., z czego 8.4. Rozważ powierzchnię na której adsorbować się mogą cząstki, gdzie energia każdej zaadsorbowanej cząstki to -ε. Powierzchnia jest w równowadze z gazem doskonałym o temperaturze T i potencjale chemicznym μ=k B T ln( β p h 3 (potencjał chemiczny (2 π m k B T ) 2) 3/ gazu doskonałego). Oblicz współczynnik pokrycia powierzchni θ=n/a gdzie N to ilość zaadsorbowanych cząstek a A ilość miejsc gdzie cząsteczki mogą się zaadsorbować. Wyraź wspołczynnik pokrycia przez ciśnienie p gazu doskonałego nad tą powierzchnią. Pamiętaj że cząstki gazu doskonałego są nierozróżnialne. Wsk. Rozważ zaadsorbowane cząstki jako układ w zespole wielkim kanonicznym, ilość stanów dla N cząstek to po prostu ilość możliwych rozłożeń N cząstek na A miejsc (bez powtórzeń), n (x+ y) n = i=0 ( n i) xn 1 y i p Odp. θ= p+ p 0 (T ), gdzie p 0 (T )=e β ϵ (2πm) 3/2 h 3 β 5/ 2 to wielkość zależna od warunków

8.5* (dodatkowe). Rozważ gaz N nieoddziaływujących ultrarelatywistycznych (nie-kwantowych) cząstek punktowych, znajdujących się w zamkniętym układzie o objętości V i w równowadze termicznej z otoczeniem o temperaturze T. Energia ultrarelatywistycznej cząstki i wyraża się wzorem E i =p i c, gdzie p i to pęd cząstki zaś c to prędkość światła w próżni. Oblicz energię wewnętrzną gazu U oraz jego ciśnienie p. Załóż że cząstki są nierozróżnialne, aby zapobiec paradoksowi Gibbsa. Wsk. Całkowanie po dowolnych współrzędnych kartezjańskich x,y,z można zmienić na całkowanie po współrzędnych biegunowych r,γ,θ : dx dy dz=r 2 dr sinθ dθd ϕ, całka Eulera + 0 x n 1 e x dx=γ(n) = n N (n 1)! Odp. U=3Nk B T, p=nk B T/V

Zajęcia 9 (2018.12.05) 9.1. Rozważ układ złożony z 3 fermionów z których każdy może przebywać w jednym z 4 stanów kwantowych o energiach ε 1,ε 2,ε 3,ε 4. Układ jest w równowadze termicznej z otoczeniem o temperaturze T. Wyznacz sumę statystyczną Z układu oraz średnią ilość fermionów án 1 w stanie o energii ε 1. Wsk. Z zakazu Pauliego wynika że może być max. 1 fermion w każdym stanie łatwo wypisać wzsystkie stany, dowolna średnia áx =Σ Ω P(Ω)x(Ω) Odp. Z =e β(ϵ 2+ϵ 3 +ϵ 4 ) +e β(ϵ 1+ϵ 3 +ϵ 4 ) +e β(ϵ 1+ϵ 2 +ϵ 4 ) +e β(ϵ 1+ ϵ 2 + ϵ 3 ) =e β(ϵ 1+ϵ 2 +ϵ 3 +ϵ 4 ) (e β ϵ 1 +e βϵ 2+e βϵ 3+e β ϵ 4), N 1 =1 e β(ϵ 2+ ϵ 3 + ϵ 4 ) Z 9.2. Rozważ układ złożony z 3 bozonów, z których każdy może przebywać w jednym z 3 stanów kwantowych o energiach 0, ε, 2ε. Układ jest w równowadze terminczej z otoczeniem o temperaturze T. Wyznacz sumę statystyczną Z układu oraz średnią ilość bozonów án 0 w stanie o energii 0. Wsk. Bozonów może być w danym stanie dowolnie dużo, rozkładamy 3 nierozróżnialne cząstki na 3 stany (z powtórzeniami) Odp. Z =1+e β ϵ +2e 2 βϵ +2e 3 βϵ +2e 4β ϵ +e 5βϵ +e 6βϵ, N 0 = 3+2e βϵ +3 e 3 βϵ +e 3 βϵ 4 βϵ +e Z 9.3. Rozważ pojedynczy stan kwantowy o energii ε. Zakładając równowagę termiczną z otoczeniem o temperaturze T i potencjale chemicznym μ wyprowadź wzór opisujący średnią liczbę cząstek án (ε) znajdujących się w tym stanie. Rozważ przypadek a) fermionów, b) bozonów. Wsk. n=0 + a n = 1 1 a dla a<1 Odp. a) n (ε)= 1 e β(ε μ) +1, b) n (ε)= 1 e β(ε μ) 1 9.4. Rozważ gaz N elektronów swobodnych w objętości V i temperaturze T=0K. Wyznacz potencjał chemiczny μ 0, energię wewnętrzną U 0 i ciśnienie p 0 tego gazu. Funkcja gęstości stanów jest znana i wynosi g(e)= V 2 π ( 2m 3 /2 2 ħ ) E. 2 + Wsk. Warunek stałości ilości cząstek N= n (ε)g (ε)d ε, dla β + rozkład F-D jest 0 rozkładem jednorodnym do progu ε=μ Odp. μ 0 =(3 π 2 ) 2/3 ħ 2 2m ( N V ) 2/ 3, U 0 = 3 5 N μ 0, p 0 = 2 U 0 3 V 9.5. Wyznacz temperaturę T c w której w gazie nieoddziałujących bozonów o gęstości stanów g(e)=(2s+1) V 3/2 2m π 2( ħ ) E 2 dochodzi do kondensacji Bosego-Einsteina. Wsk. Warunek stałości ilości cząstek + N= n (ε)g (ε)d ε, kondensacja zaczyna zachodzić w 0 punkcie gdzie μ=0, x n dx =Γ(n+1)ζ(n+1) gdzie Γ(n) to funkcja gamma Eulera, zaś ζ(n) to 0 e x 1 funkcja zeta Riemanna Odp. T c = 1 k B ( N V A 1) gdzie A 1=Γ(3/2)ζ (3/2) 1 2 π 2( 2 m 3 /2 ħ ) 2

Zajęcia 10 (2018.12.12) 10.1. Wyznacz temperaturę T c w której w 2-wymiarowym gazie nieoddziałujących bozonów o gęstości stanów g(e)=(2s+1) 2 V m dochodzi do kondensacji Bosego-Einsteina. 2 π ħ Wsk. Warunek stałości ilości cząstek + N= n (ε)g (ε)d ε, kondensacja zaczyna zachodzić w 0 punkcie gdzie μ=0 Odp. Kondensacja w ogóle nie zachodzi (nie istnieje temperatura w której potencjał chemiczny jest zerowy) 10.2. Rozważ układ składający się z wnętrza zamkniętego pudełka o temperaturze T i objętości V. Oblicz średnią ilość fotonów N(ν) o częstotliwości ν wewnętrz pudełka, oraz średnią gęstość energii u(ν), wiedząc że funkcja gęstości stanów to g(e)= 8 π V c 3 h 3 E2, zaś potencjał chemiczny fotonów jest zawsze równy 0. Wsk. E=hν, N(E)dE=án (E)g(E)dE, N(ν)dν=N(E)dE, u(ν)=u(ν)/v Odp. N (ν)= 8πV c 3 ν 2 e βh ν 1 8πh, u(ν)= ν 3 c 3 e βh ν 1 10.3. Rozważ 2-wymiarowy gaz N fermionów zamkniętych w objętości V, o gęstości stanów g(e)= 4 mv = A (const.). Wyznacz potencjał chemiczny (energię fermiego) μ(t) oraz 2 π ħ przybliżone zachowanie energii wewnętrznej U(T) oraz ciepła właściwego c V (T) dla T~0. Wsk. Rozważ warunek stałości ilości cząstek by wyznaczyć μ(n,t), warto wyznaczyć μ 0, + E p T 0 e β( E μ) +1 0 μ p+1 p+1 + π2 6 pμ p 1 (k B T ) 2 Odp. μ(t )=k B T ln (e N /(A k T) B 1), U (T )=U 0( 1+ π 2 3 ( k T B μ 0 )), c V (T )= 2 3 U 0 n π 2 μ k 2 2 B T 0 10.4. Oblicz średnią ilość fotonów án w określonej objętości V, znajdującej się w równowadze termicznej z otoczeniem o temperaturze T. Wsk. wyznaczyć N(ν) (zad. 10.2), po czym scałkować po częstościach, + x n dx =Γ(n+1)ζ (n+1) gdzie Γ(n) to funkcja gamma Eulera, zaś ζ(n) to funkcja zeta 0 e x 1 Riemanna Odp. N = 4π V c 3 h ζ(3)(k 3 B T ) 3

Zajęcia 11 (2018.12.19) 11.1. Rozważ klasyczną cząstkę w 3-wymiarowym pudełku o objętości V. Oblicz ilość stanów Γ(E) o energii mniejszej lub równej E oraz gęstość stanów g(e). Naturalną jednostką objętości trójwymiarowej przestrzeni fazowej jest stała Plancka w sześcianie h 3. Wsk. Przestrzeń fazowa 3-wymiarowej cząstki określona jest przez jej położenie i składowe pędu Ω=(x,y,z,p x,p y,p z ). Pamiętaj że pędy mogą być zarówno dodatnie jak i ujemne bo pęd może być skierowany w dowolną stronę. Odp. Γ= 4 πv 3h 3 (2mE)3/ 2, g(e)= d Γ(E) de = 2πV 2m 3/ 2 E h 3 11.2. Energia pojedynczego spinu magnetycznego w zewnętrznym polu magnetycznym wynosi E i =-μs i H, gdzie μ to moment magnetyczny spinu, s i =±1/2 to wartość spinu (dyskretny stan kwantowy) zaś H to pole magnetyczne w której spin się znajduje. Oblicz entropię S oraz równowagową temperaturę T dla układu N niezależnych spinów o energii całkowitej E znajdujących się w polu zewnętrznym H. Wsk. Wyraź energię układu przez ilość spinów +1/2 (lub -1/2), oblicz obj. przestrzeni fazowej (liczbę stanów) w zależności od N +, temperaturę można policzyć z 1 zasady termodynamiki dla magnetyka du=tds+hdm przy du=0 (bo U=E=const.) Odp. S=k B (N ln N N + ln N + (N N + )ln(n N + )) dla N + = E H μ (N + N /2), T = μ H k B /ln( N N + N + ) 11.3. Rozważ układ składający się z N magnetycznych spinów całkowitych ( s i {-1,0,+1} ) w zewnętrznym polu magnetycznym H i w równowadze termicznej z otoczeniem o temperaturze T. Oblicz energię wewnętrzną U i średnią magnetyzację M układu. Energia pojedynczego spinu wynosi E i =-μs i H, gdzie μ to moment magnetyczny spinu. Ponieważ energia zależy tylko od stanu pojedynczego spinu, tak więc spiny są niezależne od siebie. Magnetyzacja to średni moment magnetyczny całego układu M= áσ i μs i. Wsk. Spiny niezależne więc Z N =Z 1N, pojedynczy spin ma 3 stany (różne wartości s i ), wyrażając energię U jako średnią sumę energii poszczególnych spinów i porównując z definicją M otrzymujemy zależność między U i M sinh (βμ H) sinh(βμ H ) Odp. U= N μ H, M=N μ cosh(βμ H )+1/2 cosh(βμ H )+1/2 11.4. Rozważ kryształ złożony z N atomów, w którym mogą istnieć defekty Frenkla, czyli przemieszczenia atomów z węzłów sieci krystalicznej do pozycji międzywęzłowych, których w tym krysztale jest R. Energia kryształu jest większa o w na każdy występujący defekt. Kryształ jest w równowadze termicznej z otoczeniem o temperaturze T. Zaniedbaj drgania sieci itp., rozpatrujące jedynie defekty jako sposób w jaki układ może zmieniać energię. Oblicz średnią liczbę defektów n występujących w krysztale w podanych warunkach. Wsk. typowe rozwiązanie jest trudne ze względu na sumę statystyczną, w równowagowym n w F zespole kanonicznym minimalizuje się energia swobodna, tzn =0, entropię dla danej liczby n defektów S(n) oblicz traktując n jako dane/stałe, tzn. używając zespołu mikrokanonicznego, mikrostan zależy od tego które n atomów przemieści się do pozycji międzywęzłowych, oraz na jakie pozycje się przemieszczą Odp. n NR e β w/2 dla n<<n,r

Zajęcia 12 (2019.01.09) 12.1. Oblicz energię i entropię jednowymiarowego łańcucha Isinga o oddziaływaniach ferromagnetycznych (J ij =J>0 dla sąsiadów) o długości N. Łańcuch jest w równowadze termicznej z otoczeniem o temperaturze T=0 i w polu magnetycznym o natężeniu H. Wsk. E= i, j J ij s i s j i s i H gdzie J ij =J dla sąsiadów i J ij =0 dla innych par (efektywnia suma jest tylko po sąsiadujących parach), w T=0 tylko stany o najniższej energii mają niezerowe prawdopodobieństwo Odp. U=-J(N-1)-HN dla H>0, U=-J(N-1)+HN dla H<0, S=0 12.2. Rozważ jednowymiarowy ferromagnetyczny łańcuch Isinga o długości N w równowadze z otoczeniem o temperaturze T bez zewnętrznego pola (H=0). Załóż że łańcuch jest otwarty, tzn. spiny na końcach mają tylko jednego sąsiada. Oblicz średnią energię układu. Wsk. e i x i = i e x i Odp. U=-(N-1)J tgh (J/k B T), e x +e x =2 cosh x, cosh(x)=cosh( x) 12.3. Rozważ trójwymiarowy układ spinów Isinga w którym każdy spin ma 6 sąsiadów (sieć sześcienna). Stosując przybliżenie średniego pola oblicz temperaturę krytyczną układu przy założeniu że nie ma pola zewnętrznego (H=0). Wsk. przybliżenie średniego pola oznacza że traktujemy każdy spin jak statystycznie taki sam i oddziaływujący nie z konkretnymi sąsiadami tylko statystycznymi sąsiadami (średnim polem) tzn. j s j =z s gdzie z to ilość sąsiadów (liczba koordynacyjna), w ten sposób można rozważyć pojedynczy spin oddziaływujący z średnim polem; równanie x=tgh x ma 1 (dla nachylenia w zerze <1) lub 2 (dla nachylenia >1) stabilne rozwiązania; x tgh ax =a x=0 Odp. T C =6J /k B 12.4. Oblicz molową energię 2-wymiarowego układu spinów Isinga o oddziaływaniach antyferromagnetycznych (J ij =J<0 dla sąsiadów). Rozważ nieskończony układ z 4 (sieć kwadratowa) i 6 (sieć trójkątna) najbliższymi sąsiadami, będący w równowadze termodynamicznej z otoczeniem o temperaturze T=0 przy braku pola magnetycznego (H=0). Czy entropia w obydwu przypadkach jest taka sama? Wsk. rozważ pojedynczy spin i jego sąsiadów, w sytuacji gdy energia jest minimalna, pamiętaj że każda para powinna być brana pod uwagę tylko raz weź pod uwagę ile jest sąsiadujących par na każdy spin; w sieci trójkątnej rozważ co która para sąsiadów musi mieć takie same stany i ile jest sąsiadujących par na każdy węzeł Odp. u=2jn A dla sieci kwadratowej, u=jn A dla sieci trójkątnej, gdzie N A to liczba Avogadro