STATYSTYKA MATEMATYCZNA WYKŁAD 2 ESTYMACJA PUNKTOWA

Podobne dokumenty
W zadaniu nie ma polecenia wyznaczania estymatora nieobciążonego o minimalnej wariancji. σ σ σ σ σ = =

W zadaniu nie ma polecenia wyznaczania estymatora nieobciążonego o minimalnej wariancji. σ σ σ σ σ = =

. Wtedy E V U jest równa

N ( µ, σ ). Wyznacz estymatory parametrów µ i. Y które są niezależnymi zmiennymi losowymi.

TESTY NORMALNOŚCI. ( Cecha X populacji ma rozkład normalny). Hipoteza alternatywna H1( Cecha X populacji nie ma rozkładu normalnego).

będą niezależnymi zmiennymi losowymi z rozkładu o gęstości

ma rozkład normalny z nieznaną wartością oczekiwaną m

ma rozkład normalny z wartością oczekiwaną EX = EY = 1, EZ = 0 i macierzą kowariancji

( X, Y ) będzie dwuwymiarową zmienną losową o funkcji gęstości

STATYSTYKA MATEMATYCZNA

POPULACJA I PRÓBA. Próba reprezentatywna. Dr Adam Michczyński - METODY ANALIZY DANYCH POMIAROWYCH 5 1

W loterii bierze udział 10 osób. Regulamin loterii faworyzuje te osoby, które w eliminacjach osiągnęły lepsze wyniki:

Zadanie 1. ), gdzie 1. Zmienna losowa X ma rozkład logarytmiczno-normalny LN (, . EX (A) 0,91 (B) 0,86 (C) 1,82 (D) 1,95 (E) 0,84

Prawdopodobieństwo i statystyka r.

( ) L 1. θ θ = M. Przybycień Rachunek prawdopodobieństwa i statystyka. = θ. min

ROZKŁADY ZMIENNYCH LOSOWYCH

będą niezależnymi zmiennymi losowymi o tym samym 2 x

Funkcja wiarogodności

Prawdopodobieństwo i statystyka r.

Statystyka Matematyczna Anna Janicka

JEDNOWYMIAROWA ZMIENNA LOSOWA

EKSTREMA FUNKCJI EKSTREMA FUNKCJI JEDNEJ ZMIENNEJ. Tw. Weierstrassa Każda funkcja ciągła na przedziale domkniętym ma wartość najmniejszą i największą.

STATYSTYKA MATEMATYCZNA WYKŁAD 1. Wiadomości wstępne

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

VI. TWIERDZENIA GRANICZNE

Różniczkowanie funkcji rzeczywistych wielu zmiennych. Matematyka Studium doktoranckie KAE SGH Semestr letni 2008/2009 R. Łochowski

Stanisław Cichocki Natalia Nehrebecka. Zajęcia 7-8

L.Kowalski PODSTAWOWE TESTY STATYSTYCZNE WERYFIKACJA HIPOTEZ PARAMETRYCZNYCH

wyniki serii n pomiarów ( i = 1,..., n) Stosując metodę największej wiarygodności możemy wykazać, że estymator wariancji 2 i=

Stanisław Cichocki. Natalia Nehrebecka. Zajęcia 5

Statystyka Inżynierska

IV. ZMIENNE LOSOWE DWUWYMIAROWE

Podstawowe pojcia. Metody probabilistyczne i statystyka Wykład 7: Statystyka opisowa. Rozkłady prawdopodobiestwa wystpujce w statystyce.

Tablica Galtona. Mechaniczny model rozkładu normalnego (M10)

Wnioskowanie statystyczne dla korelacji i regresji.

Statystyka Opisowa 2014 część 3. Katarzyna Lubnauer

opisać wielowymiarową funkcją rozkładu gęstości prawdopodobieństwa f(x 1 , x xn

k k M. Przybycień Rachunek Prawdopodobieństwa i Statystyka Wykład 13-2

X i. X = 1 n. i=1. wartość tej statystyki nazywana jest wartością średnią empiryczną i oznaczamy ją symbolem x, przy czym x = 1. (X i X) 2.

Statystyka matematyczna. Wykład II. Estymacja punktowa

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

Miary położenia wskazują miejsce wartości najlepiej reprezentującej wszystkie wielkości danej zmiennej. Mówią o przeciętnym poziomie analizowanej

Badania niezawodnościowe i statystyczna analiza ich wyników

1. Relacja preferencji

[, ] [, ] [, ] ~ [23, 2;163,3] 19,023 2,7

Podstawy opracowania wyników pomiarowych, analiza błędów

Permutacje. } r ( ) ( ) ( ) 1 2 n. f = M. Przybycień Matematyczne Metody Fizyki I Wykład 2-2

OBLICZANIE NIEPEWNOŚCI METODĄ TYPU B

Podprzestrzenie macierzowe

L.Kowalski zadania ze statystyki opisowej-zestaw 5. ZADANIA Zestaw 5

Statystyka. Analiza zależności. Rodzaje zależności między zmiennymi występujące w praktyce: Funkcyjna

Zadanie 1. Rzucamy symetryczną monetą tak długo, aż w dwóch kolejnych rzutach pojawią się,,reszki. Oblicz wartość oczekiwaną liczby wykonanych rzutów.

Estymacja. Dr Joanna Banaś Zakład Badań Systemowych Instytut Sztucznej Inteligencji i Metod Matematycznych. Wykład 7

PDF created with FinePrint pdffactory Pro trial version WIII/1

PRZEDZIAŁY UFNOŚCI. Niech θ - nieznany parametr rozkładu cechy X. Niech α będzie liczbą z przedziału (0, 1).

Linie regresji II-go rodzaju

FUNKCJE DWÓCH ZMIENNYCH

Regresja REGRESJA

Indukcja matematyczna

Weryfikacja hipotez dla wielu populacji

PŁASKA GEOMETRIA MAS. Środek ciężkości figury płaskiej

ZMIENNA LOSOWA JEDNOWYMIAROWA POJĘCIE ZMIENNEJ LOSOWEJ

STATYSTYKA MATEMATYCZNA WYKŁAD 5 WERYFIKACJA HIPOTEZ NIEPARAMETRYCZNYCH

Matematyka ubezpieczeń majątkowych r. t warunkowo niezależne i mają (brzegowe) rozkłady Poissona:

5. OPTYMALIZACJA NIELINIOWA

STATYKA. Cel statyki. Prof. Edmund Wittbrodt

X i T (X) = i=1. i + 1, X i+1 i + 1. Cov H0. ( X i. k 31 ) 1 Φ(1, 1818) 0, 12.

0.1 ROZKŁADY WYBRANYCH STATYSTYK

ESTYMACJA PUNKTOWA I PRZEDZIAŁOWA

Podstawy analizy niepewności pomiarowych (I Pracownia Fizyki)

f f x f, f, f / / / METODA RÓŻNIC SKOŃCZONYCH niech N = 2 (2 równania różniczkowe zwyczajne liniowe I-rz.) lub jedno II-rzędu

Matematyka II. x 3 jest funkcja

Matematyka dyskretna. 10. Funkcja Möbiusa

Zadanie 2 Niech,,, będą niezależnymi zmiennymi losowymi o identycznym rozkładzie,.

Statystyka i Opracowanie Danych. W7. Estymacja i estymatory. Dr Anna ADRIAN Paw B5, pok407

ZAGADNIENIE TRANSPORTOWE

ZMIENNA LOSOWA I JEJ PARAMETRY -powtórzenie

Pomiary bezpośrednie i pośrednie obarczone błędem przypadkowym

16, zbudowano test jednostajnie najmocniejszy dla weryfikacji hipotezy H

Estymacja przedziałowa

Lista 6. Estymacja punktowa

TESTY LOSOWOŚCI. Badanie losowości próby - test serii.

Funkcje i charakterystyki zmiennych losowych

Twierdzenia graniczne:

) będą niezależnymi zmiennymi losowymi o tym samym rozkładzie normalnym z następującymi parametrami: nieznaną wartością 1 4

Pojcie estymacji. Metody probabilistyczne i statystyka Wykład 9: Estymacja punktowa. Własnoci estymatorów. Rozkłady statystyk z próby.

3. OPTYMALIZACJA NIELINIOWA

Korelacja i regresja. Dr Joanna Banaś Zakład Badań Systemowych Instytut Sztucznej Inteligencji i Metod Matematycznych. Wykład 12

( ) ( ) 2. Zadanie 1. są niezależnymi zmiennymi losowymi o. oraz. rozkładach normalnych, przy czym EX. i σ są nieznane. 1 Niech X

PODSTAWY OPRACOWANIA WYNIKÓW POMIARÓW Z ELEMENTAMI ANALIZY NIEPEWNOŚCI POMIAROWYCH. dr Michał Silarski

Sprawdzenie stateczności skarpy wykopu pod składowisko odpadów komunalnych

Modelowanie i Analiza Danych Przestrzennych

Wykład Centralne twierdzenie graniczne. Statystyka matematyczna: Estymacja parametrów rozkładu

STATYSTYKA. Rafał Kucharski. Uniwersytet Ekonomiczny w Katowicach 2015/16 ROND, Finanse i Rachunkowość, rok 2

Współczynnik korelacji rangowej badanie zależności między preferencjami

Planowanie eksperymentu pomiarowego I

Podstawowe zadanie statystyki. Statystyczna interpretacja wyników eksperymentu. Zalety statystyki II. Zalety statystyki

dev = y y Miary położenia rozkładu Wykład 9 Przykład: Przyrost wagi owiec Odchylenia Mediana próbkowa: Przykłady Statystyki opisowe Σ dev i =?

ZAGADNIENIE ESTYMACJI. ESTYMACJA PUNKTOWA I PRZEDZIAŁOWA

Analiza Matematyczna Ćwiczenia. J. de Lucas

Transkrypt:

STATYSTYKA MATEMATYCZNA WYKŁAD ESTYMACJA PUNKTOWA

Nech - ezay parametr rozkładu cechy X. Wartość parametru będzemy estymować (przyblżać) a podstawe elemetowej próby. - wyberamy statystykę U o rozkładze zależym od - oblczamy a podstawe próby jej wartość u - przyjmujemy, że u Statystykę U azywamy estymatorem parametru.

Klasyfkacja estymatorów. Estymator U jest: - zgody jeśl U wg prawdopodobeństwa - eobcążoy jeśl E ( U ) - asymptotycze eobcążoy jeśl lm E ( U ) - ajefektywejszy gdy jest eobcążoy ma ajmejszą warację w klase eobcążoych estymatorów tego parametru, - asymptotycze ajefektywejszy gdy jest eobcążoy lub asymptotycze eobcążoy jego waracja dąży do waracj estymatora ajefektywejszego. 3

Przykład Nech X N(m; ). Przyjmjmy, że mamy próbę (X, X, X 3, X 4 ). Zakładamy, że = jest zae, szukamy estymatora parametru m. Rozpatrzmy klka prostych estymatorów. U U ( X U U U U X X 4 X 3 3 X 4 ( X 3 X U 4 X 3 5 X 4 6 0 4 X ) ) Sprawdzmy własośc tych estymatorów. 4

Polczmy wartośc oczekwae tych estymatorów (zbadamy czy są eobcążoe). EU m EU m EU m 3 m E U 4 3 EU 5 m EU 6 m Zatem estymatory U U 4 są obcążoe, ależy je odrzucć. 5

Polczmy waracje pozostałych estymatorów. D U 0, 5 D U 3 0, 5 D U 5, 5 D U 6 0, 3 Zatem estymator U 3 ma ajmejszą warację. 6

Estymatory parametrów rozkładu N(m, ). Parametr Estymator Własośc estymatora m X Zgody. Neobcążoy. Najefektywejszy. S Zgody. Asymptot. eobcążoy. Asymptot. ajefektywejszy. S Zgody. Neobcążoy. ˆ Asymptot. ajefektywejszy. 0 S Zgody. Neobcążoy. Najefektywejszy. S Ŝ Zgode. Asymptot. eobcążoe. Asymptot. ajefektywejsze. 0 S 7

Estymatory ych parametrów. Parametr Estymator Własośc estymatora Wartość oczekwaa (rozkład dowoly) (rozkład Possoa) p (rozkład zero-jedykowy) Waracja (rozkład dowoly) X X lczba W sukcesów = średa częstość sukcesu S S ˆ Zgody. Neobcążoy. Zgody. Neobcążoy. Najefektywejszy. Zgody. Neobcążoy. Najefektywejszy. Zgody. Asymptot. eobcążoy. Zgody. Neobcążoy. 8

Uwaga a) w praktyce zgodość estymatora sprawdza sę a podstawe praw welkch lczb lub korzysta sę z faktu, że estymator eobcążoy (asymptotycze eobcążoy), którego waracja dąży do zera (tz. lm D U 0 ) jest estymatorem zgodym. b) w praktyce efektywość estymatora bada sę a podstawe erówośc Rao-Cramera: 9

0 Dla (praktycze każdego) estymatora eobcążoego U prawdzwa jest erówość p p d d U D ) ( ) ( l dla zmeej losowej skokowej )d, ( f ), ( f l U D dla zmeej losowej cągłej

Przy czym dla estymatora ajefektywejszego zachodz rówość (jeśl steje estymator ajefektywejszy to prawe stroy powyższych erówośc są rówe jego waracj).

C. R. Rao (90 - ), Harald Cramér (893-985), statystyk matematyk, statystyk,

3

Przykład Nech X N(m; ). Przyjmjmy, że estymatorem parametru m jest X. Sprawdzmy własośc tego estymatora. 4

5 Rozwązae: m m m X E X E X E ) ( zatem jest to estymator eobcążoy.

6 ) X ( D X D X D 0 lm lm X D zatem jest to estymator zgody.

f m (, m) e Wyzaczmy prawą stroę erówośc Rao-Cramera: 7

8 d m f m d m f m f m 4 4 ), ( ), ( ), ( l zatem jest to estymator ajefektywejszy.

Przykład Nech X N(m; ). Oblczymy S E, S 0 E, ˆ E S. 9

Rozwązae: E S E Y E ( ) S S E (estymator obcążoy) S bo statystyka ma rozkład ch kwadrat z stopam swobody, oraz wartość oczekwaa zmeej losowej o rozkładze ch kwadrat jest rówa lczbe stop swobody. 0

ˆ S E S E S E (estymator eobcążoy)

0 0 0 Y E S E S E S E (estymator eobcążoy)

Wosek S jest estymatorem asymptotycze eobcążoym parametru bowem: lm E S lm S ˆ jest estymatorem eobcążoym parametru. 0 S jest estymatorem eobcążoym parametru. 3

Przykład Nech X N(m; ). Oblczymy S D, S 0 D, ˆ D S. 4

Rozwązae: D S D S 4 D S bo statystyka S 4 ( ) ma rozkład ch kwadrat z stopam swobody, oraz waracja zmeej losowej o rozkładze ch kwadrat jest rówa podwojoej lczbe stop swobody. 5

6 ) ( ˆ 4 4 S D S D S D

7 S D S D S D 4 4 0 4 0 0

Wosek 0 Waracje estymatorów S, S ˆ, S dążą do zera gdy dąży do eskończoośc. Zatem S jest estymatorem zgodym parametru S ˆ jest estymatorem zgodym parametru. 0 S jest estymatorem zgodym parametru. 8

( ) X-N(m,) D S D Sˆ 0,5 3 0,444444444 4 0,375 0,666666667 5 0,3 0,5 6 0,77777778 0,4 7 0,44897959 0,333333333 8 0,875 0,857486 9 0,97530864 0,5 0 0,8 0, 0,658956 0, 0,5777778 0,8888 3 0,40834 0,66666667 4 0,365306 0,5384654 5 0,4444444 0,485743 6 0,7875 0,33333333 7 0,076644 0,5 8 0,049387 0,7647059 9 0,099799 0, 0 0,095 0,056358 9

Wyzaczae estymatorów metodą mometów (K.Pearso) Nezae momety teoretycze cechy X szacujemy przez momety emprycze tego samego rzędu. Estymatory uzyskae tą metodą są zwykle mało efektywe (zwłaszcza dla rozkładów asymetryczych). 30

Momety teoretycze: k mk E( X ) momet rzędu k zmeej losowej X (m = EX). k l mkl E( X Y ) momet rzędu k, l zmeej losowej (X, Y). 3

Momety emprycze: M M k k kl momet rzędu k cechy X (M = X ). k y l momet rzędu k, l jedocześe badaych cech (X, Y). Zatem przyjmujemy, że: m k M k oraz m kl M kl Parametry będące fukcjam mometów teoretyczych szacuje sę przez wartośc tych fukcj oblczoe dla mometów empryczych. 3

Przykład Dla rozkładu wykładczego z parametrem a mamy wartość oczekwaą rówą EX = m = /a. Poeważ przyjmujemy m M to /a X, zatem estymatorem parametru a jest. X 33

Przykład Dla rozkładu logarytmczo-ormalego LN(m; ) e f ( ) 0 (l m) dla dla mamy wartość oczekwaą rówą EX = m = e m warację D X = e 0 0 e m. Uwaga. Jeśl X ma rozkład LN(m; ) to zmea losowa Y = lx ma rozkład N(lm; ). 34

Poeważ przyjmujemy m M = X D X S to rozwązując układ rówań m e = X e e m = S otrzymamy l S X m l X zatem są to szukae estymatory. 35

Przykład Dla zmeej losowej dwuwymarowej współczyk korelacj możemy wyrazć za pomocą mometów Cov( X, Y) DX DY m 0 m m m 0 0 m zatem jego estymatorem może być: m 0 0 m 0 36

37 Y S X S X Y y y y y y M M M M M M M r 0 0 0 0 0 0

Estymatory uzyskae metodą mometów e zawsze są wyzaczoe jedozacze. Przykład Wyzaczymy metodą mometów estymator parametru rozkładu Possoa. Mamy próbę (X, X, X 3,..., X ). Skoro EX =, to X lecz D X =, stąd S mamy dwa róże estymatory tego samego parametru. 38

Wyzaczae estymatorów metodą ajwększej warygodośc (MNW) (R.A.Fsher) Dla uproszczea rozpatrujemy przypadek gdy ezay jest tylko jede parametr rozkładu. a) wyzaczamy fukcję warygodośc L( ;,,..., ) dla zmeej losowej skokowej L( ;,,..., ) p( ; dla zmeej losowej cągłej f ( ; ) ) 39

b) wyzaczamy logarytm fukcj warygodośc, l ) l( ;,,..., ) l L( ;,,..., ) ( c) wyzaczamy dla którego fukcja l ( ) ma maksmum (w tym celu oblczamy pochodą fukcj l ( ), wyzaczamy mejsce zerowe pochodej sprawdzamy czy w tym pukce perwsza pochoda odpowedo zmea zak lub druga pochoda jest ujema), d) przyjmujemy, że wyzaczoy w te sposób wzór a jest poszukwaym estymatorem. Uwaga ) Postać fukcj warygodośc wyka z welowymarowego rozkładu próby (gęstość/fukcja prawdopodobeństwa jest loczyem gęstośc/f.p brzegowych). ) Logarytmowae fukcj warygodośc wyka z potrzeb praktyczych. 3) Jeśl rozpatrujemy przypadek gdy ezaych jest wele parametrów rozkładu to postępujemy podobe stosując rachuek różczkowy fukcj welu zmeych. 40

Uwaga Estymatory uzyskae tą metodą są zwykle co ajmej zgode, asymptotycze eobcążoe asymptotycze ajefektywejsze. Warto też wedzeć, że estymatory uzyskae tą metodą mają asymptotyczy rozkład ormaly Uwaga Nech g będze fukcją rzeczywstą różowartoścową. Jeśl u jest estymatorem NW parametru to estymatorem NW parametru g( ) jest g(u ). Własość ta jest prawdzwa róweż dla przypadku welu parametrów. 4

Przykład Wyzaczymy MNW estymator parametru rozkładu jedostajego w [0; ], > 0. Mamy próbę (X, X, X 3,..., X ). Wtedy L( ) dla 0 l ( ) l l '( ) / 0 4

Zauważmy, że ma,,.. zatem L ( ) ma ajwększą wartość dla ma jest to szukay estymator NW.,,.. 43

Estymatory uzyskae MNW e zawsze są wyzaczoe jedozacze. Przykład Wyzaczymy MNW estymator parametru rozkładu jedostajego w [ ; + ]. Mamy próbę (X, X, X 3,..., X ). Wtedy L( ) dla jest fukcją stałą względem parametru. zatem każda wartość ma ;,,.. m,,.. może być szukaym estymatorem NW. 44

Przykład Wyzaczymy MNW estymator parametru rozkładu Possoa. Mamy próbę (X, X, X 3,..., X ). 45

Wtedy L( )!.. e... e e!!...!.. l l!...! l( ) l L( ).. l ( ) / ' 46

Wyzaczamy pukt krytyczy l'( ) 0.... / / 0 sprawdzamy stee maksmum l ''( ).. / 0 Zatem estymatorem parametru jest średa z próby. 47

Przykład Dla rozkładu logarytmczo-ormalego LN(m; ) wyzaczymy estymatory parametrów m;. f ( ) e 0 (l m) dla dla 0 0 48

49 m m m e e e m L ) (l ) (l ) (l... ), ( m m L m l ) (l ) l( l l ), ( l ), ( różczkując względem m otrzymamy l X S X m l zatem otrzymae estymatory są e ż w przypadku metody mometów.

Przykład zastosowaa estymacj Chcemy w dyskrety sposób (obawa karalośc) oceć odsetek k osób dających łapówk. Moża to zrobć astępująco. Pytaa osoba rzuca moetą wyk rzutu zachowuje do swojej wadomośc. Przygotowujemy dużą lczbę kart a połowe których jest pytae: "czy wypadł orzeł?" a a drugej połowe kart jest pytae "czy dajesz łapówk?". Karty losujemy. Pytay losuje kartę odpowada TAK (T) lub NIE a wylosowae pytae. Rozpatrywae dośwadczee ma rozkład zerojedykowy z ezaym parametrem p. Nech K wylosowae karty z pytaem r. Nech K wylosowae karty z pytaem r. Wtedy p = P(T) = P(K) P(T K) + P(K) P(T K) = = 0,5 0,5 + 0,5k Estymatorem dla p jest średa w. Stąd estymatorem k jest k w - 0,5. L.Kowalsk.0.05 50