Funkcja akumulacji i wartość przyszła Zadanie 1 An investment of $10000 is made into a fund at time t=0. The fund develops the following balances over the next 4 years: F (0) = 10000, F (1) = 10600, F (2) = 11130, F (3) = 11575, 20, F (4) = 12153, 96. a) If $5000 is invested at time t=0, under the same interest environment, find the accumulated value of the $5000 at time t=4. b) If $5000 is invested at time t=2, under the same interest environment, find the accumulated value of the $5000 at time t=4. Zadanie 2 Rozważmy funkcję wartości przyszłej kapitału postaci F (t) = t 2 +2t+3, t 0. a) Wyznaczyć odpowiednią funkcję akumulacji a(t). b) Pokazać, że a(t) spełnia trzy własności funkcji akumulacji. c) Wyznaczyć I n odsetki za każdy z n okresów, n N. Zadanie 3 a) Prove that F (n) F (0) = I 1 + I 2 +... + I n. b) Verbally interpret the result obtained in a) Zadanie 4 For the $5000 investment given in zad. 1, find the amount of interest earned during the second year of investment, i.e. between times t = 3 and t = 4. Zadanie 5 Rozważmy funkcję akumulacji daną wzorem ct 2 + b. Jeśli $100 zainwestowane w momencie t = 0 osiąga wartość $172 w momencie t = 3, to jaką wartość osiągnie w momencie t = 10 kapitał $100 zainwestowany w momencie t = 5. Zadanie 6 W momencie t = 0 zainwestowano kwotę F (0) = 2400 na trzy lata. Kwota ta w kolejnych latach przyjmowała wartości F (1) = 2570, F (2) = 2934, F (3) = 3150. Jaką kwotą dysponowałby inwestor pod koniec trzeciego roku, gdyby dodatkowo w momencie t = 2 zainwestował kwotę 2000 przy tych samych warunkach oprocentowania? Zadanie 7 Rozważmy funkcję wartości przyszłej kapitału postaci F (t) = 2t 2 +3t+1, t 0. a) Wyznaczyć odpowiednią funkcję akumulacji a(t). b) Pokazać, że a(t) spełnia trzy własności funkcji akumulacji. Zadanie 8 Rozważmy funkcję akumulacji daną wzorem a(t) = ct 2 + b, t 0. Wyznaczyć współczynniki c i b, jeśli wiadomo, że $124 zainwestowane w momencie t = 0 osiąga wartość $186 w momencie t = 5. 1
Efektywna stopa procentowa Zadanie 9 For the $2400 investment given in zadanie 6 find the effective rate of interest for each of the three years. Zadanie 10 Assume that F (n) = 100 + 5n. Find i 5, i 10. Zadanie 11 Assume that F (n) = 100(1, 1) n. Find i 5, i 10. Zadanie 12 Wyznaczyć stopę efektywną w pierwszym, drugim i czwartym roku inwestycji danej w zadaniu 2. Zadanie 13 Wyznaczyć stopę efektywną w pierwszym, drugim i piątym roku inwestycji danej w zadaniu 5. Zadanie 14 If F (4) = 1000 and i n =.01n, where n is a positive integer, find F (7). Oprocentowanie proste Zadanie 15 Find the accumulated value of $ 2000 invested for four years if the rate of simple interest is 8% per annum. Find the effective rate of interest for each of the four years. Zadanie 16 Find the accumulated value of $ 1000 invested for four years and five months if the rate of simple interest is 10% per annum. Zadanie 17 At what rate of simple interest will $500 accumulate to $ 615 in 2 1/2 years? Zadanie 18 In how many years will $500 accumulate to $630 at 7.8% simple interest? Zadanie 19 At certain rate of simple interest $ 1.000 will accumulate to $ 1.110 after a certain period time. Find the accumulated value of $ 500 at the rate of simple interest three fourths as great over twice as long a period of time. Zadanie 20 Simple interest of i = 4% is being credited to a fund. In which period is this equivalent to an effective rate of 2, 5%? Zadanie 21 A deposit of $ 1000 is invested at simple interest at time t = 0. The rate of simple interest during year t is equal to 0.1t for t = 1, 2, 3, 4, 5. Find the total accumulated value of this investment at time t = 5. Zadanie 22 Wyznaczyć wartość końcową 5.000 zł zainwestowanych na trzy lata, jeśli stopa oprocentowania prostego wynosi 6% rocznie. Obliczyć stopę efektywną dla każdego z trzech lat. Zadanie 23 Przy jakiej rocznej stopie oprocentowania prostego i kapitał 58 jp wygeneruje łącznie odsetki w wysokości 5 jp po dwóch latach? Zadanie 24 Dysponujemy kapitałem w wysokości 1000 zł. Za rok chcemy uzyskać 1250 zł. Na jaki procent prosty (roczna stopa) musimy ulokować kapitał? 2
Zadanie 25 Wyznaczyć wartość przyszłą kapitału 3.000 jp zainwestowanego na pięć i pół roku na procent prosty, jeśli stopa roczna wynosi 12%. Wyznaczyć a(1), a(2, 8). Zadanie 26 Jaką kwotę utworzy po czterech latach kapitał 400 jp w modelu oprocentowania prostego przy rocznej stopie 1, 5%? Zadanie 27 Obliczyć roczną stopę procentową, jeśli kapitał 250 zł wygenerował zysk 30 zł w ciągu roku. Zadanie 28 Mając stopę roczną 2, 5% oprocentowania prostego podać dwuletni czynnik akumulacji. Zadanie 29 (PK 1.3) Przedsiębiorca otrzymał pięcioletnią pożyczkę w kwocie 30 tys. zł, zobowiązując się spłacać pod koniec każdego roku bieżące odsetki naliczane przy rocznej stopie 22% i zwrócić pożyczkę pod koniec piątego roku. Obliczyć wysokość rat spłacanych na koniec kolejnych lat. Zadanie 30 Po podwyżce o 5% cena samochodu wynosi 58 tys. jp. Jaka była cena samochodu przed podwyżką? Zadanie 31 (PK 1.4) Pożyczka 2700 zł otrzymana na początku roku będzie spłacana w 3 ratach na koniec lipca, listopada i grudnia. W każdej racie będzie spłacona 1/3 początkowej kwoty pożyczki oraz bieżące odsetki proste obliczane przy miesięcznej stopie 1, 2%. Obliczyć wysokość rat. Zadanie 32 (PK 1.5) Po jakim czasie oprocentowania prostego przy rocznej stopie 12.5% wartość depozytu 4800 zł: a) podwoi się, b) zwiększy się o 25%, c) zwiększy się o 3000 zł? Oprocentowanie składane Zadanie 33 (PK 3.1) a) Jaką wartość osiągnie kapitał 1800 zł po 4 latach oprocentowania rocznego przy stałej stopie i = 6%? b) Jaką wartość mają odsetki naliczone za każdy rok? c) Przy jakiej stopie łączna wartość odsetek byłaby większa o 58 zł? Zadanie 34 Find the accumulated value of $ 2000 invested for four years if the rate of compound interest is 8% per annum. Find the effective rate of interest for each of the four years. Zadanie 35 Find the accumulated value of $5000 at the end of 5 years and 4 months invested at 9% per annum: 3
1) Assuming compound interest throughout. 2) Assuming simple interest during the final fractional period. Zadanie 36 (K 13) It is known that $600 invested for two years will earn $264 in interest. Find the accumulated value of $2000 invested at the same rate of compound interest for three years. Zadanie 37 Wyznaczyć wartość przyszłą kapitału 300 zł po 5 latach według rocznej stopy 7% i rocznej kapitalizacji odsetek. Zadanie 38 (K 15) At a certain rate of compound interest, 1 will increase to 2 in a years, 2 will increase to 3 in b years, and 3 will increase to 15 in c years. If 6 will increase to 10 in n years, express n as a function of a,b, and c. Zadanie 39 Przy jakiej rocznej stopie i w modelu oprocentowania składanego kapitał P podwoi swoja wartość po 5 latach? Ile wynosi a(5)? Zadanie 40 Ile wynosi roczny czynnik akumulacji, jeżeli po dwóch latach kapitał 30.000 zł wygenerował zysk 10.000 zł przy rocznej kapitalizacji odsetek? Zadanie 41 Wyznaczyć wartość przyszłą kapitału 7800 zł po 15 miesiącach według stopy rocznej 11, 4% zakładając 1) oprocetnowanie składane. 2) oprocentowanie proste w niepełnym roku inwestycji Zadanie 42 Ile wynosi 2-letni czynnik akumulacji, jeśli kapitał 250 zł wygenerował zysk 50 zł w ciągu dwóch lat w modelu oprocentowania składanego rocznego? Zadanie 43 Ile wynosi a) roczny b) 2-letni czynnik akumulacji, jeżeli po trzech latach kapitał 3000 zł wygenerował kapitał końcowy 3700 zł przy rocznej kapitalizacji odsetek? Zadanie 44 Ile wynosi a) 3-letni b) 6-letni czynnik akumulacji, jeżeli przez pierwszy rok inwestycji kapitał 20.000 zł wygenerował odsetki 2.000 zł przy składanym naliczaniu odsetek? Zadanie 45 (K ex.1.5) An investor age 35 deposits $10, 000 in a fund earning 7% compound interest until retirement at age 65. Find the amount of interest earned between ages 35 and 45, between ages 45 and 55, and between ages 55 and 65. 4
Zadanie 46 Obliczyć dochód banku uzyskany w ciągu 5 lat, który przyjął w depozyt kwotę 10000 jp według rocznej stopy 5% i wypożyczył tę kwotę według rocznej stopy 20%. Zadanie 47 Jaką wartość osiągnie kapitał 6000 zł po 10 latach oprocentowania rocznego składanego przy rocznej stopie 5, 5%? Jaką wartość mają odsetki naliczone w szóstym roku inwestycji? Zadanie 48 Po ilu latach oprocentowania rocznego składanego przy stopie 5, 52% wartość kapitału 1600 jp przekroczy 1900 jp? Ile wyniosą odsetki należne za kolejne 2 lata? Wartość bieżąca Zadanie 49 (K 1.17) The two sets of grandparents for a newborn baby wish to invest enough money immediately to pay $10, 000 per year for four years toward college costs starting at age 18. Grandparents A agree to fund the first two payments, while Grandparents B agree to fund the last two payments. If the effective rate of interest is 6% per annum, find the difference between the contributions of Grandparents A and B. Zadanie 50 (K 1.18) The sum of the present value of 1 paid at the end of n periods and 1 paid at the end of 2n periods is 1. Find (1 + i) 2n. Zadanie 51 (K 1.19) It is known that an investment of $500 will increase to $4000 at the end of 30 years. Find the sum of present values of three payments of$10.000 each which will occur at the end of 20,40, and 60 years. Efektywna stopa dyskontowa Zadanie 52 Dla inwestycji danej w zad.1 wyznaczyć efektywną stopę dyskontową w każdym z czterech lat. Zadanie 53 (K 1.20) Find d 5 if the rate of simple interest is 10%. Zadanie 54 (K 1.21) Find the effective rate of discount at which a payment $200 of immediately and $300 one year from today will accumulate to $600 two years from today. Zadanie 55 (K 1.22) The amount of interest earned on A for one year is $336, while the equivalent amount of discount is $300. Find A. Zadanie 56 Opłata za 3-miesięczną pożyczkę w wysokości 5000 zł ma postać dyskonta przy stopie dyskontowej 15%. Ile dłużnik otrzyma w momencie otrzymania pożyczki? Zadanie 57 Wyznaczyć wartość bieżącą kapitału $5000 płatnego pod koniec 25 miesięcy zakładając efektywną stopę dyskontową 8% oraz 5
1. dyskontowanie składane. 2. dyskontowanie proste w niepełnym roku inwestycji. Zadanie 58 Dla inwestycji o następujących płatnościach F (0) = 15000, F (1) = 15800, F (2) = 16240, F (3) = 17000 wyznaczyć efektywną stopę dyskontową w każdym z trzech lat. Zadanie 59 Wyznaczyć d 4, jeśli efektywna stopa oprocentowania składanego wynosi 8%. Zadanie 60 Wyznaczyć efektywną stopę dyskontową równoważną efektywnej stopie procentowej i = 7%. Zadanie 61 Wyznaczyć efektywną stopę dyskontową, przy której kapitał początkowy 7000 zł wygenerował zysk 1500 zł w ciągu dwóch lat inwestycji. Zadanie 62 Wyznaczyć różnicę pomiędzy równoważnymi odsetkami płatnymi z dołu i z góry dla pożyczki 1 wiedząc, że odsetki płatne z dołu były naliczone przy stopie efektywnej 7%. Zadanie 63 Wyznaczyć różnicę pomiędzy równoważnymi odsetkami płatnymi z dołu i z góry dla pożyczki 1 zł wiedząc, że odsetki płatne z góry były naliczone przy stopie dyskontowej 7%. Zadanie 64 Wyznaczyć różnicę pomiędzy równoważnymi prostymi odsetkami płatnymi z dołu (oprocentowanie proste) i z góry (dyskontowanie proste) dla t-letniej pożyczki 1 zł wiedząc, że odsetki płatne z dołu były naliczone przy stopie efektywnej i. Zadanie 65 Wyznaczyć efektywną stopę dyskontową równoważną efektywnej stopie procentowej w czasie t < 1 (stosując oprocentowanie i dyskontowanie proste). Weksle i bony skarbowe Zadanie 66 (PK 2.7)W dniu 11.02.2015 pan Kowalski otrzymał kwotę 9300 zł, podpisując weksel o nominale 10000 zł z terminem wykupu 9.06.2015. Obliczyć stopę d. Obliczyć stopę i oprocentowania pożyczki płatnej z dołu w wysokości 9300 zł udzielonej na ten sam czas, równoważną stopie d. Zadanie 67 (PK 2.12) Firma, przewidując trudności ze spłatą weksla o wartości nominalnej 22000 zł w wymaganym terminie 10.01.2003, zwraca się 22.12.2002 do banku, który jest w posiadaniu weksla, o jego zamianę na weksel równoważny z terminem wykupu 10.04.2003. Jaka jest wartość nominalna odnowionego weksla, jeśli 22.12.2002 w banku obowiązywała roczna stopa dyskontowa 12%? Zadanie 68 W dniu 1 marca zmienić dwa weksle: o wartości nominalnej 350 zł i terminie płatności 11 maja oraz o wartości nominalnej 1000 zł i terminie płatności 30 maja, na jeden weksel równoważny płatny 1 października. Bieżąca roczna stopa dyskontowa wynosi 4, 5%. 6
Zadanie 69 Obliczyć roczną stopę dyskonta i rentowności dla 13-tygodniowych bonów skarbowych sprzedawanych po 9.588, 50 zł. Zadanie 70 (PK 2.14)Jaką cenę zakupu 26-tygodniowych bonów skarbowych powinien zgłosić bank B w swojej ofercie przetargowej, aby pożyczkodawca mógł osiągnąć rentowność z tej inwestycji w skali roku na poziomie przynajmniej: a)10%, b) 10, 5%, c) 11%? Zadanie 71 (PK 2.8)Przedsiębiorca uzyskał kredyt handlowy na okres 60 dni na zakup surowców o wartości 45600 zł. Jaka powinna być wartość nominalna weksla, zabezpieczającego tę transakcję, jeżeli strony zgodziły się na zastosowanie rocznej stopy dyskontowej 11%? Zadanie 72 Weksel o wartości nominalnej 70 zł i terminie płatności za 9 miesięcy zamienić na weksel równoważny z terminem płatności za 6 miesięcy. Bieżąca roczna stopa dyskontowa wynosi 7%. Zadanie 73 W dniu 1 maja zmienić dwa weksle: o wartości nominalnej 40 zł i terminie płatności 15 września oraz o wartości nominalnej 10 zł i terminie płatności 30 października, na jeden weksel równoważny płatny 1 września. Bieżąca roczna stopa dyskontowa wynosi 6, 5%. Zadanie 74 Wyznaczyć stopę dyskontową, jeżeli dyskonto handlowe weksla o wartości nominalnej 100 zł zdyskontowanego na 30 dni przed terminem wykupu wynosi 2 zł. Zadanie 75 Obliczyć cenę sprzedaży 13-tygodniowych bonów z dyskontem wynoszącym 364, 75 zł. Nominalna stopa procentowa i dyskontowa Zadanie 76 (K 1.26) 1. Wyraź d (4) jako funkcję i (3). 2. Wyraź i (6) jako funkcję d (2). Zadanie 77 Wyznacz kapitał końcowy 5300 zł zainwestowanych na 6 lat według nominalnej stopy procentowej 11, 8% i kwartalnej kapitalizacji odsetek. Zadanie 78 Wyznacz bieżącą wartość kapitału 10.000 zł otrzymanego pod koniec 8 lat według nominalnej stopy dyskontowej 14% i dyskontowania półrocznego. Zadanie 79 Wyznacz nominalną stopę procentową składaną kwartalnie (dla oprocentowania kwartalnego) równoważną nominalnej stopie dyskontowej 6% składanej miesięcznie. Zadanie 80 Ile wynosi nominalna stopa procentowa, jeżeli przy kwartalnej kapitalizacji odsetek odsetki za drugi kwartał od kwoty początkowej 20 jp wyniosły 2, 2 jp? 7
Zadanie 81 Ile wynosi wartość końcowa kapitału 1000 zł po 5 latach, jeśli bank stosuje 1. model kapitalizacji rocznej przy rocznej stopie 12%? 2. model kapitalizacji półrocznej przy półrocznej stopie 6%? 3. model kapitalizacji miesięcznej przy miesięcznej stopie 1%? Zadanie 82 Wyznaczyć wartość przyszłą 430 zł po 13 miesiącach oprocentowanych według stopy nominalnej 5, 5% i miesięcznej kapitalizacji odsetek. Zadanie 83 Find the nominal rate of interest convertible semiannually at which the accumulated value of $1000 at the end of 15 years is $3000 Zadanie 84 Jaki kapitał wygeneruje odsetki w wysokości 45 jp po pół roku w modelu kapitalizacji kwartalnej przy nominalnej stopie 4%? Zadanie 85 Przy jakiej stopie nominalnej dyskontowej i kwartalnym naliczaniu odsetek z góry kapitał końcowy 4000 zł wygeneruje odsetki płatne z góry w wysokości 400 zł w ciągu 15 miesięcy? Zadanie 86 Bank A stosuje oprocentowanie półroczne składane przy stopie nominalnej 12%, zaś bank B oprocentowanie kwartalne składane przy stopie nominalnej 12%. Czy warunki oprocentowania proponowane przez te banki są równoważne. Zadanie 87 W banku A obowiązuje półroczna kapitalizacja odsetek przy stopie nominalnej 18%, w banku B obowiązuje kwartalna kapitalizacji odsetek przy stopie nominalnej i (4). Ile musi wynosić stopa i (4), aby warunki oprocentowania w banku A i B były równoważne? Zadanie 88 Mając roczną stopę efektywną 11% wyznaczyć równoważną stopę nominalną, jeśli: 1. kapitalizacja jest miesięczna. 2. kapitalizacja jest tygodniowa. 3. kapitalizacja jest dzienna. 8
Natężenie oprocentowania i dyskontowania Zadanie 89 Wyznacz kapitał końcowy 1000$ zainwestowanych na 10 lat, jeśli natężenie oprocentowania wynosi 5%. Zadanie 90 Wyznaczyć efektywną stopę procentową, jeśli δ = 10%. Zadanie 91 Wyznaczyć natężenie oprocentowania jeśli wiadomo, że kapitał P w ciągu roku wzrósł o 16%. Zadanie 92 Dla efektywnej stopy procentowe 8% wyznaczyć równoważną nominalną stopę procentową: i (2), i (4), i (12), i (360), δ. Zadanie 93 Dla efektywnej stopy dyskontowej 8% wyznaczyć równoważną nominalną stopę dyskontową: d (2), d (4), d (12), d (360), δ. Zadanie 94 Wyznaczyć roczny czynnik akumulacji, jeśli kapitał 100 zł podlegał oprocentowaniu składanemu z natężeniem 12%. Wyznaczyć roczną efektywną stopę proentową. Zadanie 95 Oblicz odsetki przypadające za drugi rok w kapitalizacji ciągłej z natężeniem 9% jeśli w chwili t=0 zainwestowano 100 jp. Zadanie 96 Po jakim czasie nastąpi wzrost kapitału początkowego 480 jp do kwoty 800 jp, przy założeniu ciągłej kapitalizacji odsetek z natężeniem 6%? Zadanie 97 Wyznacz kapitał końcowy 1000 zł zainwestowanych na 10 lat i 5 miesięcy, jeśli natężenie oprocentowania wynosi 7, 5%. Oprocentowanie przy zmiennej stopie procentowej. Stopa przeciętna Zadanie 98 (K Ex. 1.17) Find the accumulated value of $1000 at the end of 15 years if the effective rate of iterest is 5% for the first 5 years, 4, 5% for the second 5 years, and 4% for the fird 5 years. Zadanie 99 (K Ex. 1.18) Inwestycja w akcje przynosi stopę zwrotu w skali roku: 15% w pierwszym roku, 5% w drugim roku, 8% w trzecim roku. Wyznaczyć równoważną stopę procentową efektywną w ciągu tych trzech lat. Zadanie 100 W kolejnych kwartałach roku nominalna stopa procentowa wynosiła: 11%, 9%, 5%, 8%. Wyznaczyć równoważną nominalną stopę procentową, jeśli bank stosował 1. oprocentowanie proste. 2. oprocentowanie składane z kwartalną kapitalizacją odsetek. 9
Zadanie 101 Wyznaczyć równoważne natężenie oprocentowania w ciągu czterech lat, jeśli w kolejnych latach natężenie było zmienne i wynosiło: 15%, 3%, 10%, 15%. Zadanie 102 Przez pierwsze pół roku nominalna stopa procentowa wynosiła 4% a przez kolejne pół roku była większa o 0, 5 punktu procentowego. Wyznaczyć roczną efektywną stopę procentową, jeśli bank stosował kapitalizację 1. półroczną. 2. miesięczną. Zadanie 103 W kolejnych kwartałach roku nominalna stopa procentowa wynosiła: 10%, 11%, 10%, 9%. Wyznaczyć roczną efektywną stopę procentową, jeśli bank stosował kapitalizację kwartalną. Zadanie 104 W banku A w kolejnych latach nominalna stopa procentowa wynosiła: 8%, 8, 2%, 8, 1%, 8%, zaś w banku B 7, 9%, 8, 4%, 8, 2%, 8, 1%. Wyznaczając przeciętną nominalną stopę procentową w czasie 4 lat sprawdzić, który bank oferował korzystniejsze warunki oprocentowania w modelu oprocentowania miesięcznego składanego. Zadanie 105 Przez pierwsze pół roku nominalna stopa procentowa wynosiła 6% a przez kolejne pół roku była większa o 0, 2 punktu procentowego. Wyznaczyć nominalną i półroczną stopę przeciętną, jeśli bank stosował kapitalizację półroczną. Wyznaczyć efektywną stopę procentową. Renty podstawowe Zadanie 106 Wyznaczyć wartość początkową renty wypłacającej 500 jp po każdym półroczu przez 20 lat, jeśli a) stopa okresu bazowego wynosi 10% b) stopa okresu bazowego wynosi 5%. Zinterpretować wynik. Zadanie 107 (K 3.2) Cena samochodu wynosi 10.000$. Kupujący jest skłonny spłacać go ratami w wysokości 250$ każda pod koniec każdego miesiąca przez cztery lata przy rocznej stopie 18% (nominalnej) i miesięcznemu naliczaniu odsetek oraz wpłacić zaliczkę w wysokości X. Wyznaczyć X. Zadanie 108 (K 3.1) Rodzice chcąc zaoszczędzić 50.000$ na studia dziecka przez pierwsze 10 lat wpłacają po 1000$ pod koniec każdego roku oraz przez kolejne 10 lat wpłacają po 1000 + X pod koniec każdego roku. Wyznaczyć X, jeśli roczna stopa procentowa wynosi 7%. Zadanie 109 (K 3.9) Pracownik w wieku 40 lat chcąc zaoszczędzić na emeryturę postanawia przez 25 lat lokować 3000$ na początku każdego roku. W wieku 65 lat chce przez 15 lat wypłacać na początku każdego roku określoną kwotę aż do wyczerpania zasobów finansowych. Wyznacz tę kwotę, jeśli efektywna stopa procentowa przez pierwsze 25 lat wynosi 8% a następnie 7%. 10
Zadania do samodzielnego rozwiązania: Zadanie 110 Cena mieszkania wynosi 265000 zł, przy czym można je spłacać stałymi ratami miesięcznymi dokonywanymi z dołu przez 3 lata w wysokości 3.500 zł. Jakiej wielkości musi być kapitał własny, jeśli raty są oprocentowane według stopy miesięcznej 1%. Odp. X = 159623, 73 Zadanie 111 Firma ma zamiar kupić samochód dostawczy. Z rachunków szacunkowych wynika, że dzięki tej inwestycji pod koniec każdego roku przez 5 lat będzie miała zyski w wysokości 70000 zł, zaś po 5 latach samochód będzie można sprzedać za 10000 zł. Jaka jest obecna wartość samochodu, jeśli do obliczeń stosowano i = 20%? Odp. X = 213361, 63 Zadanie 112 Wyznaczyć wartość początkową i końcową renty wypłacającej 4000 zł na początku każdego kwartału przez 8 lat, jeśli nominalna stopa procentowa wynosi 12% i kapitalizacja jest kwartalna. Obliczeń dokonać na dwa sposoby. Odp. P = 84001, 71, F V = 216311, 365. Zadanie 113 Kupujemy samochód za 80.000 zł wpłacając zaliczkę 15.000 zł. Pozostałą kwotę mamy spłacić przez pierwsze trzy lata kwotami X wnoszonymi pod koniec każdego miesiąca oraz kwotami 2X wnoszonymi przez kolejne dwa lata pod koniec każdego miesiąca. Wyznaczyć X, jeśli stopa okresu bazowego wynosi 1, 4%. Odp. X = 1233, 465 Zadania do rozwiązania na zajęciach Zadanie 114 Rozważmy kapitał 100.000 zł. Osoba A czerpie zyski w wysokości 7% rocznie przez 10 lat, osoba B przez drugie 10 lat również w wysokości 7% rocznie a osoba C przez pozostałe lata (w nieskończoność) w wysokości 7% rocznie. Wyznacz relatywny równoważny wkład każdej z tych osób. Zadanie 115 (5.12 PK) Renta składa się z 25 rat płatnych z dołu: pierwszych osiem po 400 zł, dziesięć następnych po 500 zł, siedem ostatnich po X zł. Obliczyć X, wiedząc, że dla i = 3% wartość końcowa tej renty wynosi 15 tys. zł. Zadanie 116 Z tytułu ubezpieczenia Pan A za 10 lat będzie otrzymywał przez 30 lat miesięczne płatności w wysokości 500 zł każda. Jaką kwotę musi zgromadzić na ten cel dzisiaj firma ubezpieczeniowa, jeśli do obliczeń zastosuje stopę bazową 0, 8%. 11
Zadania do samodzielnego rozwiązania: Zadanie 117 Jakiej wielkości raty należy wpłacać do banku pod koniec każdego miesiąca przez n lat, żeby po tych n latach móc wypłacać z dołu co miesiąc stałą kwotę 1000 zł przez kolejne n lat, tak aby kapitał się wyczerpał. Stopa okresu bazowego wpłat i wypłat wynosi 0, 1%. a) n = 10, b) n = 20. Wyciągnąć wnioski dotyczące zależności wielkości wpłat od ilości płatności n. Zadanie 118 Jaką kwotę należy zdeponować dziś na rachunku oprocentowanym według stopy nominalnej 9% przy kapitalizacji miesięcznej, aby po pięciu latach móc pobierać po 650 zł na koniec każdego miesiąca dożywotnio. Zadanie 119 Renta składa się z 57 rat płatnych z góry: pierwszych 13 po 700 zł, następne 24 po 900 zł, następnych 7 po X zł i ostatnich 13 po 2X. Obliczyć X, wiedząc, że dla i = 2% wartość początkowa tej renty wynosi 35669, 77 zł. Odp. X = 1100. Zadanie 120 Z tytułu ubezpieczenia Pan A za 15 lat będzie otrzymywał dożywotnio rentę w wysokości 1250 zł pod koniec każdego miesiąca. a) Jaką kwotę musi zgromadzić na ten cel dzisiaj firma ubezpieczeniowa, jeśli do obliczeń zastosuje stopę bazową 1, 3%. b) Czy regularne wpłaty miesięczne z dołu w wysokości 100 zł każda wnoszone pod koniec każdego miesiąca przez te 15 lat wystarczą na zgromadzenie odpowiednich środków. Odp. a) X = 9403 Zadania do rozwiązania na zajęciach Zadanie 121 Pożyczamy 10000 zł na N miesięcy na 2% w skali miesiąca. Ile wynosi N, jeśli miesięczne płatności dokonywane z dołu wynoszą 300 zł każda? Wyznaczyć N, jeśli ostatnia regularna płatność będzie odpowiednio powiększona. Wyznaczyć kwotę o jaką zostanie powiększona. Zadanie 122 Wyznaczyć stopę procentową i przy której 4159, 5 jest wartością początkową renty płatnej z dołu w wysokości 300 o 15 płatnościach. Zadanie 123 Wyznaczyć stopę procentową i przy której s 3 i wynosi 3, 15. Zadanie 124 Wyznaczyć wartość początkową renty płatnej z dołu o pięciu ratach w wysokości 450 zł każda, jeśli przez pierwsze 3 okresy obowiązywała stopa 3% a przez następne 2 okresy 3, 5%. 12
Zadania do samodzielnego rozwiązania Zadanie 125 Kwota 3794 zł ma być spłacona stałymi ratami wysokości 125 zł naliczonymi według stopy 1, 5% wnoszonymi z dołu. Wyznaczyć ilość rat, jeśli ostatnia regularna płatność będzie odpowiednio powiększona. Wyznaczyć kwotę o jaką zostanie powiększona. Zadanie 126 O jaką kwotę powinniśmy powiększyć ostatnią regularną płatność, jeśli 892 zł ma być spłacone 12 miesięcznymi płatnościami wnoszonymi z dołu w wysokości 100 przy stopie okresu bazowego 5% Zadanie 127 Wyznaczyć stopę procentową i w przybliżeniu, przy której 766, 84 = 110ä 9. Odp. Dokładana stopa procentowa wynosi 7%, przybliżona 7, 5% Zadanie 128 Wyznaczyć stopę procentową i w przybliżeniu, przy której s 19 wynosi 23, 297. Odp. Dokładna stopa procentowa wynosi 2%, przybliżona 1, 86% Zadanie 129 Wyznaczyć wartość końcową renty płatnej z góry o 15 ratach rocznych w wysokości 220 zł każda, jeśli przez pierwsze 5 lat obowiązywała stopa efektywna 5%, przez kolejne 5 lat stopa efektywna 6% i przez ostatnie 5 lat stopa efektywna 3%. Renty - ogólnie Zadania do rozwiązania na zajęciach Zadanie 130 Wyznaczyć wartość początkową renty jednostkowej płatnej z dołu przez 5 lat co kwartał, jeśli nominalna stopa oprocentowania miesięcznego wynosi 12%. Obliczenia dokonać na dwa sposoby. Zadanie 131 Pożyczka w wysokości 6000 zł ma być spłacona w kwartalnych ratach pod koniec każdego kwartału przez 3 lata. Jeśli nominalna stopa oprocentowania półrocznego wynosi 12%, wyznaczyć wielkość płatności. Obliczenia dokonać na dwa sposoby. Zadania do samodzielnego rozwiązania Zadanie 132 Wyznaczyć wartość początkową renty jednostkowej płatnej przez 8 lat na początku każdego półrocza, jeśli nominalna stopa oprocentowania miesięcznego wynosi 12%. Obliczenia dokonać na dwa sposoby. Odp. Wartość początkowa wynosi 10, 62. Zadanie 133 Wyznaczyć wartość początkową renty o płatnościach wysokości 50 zł dokonywanych pod koniec każdego miesiąca przez 5 lat, jeśli renta jest oprocentowana 6% rocznie przy rocznej kapitalizacji odsetek. Obliczenia dokonać na dwa sposoby 13
Odp. P = 2596, 19 Zadanie 134 Wyznaczyć wartość początkową renty o płatnościach wysokości 50 zł dokonywanych pod koniec każdego miesiąca przez 5 lat, jeśli renta jest oprocentowana 6% rocznie przy półrocznej kapitalizacji odsetek. Obliczenia dokonać na dwa sposoby. Odp. P = 2590, 865 Spłata długów Będziemy zakładać, że raty wnoszone są z dołu. Zadania do rozwiązania na zajęciach Zadanie 135 (155) Sporządzić plan amortyzacji kredytu w wysokości 9000 jp, oprocentowany według rocznej stopy 36% i rocznej kapitalizacji odsetek. Kredyt ten ma być spłacony w trzech równych ratach rocznych. Zadanie 136 (156) Dług 12000 zł należy spłacić w 48 ratach annuitetowych. Wyznaczyć dług bieżący po spłaceniu trzydziestu rat oraz część kapitałową i odsetkową trzydziestej raty. Stopa okresu bazowego wynosi 1, 2%. Zadanie 137 (158) Dług 1500 zł należy spłacić 4 ratami o częściach kapitałowych stanowiących ciąg stały przy stopie okresu bazowego 1, 4%. Wyniki przedstawić w tabeli. Co można powiedzieć o ratach łącznych? Zadanie 138 (159) Dług 400 zł należy spłacić 4 miesięcznymi ratami a) malejącymi, b) stałymi. Ułożyć plan spłaty długu, jeśli stopa okresu bazowego wynosi 10%. Obliczyć sumę odsetek i porównać wyniki. Zadanie 139 (160) Dług 2000 zł ma być spłacony 24 ratami malejącymi. Wyznaczyć a) wysokość szóstej raty, b) dług bieżący po spłaceniu trzech rat, c) trzecią ratę odsetek, jeśli stopa okresu bazowego wynosi 7%. 14
Zadania do samodzielnego rozwiązania Zadanie 140 Dług 1800 jp należy spłacić w 4 ratach a) annuitetowych. b) malejących. Ułożyć plan spłaty długu, jeśli stopa okresu bazowego wynosi 1, 2%. Zadanie 141 Dług 6000 zł należy spłacić w 24 ratach annuitetowych. Wyznaczyć 1. część kapitałową dwudziestej raty, 2. dług bieżący po spłaceniu piętnastu rat. Stopa okresu bazowego wynosi 1, 5%. Odp. T 20 = 278, 06, S 15 = 2504, 3479 15
Inflacja. Stopa inflacji. Wartość realna kapitału w czasie Zadanie 142 W ciągu roku stopa inflacji zmieniała się co kwartał i przyjmowała kolejno wartości: 2%, 2, 5%, 1, 5% i 2, 7%. Wyznaczyć roczną stopę inflacji oraz przeciętną kwartalną stopę inflacji. Zadanie 143 Nominalne oprocentowanie rocznej lokaty wynosi 8% a roczna stopa inflacji 3, 5%. Ile wynosi realna roczna stopa procentowa oprocentowania lokaty? Zadanie 144 Płaca pracownika w I kwartale pewnego roku wynosiła 7000 zł miesięcznie i była indeksowana co kwartał wskaźnikiem wzrostu płac równym 0, 8 stopy inflacji z poprzedniego kwartału. W kolejnych kwartałach roku stopa inflacji wynosiła odpowiednio: 3%, 3, 5%, 3, 2%, 3, 1%. Wyznaczyć a) płacę pracownika w I kwartale następnego roku, b) roczną stopę inflacji, c) przeciętną kwartalną stopę inflacji d) realną stopę wzrostu płacy pracownika w ciągu roku. Zadanie 145 Jaki jest realny wzrost dotacji na badania naukowe w danym roku, jeśli jest ona wyższa od ubiegłorocznej o 18% i stopa inflacji wyniosła 4%? Zadanie 146 Mając nominalną stopę d inf = 5% pomniejszania wartości nominalnej kapitału F nom wyznaczyć: a) stopę inflacji i inf równoważną stopie d inf. b) realną wartość kapitału F nom = 5000. Zadanie 147 Ania wpłaciła dziś zaoszczędzone 300 zł na półroczną lokatę bankową, na której odsetki są naliczane co pół roku przy półrocznej stopie 3, 5%. Zosia woli swoje oszczędności trzymać w pończosze, a ich wartość wynosi obecnie również 300 zł. Obliczyć nominalną i realną wartość oszczędności Ani i Zosi za pół roku oraz nominalną i realną stopę ich wzrostu, jeśli półroczna stopa inflacji wyniesie: Odp. a) 1, 5%, b) 1, 5%. a) F A nom = 310, 5; F Z nom = 300; F A re = 305, 91133; F Z re = 295, 5665; i A = 3, 5%; i Z = 0%; i A re = 1, 97%, i Z re = 1, 48%. b) F A nom = 310, 5; F Z nom = 300; F A re = 315, 2284; F Z re = 304, 5685; i A = 3, 5%; i Z = 0%; i A re = 5, 076%, i Z re = 1, 52%. 16
Zadanie 148 Kapitał 2500 zł umieszczono na rocznej lokacie przy rocznej stopie 5, 5%. W tym czasie inflacja zmieniała się co kwartał i przyjmowała kolejno wartości: 0, 2%, 0, 25%, 0, 15% i 0, 19%. Obliczyć Odp. a) nominalną i realną wartość tego kapitału po roku. b) stopę d inf w skali roku. a) F nom = 2637, 5; F re = 2616, 77. b) d inf = 0, 786% Zadanie 149 W I, II i III kwartale przeciętna miesięczna stopa inflacji wyniosła, odpowiednio, 1, 6%, 2%, 2, 3%. Obliczyć: Odp. a) stopę inflacji w I kwartale, b) roczną stopę inflacji, jeśli w każdym miesiącu IV kwartału stopa inflacji będzie stała i wyniesie 2, 4%, c) przeciętną kwartalną stopę inflacji, jeśli w IV kwartale stopa inflacji wyniesie 6, 9%, d) przeciętna miesięczną stopę inflacji w IV kwartale, przy której roczna stopa inflacji będzie na poziomie 25%. a) 4, 88%. b) 27, 94%. c) 6, 24%. d) 1, 61%. Zadanie 150 Stopa oprocentowania lokaty 12-miesięcznej wynosi 10%. Jaka jest realna roczna stopa procentowa, jeżeli stopa inflacji w poszczególnych kwartałach wynosiła odpowiednio: 1, 1%, 1, 05%, 1, 15%, 1, 08%. Odp. 5, 31% Zadanie 151 Spłata pożyczki 6500 zł ma nastąpić po dwóch latach kwotą 8000 zł. Obliczyć realną roczną (przeciętną) stopę oprocentowania pożyczki, jeśli: a) poziom inflacji w każdym roku jest na poziomie 5%, b) w pierwszym roku stopa inflacji wyniesie 6%, a w drugim 9%. 17